Circulo_y_circunferencia.ppt

(1)

CÍRCULO Y

CIRCUNFERENCIA

Colegio Santa Clara

(2)

CIRCUNFERENCIA

(3)

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA

CIRCUNFERENCIA:

- Radio: es el segmento que

une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella. -Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualquiera de la

circunferencia

(4)

(5)

RECTAS ASOCIADAS A LA

CIRCUNFERENCIA

-

Recta secante: es aquella recta que pasa por la

circunferencia tocan dos puntos de esta.

-Recta tangente: es la recta

(6)

(7)

ÁNGULO DEL CENTRO

 Angulo del centro: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. (el ángulo del centro mide lo mismo que su arco)

(8)

 Angulo Semi-inscrito: El vértice de ángulo semiinscrito

está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a la circunferencia.

 Angulo exterior: Su vértice es un punto exterior a la

circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

(9)

EL CÍRCULO

(10)

ELEMENTOS BÁSICOS DEL

CIRCULO Y SECTOR ASOCIADO DE

LA CIRCUNFERENCIA

 Semi circulo: es la mitad de un circulo

 Sector circular: Región comprendida entre un arco y dos radios

 Segmento circular: Región del circulo comprendida entre un arco y su cuerda

 Corona circular: Recinto comprendido entre dos

(11)

(12)

Ángulos Características

El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia.

El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia.

El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes.

El vértice del ángulo semi-inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia.

El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser:

 Rectas secantes

 Una recta secante y la otra tangente  Rectas tangentes

(13)



1.- MEDIDA DEL ÁNGULO DEL CENTRO.-

Es igual a la

medida del arco que se opone.

A

B

C

r

(14)



A

B

C

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.-

Es la mitad de la

medida del arco opuesto.

2 mBA





2 mBA





(15)



4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.-

Es igual

al medida del arco opuesto.

A

B

C

2 mBA





2 mBA



(16)



A

B

C

2 mCBA





2 mCBA





(17)



A

C

B

D

5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.-

Es igual a la

semisuma de las medidas de los arcos opuestos

2 mCD

mAB





(18)



A

B

C

_O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.-

Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.



+ mBA = 180°



+ mBA = 180°

2 mBA

-mACB



(19)



A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2 mDC

-mBA



(20)



A

B

C

O

(21)

Algunas propiedades importantes…….

1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia

2.- Si de un punto ¨P¨ exterior a una circunferencia. Se dibujan 2 segmentos tangentes a la circunferencia llamados PA y PB , estos segmentos resultan congruentes

P

A

B O

P

B A

AB  OP

(22)

Algunas propiedades importantes……..

3.- Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral y bisectriz del ángulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda.

4.- En toda circunferencia a ángulos del centro congruentes le corresponden cuerdas y arcos congruentes.

O C D B A A D C B O   AB  CD

AB  CD entonces: a) CE  ED

)  COE   EOD

(23)

Algunas propiedades importantes……..

5.-En una circunferencia , cuerdas congruentes equidistan del centro.

6.- Los arcos comprendidos entre rectas paralelas o cuerdas paralelas son congruentes.

A

B

C D

O

A _B

C D

AB  CD  OE = OF

(24)

7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales







 180º

90º

Todos los ángulos inscritos

que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

Todos los ángulos inscritos

que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales

(25)

(26)

Si desde un punto exterior P se trazan dos rectas

tangentes a la circunferencia PA y PB. Entonces al unir

dicho punto exterior con el centro de una circunferencia O,

se determina que m



1 = m



2 y que PB



PA.

Teorema 1

(27)

(28)

Si desde un punto exterior a

una circunferencia se traza

una recta tangente y una

recta secante, entonces:

El cuadrado del segmento

tangente en igual al

(29)

Si se trazan dos

cuerdas que se cortan

dentro

de

una

circunferencia:

(30)

(31)

50° 70º+x

X

R

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

x º 70 2 x 2 º 140 PQS

m    

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = x

Se traza la cuerda SQ

₂

mSRQ

PQS

m





(32)

20° 70°

X

X = 40°

X = 40° R

Q

H

En el triángulo rectángulo RHS

140°

Se sabe que:

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P S

m  S = 70º

Resolviendo:

2 mQR

º

70 

mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

mQsR = 220°

º

40

2 140º

-220º

_



(33)

x

130°

A

C

B

D

X = 40°

2

50 130

X    

50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

P

Resolviendo:

APD = x

Medida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior









90

2

130 mBC

mBC = 50°

(34)

x

X = 18°

2 X 54

X   

M N

54°

x x

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

P A

B

APN = x

Se traza el radio OM:

o

Dato: OM(radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

(35)

x 70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°

2 110 X  

A B C P Q R 110°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN



PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70° + mPQ = 180° _{mQP = 110°}

(36)

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X

_P

(37)

RESOLUCIÓN

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Medida del ángulo inscrito:

70°

B

A

X

_P

C

140º

220º- 140º = x

2

Resolviendo:

X = 40º

2 º

(38)

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X

P

130º

(39)

RESOLUCIÓN

B

A

X

P

130º

_C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior

formado por dos tangentes:

X = 80º

2 mAB

º

130 

_{mAB = 260º}

mACB = 100º

mACB + x = 180º

(40)

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 08

2

5

5 A

B

C

(41)

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = 14 + 10

(p) = 24

RESOLUCIÓN

2

5

5 A

B

C

a

b

a + b = 14

(1)

(2)

Reemplazando (1) en (2)

(42)

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º

P

a

Problema Nº 09

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia

se trazan la tangente PQ y la secante PRS de

modo que los arcos QS y SR sean congruentes.

Si el arco RQ mide 80º, calcular m



QPR .

(43)

2a + 80º = 360º

a = 140º

Medida del ángulo exterior:

X



a



80 



2 140 80

2 º

º

X = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º

P

a

(44)

P

Q

R

S 2

3

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10

En un cuadrilátero ABCD m



Q = m



S = 90º se traza

la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y

PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el

perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la

longitud de PR

(45)

Teorema de Poncelet:

a

_b

c

d



PQR



a + b = PR+2(3)

₊

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm



PSR



c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIÓN

P

Q

R

S 2

3

(46)

• Primero: debemos encontrar el valor

X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X

= 20, por lo tanto X = 10.

• Al saber que X = 10, determinamos que

AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP .

• Segundo: Se quiere encontrar el valor

del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el  AOP

también es igual a50°. Y como OAP es igual a 90°, podemos formular la

siguiente ecuación: 90° + 50° + APO = 180°, por lo tanto APO = 40°

• Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB, también vale

40°-Problema Nº 11

(47)

• Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40,

podemos determinar y según la

siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10.

• De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10

• Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP • BP = DP • CP, por lo tanto,

podemos plantear la siguiente ecuación: 40 • 10 = (X + 6) • 6, de esta manera obtenemos que X es igual a 60.6.

Problema Nº 12

(48)