Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS

(1)

IES nº 1 de Ordes Pila

Ejercicios Resueltos de NÚMEROS COMPLEJOS

Números Complejos. Formas de expresarlos

1.- Halla las raíces de los siguientes números:

−

36 −

100

25 −

25

Solución:

i

6

1

36

36 =

⋅

−

=

±

−

₋

₁₀₀

₌

₁₀₀

_⋅

₋

₁

₌

_±

₁₀

_i

5

25 =

±

−

25 =

25 ⋅

−

1 =

±

5 i

2.- Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma polar: a) Módulo 7, argumento 150º b) Módulo 2, argumento 30º

c) Módulo 3, argumento 0º d) Módulo

2

, argumento 45º Solución:

3.-Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma binómica: a) 3+5i b) 4-2i c) 2i d) -1+3i

Solución:

4.- Representa en los ejes coordenados los siguientes números complejos en forma trigonométrica: a)

6(cos60º

+

isen60º

)

b)

2 π

isen

2 π

cos

+

c)

6(cos225º

+

isen225º

)

d)

5 (

cos

π

+

isen

π

)

Solución:

(2)

IES nº 1 de Ordes Pila 5.- Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:

5 +

−

81

3 −

−

100

2 +

−

7

Solución:

i

9

5

1

81

5

81

5 +

−

=

+

⋅

−

=

+

i

10

3

1

100

3

100

3 −

−

=

−

⋅

−

=

−

i

7

2

1

7

2

7

2 +

−

=

+

⋅

−

=

+

6.- Pasa a forma binómica los siguientes números complejos:

a)

)

4

3 π

isen

4

3 π

3(cos

+

b) Módulo:

3

, Argumento: -225º Solución:

a)

i

2

3

2

3 ₊

−

b)

i

2

6

2

6 ₊

−

7.- Pasa a forma polar los siguientes números complejos:

a) -5i b)

2(cos60º

+

isen60º

)

c) -i+3 d)

2(cos120º

+

isen120º

)

Solución:

a) Módulo 5, argumento 270º b) Módulo 2, argumento 60º

c) Módulo

10

, Argumento -18º26'6'' d) Módulo 2, Argumento 120º

8.- Pasa a forma trigonométrica los siguientes números complejos:

a)

4

2 (1

−

i)

b) Módulo:

2

, Argumento: 135º c)

−

3

2 −

3

2 i

d) Módulo: 7, Argumento: 120º e) 3i f) Módulo:

6

, Argumento: 210º g)

3(5

−

2i)

h) Módulo:

5

, Argumento: 330º i)

−

2 +

3

2 i

j) Módulo: 3, Argumento: 315º k) 4+6i l) Módulo:9, Argumento:

4

5 π

−

Solución:

a) 8(cos315º + isen315º) b)

2 (

cos

135º

+

isen

135º

)

c)

6(cos

225º

+

isen

225º

)

d)

7 (cos

120 º

+

isen

120 º

)

e) 3(cos90º + isen90º) f) 6(cos210º + isen210º)

g)

3

29 (

cos(

−

21º48'5'

'

)

+

isen(

−

21º48'5'

'

)

h)

5 (

cos

330º

+

isen

330º

)

i)

4

5 (

cos(

−

71º33'54'

'

)

+

isen(

−

71º33'54'

'

)

j) 3(cos315º+isen315º)

k)

2

13 (

cos

56º18'36'

'

+

isen

56º18'36'

'

)

l)

_























−

+













−

4 π

5 isen

4 π

5 cos

9

9.- Pasa a forma binómica los siguientes números complejos: a)

6(cos225º

+

isen225º

)

b) Módulo:3, Argumento:

2

3 π

c)

)

2

3 π

isen

2

3 π

(3)

Solución:

a)

−

3

2 −

3

2 i

b) -3i c) -2i

d)

i

2

6

2

6 +

e)

4 +

4

3 i

f) -1

g)

i

2

3

2

1 −

−

h)

i

2

3

2

1 +

−

10.- Pasa a forma polar los siguientes números complejos:

a) 2+i b)

)

6 π

isen

6 π

4(cos

+

c) 5

d)

4(cos90º

+

isen90º

)

e) 2-2i f)

6

7 π

isen

6

7 π

cos

+

Solución:

a) Módulo

5

, argumento 26º33'54'' b) Módulo 4, argumento

6 π

c) Módulo 5, argumento 0º d) Módulo 4, argumento 90º

e) Módulo

2

, Argumento 315º f) Módulo 1, Argumento

6 π

7 Operaciones con números complejos en forma binómica

1.- Calcula las potencias de: a)

i

125 b)

i

2344 c)

i

723 d)

i

77 Solución:

a)

i

125

=

i

31x4+1

=

i

1

=

i

c)

i

723

=

i

180x4+3

=

i

3

=

−

i

b)

i

2344

=

i

586x4

=

1

d)

i

77

=

i

19x4+1

=

i

1

=

i

2.- Calcula:

d)

i

e)

i

...

i

1 c)

i

1 b)

i

1 )

₂ ₃ −4 −5

a

Solución:

i

1 i

i)

(

i

i)

(

1 i

1 )

=

−

=

−

⋅

−

⋅

=

a

1

1 i

i

1 )

₄

2

=

−

=

b

i

1 )

₃

=

₄

=

c

1

1 i

)

−4

=

₄

=

d

i

1 i

)

−5

=

₅

=

₄

⋅

=

−

e

3,. Calcula las siguientes sumas: a) (2+5i) + (3+4i) b) (1+i) + (1-i) c) ((1+3i) + (1+i) d) 1 + (2-5i) Solución:

a) (2+5i) + (3+4i) = 5 + 9i b) (1+i) + (1-i) = 2

c)

(1+3i) + (1+i) = 2 + 4i d) 1 + (2-5i) = 3 - 5i

4.- Escribe los opuestos de los siguientes número complejos: a) 3+i b) 1-i c) -3+i d) -2-5i Solución:

(4)

IES nº 1 de Ordes Pila 5.-Determina x para que el producto: (2 - 5i)(3 + x i) sea:

a) Un número real.

b) Un número imaginario puro. Solución:

Hagamos el producto (2 - 5i)(3 + x i) = 6 + 5x + (2x - 15)i

a) Para que el producto sea un número real, la parte imaginaria debe ser nula, por tanto:

2

15 x

0

15 x

2 −

=

⇒

=

b) Para que el producto sea un número imaginario puro, la parte real debe ser nula, por tanto:

5

6 x

0 x

5

6 +

=

⇒

=

−

6.- Calcula las siguientes diferencias: a) (2+5i) - (3+4i) b) (1+i) - (1-i) c) (1+3i) - (1+i) d) i - (2-5i) Solución:

a) (2+5i) - (3+4i) = -1 + i b) (1+i) - (1-i) = 2i

c)

(1+3i) - (1+i) = 2i d) i - (2-5i) = -2 + 6i

7.-Calcula las siguientes divisiones: a)

4i

3 5i

2 +

+

b)

i

1 i

1 −

+

c)

i

1 3i

1 +

+

d)

i

5i

2 −

Solución:

a)

_i

25

7

25

26

16

9 i

15 i

8

20

6 i)

4 i)(3

4 (3

i)

4 i)(3

5 (2

i

4

3 i

5

2 ₌

₊

+

−

+

=

−

+

−

+

=

+

b)

_i

2 i

2

1

1 i

i

1

1 i)

i)(1

(1

i)

i)(1

(1

i

1 i

1 ₌

₌

+

−

=

+

−

+

=

−

+

c)

₂

_i

2 i

2

4

1

1 i

3 i

3

1 i)

i)(1

(1

i)

i)(1

3 (1

i

1 i

3

1 ₌

+

₌

₊

+

−

+

=

−

+

−

+

=

+

d)

₅

₂

_i

1 i

2

5 i)

i(

i)

i)(

5 (2

i

5

2 ₌

−

₌

₋

−

=

−

8.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(3+4i) b) (1+i)(-1-i) c) (1+3i)(1+i) d) i(2-5i) Solución:

a) (2+5i)(3+4i) = 6 + 8i +15i -20 = -14 + 23i b)(1+i)(-1-i) = -1 -i - i + 1 = -2i

c)

(1+3i)(1+i) = 1 + i + 3i - 3 = -2 + 4i d) i(2-5i) = 2i + 5 = 5 + 2i

9.-Calcula los inversos de los siguientes complejos: a) 1 + i b) 2 + 3i c) 1 - i d) -2 + i Solución:

a)

_i

2

1

2

1

1 i

1 i)

i)(1

(1

i

1 i

1

1 ₌

₋

+

−

=

−

+

−

=

+

b)

_i

13

3

13

2

9

4 i

3

2 i)

3 i)(2

3 (2

i

3

2 i

3

2

1 ₌

₋

+

−

=

−

+

−

=

+

c)

_i

2

1

2

1

1 i

1 i)

i)(1

(1

i

1 i

1

1 ₌

₊

+

=

+

−

+

=

−

d)

_i

5

1

5

2

1

4 i

2 i)

2 i)(

2 (

i

2 i

2

1 ₌

₋

+

−

=

−

+

−

=

(5)

IES nº 1 de Ordes Pila 10.-Halla el valor del parámetro real en cada uno de los siguientes casos:

a) Para que (2 + i)(a + i) sea un número real.

b) Para que el módulo del cociente (a + 2i) : (1 - i) sea 2. Solución:

a) (2 + i)(a + i) = 2a - 1 + (a + 2)i, el resultado es real si su parte imaginaria es nula, por tanto:a + 2 = 0 a = -2 b) Como el módulo de un cociente es el cociente de los módulos, se tiene:

2 a 4 2 a 8 4 2 a 4 2

4 2 a 2 2 1) ( 2 1

4 2 a

± =

⇒

=

⇒

= +

⇒

= +

⇒

= − +

+

11.-Dados los números complejos 2 - mi y 3 - ni, halla los valores que deben tomar m y n para que su producto sea el complejo 8 + 4i.

Solución:

Efectuamos el producto (2 - mi)(3 - ni) = 6 - mn - (2n + 3m)i = 8 + 4i, por tanto:

    

      

      

 

− = → =

= → − =

⇒

= − +

⇒

− = + −

− =

⇒

− = + = −

3 n 3 2 m

1 n 2 m 0 4 m 4 2 m 3 4 m 3 m

2 2

m 2 n

4 m 3 n 2

8 mn 6

Se tienen dos soluciones: 1ª solución m = -2 y n = 1 2ª solución m = 2/3 y n = -3

12.- Calcula los siguientes productos: a) (2+5i)(2-5i) b) (1+i)(1-i) c) (1+3i)(1-3i) d) (-2-5i)(-2+5i) Solución:

a)

(2

+

5 i)(2

−

5 i)

=

2

2 −

5

2 i

2 =

4 +

25 =

29

b)

₍₁

+

_i)(1

−

_i)

=

₁

2 −

_i

2 =

₁

+

₁

=

₂

c)

(1

+

3 i)(1

−

3 i)

=

1

2 −

3

2 i

2 =

1 +

9 =

10

d)

₍

−

₂

−

₅

_i)(

−

₂

+

₅

_i)

=

₍

−

₂₎

2 −

₅

2 _i

2 =

₄

+

₂₅

=

₂₉

13.-Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: a)

3 +

4i

b)

1 −

i

c)

−

3 +

i

d)

−

2 −

5i

Solución:

Las gráficas de los cuatro complejos, sus opuestos y conjugados, son las de la figura adjunta:

14.- Calcula las siguientes potencias: a)

(

₃

+

_4i

)

2

b)

( )

₁

−

_i

2

c)

(

−

₃

+

_i

)

2

d)

(

−

₂

−

_5i

)

2

Solución:

(6)

b)

( )

1 −

i

2 =

1 −

2 i

+

i

2 =

1 −

2 i

−

1 =

−

2 i

c)

(

−

₃

+

_i

)

2 =

₉

−

₆

_i

+

_i

2 =

₉

−

₆

_i

−

₁

=

₈

−

₆

_i

d)

(

−

2 −

5 i

)

2 =

(

−

(

2 +

5 i

)

) (

2 =

2 +

5 i

)

2 =

4 +

20 i

+

25 i

2 =

4 +

20 i

−

25 =

−

21 +

20 i

15.- Halla x, con la condición de que (x - 2i)2 sea imaginario puro. Pon un ejemplo para comprobar el resultado.

Solución:

(

x−2i

)

2 =x2 −4xi+4i2 =x2 −4−4xi

Para que el resultado sea un número imaginario puro, su parte real debe ser nula, por tanto: x2 −4=0⇒x=±2 Los dos únicos ejemplos para comprobar se obtienen dando a x esos dos valores, a saber:

( ) (

Z 2 2i

)

4 8i 4i 4 8i 4 8i queesimaginario puro

es cuadrado su

que tal i 2 2

Z₁= − ₁ 2 = − 2 = − + 2 = − − =−

_{( ) (}

₎

o pur imaginario es

que i 8 4 i 8 4 i 4 i 8 4 i 2 2 Z

es cuadrado su

que tal i 2 2

Z₂ =− − ₁ 2 = − − 2 = + + 2 = + − =

16.- Calcula las siguientes operaciones con complejos: a)

( )

i

4 i

1

2

+

_b)

( )

2

i

1 i

2 +

+

_c)

(

₅ ₁₂

)

3

i

+

−

Solución:

a)

( )

_i

17

8

17

2

1

16 i

8

2 i)

i)(4

(4

i)

(4

i

2 i

4 i

2 i

4 i

i

2

1 i

4 i

1

2 2

+

=

+

=

−

+

−

⋅

=

+

=

+

=

+

b)

( )

2 i

1

2 i

2

1 i)

i)(

(2

i)

(

i)

(2

i

2 i

i

2

1 i

2 i

1 i

2

=

−

=

−

⋅

+

=

+

=

+

=

+

c)

(

)

( )

_i

₁

_i

₃

_i

₃

_i

₁

_i

₃

_i

₁

₂

_i

i

1 i

i

3 3 2

3

12 3

12

5

_

₌

₊

₌

₊

₌

₋

₊

₌

₋

₊











+

=

+

−

17.-Sea Z1 = a + 5i y Z2 = b - 3i , sabiendo que el producto de dichos números complejos es 63 - 16i.

calcular los valores enteros de a y b Solución:

- Cálculo de Z1 y Z2:

  

− = + −

= +

⇒

− = + − + +

⇒

− = − +

⇒

− = ⋅

16 b 5 a 3

63 15 ab i 16 63 b) 5 a 3 i( 15 ab i 16 63 i) 3 i)(b 5 (a i 16 63 Z Z₁ ₂

Operando se ve que la única solución entera del sistema es: a = 12 y b = 4

18.- Resuelve la siguiente ecuación: (a + i)(b - 3 i) = 7 - 11i. Solución:

(a + i)(b - 3i) = 7 -11i

⇒

ab + 3 + (b - 3a)i = 7 - 11i

Igualando las partes reales e imaginarias de ambos miembros, se tiene el sistema:

   

− = → − =

= → =

⇒

= − −

⇒ 

 

= + −

− =

⇒ 

 

− = −

= +

12 b 3 1 a

1 b 4 a 0 4 a 11 a 3 7 3 11) a a(3

11 a 3 b 11 a 3 b

7 3

ab ₂

(7)

Operaciones con números complejos en forma polar y trigonométrica

1.- Dado el complejo:

Z

=

−

2 +

2

3 i

Halla: a) Su cuarta potencia. b) Sus raíces cuartas. Solución:

Pasamos el complejo Z a forma polar:

Z

4

₁₂₀_º

º

120º

α

Argumento

4 ρ

Módulo

tiene

i

3

2

2 Z

⇒

=







=

+

−

=

por tanto:

a)

Z

4

=

(

4

_120º

)

4

=

256

_480º

=

256

_120º

=

−

128 +

128

3 i

b)

( ) ( )

( )











=

+ + +

300º 90º

210º

210º 90º

120º

120º 90º

30º

30º 30º

4

4 120º 4

2

4

4 Z

2.- Dado el complejo

Z

=

−

8

3 −

8i

halla 5

Z

y Z

4. Solución:

Pasamos el complejo Z a forma polar:

Z

16

_210º

210º

α

Argumento

16 ρ

Módulo

tiene

i

8

3

8 Z

⇒

=







=

−

=

-

( )











=

+ + + +

330º 5

72º 258º 5

258º 5

72º 186º 5

186º 5 72º 114º 5

114º 5

72º 42º 5

42º 5

5 210º 5

16

16 Z

(

16 )

65536

(

cos

120º

isen

120º

)

32768

3 i

Z

4

=

_210º 4

=

_840º

=

_120º

=

+

=

−

+

3.- Un complejo que tiene de argumento 80º y módulo 12 es el producto de dos complejos; uno de ellos tiene de módulo 3 y argumento 50º, halla en forma binómica el otro complejo y su quinta potencia.

Solución:

- Sea Z el otro complejo, tal que se verifica: _30º

50º 80º 50º

80º 50º

80º

Z

4

3

12

3

12 Z

Z

3

12 

⇒

=











=

⇒

⋅

=

−

Que expresamos en forma binómica:

Z

=

4

_30º

=

4 (

cos

30º

+

isen

30º

)

=

2

3 +

2 i

Quinta potencia de Z:

Z

5

=

( )

4

_30º 5

=

1024

_150º

=

1024

(

cos

150º

+

isen

150º

)

=

−

512

3 +

512 i

4.-Calcula las siguientes raíces: a) 3 −₂₇_b)6 _729i_c)4₁₆

(

_cos180º+_isen180º

)

Solución:

a)











=

−

=

−

+ +

300º 120º

180º

180º 120º

60º 60º

3 180º 3

3

27

(8)

IES nº 1 de Ordes Pila b)











=

+ + + + + 315º 60º 255º 255º 60º 195º 195º 60º 135º 135º 60º 75º 75º 60º 15º 15º 6 90º 6

3

3 ;

3

3 ;

3

3 ;

3

729 i

729

c)

(

)











=

+

+ + + 315º 90º 225º 225º 90º 135º 135º 90º 45º 45º 4 180º 4

2

16 180º

isen

180º

cos

16

5.- Calcula las potencias de exponente 2, 3 y 4 de los siguientes complejos: a)

1 +

i

b)

3 +

i

c)

1 −

3 i

Solución:

a)

( )

(

)











−

=

⋅

=

⋅

=

+

−

=

+

=

⇒

=

⇒







=

⇒

+

4 i

2 i

2 Z

Z

i

2

2 135º

isen

135º

cos

2

2 Z

i

2

2 Z

45º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

i

1

2 2 4 135º 3 90º 2 45º b)

(

)

(

)

(

)











+

−

=

+

=

+

=

+

=

+

=

⇒

=

⇒







=

⇒

+

i

3

8

8 120º

isen

120º

cos

16

16 Z

i

8 90º

isen

90º

cos

8

8 Z

i

3

2

2 60º

isen

60º

cos

4

4 Z

2 Z

30º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

i

3

120º 4 90º 3 60º 2 30º c)

(

)

(

)

(

)











+

−

=

+

=

−

=

+

=

−

=

+

=

⇒

=

⇒







=

⇒

−

i

3

8

8 120º

isen

120º

cos

16

16 Z

8 180º

isen

180º

cos

8

8 Z

i

3

2

2 240º

isen

240º

cos

4

4 Z

2 Z

300º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

i

3

1

120º 1200º 4 180º 900º 3 240º 600º 2 300º

6.- Se consideran los complejos:

A

=

10 −

10

3 i

y

B

=

10

3 +

10i

Calcula:

4 6 4 6

B

A

y

B

;

A

. Solución:

Pasamos los complejos A y B a forma polar:







=

+

=







=

−

=

30º

α

Argumento

20 ρ

Módulo

tiene

i

10

3

10 B

;

300º

α

Argumento

20 ρ

Módulo

tiene

i

3

10

10 A

-

A

6

=

(

20

₃₀₀

)

6

=

20

_1800º6

=

20

6_0º

=

20

6

(

cos

0º

+

isen

0º

)

=

20

6

-

(

)

(

)

i

20 (

10

3 i

)

2

3

2

1

20 120º

isen

120º

cos

20

20 B

4 _30º 4 _120º4 4 4

_



=

3

−

+











+

−

=

+

=

(

) (

)

(

)(

)

(

)

200

3 i

400 i

3

1 80000

i

3

10

10 i

3

10

10 i

3

10

10 8000

i

3

10

10 8000

i

3

10

3

20

6

20

4 B

6 A

₌

−

+

₌

₋

−

+

−

=

+

−

=

+

−

=

7.- Halla las siguientes raíces cúbicas, expresando los resultados en forma binómica: a) 3

27

b) 3

−

1000

c) 3

−

i

(9)

a)











−

=

+

−

=

+ +

i

2

3

2

3

3 i

2

3

2

3

27

240º 120º 120º

120º 120º 0º 0º

3 0º 3

b)

(

)

(

)











−

=

+

=

−

=

+

=

+

=

−

+ +

i

3

5

5 300º

isen

300º

cos

10

10 i

3

5

5 60º

isen

60º

cos

10

10 1000

1000

300º 120º

180º

º 180º 120º

60º 60º 3

180º 3

c)

(

)

(

)

(

)











−

=

+

=

−

=

+

=

+

=

−

+ +

i

2

1

2

3 330º

isen

330º

cos

1

1 i

2

1

2

3 210º

isen

210º

cos

1

1 i

90º

isen

90º

cos

1

1 i

330º 120º 210º

210º 120º 90º 90º

3 270º 3

( )

1 +

i

5 b)

(

2 +

2

3 i

)

2 c)

( )

1 +

i

20

Solución:

a)

( )

1 i

( )

4

2

4

2 (

cos

225º

isen

225º

)

4

4 i

45º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

tiene

i

1 ⇒

+

5

=

_225º

=

+

=

−







=

+

b)

(

2

3 i

)

16

16 (

cos

120º

isen

120º

)

8

3 i

60º

α

Argumento

4 ρ

Módulo

tiene

i

3

2

2 ⇒

+

2

=

_120º

=

+

=

−

+







=

+

c)

( )

1 i

1024

(

cos

180º

isen

180º

)

1024

45º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

tiene

i

1 ⇒

+

20

=

_900º

=

_180º

=

+

=

−







=

+

9.- Calcula la siguiente raíz: i i Solución:











=

+

=

+

=

+

=

−

=

337º30'

1 90º

247º30'

1 247º30'

1 90º

157º30'

1 157º30'

1 90º

67º30'

1 67º30'

1

4 270º

1

4 _i

3 i

i

(

−2+2 3i

)

6 b) 2i

i

i7 − −7 _c) 3 2 3i 2

3 3

    

  

+

Solución:

c)

(

2 2 3i

)

6

(

4096

)

_720º

(

4096

)

_0º 4096

(

cos0º isen0º

)

4096

120º

α

Argumento

4

ρ

Módulo

tiene i 3 2

2 ⇒ − + = = = + =

= = +

−

(10)

d)

1

2

2 i

2

1 i

i

2 i

1 i

i

2 i

1 i

i

2 i

i

2 2 3

3 7 7

−

=

−

=

+

−

=

+

−

=

−

=

−

c)

( )

27

27 (

cos

90º

isen

90º

)

27 i

2 i

3

2

3

3 30º

α

Argumento

3 ρ

Módulo

tiene

2 i

3

2

3

90º 3

=

+

=













+

⇒







=

+

11.- Calcula las siguientes raíces: a) 4

i

16

b) 3

( )

1 −

i

3

Solución:

a)











=

+ + + −

337º30' 90º

247º30'

247º30' 90º

157º30'

157º30' 90º

67º30' 67º30'

4 270º 4

90º 4

90º 0º 4

2

16

1

16 i

16

b) Como una de las raíces de: 3

( )

3

( )

_45º

( )

_315º 2 2

i 1 i

1− = − = ₋ = las otras dos raíces tendrán el mismo módulo, y solo

se diferencian en los argumentos, que como sabemos están en progresión aritmética, se tiene:

( )











=

−

− −

75º 120º

195º

195º 120º

315º 315º

3 3

2

2 i

1

12.- Se consideran los complejos:

A

=

−

1 +

i

y

B

=

1 +

i

Calcula:

20 30 20

30

B

A

y

B

;

A

Solución:

Pasamos los complejos A y B a forma polar:







=

+

=







=

+

−

=

45º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

tiene

i

1 B

;

135º

α

Argumento

2 ρ

Módulo

tiene

i

1 A

-

A

30

=

( )

2

30_4050º

=

2

15_90º

=

2

15

(

cos

90º

+

isen

90º

)

=

2

15

i

=

32768

i

-

B

20

=

( )

2

_900º20

=

2

_180º10

=

2

10

(

cos

180º

+

isen

180º

)

=

−

2

10

=

−

1024

-

i

32 1024

i

32768

B

A

20 30

−

=

−

=

Aplicaciones de los números complejos. Raíces de una ecuación algebraica

1.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones:

(11)

a)

   

    

 

     

=

   

 

=

     

=

     

=

= =

− =

⇒

= + −

348º45' 4

4

258º45' 4

3

168º45' 4

2

78º45' 4

1

4

315º 4

4

5 2 z

5) (2 i 5 5 z 0 i 5 5 z

b)

      

− =

+ = = − ± =

⇒

= + −

i 2

7 2 3 z

i 2

7 2 3 z

2 16 9 3 z 0 4 z 3 z

2 1 2

2.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a) i y -i b) 1 + i y 1 - i

Solución:

a) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son i y -i es:

(x

−

i)(x

+

i)

=

0 ⇒

x

2

−

i

2

=

0 ⇒

x

2

+

1 =

0

b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1 + i y 1 - i es:

0

2 x

0

1

1 x

2 x

0 i

1)

(x

0 i)

1 i)(x

1 (x

−

+

=

⇒

−

2

−

2

=

⇒

2

−

+

=

⇒

2

−

+

=

3.- Formula, en cada uno de los siguientes casos, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a)

3 +

2i

y

3 −

2 i

b)

( )

2 _45º y

( )

2_315º

Solución:

a) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son 3+2i y 3−2i es:

0

13 x

6 x

0

4

9 x

6 x

0 i

4 3)

(x

0 i)

2

3 i)(x

2

3 (x

−

+

−

=

⇒

−

2

−

2

=

⇒

2

−

+

=

⇒

2

−

+

=

b) La ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

( )

(

)

( )

(

)









−

=

+

=

+

=

+

=

i

1 315º

isen

315º

cos

2

2 i

1 45º

isen

45º

cos

2

315º 45º

es:

(x

−

1 −

i)(x

−

1 +

i)

=

0 ⇒

(x

−

1)

2

−

i

2

=

0 ⇒

x

2

−

2 x

+

1 +

1 =

0 ⇒

x

2

−

2 x

+

2 =

0

4.- Comprueba que los números complejos 2 + 3i y 2 - 3i verifican la ecuación:

x

2

−

4x

+

13 =

0

Solución:

Sean:

z

₁

=

2 +

3 i

y

z

₂

=

2 −

3 i

Calculemos su suma y su producto:

z

₁

+

z

₂

=

2 +

3 i

+

2 −

3 i

=

4

13

9

4 i

9

4 i)

3 i)(2

3 (2

z

₁

⋅

₂

=

+

−

=

−

2

=

+

=

Luego, los números complejos z1 y z2 verifican la ecuación propuesta, basta recordar las propiedades de las raíces x1

y x2 de la ecuación de segundo grado











=

⋅

−

=

+

=

+

a

c

x

a

b

x

:

0 c

bx

ax

2 1

2 1 2

5.- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los números complejos:

(12)

Solución:

a) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:

0 i

5

1 Z

i)

4 (3

Z

:

es

ecuación

la

i

5

1 Z

Z

i

4

3 Z

Z

₂

2 1

2

1

_⇒

₋

₊

₋

₊

₌







+

−

=

⋅

+

=

+

Comprobamos la 1ª raíz:

Z

2

−

(3

+

4 i)

Z

−

1 +

5 i

=

(1

+

i)

2

−

(3

+

4 i)(1

+

i)

−

1 +

5 i

=

(2

i)

−

(

−

1 +

7 i)

−

1 +

5 i

=

0

Análogamente se comprueba la 2ª raíz.

b) Calculamos la suma y el producto de las dos raíces:

0 i

2

6 Z

i)

(5

Z

:

es

ecuación

la

i

2

6 Z

Z

i

5 Z

Z

₂

2 1

2

1

_⇒

₋

₊

₋

₌







−

=

⋅

−

=

+

Comprobamos la 1ª raíz:

Z

2

−

(5

−

i)

Z

+

6 −

2 i

=

2

−

2(5

−

i)

+

6 −

2 i

=

4 −

10 +

2 i

+

6 −

2 i

=

0

Análogamente se comprueba la 2ª raíz.

6.- Halla todas las soluciones reales e imaginarias de la siguiente ecuación

z

2

−

2z

+

2 =

0

: Solución:

a)

  

− =

+ = = − ± =

⇒

= + −

i 1 z

i 1 z 2

8 4 2 z 0 2 z 2 z

2 1 2

7.-Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones: a)

x

4

−

81 =

0

b)

x

3

+

8 =

0

Solución:

a)











−

=

−

=

⇒

=

−

i

3

3 x

3

3 x

i

3

3 x

81 x

0

81 x

270º 4

180º 3

90º 2 1

4 4

b)











−

=

−

=

+

=

−

=

⇒

=

+

i

3

1

2 x

2

2 x

i

3

1

2 x

8

8 x

0

8 x

300º 3

180º 2

60º 1

3 180º 3

3

8.-Halla todas las soluciones reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones: a)

x

3

+

4x

=

0

b)

x

3

−

4x

2

+

6x

−

4 =

0

Solución:

a)

















−

=

⇒

−

=

⇒

+

=

⇒

=

⇒

=

+

⇒

=

+

i

2 x

i

2 x

4 x

0 x

0 4)

x(x

0 x

4 x

3 2 2

1 2

3

b)

x

3

−

4 x

2

+

6 x

−

4 =

0

aplicando la regla de Ruffini, se tiene:

0 2)

x

2 2)(x

(x

0

4 x

6 x

4 x

3

−

2

+

−

=

⇒

−

2

−

+

=

por tanto











−

=

+

=

⇒











−

±

=

⇒

=

+

−

=

⇒

=

−

i

1 x

i

1 x

2 x

2

8

4

2 x

0

2 x

0

2 x

3 2 1

(13)

IES nº 1 de Ordes Pila 9.- Calcula la suma de las cinco raíces quintas de la unidad, y a continuación calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad. ¿Qué se puede decir de la suma de las n raíces enésimas de la unidad? Solución:

-

0 Z

Z

360º

72º

288º

que

ya

Z

1 Z

360º

144º

216º

que

ya

Z

1 Z

1

1 Z

1

₁ ₂ ₃ ₄ ₅

_

2 288º 5

_

3 216º 4

144º 3

72º 2

0º 1

5 0º

5

_⇒

+

=











=

+

=

+

=

0 Z

Z

360 60º

300º

que

ya

Z

1 Z

360º

120º

240º

que

ya

Z

1 Z

1

1 Z

1

1 Z

1

₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆

_

2 300º 5

_

3 240º 5

180º 4

120º 3

60º 2

0º 1

6 0º

6

_⇒

₊

₌











=

+

=

+

=

−

=

Se observa que la suma de las n raíces enésimas de la unidad es cero (para n > 1)

10.- Dada la ecuación:

Z

2

−

12 Z

+

4 =

0

:

a) Halla sus soluciones y expresarlas en forma polar. b) Halla las potencias octavas de esas soluciones. Solución:

a)









−

=

+

=

⇒

±

=

−

±

=

⇒

=

+

−

i

3 Z

i

3 Z

2 i

2

3

2

16

12

12 Z

0

4 Z

12 Z

2 1 2

Que expresamos en forma polar:











=

⇒







=

−

=

+

=

−

=

⇒







=

+

=

+

=

330º 2

2

30º 1 1

2 Z

330º

30º

α

Argumento

2

1

3 ρ

Módulo

tiene

i

3 Z

2 Z

30º

α

Argumento

2

1

3 ρ

Módulo

tiene

i

3 Z

b)

( )

(

2 )

256

256 Z

256 (

cos

240º

isen

240º

)

128

3 i

Z

256

2 Z

₈

1 120º 2640º

8 330º 8

2

240º 8

30º 8

1

_⇒

₌

₊

₌

₋









=

11.- Halla todas las soluciones reales o complejas de las siguientes ecuaciones: a) x4 +4x2 +3=0 b) x3−2x2+4x−8=0

(14)

  

− =

⇒

− ± − =

⇒

= + +

⇒

= =

+ +

3 w

1 w

2 12 16 4 w 0 3 w 4 w x w haciendo

0 3 x 4

x4 2 2 2







−

=

⇒

−

=

⇒

−

=

i

x

i

x

1 x

w

2 1 2









−

=

⇒

−

=

⇒

−

=

i

3 x

i

3 x

w

4 3 2

b)

x

3

−

2 x

2

+

4 x

−

8 =

0

Aplicando la regla de Ruffini, se tiene:

x

3

−

2 x

2

+

4 x

−

8 =

0 ⇒

(x

−

2)(x

2

+

4)

=

0

por tanto:

















−

=

⇒

−

=

⇒

=

+

=

⇒

=

−

i

2 x

i

2 x

4 x

0

4 x

2 x

0

2 x

3 2 2

1

12.- Expresa en forma polar los módulos y argumentos de las soluciones de la ecuación: