EDO lineales No homogéneas con coeficientes constantes
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(2) Sergio Yansen Núñez B=1 Luego, y p = xe −2x Solución general: y = yh + yp y = ae −2x + be −3x + xe −2x y0 = 1. . 1 = a+b. y ′ = −2ae −2x − 3be −3x + e −2x − 2xe −2x y ′ 0 = 2. . 2 = −2a − 3b + 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones: a+b = 1 2a + 3b = −1 a=4. ,. , se obtiene b = −3. Luego, y = 4e −2x − 3e −3x + xe −2x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(3) Sergio Yansen Núñez 2.. Resuelva y” + y = 2 cosx sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 1. Solución: Solución homogénea: y” + y = 0 λ2 + 1 = 0 λ = ±i y h = a cosx + b sinx Solución particular: y” + y = 2 cosx D 2 + 1y = 2 cosx D 2 + 1y = 2 cosx. /. D2 + 1. 2 D 2 + 1 y = 0 2 λ 2 + 1 = 0. λ = ±i (multiplicidad 2) y = A cosx + B sinx + Cx cosx + Dx sinx como y h = a cosx + b sinx entonces la forma de y p es: y p = Cx cosx + Dx sinx Derivando y p se obtiene: y ′p = Ccosx − x sinx + Dsinx + x cosx y” p = C−2 sinx − x cosx + D2 cosx − x sinx Reemplazando y p en y” + y = 2 cosx se obtiene: C−2 sinx − x cosx + D2 cosx − x sinx + Cx cosx + Dx sinx = 2 cosx −2C sinx + 2D cosx = 2 cosx −2C = 0 C=0. ∧ ∧. 2D = 2 D=1. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(4) Sergio Yansen Núñez Luego, y p = x sinx Solución general: y = yh + yp y = a cosx + b sinx + x sinx y0 = 0. . 0=a. y = b sinx + x sinx y ′ = b cos x + sin x + x cos x y ′ 0 = 1. . 1=b. Luego, y = sinx + x sinx. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(5) Sergio Yansen Núñez 3.. Resuelva y” − y = 2e x + 4xe x sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 0. Solución: Solución homogénea: y” − y = 0 λ2 − 1 = 0 λ + 1λ − 1 = 0 λ = −1. ∨. λ=1. y h = ae −x + be x Solución particular: y” − y = 2e x + 4xe x D 2 − 1y = 2e x + 4xe x D + 1D − 1y = 2e x + 4xe x D + 1D − 1y = 2e x + 4xe x. /. D − 1 2. D + 1D − 1 3 y = 2e x + 4xe x λ + 1λ − 1 3 = 0 λ = −1. ∨. λ = 1 (multiplicidad 3). y = Ae −x + Be x + Cxe x + Dx 2 e x como y h = ae −x + be x entonces la forma de y p es: y p = Cxe x + Dx 2 e x Derivando y p se obtiene: y ′p = Ce x + xe x + D2xe x + x 2 e x y” p = C2e x + xe x + D2e x + 4xe x + x 2 e x Reemplazando y p en y” − y = 2e x + 4xe x se obtiene: C2e x + xe x + D2e x + 4xe x + x 2 e x − Cxe x + Dx 2 e x = 2e x + 4xe x 2e x C + D + 4Dxe x = 2e x + 4xe x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(6) Sergio Yansen Núñez 2C + D = 2. ∧. D=1. 2C + 1 = 2. . 4D = 4 . C=0. Luego, y p = x 2 e x Solución general: y = yh + yp y = ae −x + be x + x 2 e x Solution: a ′ e −x − ae −x + b ′ e x + be x + 2xe x + x 2 e x y0 = 0. . 0 = a+b. y ′ = −ae −x + be x + 2xe x + x 2 e x y ′ 0 = 0. . 0 = −a + b. Resolviendo el sistema de ecuaciones: a+b = 0 −a + b = 0 a=0. ,. , se obtiene b=0. Luego, y = x 2 e x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(7) Sergio Yansen Núñez 4.. Resuelva y” − y ′ = 2 − 2x + e x sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 1. Solución: Solución homogénea: y” − y ′ = 0 λ2 − λ = 0 λλ − 1 = 0 λ=0. ∨. λ=1. y h = a + be x Solución particular: y” − y ′ = 2 − 2x + e x D 2 − Dy = 2 − 2x + e x DD − 1y = 2 − 2x + e x DD − 1y = 2 − 2x + e x. /. D 2 D − 1. D 3 D − 1 2 y = 0 D 3 D − 1 2 = 0 λ = 0 (multiplicidad 3). ∨. λ = 1 (multiplicidad 2). y = A + Bx + Cx 2 + De x + Exe x como y h = a + be x entonces la forma de y p es: y p = Bx + Cx 2 + Exe x Derivando y p se obtiene: y ′p = B + 2Cx + Ee x + xe x y” p = 2C + E2e x + xe x Reemplazando y p en y” − y ′ = 2 − 2x + e x se obtiene: 2C + E2e x + xe x − B + 2Cx + Ee x + xe x = 2 − 2x + e x 2C − B − 2Cx + Ee x = 2 − 2x + e x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(8) Sergio Yansen Núñez 2C − B = 2 B=0. ∧. ∧. − 2C = −2. C=1. ∧. ∧. E=1. E=1. Luego, y p = x 2 + xe x Solución general: y = yh + yp y = a + be x + x 2 + xe x y0 = 0. . 0 = a+b. y ′ = be x + 2x + e x + xe x y ′ 0 = 1 a=1. ∧. 1 = b+1. b=0. Luego, y = x 2 + xe x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(9) Sergio Yansen Núñez 5.. Resuelva y” − 2y ′ = 2x − 6x 2 sujeta a y0 = 2 ; y ′ 0 = 3. Solución: Solución homogénea: y” − 2y ′ = 0 λ 2 − 2λ = 0 λλ − 2 = 0 λ=0. ∨. λ=2. y h = a + be 2x Solución particular: y” − 2y ′ = 2x − 6x 2 D 2 − 2Dy = 2x − 6x 2 DD − 2y = 2x − 6x 2 DD − 2y = 2x − 6x 2. D3. /. D 4 D − 2y = 0 λ 4 λ − 2 = 0 λ = 0 (multiplicidad 4). ∨. λ=2. y = A + Bx + Cx 2 + Dx 3 + Ee 2x como y h = a + be 2x entonces la forma de y p es: y p = Bx + Cx 2 + Dx 3 Derivando y p se obtiene: y ′p = B + 2Cx + 3Dx 2 y” p = 2C + 6Dx Reemplazando y p en y” − 2y ′ = 2x − 6x 2 se obtiene: 2C + 6Dx − 2B + 2Cx + 3Dx 2 = 2x − 6x 2. /⋅ 1 2. C + 3Dx − B + 2Cx + 3Dx 2 = x − 3x 2. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(10) Sergio Yansen Núñez C − B + x3D − 2C − 3Dx 2 = x − 3x 2 C−B = 0 B=1. ∧ ∧. 3D − 2C = 1 C=1. ∧. ∧. − 3D = −3. D=1. Luego, y p = x + x 2 + x 3 Solución general: y = yh + yp y = a + be 2x + x + x 2 + x 3 y0 = 2. . 2 = a+b. y ′ = 2be 2x + 1 + 2x + 3x 2 y ′ 0 = 3 a=1. ,. 3 = 2b + 1. b=1. Luego, y = 1 + e 2x + x + x 2 + x 3. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(11) Sergio Yansen Núñez 6.. Resuelva y” − 3y ′ + 2y = 2e x − 2xe x sujeta a y0 = 2 ; y ′ 0 = 3. Solución: Solución homogénea: y” − 3y ′ + 2y = 0 λ 2 − 3λ + 2 = 0 λ − 1λ − 2 = 0 λ=1. ∨. λ=2. y h = ae x + be 2x Solución particular: y” − 3y ′ + 2y = 2e x − 2xe x D 2 − 3D + 2y = 2e x − 2xe x D − 1D − 2y = 2e x − 2xe x D − 1D − 2y = 2e x − 2xe x. /. D − 1 2. D − 1 3 D − 2y = 0 λ − 1 3 λ − 2 = 0 λ = 1 (multiplicidad 3). ∨. λ=2. y = Ae x + Bxe x + Cx 2 e x + De 2x como y h = ae x + be 2x entonces la forma de y p es: y p = Bxe x + Cx 2 e x Derivando y p se obtiene: y ′p = Be x + xe x + C2xe x + x 2 e x y” p = B2e x + xe x + C2e x + 4xe x + x 2 e x Reemplazando y p en y” − 3y ′ + 2y = 2e x − 2xe x se obtiene: B2e x + xe x + C2e x + 4xe x + x 2 e x − 3Be x + xe x + C2xe x + x 2 e x + 2Bxe x + Cx 2 e x = 2e x − 2xe x e x −B + 2C − 2Cxe x = 2e x − 2xe x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(12) Sergio Yansen Núñez −B + 2C = 2. ∧. B=0. C=1. ∧. − 2C = −2. Luego, y p = x 2 e x Solución general: y = yh + yp y = ae x + be 2x + x 2 e x y0 = 2. . 2 = a+b. y ′ = ae x + 2be 2x + 2xe x + x 2 e x y ′ 0 = 3. . 3 = a + 2b. Resolviendo el sistema de ecuaciones: a+b = 2 a + 2b = 3 a=1. ,. , se obtiene b=1. Luego, y = e x + e 2x + x 2 e x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(13) Sergio Yansen Núñez 7.. Resuelva y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 2e x sujeta a y0 = 0 ; y ′ 0 = 1 ; y ′′ 0 = 2. Solución: Solución homogénea: y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 0 λ3 − λ2 + λ − 1 = 0 λ − 1λ 2 + 1 = 0 λ=1. ∨. λ = ±i. y h = ae x + b cosx + c sinx Solución particular: y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 2e x D 3 − D 2 + D − 1y = 2e x D − 1D 2 + 1y = 2e x D − 1D 2 + 1y = 2e x. /. D−1. ∨. λ = ±i. D − 1 2 D 2 + 1y = 0 λ − 1 2 λ 2 + 1 = 0 λ = 1 (multiplicidad 2). y = Ae x + Bxe x + C cosx + D sinx como y h = ae x + b cosx + c sinx entonces la forma de y p es: y p = Bxe x Derivando y p se obtiene: y ′p = Be x + xe x y ′′ = B2e x + xe x x x y ′′′ p = B3e + xe . Reemplazando y p en y ′′′ − y ′′ + y ′ − y = 2e x se obtiene:. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(14) Sergio Yansen Núñez B3e x + xe x − B2e x + xe x + Be x + xe x − Bxe x = 2e x 2Be x = 2e x B=1 Luego, y p = xe x Solución general: y = yh + yp y = ae x + b cosx + c sinx + xe x y0 = 0. . 0 = a+b. y ′ = ae x − b sin x + c cos x + e x + xe x y ′ 0 = 1. . 1 = a+c+1. . a+c = 0. . a−b = 0. y ′′ = ae x − b cos x − c sin x + 2e x + xe x y ′′ 0 = 2. . 2 = a−b+2. Resolviendo el sistema de ecuaciones: a+b = 0 a+c = 0. , se obtiene. a−b = 0 a=0. ,. b=0. ,. c=0. Luego, y = xe x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(15) Sergio Yansen Núñez 8.. Resuelva y ′′′ + y ′ = 1 sujeta a y0 = 1 ; y ′ 0 = 2 ; y ′′ 0 = −1. Solución: Solución homogénea: y ′′′ + y ′ = 0 λ3 + λ = 0 λλ 2 + 1 = 0 λ=0. ∨. λ = ±i. y h = a + b cosx + c sinx Solución particular: y ′′′ + y ′ = 1 D 3 + Dy = 1 DD 2 + 1y = 1 DD 2 + 1y = 1. /. D. D 2 D 2 + 1y = 0 λ 2 λ 2 + 1 = 0 λ = 0 (multiplicidad 2). ∨. λ = ±i. y = A + Bx + C cosx + D sinx como y h = a + b cosx + c sinx entonces la forma de y p es: y p = Bx Derivando y p se obtiene: y ′p = B y ′′ = 0 y ′′′ p = 0 Reemplazando y p en y ′′′ + y ′ = 1 se obtiene:. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(16) Sergio Yansen Núñez B=1 Luego, y p = x Solución general: y = yh + yp y = a + b cosx + c sinx + x y0 = 1. . 1 = a+b. y ′ = −b sinx + c cosx + 1 y ′ 0 = 2. . 2 = c+1. . c=1. y ′′ = −b cosx − c sinx y ′′ 0 = −1 a=0. ,. b=1. − 1 = −b ,. . b=1. c=1. Luego, y = cosx + sinx + x. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(17) Sergio Yansen Núñez 9.. Resuelva y ′′′ − y ′′ = −2 sujeta a y0 = 3 ; y ′ 0 = 1 ; y ′′ 0 = 3. Solución: Solución homogénea: y ′′′ − y ′′ = 0 λ3 − λ2 = 0 λ 2 λ − 1 = 0 λ = 0 (multiplicidad 2). ∨. λ=1. y h = a + bx + ce x Solución particular: y ′′′ − y ′′ = −2 D 3 − D 2 y = −2 D 2 D − 1y = −2 D 2 D − 1y = −2. /. D. D 3 D − 1y = 0 λ 3 λ − 1 = 0 λ = 0 (multiplicidad 3). ∨. λ=1. y = A + Bx + Cx 2 + De x como y h = a + bx + ce x entonces la forma de y p es: y p = Cx 2 Derivando y p se obtiene: y ′p = 2Cx y ′′ = 2C y ′′′ p = 0 Reemplazando y p en y ′′′ − y ′′ = −2 se obtiene:. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(18) Sergio Yansen Núñez −2C = −2. . C=1. Luego, y p = x 2 Solución general: y = yh + yp y = a + bx + ce x + x 2 y0 = 3. . 3 = a+c. y ′ = b + ce x + 2x y ′ 0 = 1. . 1 = b+c. . 3 = c+2. y ′′ = ce x + 2 y ′′ 0 = 3 a=2. ,. b=0. ,. . c=1. c=1. Luego, y = 2 + e x + x 2. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(19) Sergio Yansen Núñez 10.. Resuelva y 4 − y = 4e x − 4 cosx sujeta a y0 = 1 ; y ′ 0 = 2 ; y ′′ 0 = 5 ; y ′′′ 0 = 4. Solución: Solución homogénea: y 4 − y = 0 λ4 − 1 = 0 λ − 1λ + 1λ 2 + 1 = 0 λ=1. ∨. λ = −1. ∨. λ = ±i. y h = ae x + be −x + c cosx + d sinx Solución particular: y 4 − y = 4e x − 4 cosx D 4 − 1y = 4e x − 4 cosx D − 1D + 1D 2 + 1y = 4e x − 4 cosx D − 1D + 1D 2 + 1y = 4e x − 4 cosx. /. D − 1D 2 + 1. 2. D − 1 2 D + 1D 2 + 1 y = 0 2 λ − 1 2 λ + 1λ 2 + 1 = 0. λ = 1 (multiplicidad 2). ∨. λ = −1. ∨. λ = ±i (multiplicidad 2). y = Ae x + Bxe x + Ce −x + D cosx + E sinx + Fx cosx + Gx sinx como y h = ae x + be −x + c cosx + d sinx entonces la forma de y p es: y p = Bxe x + Fx cosx + Gx sinx Derivando y p se obtiene: y ′p = Be x + xe x + Fcosx − x sinx + Gsinx + x cosx y ′′ = B2e x + xe x + F−2 sinx − x cosx + G2 cosx − x sinx x x y ′′′ p = B3e + xe + F−3 cosx + x sinx + G−3 sinx − x cosx x x y 4 p = B4e + xe + F4 sinx + x cosx + G−4 cosx + x sinx. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
(20) Sergio Yansen Núñez Reemplazando y p en y 4 − y = 4e x − 4 cosx se obtiene: B4e x + xe x + F4 sinx + x cosx + G−4 cosx + x sinx − Bxe x + Fx cosx + Gx sinx = 4e x − 4 cosx 4Be x + 4F sinx − 4G cosx = 4e x − 4 cosx 4B = 4. ∧. B=1. 4F = 0. ∧. F=0. ∧ ∧. − 4G = −4 G=1. Luego, y p = xe x + x sinx Solución general: y = yh + yp y = ae x + be −x + c cosx + d sinx + xe x + x sinx y0 = 1. . 1 = a+b+c. y ′ = ae x − be −x − c sinx + d cosx + e x + xe x + sinx + x cosx y ′ 0 = 2. . 2 = a−b+d+1. . a−b+d = 1. y ′′ = ae x + be −x − c cosx − d sinx + 2e x + xe x + 2 cosx − x sinx y ′′ 0 = 5. . 5 = a+b−c+2+2. . a+b−c = 1. y ′′′ = ae x − be −x + c sinx − d cosx + 3e x + xe x − 3 sinx − x cosx y ′′′ 0 = 4. . 4 = a−b−d+3. . a−b−d = 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones: a+b+c = 1 a−b+d = 1 a+b−c = 1. , se obtiene:. a−b−d = 1 a=1. ,b = 0. ,c = 0. ,d = 0. Luego, y = e x + xe x + x sinx. EDO lineales no homogéneas con coeficientes constantes (Uso de anuladores).
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