Aplicaciones EDO de segundo orden

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(1)Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez 1. a) Un cuerpo con masa m = 1 kilógramo kg se sujeta al extremo de un resorte que está 2 estirando 2 metros m por medio de una fuerza de 100 newtons N. En el instante t = 0 el cuerpo se pone en movimiento, desplazándose hacia la derecha en 0.5m y moviéndose a la izquierda a 10 m s . Determine la función posición del cuerpo. Solución: Sea xt la posición del cuerpo en un tiempo t ≥ 0. 100 = kΔl. ⇒. 100 = k ⋅ 2. ⇒. k = 50. m= 1 2 mx ′′ + kx = 0 La EDO diferencial que describe al sistema es: 1 x ′′ + 50x = 0 , sujeta a x0 = 1 2 2. , x ′ 0 = −10. x ′′ + 100x = 0 λ 2 + 100 = 0. ⇒. λ = ±10i. x = a cos10t + b sin10t x0 = 1 2. 1 =a 2. ⇒. x ′ = −10a sin10t + 10b cos10t x ′ 0 = −10. ⇒. − 10 = 10b. Luego, x = 1 cos10t − sin10t 2. Sergio Yansen Núñez. ⇒. b = −1.

(2) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez b) La masa y el resorte de a), ahora se sujetan también a un amortiguador que proporciona 6N de resistencia por cada metro por segundo de velocidad. La masa es puesta en movimiento con la misma posición inicial x0 = 0.5m y a la misma velocidad inicial x ′ 0 = −10 m s . Determine la función posición del cuerpo. Solución: Sea xt la posición del cuerpo en un tiempo t ≥ 0. m= 1 2. ,. k = 50. α=6. ,. mx ′′ + αx ′ + kx = 0 La EDO diferencial que describe al sistema es: 1 x ′′ + 6x ′ + 50x = 0 , sujeta a x0 = 1 2 2. , x ′ 0 = −10. x ′′ + 12x ′ + 100x = 0 λ 2 + 12λ + 100 = 0. ⇒. λ = −6 ± 8i. x = ae −6t cos8t + be −6t sin8t x0 = 1 2. 1 =a 2. ⇒. x ′ = a−6e −6t cos8t − 8e −6t sin8t + b−6e −6t sin8t + 8e −6t cos8t x ′ 0 = −10. ⇒. − 10 = −6 ⋅ 1 + 8b 2. − 10 = −6a + 8b ⇒. Luego, x = 1 e −6t cos8t − 7 e −6t sin8t 8 2. Sergio Yansen Núñez. b = −7 8.

(3) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez 2. La constante de un resorte de acero de 2 pie se mide colgando una masa que pesa 16 lb del resorte y observando que éste se estira 1 pie. Ahora se cuelga una masa que pesa 4 1 pie y se deja libre con una velocidad dirigida hacia 8 lb. La masa se jala hacia abajo 4 pie abajo de 1 s . Determine el desplazamiento xt para todo t ≥ 0. Solución: Sea xt la posición del cuerpo en un tiempo t ≥ 0. mg = kΔl mg = 8. 16 = k ⋅ 1 4. ⇒ ⇒. ⇒. m ⋅ 32 = 8. ⇒. k = 64 m= 1 4. mx ′′ + kx = 0 La EDO diferencial que describe al sistema es: 1 x ′′ + 64x = 0 , sujeta a x0 = 1 4 4. , x ′ 0 = 1. x ′′ + 256x = 0 λ 2 + 256 = 0. ⇒. λ = ±16i. x = a cos16t + b sin16t x0 = 1 4. ⇒. 1 =a 4. x ′ = −16a sin16t + 16b cos16t x ′ 0 = 1. ⇒. 1 = 16b. ⇒. Luego, x = 1 cos16t + 1 sin16t 16 4. Sergio Yansen Núñez. b= 1 16.

(4) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez 3. N , éste queda en reposo Al sujetar una masa de 2kg a un resorte cuya constante es 32 m en la posición de equilibrio. A partir de t = 0, una fuerza igual a ft = 68e −2t cos4t se aplica al sistema. Determine la ecuación del movimiento en ausencia de amortiguación. Solución: Sea xt la posición del cuerpo en un tiempo t ≥ 0. m=2. k = 32. ,. mx ′′ + kx = ft La EDO diferencial que describe al sistema es: 2x ′′ + 32x = 68e −2t cos4t , sujeta a x0 = 0 , x ′ 0 = 0 x ′′ + 16x = 34e −2t cos4t Solución homogénea: x ′′ + 16x = 0 λ 2 + 16 = 0. ⇒. λ = ±4i. x H = a cos4t + b sin4t Solución particular: x ′′ + 16x = 34e −2t cos4t D 2 + 16x = 34e −2t cos4t. /. D + 2 2 + 16. D 2 + 16 D + 2 2 + 16 x = 0 λ 2 + 16 λ + 2 2 + 16 λ = ±4i. ∨. =0. λ = −2 ± 4i. x = A cos4t + B sin4t + Ce −2t cos4t + De −2t sin4t La forma de una solución particular es: x p = Ce −2t cos4t + De −2t sin4t. Sergio Yansen Núñez.

(5) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez x ′p = e −2t −2C cos4t − 2D sin4t − 4C sin4t + 4D cos4t x ′′p = e −2t −12C cos4t + 16D sin4t − 12C sin4t − 16D cos4t Reemplazando en x ′′p + 16x p = 34e −2t cos4t se obtiene: e −2t −12C cos4t + 16D sin4t − 12C sin4t − 16D cos4t + 16Ce −2t cos4t + De −2t sin4t = 34e −2t cos4t 4C − 16De −2t cos4t + 16C + 4De −2t sin4t = 34e −2t cos4t 4C − 16D = 34 16C + 4D = 0 resolviendo en sistema se obtiene: C = 1 2. ,. D = −2. Luego, x p = 1 e −2t cos4t − 2e −2t sin4t 2 Solución general: x = xH + xp x = a cos4t + b sin4t + 1 e −2t cos4t − 2e −2t sin4t 2 x0 = 0. ⇒. 0 = a+ 1 2. ⇒. a = −1 2. x ′ = −4a sin4t + b cos4t + e −2t −9 cos4t + 2 sin4t x ′ 0 = 0. ⇒. 0 = 4b − 9. ⇒. b= 9 4. Luego, x = 1 cos4t + 9 sin4t + 1 e −2t cos4t − 2e −2t sin4t 4 2 2. Sergio Yansen Núñez.

(6) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez 4. Un circuito en serie consta de un inductor de 0.25H, una resistencia de 40Ω, un capacitor de 4 ⋅ 10 −4 F y una fuerza electromotriz dada Et = cos100t V. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, determine la carga en el capacitor y la corriente eléctrica del circuito para cualquier tiempo t > 0. Solución: Sea qt la carga en el capacitor en un tiempo t > 0 Lq ′′ + Rq ′ +. q = Et C. L = 0.25. ,. R = 40. 0.25q ′′ + 40q ′ +. ,. C = 4 ⋅ 10 −4. q = cos100t 4 ⋅ 10 −4. q ′′ + 160q ′ + 10000q = 4 cos100t Solución homogénea: q ′′ + 160q ′ + 10000q = 0 λ 2 + 160λ + 10000 = 0. ⇒. λ = −80 ± 60i. q H = ae −80t cos60t + be −80t sin60t Solución particular: q ′′ + 160q ′ + 10000q = 4 cos100t D 2 + 160D + 10000q = 4 cos100t. /. D 2 + 10000. D 2 + 10000D 2 + 160D + 10000q = 0 λ 2 + 10000λ 2 + 160λ + 10000 = 0 λ = ±100i. ∨. λ = −80 ± 60i. q = A cos100t + B sin100t + Ce −80t cos60t + De −80t sin60t La forma de una solución particular es: q p = A cos100t + B sin100t. Sergio Yansen Núñez.

(7) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez q ′p = −100A sin100t + 100B cos100t q ′′p = −10000A cos100t − 10000B sin100t Reemplazando en q ′′p + 160q ′p + 10000q p = 4 cos100t se obtiene: −10000A cos100t − 10000B sin100t − 16000A sin100t + 16000B cos100t + 10000A cos100t + 10000B sin100t 16000B cos100t − 16000A sin100t = 4 cos100t 16000B = 4 − 16000A = 0 Luego, q p =. ⇒. B= ⇒. 1 4000. A=0. 1 sin100t 4000. Solución general: q = qH + qp q = ae −80t cos60t + be −80t sin60t + q0 = 0. ⇒. q = be −80t sin60t +. 1 sin100t 4000. 0=a 1 sin100t 4000. q ′ = b−80e −80t sin60t + 60e −80t cos60t + 1 cos100t 40 q ′ 0 = 0. ⇒. 0 = 60b + 1 40. ⇒. b=−. 1 2400. Luego, la carga viene dada por: qt = −. 1 e −80t sin60t + 1 sin100t 4000 2400. La corriente eléctrica es it = q ′ t it = 1 e −80t sin60t − 1 e −80t cos60t + 1 cos100t 40 40 30. Sergio Yansen Núñez.

(8) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez 5. Un inductor de 4H, una resistencia de 20Ω, un capacitor de 0.008F y un generador con una fuerza electromotriz dada por Et = 500 Volts se conectan en serie. Si inicialmente la carga y la corriente son ambas cero, obtenga: a). La carga y la corriente para todo tiempo.. b). La carga y la corriente después de un tiempo largo.. Solución: a) Sea qt la carga en el capacitor en un tiempo t > 0 Lq ′′ + Rq ′ + L=4. ,. 4q ′′ + 20q ′ +. q = Et C R = 20. ,. C = 0.008. q = 500 0.008. q ′′ + 5q ′ + 125 q = 125 4 Solución homogénea: q ′′ + 5q ′ + 125 q = 0 4 λ 2 + 5λ + 125 = 0 4. ⇒. λ = − 5 ± 5i 2. 5t 5t − − q H = ae 2 cos5t + be 2 sin5t Solución particular: q ′′ + 5q ′ + 125 q = 125 4 D 2 + 5D + 125 q = 125 4. /. D D 2 + 5D + 125 q = 0 4. Sergio Yansen Núñez. D.

(9) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez λ λ 2 + 5λ + 125 4 λ=0. =0. λ = − 5 ± 5i 2. ∨. 5t 5t − − q = A + Be 2 cos5t + Ce 2 sin5t La forma de una solución particular es: qp = A q ′p = 0 q ′′p = 0 Reemplazando en q ′′p + 5q ′p + 125 q p = 125 se obtiene: 4 125 A = 125 4. ⇒. A=4. Luego, q p = 4 Solución general: q = qH + qp 5t 5t − − q = ae 2 cos5t + be 2 sin5t + 4 q0 = 0. ⇒. 0 = a+4. ⇒. a = −4. 5t 5t − − q = −4e 2 cos5t + be 2 sin5t + 4 5t 5t − − 5 2 q = −4 − e cos5t − 5e 2 sin5t 2 ′. +. 5t 5t − − b − 5 e 2 sin5t + 5e 2 cos5t 2 q ′ 0 = 0. ⇒. 0 = −4 ⋅ − 5 2. Sergio Yansen Núñez. + 5b. ⇒. b = −2.

(10) Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneas con coeficientes constantes Sergio Yansen Núñez Luego, la carga viene dada por: 5t 5t − − qt = −4e 2 cos5t − 2e 2 sin5t + 4 La corriente eléctrica es it = q ′ t 5t − it = 25e 2 sin5t b). lim qt = lim. t→+∞. t→+∞. 5t 5t − − −4e 2 cos5t − 2e 2 sin5t + 4. La carga tiende a ser 4 Coulomb 5t − lim tt = lim 25e 2 sin5t = 0. t→+∞. t→+∞. La corriente tiende a ser 0 ampere. Sergio Yansen Núñez. =4.

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