SECCIONES CÓNICAS
Una superficie cónica se obtiene al girar a una recta g (llamada generatriz), alrededor de otra recta e, llamada eje de giro, a la que corta en un punto V (vértice).
Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un plano con una superficie cónica.
Si el plano que corta a la superficie cónica es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia:
En el caso de que el plano oblicuo con el eje sea paralelo a una generatriz, la cónica que resulta se llama parábola:
Inclinando más el plano para que sea paralelo a dos generatrices, resulta una curva llamada hipérbola:
LUGAR GEOMÉTRICO
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
Como los puntos pertenecen al plano, el lugar geométrico será una línea. Para encontrar la ecuación de dicha línea, bastará con expresar matemáticamente la condición que se debe cumplir. Esto nos dará una relación entre las variables “x” e “y”. Cualquier punto (x,y) que cumpla dicha condición, pertenecerá al lugar geométrico.
Es decir, si aplicamos la propiedad que satisfacen todos los puntos de un lugar geométrico a un punto arbitrario P(x,y) de ese conjunto, obtendremos una ecuación que relaciona las coordenadas x e y.
Por ejemplo, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A=(0,4) es 2, sería:
4
22
2 28
16
4
2 28
12
0
2
y
y
x
y
y
x
y
x
EJEMPLOS:
Mediatriz de un segmento:
Para el segmento de extremos A y B, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos es una recta perpendicular al segmento por su punto medio. La condición matemática será:
Bisectriz de un ángulo:
Para dos rectas r y s, el ligar geométrico de los puntos que equidistan de ellas son dos rectas perpendiculares entre sí que son las bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas. La condición matemática será:
d(P,r) = d(P,s)
EJERCICIOS RESUELTOS:
1º.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A(1,2) y B(3,4). P=(x,y)lugar geométrico d(P,A) = d(P,B)
2
2
2
24
3
2
1
y
x
y
x
2
2
2
24
3
2
1
y
x
y
x
x
2
2
x
1
y
2
4
y
4
x
2
6
x
9
y
2
8
y
16
0
20
4
4
x
y
( mediatriz del segmento).2º.- Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas r: x+y-2=0 y s: x-y+4=0.
P=(x,y) d(P,r) = d(P,s)
2 2 2 2
)
1
(
1
4
1
1
2
y
x
y
x
- signo positivo: y=3. - Signo negativo x=-1.
3º.- Halla el lugar geométrico de los puntos cuya suma de cuadrados de sus distancias a dos puntos dados
A
1
(
a
,
0
)
yA
2
(
a
,
0
)
sea una cantidad constante, igual a 24
a
.P=(x,y)
22 2 1 2
4
,
,
A
d
P
A
a
P
d
x
a
2
y
2
x
a
2
y
2
4
a
2 x
2
y
2
a
2( circunferencia de centro (0,0) y radio a).
4º.- Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de sus distancias a dos puntos dados
A
1
(
a
,
0
)
yA
2
(
a
,
0
)
sea una cantidad constante, igual a2
4
a
.P=(x,y)
2 1 2 2 2 2 2 2 1 24
,
,
4
,
,
a
A
P
d
A
P
d
a
A
P
d
A
P
d
en coordenadas:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24
4
a
y
a
x
y
a
x
a
y
a
x
y
a
x
operando: x=a, x=-a.
LA ELIPSE
Elementos de la elipse:
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
P
F
d
P
F
k
d
,
,
'
Se llaman radiovectores de un punto P de la elipse a los segmentos PF = d y PF’ = d’, y su suma se designa por 2a; d + d’ = 2a.
El punto medio O del segmento FF’ se llama
centro de la elipse.
La recta FF’ se llama eje focal y la mediatriz del segmento FF’ es el eje secundario. Los puntos A, A’, B, B’ en los que la curva corta a los ejes se llaman vértices.
El segmento AA’ se llama eje mayor de la elipse y se cumple que AA’ = 2a. El segmento BB’ se llama eje menor de la elipse y su longitud se representa por 2b. Se cumple que BF = BF’ = a.
Excentricidad de una elipse es el cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor:
a
c
e
(0 < e < 1)
Situando la elipse en unos ejes cartesianos, con el eje focal sobre el eje y su centro sobre el origen de coordenadas, se cumple que:
F
F
c
d
,
'
2
d
A
,
A
'
2
a
d
B
,
B
'
2
b
Propiedades de la elipse:
- La suma de las distancias desde un punto de la elipse a los focos es 2·a:
A
F
d
A
F
d
A
A
a
d
,
,
'
,
'
2
Como A es un punto de la elipse:
d
A
,
F
d
A
,
F
'
k
. Por tanto: k=2·a. - La distancia de los vértices B y B’ a los focos es a:d
B
,
F
d
B
,
F
'
a
- Los segmentos a, b y c forman un triángulo rectángulo y se verifica 2 2 2c
b
a
(con a > c).Ecuación reducida de la elipse:
Tomamos una elipse cuyo centro coincida con el origen de coordenadas. Los focos se sitúan en el eje de abscisas; sus coordenadas son F(c,0); F’(-c,0).
Los puntos de corte de la elipse con los ejes son: A(a,0); A’(-a,0); B(0,b); B’(0,-b).
Si P(x,y) es un punto de la elipse, por definición, PF’ + PF = 2a. Analíticamente:
x
c
2
y
2
x
c
2
y
2
2
a
Operando con esta expresión, se obtiene:
1
2 2 2 2
LA HIPÉRBOLA
Elementos de la hipérbola:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
La distancia entre los focos F y F’ (distancia focal) cumple: d(F,F’) = 2c.
El punto medio O del segmento FF’ se llama centro de la hipérbola.
La recta FF’ se llama eje focal.
Los puntos A y A’, en los que la hipérbola corta al eje focal se llaman vértices.
El segmento AA’, cumple que AA’ = 2a.
Interesa construir en la hipérbola un segmento de longitud b que sea el cateto de un triángulo rectángulo cuyos otros lados sean a y c. Observa la construcción de este segmento b en la figura. Si tomamos sobre el eje no transverso las distancias OB = OB’ = b, se obtiene el segmento BB’ = 2b, que se llama también eje no transverso o eje imaginario.
Excentricidad de una hipérbola es el cociente:
a
c
e
(e > 1)
Ecuación reducida de la hipérbola:
Vamos a obtener la ecuación de la hipérbola para el caso en que el centro de la hipérbola coincida con el origen de coordenadas. Los focos se sitúan en el eje de abscisas; sus coordenadas son F(c,0); F’(-c,0). (El eje de abscisas será, por tanto, el eje focal y el eje de ordenadas, el eje no transverso).
x
c
2
y
2
x
c
2
y
2
2
a
Operando con esta expresión, se obtiene:
1
2 2 2 2
b
y
a
x
LA PARÁBOLA
Elementos de la parábola:
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Designaremos el foco por F y la recta directriz por d.
La perpendicular desde el foco a la directriz se llama eje de la parábola, y la designaremos por e. El punto V, de intersección de la curva con el eje, se llama vértice de la parábola.
La distancia FD desde el foco a la directriz se llama
parámetro de la parábola y se designa por p.
Ecuaciones de la parábola:
Cuando el eje de la parábola coincide con el eje de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas:
En este caso, las coordenadas del foco son
0
,
2
p
F
y la directriz es la recta2
p
x
.Si P(x,y) es un punto de la parábola, por definición FP = HP. Analíticamente:
2
2
2 2
p
x
y
p
x
Operando con esta expresión, se obtiene:
Cuando el eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas:
En este caso, las coordenadas del foco son
2
,
0
p
F
y la directriz es la recta2
p
y
.Si P(x,y) es un punto de la parábola, por definición PF = PH. Analíticamente:
2
2
2
2
p
y
p
y
x
Operando con esta expresión, se obtiene:
py
x
2
2
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la circunferencia:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia, constante, de los puntos de la circunferencia al centro es el
radio de la circunferencia.
Si C=(a,b) es el centro de una circunferencia de radio r y P(x,y) un punto cualquiera de la misma, se tiene:
x
a
2
y
b
2
r
Elevando al cuadrado se tiene:
2
2 2r
b
y
a
x
Desarrollando la expresión anterior resulta:
0
2
2
2 2 22
2
r
b
a
by
ax
y
x
Si llamamos: D=-2a, E=-2b y 2 2 2
r
b
a
F
, queda la ecuación:0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
Se trata de una ecuación de segundo grado en x e y, en la que los coeficientes de 2
x
ey
2 son iguales yEn el caso particular de que el centro coincida con el origen de coordenadas, será a=0, b=0, y la relación anterior se convierte en:
2 2 2
r
y
x
que es la ecuación reducida de la circunferencia.
Dada una ecuación de segundo grado del tipo:
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
, ¿representa una circunferencia?Si fuera una circunferencia, su centro y su radio serían:
2
,
2
E
D
C
y4
4
2 2
F
E
D
r
Por tanto, ha de cumplirse que:
0
4
2
2
F
E
D
EJERCICIO RESUELTO:
1.- Dada la ecuación de la circunferencia
x
2
y
2
2
x
6
y
15
0
, determina su centro y su radio. -2a=D; -2b=E -2a=-2; -2b=-6 a=1, b=3 C(1,3)Radio: 2 2 2
r
b
a
D
15
1
2
3
2
r
2 r=5.Determinación de la circunferencia:
Dados tres puntos no alineados:
La ecuación de la circunferencia se puede determinar utilizando uno de los métodos siguientes:
Primer método: Como el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo es el punto de intersección de las mediatrices, basta hallar las ecuaciones de dos de estas mediatrices y resolver el sistema formado por ellas.
Segundo método: Sustituyendo x e y en la ecuación
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
por las coordenadas de los puntos dados se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve dicho sistema.Dados dos puntos A,B y una recta r que pasa por el centro de la circunferencia:
El centro de la circunferencia se obtiene como intersección de la recta r y la mediatriz del segmento AB.
El radio de la circunferencia se obtiene calculando la distancia del centro a uno de los puntos dados.
Dados el centro de la circunferencia y una recta tangente a ella:
El radio de dicha circunferencia será la distancia del centro a la recta dada.
EJERCICIO RESUELTO:
1.- Dada la ecuación de la circunferencia
x
2
y
2
2
x
6
y
15
0
, determina su centro y su radio. -2a = A; -2b = 3 C(1,3); Radio: 2 2 2r
b
a
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de dos circunferencias podemos tener: - Dos soluciones reales: entonces las circunferencias son secantes.
- Una solución real: en este caso las circunferencias son tangentes. - Ninguna solución real: entonces las circunferencias son exteriores.
Posiciones de recta y circunferencia:
Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y de la recta se obtiene una ecuación de segundo grado; esta ecuación puede tener:
- Dos soluciones reales: entonces la recta es secante a la circunferencia. - Una solución real: en este caso la recta es tangente a la circunferencia. - Ninguna solución real: entonces la recta es exterior a la circunferencia.
