M´
etodos Cuantitativos para Negocios
-An´
alisis de
decisiones-John F. Moreno T.
Universidad Externado de Colombia
Especializaci´on en Negocios Internacionales
Teor´ıa de la decisi´
on
Acciones y eventos
Todo problema de toma de decisiones involucra tres elementos:
Las posiblesaccionesque puede realizar el tomador de decisi´on (ai),
Los eventoso estados de la naturaleza, que representa la
situaci´on del mundo real a la cual se aplica la acci´on (θj).
Los resultados de seleccionar la acci´onay que ocurra el estado de la
naturaleza θ,los cuales se representan mediante unafunci´on de
pagosl(ai,θj).
Teor´ıa de la decisi´on Criterios de decisi´on Teor´ıa de la utilidad
Ejemplo
Considere la alternativa de invertir o no en un proyecto determinado.
¿Cu´ales son las acciones, los eventos y los posibles resultados?
Ejemplo
Considere la alternativa de invertir o no en un proyecto determinado.
¿Cu´ales son las acciones, los eventos y los posibles resultados?
Acciones a1: Invertir,a2: No invertir.
Ejemplo
Los posibles pagos (resultados):
l(a1,θ1)= Utilidad positiva- Ganancia Monetaria.
l(a1,θ2)= No utilidad - Posibles p´erdidas.
l(a2,θ1)= Arrepentimiento.
Tabla de decisiones
Los posibles resultados en una situaci´on particular se puede resumir en
unatabla de decisiones, en la cual cada fila corresponde a un evento y
cada columna a una acci´on.
Ejemplo
a1: Invertir a2: No invertir
θ1: Ganancias l(a1,θ1) l(a1,θ2)
θ2: No Ganancias l(a2,θ1) l(a2,θ2)
Nota
Las acciones incluidas en la tabla son solamente aquellas consideradas
Tabla de pagos
En general la funci´on de pagos se mide en t´erminos monetarios
(ganancias o costos), y se asume que el decisor desea seleccionar la
acci´on que lo acerque m´as a un determinado valor de esta funci´on.
De esta forma la tabla de decisiones se puede transforma en unatabla
de pagos, que refleja los resultados monetarios de cada acci´on y estados
de la naturaleza.
Nota
Ejemplo
Una compa˜n´ıa petrolera propietaria de un terreno en el que se cree hay petr´oleo, clasifica este terreno en t´erminos del n´umero de barriles que se espera obtener: 500.000 barriles, 200.000 barriles, 50.000 barriles o ninguno.
La compa˜n´ıa enfrenta el problema de decidir si realiza la perforaci´on, alquila incondicionalmente el terreno a un perforador independiente, o alquila condicionalmente el terreno por un valor que dependa de la cantidad de petr´oleo que se obtenga.
El costo de perforaci´on de un pozo productor es de 150.000 y el de perforar un pozo seco es de 100.000. El precio de venta de cada barril para los pozos productores es de 2. Bajo el acuerdo de un alquiler incondicional la compa˜n´ıa recibe 50.000 por el terreno, mientras que, bajo el acuerdo de alquiler
Las acciones de la compa˜n´ıa son:
a1= perforar.
a2= alquilar incondicionalmente .
a3= alquilar condicionalmente .
y los estados de la naturaleza son:
θ1= 500.000 barriles.
θ2= 200.000 barriles.
θ3= 50.000 barriles.
Las funciones de pago son:
l(a1,θ) =
(
2θ−150.000 siθ=θ1,θ2,θ3 −100.000 siθ=θ4
l(a2,θ) =
n
50.000 siθ=θ1,θ2,θ3,θ4
l(a3,θ) =
(
0.8θ si θ=θ1,θ2
La tabla de pagos es:
N◦de barriles Perforaci´on Alq.incond. Alq.condi
500.000 850.000 50.000 400.000
200.000 250.000 50.000 160.000
50.000 -50.000 50.000 0
Teor´ıa de la decisi´on Criterios de decisi´on Teor´ıa de la utilidad
Funci´on de pagos continua
Si el estado de la naturalezaθ es una variable aleatoria con distribuci´on
absolutamente continua, la funci´on de pagosl(a,θ)es continua para
cada posible acci´ona. En este caso es improcedente el uso de una tabla
de pagos.
Ejemplo
Un fabricante elabora cierta varilla de longitud constante y di´ametroθ,
con1<θ<2. El costo de producci´on de cada varilla es de10θ y su
valor de venta es 15. ¿Cu´al es la funci´on de pagos del fabricante?
l ai
Funci´on de pagos continua
Si el estado de la naturalezaθ es una variable aleatoria con distribuci´on
absolutamente continua, la funci´on de pagosl(a,θ)es continua para
cada posible acci´ona. En este caso es improcedente el uso de una tabla
de pagos.
Ejemplo
Un fabricante elabora cierta varilla de longitud constante y di´ametroθ,
con1<θ<2. El costo de producci´on de cada varilla es de10θ y su
valor de venta es 15. ¿Cu´al es la funci´on de pagos del fabricante?
l(ai,θ) =
(
15−10θ cuando elabora la varilla
Criterios de decisi´
on
Una vez se tiene la tabla de pagos (funci´on de pagos), examinamos los
criterios que el tomador de decisi´on puede utilizar para seleccionar la
acci´on ´optima.
Asumiremos que el decisor dispone den acciones: a1,a2, . . .any que se
Acciones dominadas
Cuando hay muchas posibles acciones, es conveniente reducir su n´umero
tanto como sea posible. Para esto, se descartan aquellas acciones que sean dominadas por otras.
Definici´on
Una acci´onadomina a la acci´ona0 si,
l(a,θi)≥l(a0,θi) i=1,2,3, . . .
cuando los pagos indican ganancias, y
l(a,θi)≤l(a0,θi) i=1,2,3, . . .
Ejemplo
Un agente esta considerando el invertir 20000 USD en:CDT, Acciones de
bajo riesgo, Acciones de alto riesgo. Puede tener: θ1:mercado fuerte,
θ2:mercado moderado,θ3:mercado d´ebil, y en cada caso las siguientes
rentabilidades:
CDT Acc. Bajo Acc. Alto
θ1 1200 4300 6600
θ2 1200 1200 1500
θ3 1200 -600 -200
Criterios M´ınimax y Maxim´ın
Elcriterio m´ınimaxpropone que el decisor encuentre el costo m´aximo
(la p´erdida m´axima) para cada una de sus acciones y que elija aquella
que tiene el menor costo m´aximo (la menor p´erdida m´axima).
El decisor escoge la acci´onak para la cual:
l(ak,θr) = min 1≤i≤n
max
1≤j≤ml(ai,θj)
Si en la situaci´on se es de ganancias, se utiliza elcriterio Maxim´ın, en el
cual se selecciona la acci´on que genera la m´axima ganancia de entre las
menores posibles.
El decisor escoge la acci´onak para la cual:
l(ak,θr) =max 1≤i≤n
min
1≤j≤ml(ai,θj)
Ejemplo
Un fabricante tiene 4 procesos de producci´on alternativos con los
siguientes beneficios estimados, en miles de d´olares, para tres posibles
niveles de demanda.
````
````
````
Demanda
Proceso
a1 a2 a3 a4
θ1=Baja 100 150 250 250
θ2=Media 350 400 400 400
θ3=Alta 900 700 600 550
1. Determinamos la ganancia m´ınima por cada acci´on.
````
````
````
Demanda
Proceso
a1 a2 a3 a4
θ1=Baja 100 150 250 250
θ2=Media 350 400 400 400
θ3=Alta 900 700 600 550
2. De las acciones anteriores seleccionamos aquella que produce la
Ejemplo (Vendedor de peri´odicos)
Un vendedor de peri´odicos debe determinar todos los d´ıas cuantos
peri´odicos pedir. El vendedor paga cada peri´odico a 20 y los vende a 25.
Los peri´odicos no vendidos al final del d´ıa no tiene valor. El vendedor
sabe por experiencia que diariamente vende entre 6 y 10 peri´odicos, con
igual probabilidad.
Para la funci´on de pagos:
Pedir: ai=i, coni=6,7,8,9,10.
Demanda: θj=j, con j=6,7,8,9,10.
l(ai,θj) =
(
25i−20i=5i sii≤j(Se pide menos de lo demandado).
25j−20i sii≥j(Se pide m´as de lo demandado).
XX XX XX XXX X Demanda Pedidos
6 7 8 9 10
6 30 10 -10 -30 -50
7 30 35 15 -5 -25
8 30 35 40 20 0
9 30 35 40 45 25
1. Determinamos la ganancia m´ınima por cada acci´on.
XX XX
XX
XXX
X
Demanda
Pedidos
6 7 8 9 10
6 30 10 -10 -30 -50
7 30 35 15 -5 -25
8 30 35 40 20 0
9 30 35 40 45 25
10 30 35 40 45 50
2. De las acciones anteriores se selecciona al que genera la m´axima
Nota
El criterio Max´ımin es muy conservador.
XX XX
XX
XXX
X
Eventos
Acciones
a1 a2
θ1 0 -4
Criterio de Bayes (Valor esperado)
Elcriterio de Bayesesta basado en la consideraci´on del valor esperado
de la funci´on de pagos para cada acci´on, calculado a partir de la
distribuci´on de probabilidad asignada a los eventos.
Para cada acci´on se eval´ua el valor esperado respecto a la
distribuci´on.
l(ai) =Eθ[l(ai,θ)] ; i=1,2, . . . ,n.
Ejemplo
Un agente agente puede invertir hasta en 2 proyectos considerando la
siguiente informaci´on:
Proyecto Sector Inversi´on
P1 Tur´ıstico 12
P2 Tur´ıstico 15
P3 Industrial 18
Las rentabilidades anuales dependen del estado de la econom´ıa como sigue:
Est.Econ. P1 P2 P3
Bueno 18 18 32
Regular 12 16 24
Ejemplo
El proyecto 3 se complementa con 1 y 2, raz´on por la cual si se invierte
en 3 con uno de los otros dos el retorno anual es el 120% del dado en la tabla anterior.
Los proyectos 1 y 2 compiten y si se invierte en ellos el retorno anual es solamente el 70% del mostrado en la tabla anterior.
La experiencia del agente le indica que las probabilidades de que en un
a˜no cualquiera el estado de la econom´ıa sea bueno , regular o malo son
respectivamente: 0.6, 0.3 y 0.1.
¿En que proyecto o proyectos se debe invertir utilizando el criterio
Ejemplo
Se elabora una varilla de longitud constante y diametroθ con0<θ<1.
El costo de producci´on es10θ y su precio de venta es 10.
Se sabe que la funci´on de densidad deθ es:
f(θ) =1
2(2θ+1) 0<θ<1
Criterio de m´
axima verosimilitud
En elcriterio de m´axima verosimilitudse centra el inter´es en el evento
de mayor probabilidad excluyendo los dem´as, y sobre este evento se
selecciona la acci´on ´optima.
Siθr ; (1≤r≤m)es el evento de mayor probabilidad, entonces se
selecciona la acci´onak para la cual:
Ejemplo
Una compa˜n´ıa tiene una maquina que llena frascos con aceite. En un lote
de producci´on, seaθ la proporci´on de frascos que la maquina llena mal.
Un lote de producci´on esta compuesto por 5000 frascos y el costo de
llenar mal un frasco es de 4. La compa˜n´ıa tiene la opci´on de contratar un
experto que revise la maquina, a un costo de 300 mas 2 por cada frasco
mal envasado. De experiencia anteriores, la compa˜n´ıa a encontrado que
los posibles valores deθ son: 0.01, 0.03, 0.05 o 0.07, con probabilidades
0.1, 0.2, 0.4 y 0.3.
Las acciones disponibles para la compa˜n´ıa son:
a1: contratar un experto para arreglar la maquina.
a2: no contratar experto alguno.
La funci´on de pagos puede expresarse como:
l(ai,θ) =
(
300+10000θ i=1
20000θ i=2
θ Probabilidad a1 a2
0.01 0.1 400 200
0.03 0.2 600 600
Arrepentimiento o costos de oportunidad
Elcosto de oportunidadse define como la diferencia entre el pago de la
mejor acci´on y la acci´on escogida.
Ganancias: ganancia a la cual se renuncia.
Costos: Cantidad que se deja de ahorrar.
1. Determinar los mejores resultados por evento (pago ´optimo por fila).
l∗(ak,θr)
2. (Ganancias)
lp(ai,θr) =l∗(ak,θr)−l(ai,θr) ; i=1,2, ...,n
Ejemplo
Un fabricante tiene 3 procesos de producci´on alternativos con los
siguientes beneficios estimados, en miles de d´olares, para tres posibles
niveles de demanda.
````
````
````
Demanda
Proceso
a1 a2 a3
θ1=Baja 30 -20 -120
θ2=Media 350 400 350
1 Determinamos el ´optimo para cada estado. ```` ```` ```` Demanda Proceso
a1 a2 a3
θ1=Baja 30 -20 -120
θ2=Media 350 400 350
θ3=Alta 500 640 700
2 Restamos de cada ´optimo las ganancias (Tabla de arrepentimientos).
````
````
````
Demanda
Proceso
a1 a2 a3
θ1=Baja 0 50 150
θ2=Media 50 0 50
Sobre la tabla de arrepentimientos aplicamos otros criterios de decisi´on.
(Minimax:)
````
````
````
Demanda
Proceso
a1 a2 a3
θ1=Baja 0 50 150
θ2=Media 50 0 50
Si se tiene las probabilidades de los eventos podemos aplicar el criterio
Bayesiano, siendo el ´optimo:
l∗p(ai) = min 1≤i≤nEθ[|l
∗(
ak,θ)−l(ai,θ)|]
(Bayesiano:) ```` ```` ```` Demanda Proceso
Probabilidad a1 a2 a3
θ1=Baja 0.10 0 50 150
θ2=Media 0.60 50 0 50
θ3=Alta 0.30 200 60 0
Funci´
on de utilidad
Una funci´onU(·)que representa las preferencias de un tomador de
decisi´on en el sentido siguiente:
xy ⇒U(x)≥U(y)
y que satisface:
U(·)es creciente.
U0(0) =∞yU0(∞) =0, asumiendo que su dominio es riqueza.
Averso Neutral Amante
La forma de la funci´on de utilidad permite determinar la posici´on frente
Ejemplo
Un agente tiene un riqueza de 4000 unidades, y esta enfrentado a dos situaciones en la cuales puede:
X1: 4000
8000
4000 1/2
1/2 X2: 4000
8000
6000
4000 1/4
1/2
Ejemplo
Consideremos ahora que la funci´on de utilidad del agente esU(w) =√w,
entonces:
E[X1] = 1 2
√
8000+1 2
√
4000=76,34
E[X2] = 1 4
√
8000+1 2
√
6000+1 4
√
4000=76,90
En t´erminos de la funci´on de utilidad este agente, averso al riesgo,
Utilidad esperada
Si en una situaci´on especifica se conocen los posibles pagos
X= (x1,x2, ...,xn)y las probabilidades p1,p2, ...,pn, se define lafunci´on
de utilidad esperadapara esta situaci´on como:
E[U(X)] = n
∑
i=1piU(xi)
En el caso en el cualX es continua con densidad fX(x), la utilidad
esperada se define como:
E[U(X)] =
Z
Ejemplo
Un agente inversionista con funci´on de utilidadU(x) =√wdebe
seleccionar entre dos proyectos cuyas rentabilidades son tales que:
fX1(x) = 1
100 0≤x≤100
fX2(x) = 2
1502(150−x) 0≤x≤150
Ejemplo
E[U(X1)] =E[ √
X1] =
Z 100
0 1 100x
1/2dx=6.67
E[U(X2)] =E[ √
X2] = 2 1502
Z 150
0
(150−x)x1/2dx=6.53
Construcci´
on de la funci´
on de utilidad
Consideremos una situaci´on donde el resultado menos favorable esay el
m´as favorable es b, y asumamos queU(a) =0yU(b) =1.
Se denota comoX1/2a un valor tal queU(x1/2) =12. Este valor se
determina pidiendo al agente un valor dex1/2 que lo haga indiferente
entre:
L1: 1 x1/2 L2:
b
a
1/2
1/2
Teniendox1/2, se procede de forma an´aloga para definir un valorx1/4, tal
queU(x1/4) =14, es decir que genere indiferencia entre:
L1: x1/4
1
L2:
x1/2
a
1/2
1/2
Como hay indiferencia se tiene que: E[U(L1)] =E[U(L2)], luego:
U(x1/4) = 1 2 1 2 +1
2(0) =
Posici´
on frente al riesgo
Dada una funci´on de utilidadU(w), se tiene que:
1 U(w)es continua.
2 U(w)es creciente enw(U0(w)>0).
Averso
U00(w)<0
Neutral
U00(w) =0
Amante
Decisi´
on de inversi´
on y funci´
on de utilidad
Cuando un agente invierte una cantidadcen un proyecto obtiene un
ingresos aleatoriosX con funci´on de densidad fX(x).
El tomador de decisi´on toma como punto de partida (equilibrio),
para decidir si invierte o no, que:
U(c) =E[U(X)]
Desigualdad de Jensen:
1 SiU0>0yU00<0(averso al riesgo), entonces:
U(c) =E[U(X)]≤U(E[X]) ⇒ c≤E[X] invierte solo si espera ganar.
2 SiU0>0yU00=0(neutral al riesgo), entonces:
U(c) =E[U(X)] =U(E[X]) ⇒ c=E[X] es indiferente.
3 SiU0>0yU00>0(amante al riesgo), entonces:
Ejemplo
Un agente tiene funci´on de utilidadU(x) =12x−14x2.El desea invertir
una cantidadcen un proyecto donde el ingresoX sigue una distribucion
exponencial con media 10. ¿Para que valor deces indiferente?
E[U(x)] =12E[x]−1 4E[x
2] =70=U(c)
entonces,
1 4c
2−12c+70=0 ⇒ c=6,80.
Prima por riesgo
Considere un agente con una riqueza inicialwy que puede tener una
p´erdidaX con distribuci´on conocida, la cual asegura con el pago de una
primaπ.
El equilibrio de la utilidad se tiene en:
U(w−π)
| {z }
Utilidad despu´es de pagar la prima
= E[U(w+X)]
| {z }
Ejemplo
SeaU(x) =ln(x) ; x>0, conw=10y enfrentado a una loter´ıa
X= (0,1/2;−5,1/2). Entonces:
U(w−π) =E[U(w+X)]
ln(10−π) =1
2ln(10−0) + 1
2ln(10−5) ln(10−π) =1.9560
10−π=7.0710
Ejemplo
SeaU(x) =x2, conw=4y enfrentado a una loter´ıa
X= (1,1/2;−1,1/2). Entonces:
U(w−π) =E[U(w+X)]
(4−π)2=1
2(4+1) 2+1
2(4−1) 2
(4−π)2=17
Quiz
Hallar el valor de la prima por riesgo siU(x) =2x+1,w=5y se enfrenta
