OPUESTOS POR EL VERTICE

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RECTO

AGUDO

OBTUSO

LLANO

0 CONOCIMIENTOS BÁSICOS

En este capítulo previo se reúnen una serie de conocimientos ya adquiridos en

Matemáticas a lo largo de los cursos de Secundaria, y la metodología de

resolución de problemas geométricos

0.1 ANGULOS

Angulo convexo: menor de 90º Angulo cóncavo: mayor de 90º

CONVEXO

Ángulos complementarios: la suma es 90º Ángulos suplementarios: la suma es 180º

Ángulos contiguos o consecutivos: un lado es común a los dos ángulos Ángulos adyacentes: contiguos y suplementarios

CONTIGUOS

_ADYACENTES

Ángulos opuestos por el vértice.

Ángulos formados por una recta que corta a dos paralelas.

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0.2 TRIANGULOS

CLASIFICACION POR LADOS

Triángulo equilátero: los tres lados iguales Triángulo isósceles: dos lados iguales Triángulo escaleno: los tres lados diferentes

A

B C

EQUILÁTERO

A

B C

ISÓSCELES

A

C ESCALENO

CLASIFICACION POR ANGULOS

Triángulo acutángulo: los tres ángulos agudos Triángulo rectángulo: un ángulo recto

Triángulo obtusángulo: un ángulo obtuso

B A

C ACUTÁNGULO

B C

A

RECTÁNGULO

A

B C

OBTUSÁNGULO

Suma de ángulos de un triángulo

B

A

C

Angulo exterior de un triángulo: formado por un lado y la prolongación del contiguo

B

A

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0.3 GEOMETRÍA BÁSICA DEL TRIÁNGULO

Altura = perpendicular a un lado por el vértice opuesto. Denominadas ha, hb, hc, se cortan en el Ortocentro denominado H. Los pies de las alturas se denominan Ha, Hb, Hc

Mediana = Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Denominadas ma, mb, mc, se cortan en el Baricentro, denominado G. Los pies de las medianas, puntos medios de cada lado se denominan Ma, Mb, Mc. En una mediana, la distancia del baricentro al vértice es doble de la distancia del baricentro al lado.

GA = 2 GMa ; GA = 2/3 ma ; GMa = 1/3 ma

Bisectriz = recta que divide cada ángulo en dos ángulos iguales. Denominadas va, vb, vc, se cortan en el Incentro, centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y denominado I. Los pies de las bisectrices se denominan Va, Vb, Vc. El radio de la circunferencia inscrita se denomina RI o simplemente r (minúscula)

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A

B

C

D

B

C

A

0.4 CUADRILATEROS

Suma de ángulos interiores = 360º por poderse

Paralelogramos:

Lados opuestos paralelos. AD ║ BC ; AB ║ DC Lados opuestos iguales. AD = BC ; AB = DC Las diagonales se cortan en su punto medio. Angulos opuestos iguales

Angulos contiguos suplementarios. <A + <B = 180º <B + <C = 180º

Cuadrado

Angulos = 90º

Lados iguales. AB = BC = CD = DA Diagonales perpendiculares. AC ┴ BD

Rectángulo

Rombo

Lados iguales. AB = BC = CD = DA Diagonales perpendiculares. AC ┴ BD

Romboide

Trapecios

Dos lados paralelos. AB ║ CD llamados bases La distancia entre ellos se llama altura (h).

Los ángulos formados por uno de los lados no paralelos con los lados paralelos son suplementarios: <A + <D = 180º

<B + <C = 180º

Trapecio Isósceles

Dos pares de ángulos iguales: <A = <B <C = <D Inscriptible (Angulos opuestos suplementarios) Los lados no paralelos son iguales: AD = BC

Trapecio Rectángulo

Trapecio Escaleno

Los lados no paralelos son desiguales: AD ≠ BC

Trapezoide

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r

s

Trazado de la bisectriz de un ángulo

0.5 LUGARES GEOMETRICOS

0.5.1 CONCEPTO DE LUGAR GEOMÉTRICO

Un lugar geométrico es un conjunto de elementos geométricos, (puntos, rectas, curvas, planos, etc) que cumplen una determinada condición. Esta condición puede ser cualquiera, desde la más sencilla hasta lo más complicado que se nos ocurra. Así, por ejemplo, podríamos considerar el lugar geométrico de los puntos que estén a 3 cm. de distancia de un punto fijo, que sería la circunferencia que tiene como centro dicho punto y radio 3 cm., o el lugar geométrico de los puntos cuya producto de distancias a dos puntos fijos es constante, e igual a la mitad de la distancia entre dichos puntos, que sería la Lemniscata de Bernouilli.

0.5.2 LUGARES GEOMÉTRICOS BÁSICOS

•

Circunferencia.

Podemos definir la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia dada (radio) de un punto fijo (centro).

•

Rectas paralelas

Las rectas paralelas serían el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia dada de una recta fija. La distancia será la separación entre las paralelas.

•

Circunferencias concéntricas

El lugar geométrico de los puntos que distan una distancia dada d de una circunferencia de radio r es el conjunto de las dos circunferencias concéntricas con la dada, de radios r+d y r-d. (En el caso de ser d > r, sólo existiría la de radio r+d)

•

Mediatriz de un segmento

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan (se encuentran a igual distancia) de los extremos del segmento.

Es la perpendicular en el punto medio.

•

Bisectrices de dos rectas

Son el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas. Las dos bisectrices son perpendiculares entre sí.

•

Paralela media

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas paralelas.

A B

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0.6 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si en un problema nos pide hallar puntos que cumplan 2 condiciones geométricas, casa una de estas condiciones implicará un lugar geométrico. Para que los puntos cumplan las dos condiciones, se han de encontrar en los dos lugares geométricos, es decir, en su intersección.

Siempre que un problema geométrico implique la existencia de dos lugares geométricos, podremos resolverlo mediante la intersección de dichos lugares.

Estas condiciones pueden estar dadas de forma explícita, como en este primer ejemplo:

Ejemplo 1: Hallar un punto que equidiste de dos puntos dados A y B y de dos rectas dadas r y s.

Datos:

A

B

r

s

Solución: El punto buscado se ha de encontrar en el lugar geométrico de los puntos que equidisten de A y B, es decir, en su mediatriz, y en el lugar geométrico de los puntos que equidisten de r y s, es decir en cualquiera de sus dos bisectrices. La intersección de los dos lugares geométricos serán los dos puntos P y Q, soluciones del problema.

A

B

r

s

P

Q

O pueden estar dadas de forma más o menos encubierta, como en este ejemplo 2:

Ejemplo 2: Dibujar un triángulo isósceles conociendo su lado desigual y la medida de su altura sobre él.

Datos:

B C

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Solución: Si el triángulo es isósceles y conocemos el lado desigual, los dos lados que quedan por dibujar son iguales, luego el vértice A equidista de B y C, por lo tanto estará en su mediatriz. Como conocemos la altura del punto A , este se encontrará a una distancia conocida de una recta fija, luego estará en la paralela a BC a distancia altura. Donde se corten mediatriz y altura, se encontrará el tercer vértice A

B C

altura

B

Problemas básicos de triángulos

Para la resolución de problemas de triángulos, nos podemos encontrar con los siguientes datos posibles: lados, alturas, medianas, ángulos, y en problemas más complejos, bisectrices, suma o diferencia de lados o ángulos, radio de la circunferencia inscrita o circunscrita, etc.

Tres datos definirán el triángulo. En gran parte de los casos, la construcción viene dada fijando uno de estos tres datos, y los otros dos implicarán sendos lugares geométricos cuya intersección nos dará el resultado.

Habrá que tener en cuenta las distintas propiedades del triángulo, y casi siempre tendremos que partir

de una solución supuesta para poder ver el método de resolución analizando los datos que

disponemos.

Esta solución supuesta se denomina Figura de Análisis.

Ejemplo 3: Dibujar un triángulo ABC situado su lado BC, y sabiendo que la altura sobre BC es h y que el

lado BA es c.

Datos:

B C

c

Solución: En este problema la solución es evidente. Como la distancia del vértice A al lado BC (altura

sobre BC) es conocida, el vértice A se encontrará en el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia conocida (h) de una recta dada (BC), es decir, la paralela a BC a distancia h. Como la distancia del vértice A al vértice B es conocida (lado c), A se encontrará en el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia conocida (c) de un punto dado (B), es decir, en la circunferencia de centro B y radio c.

Las intersecciones de ambos lugares geométricos (paralela y circunferencia) nos da la posición del punto A. (Se dibuja una sola de las posibles soluciones)

B C

A

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Ejemplo 4: Dibujar un triángulo ABC situado su lado BC, y conociendo las longitudes del lado b y la

mediana mb.

Datos:

B C

b

mb

En este problema la solución no es tan clara como en el anterior. Supongamos el problema resuelto; para esta supuesta resolución tomamos un triángulo cualquiera:

A

B C

Colocamos los datos del problema:

A

B

C

Mb

a

mb

b

Vemos que el triángulo rayado puede resolverse, ya que conocemos los tres lados: a mb y b/2

A

B

C

Mb

a

mb

b/2

Por tanto, para resolver el problema tendremos que empezar por dibujar el triángulo BCMb con los datos reales, y luego prolongar el lado B para hallar la posición de A:

A

B C

Mb

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Problemas de triángulos con suma de lados

Si uno de los datos de un problema de triángulos es una suma de lados, el triángulo no se puede resolver de forma directa; deberemos “desarrollar” el triángulo, es decir, colocar los dos lados de los que conocemos su suma de distancias a continuación uno de otro, cosa que haremos mediante un giro de un lado. El triángulo desarrollado se podrá resolver, y a partir de él, obtener el triángulo buscado.

Este procedimiento se ve de forma clara mediante un ejemplo:

Ejemplo 5: Dibujar un triángulo ABC conociendo su altura ha, el lado c y la suma de los lados a y b

Datos:

h a c a + b

Suponemos el problema resuelto. Cualquier triángulo es válido.

A

B

C

mos el punto A utilizando C como centro de giro hasta que quede alineado con el lado BC. Hemos obtenido el punto D.

A

B

C

D

Vemos que el triángulo ABD se puede dibujar porque conocemos dos lados (el lado BD mide la suma de lados a+b, ya que CA = CD) y la altura sobre uno de ellos.

A

B

C

D

Por otra parte, al girar A, hemos obtenido el triángulo ACD, que es isósceles, ya que AC = CD, lo que implica que la mediatriz de AD pasará por C. De esta forma hallaremos dicho punto C una vez que esté dibujado el triángulo ABD.

A

B C D

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Una vez visto el proceso de resolución pasamos a dibujarlo con los datos del problema:

1) Colocamos el lado BD

ha

c

a+b

a+b

B

D

2) Trazamos la paralela a distancia ha y el arco de circunferencia de radio c, obteniendo el punto A y el triángulo ACD

ha c

a+b

c

h

a

a+b

A

B

D

3) Tomamos la mediatriz de AD, obteniendo el vértice C y marcamos la solución

c

h

a

a+b

A

B

C D

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Circunferencias de radio conocido tangentes a dos elementos

Una circunferencia de radio r tangente a una recta tendrá su centro a distancia r de la recta; por tanto, será un punto de las paralelas a la recta a distancia r.

O

T

r

Una circunferencia de radio r tangente exterior a una circunferencia dada de radio r1 y centro O1 tendrá su centro a distancia r+r1 del punto O1, dado que el punto de tangencia deberá estar alineado con los centros de las dos circunferencias; por tanto estará en la circunferencia de centro O1 y radio r+r1.

O

r

_r1

O1

T

Una circunferencia de radio r tangente interior a una circunferencia dada de radio r1 y centro O1 tendrá su centro a distancia diferencia de radios del punto O1 (r-r1 ó r1-r, dependiendo de cual de los radios sea mayor), dado que el punto de tangencia deberá estar alineado con los centros de las dos circunferencias; por tanto, estará en la circunferencia de centro O1 y radio diferencia de radios.

O T

O1

O

O1

T

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Ejemplo 5º: Dibujar una circunferencia de radio r, tangente a la recta y la circunferencia dadas.

Datos:

r

Solución: El centro de la circunferencia buscada se ha de encontrar en la paralela a la recta dada a distancia r y en la circunferencia de radio suma de radios. Los puntos de tangencia estarán en la perpendicular a la recta desde el centro hallado, y en la recta que une el centro hallado con el centro de la circunferencia dada.

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0.7 PROBLEMAS PROPUESTOS

0.7.1 Triángulos y cuadriláteros

Para resolver los problemas de triángulos se emplea la siguiente convención de

notación:

Lados: a, b, c. Angulos opuestos: A, B, C. Medianas ma, mb, mc. Alturas ha, hb

hc. Bisectrices va, vb, vc. Pies de las alturas Ha, Hb, Hc. Pies de las medianas,

Ma, Mb, Mc, Pies de las bisectrices Va, Vb, Vc, colocados en la siguiente

posición:

• Dibujar un triángulo conociendo a= 5 cm, b=6 cm, c=7 cm

• Dibujar un triángulo conocidos a= 6 cm, mb = 6 cm, b=7 cm

• Dibujar un triángulo conocidos A= 30º, b=5 cm, a= 7cm

• Dibujar un triángulo conocidos a=5 cm. ha = 4 cm, b = 6 cm

• Dibujar un triángulo conocidos B=45º, ha=5 cm, a =6cm

• Dibujar un triángulo conocidos a=6 mb=6 mc=4,5

• Dibujar un triángulo conocidos a=5 ma=6 mc=4,5

• Dibujar un triángulo conocidos a=3cm, ma=5 cm, c=6 cm

• Dibujar un triángulo conocidos a=5cm, ha=4cm, ma=5cm

• Dibujar un trapecio ABCD de altura 30 mm, diagonales AC = 50 mm y BD = 45 mm, siendo CD = DA

• Dibujar un paralelogramo ABCD midiendo sus diagonales 6 cm y 4 cm, y uno de los lados 4 cm.

0.7.2 Suma de lados o perímetros

• Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 10 cm y altura sobre el lado desigual = 4 cm

• Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y suma de catetos 10 cm.

• Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y diferencia de catetos 2 cm.

• Hallar un rectángulo de perímetro 200 mm y diagonal 75 mm.

• Dibujar un triángulo conocidos a= 5 cm, b+c=8 y A=60º

• Dibujar un romboide de perímetro 10 cm, ángulo interior 120º y diagonal mayor 9 cm.

• Dibujar un rombo de lado 5 cm. y suma de diagonales 12cm.

• Determinar el paralelogramo ABCD de perímetro 2p = 160 mm., diagonal AC = 70 mm y distancia entre lados opuestos h = 25 mm.

0.7.3 Circunferencias de radio conocido

• Dibujar un arco de circunferencia de radio 4 cm que enlace las dos rectas dadas

• Dibujar una circunferencia de radio 3 cm tangente a una recta dada y a la circunferencia dada: a) dejándola en su exterior b) id. en su interior

• Dibujar una circunferencia de radio 4 cm que sea tangente a las dos circunferencias dadas, dejándolas en su interior.

0.7.4 Otros problemas

• Dibujar una circunferencia tangente a la circunferencia dada y a la recta r en su punto P