4 pdf

(1)

3. Los vectores fijos son los pares ordenados de puntos:

Hemos agrupado los vectores fijos equipolentes al listar los vectores fijos, por lo que tenemos 21 vectores libres distintos.

4. Tenemos tantos vectores fijos como pares ordenados de puntos, o sea:

VR4, 2=42=16

De ellos, sólo son equipolentes los nulos, , ,

y , pues todos los demás difieren en la dirección o

en el sentido.

Así, hay 16 (4 1) =13 vectores libres distintos.

2. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

5. a) Por la regla del paralelogramo:

F

A w

u u + w ! ! " !""

u+w=[AF]

DD" !"" CC

" !"" BB " !"" AA " !""

B D

C

A AA BB CC DD EE FF A

" !"" " !"" " !""" " !"" " !"" " !"

, , , , , ;

B

B DE BA ED

AC DF C

" !"" " !"" " !"" " !""

" !"" " !, ""; , ;

, ; AA FD

BC EF CB FE

AD

" !"" " !"" " !"" " !" " !"" " !" "

, ;

, ; , ;

!!

"" " !"" " !"" " !"" " !"" " !""

" ,BE CF DA EB FC, ; , , ;

AE""!! " !"" " !"" " !"" " !""; " !""; " ; ;

; ;

EA BD DB

AF FA CD""!! " !"" " !"" " !" " !"" ; " !"";

; ; ; .

DC

BF FB CE EC

1. VECTORES

1. Son vectores fijos equipolentes los que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, luego:

, , son equipolentes. , son

equipo-lentes. , son equipolentes. , son

equi-polentes. no es equipolente a ningún otro.

2. Un vector fijo es un par de puntos ordenado. Por tan-to, tendremos tantos vectores fijos como pares ordena-dos podamos formar con los cuatro vértices, que son va-riaciones con repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2:

VR4, 2=42=16

Vectores fijos equipolentes definen el mismo vector li-bre, por lo que habrá como mucho 16 vectores libres. Por cada vector fijo que forma un lado del rectángulo, hay uno equipolente que forma el lado opuesto;

luego debemos restar vectores.

Los vectores fijos que forman la diagonal no son equi-polentes a ningún otro, luego cada uno da lugar a un vector libre.

Los vectores fijos que forman los extremos son todos

equipolentes, luego debemos restar 4 1 =3 vectores.

Tenemos, pues, 16 4 3 =9 vectores libres.

8

2 =4

D C

B A

AE

" !""GF" !"" AE" !"" CG" !""

CB" !"" EH

" !"" AD " !"" HG

" !""" DC " !"" AB " !""

59

4. V

ector

es en el espacio (I)

Vectores en el espacio (I)

4

3. Los vectores fijos son

los pares ordenados de

puntos:

Hemos agrupado los vectores

fijos equipolentes

al listar vectores libres tenemos 21 lo que fijos, por los vectores

distintos.

4. Tenemos tantos vectores

fijos como pares ordenados

de puntos, o sea:

VR 4, 2

=

4 2

=

16

De ellos, sólo son

equipolentes los nulos,

, ,

y , pues todos los

demás difieren en la

dirección o en el sentido.

Así, hay 16

(4

1)

=

13 vectores libres distintos.

2.OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

5.

a)

Por la regla del paralelogramo: F

A

w u

u + w

! ! "!"" w u

AF [ = +

]

DD "!"" CC

"!"" "!"" BB AA "!""

B

D C

A

AA BB CC DD EE FF

A

"!"" "!"" " ! """ "!"" "!""

"!" , , , , ,

;

B B DE BA

ED

AC DF C

"!"" "!"" "!""

"!""

"!"" "!""

, ; ,

;

, ; A A

FD

BC EF CB

FE

AD

"!"" "!""

"!"" "!" "!""

"!"

"

, ;

, ; ,

; "!"" "!"" "!"" "!"" "!"" ! ! "" " , , ; , ,

; FC EB DA CF BE

AE ! ! "" "!"" "!"" "!""

"!"" "!"" "

; ; ; ;

; ;

EA BD DB

AF FA CD ! ! "" "!""

"!"" "!" "!"" "!""

; ;

; ; ; .

DC

BF FB CE EC

1.VECTORES

1. Son vectores fijos equipolentes

los que tienen el

mismo módulo, dirección y sentido, luego:

, , son equipolentes.

, son

equipo-lentes. , son equipolentes.

,

son equi- no es equipolente a ningún otro. polentes.

2. Un vector fijo es

un par de puntos ordenado. Por

tan- pares ordena- fijos como tantos vectores to, tendremos

dos podamos formar con

los cuatro vértices, que

son va- tomados de 4 elementos repetición de riaciones con

2 en 2:

VR 4, 2

=

4 2

=

16

Vectores fijos equipolentes

definen el mismo vector

li- vectores libres. mucho 16 habrá como lo que bre, por

Por cada vector fijo

que forma un lado

del rectángulo, hay uno equipolente que forma el lado opuesto;

luego debemos restar vectores.

Los vectores fijos que

forman la diagonal no

son equi- lugar a uno da luego cada ningún otro, polentes a

un vector libre.

Los ve cto res fi jos q ue for man lo s e xtr em os son to

dos 1 r 4 sta re mos ebe o d ueg , l tes len ipo equ

=

3 v ect ore s.

Tenemos, pues, 16

4

3

=

9 vectores libres.

8 2

4 =

D C

B A

AE "!"" CG

"!"" _EH AE "!"" GF "!"" "!"" CB "!"" AD "!"" ! """ HG " DC "!"" AB "!""

4. V

ector

Vector

(2)

b) Si I es el punto medio

del lado DH,

es un

re-pre sen tan te de con or ige n e n e l e xtr em o ,

representante de .

Por tanto, es un representante de

:

c) es un representante de

y de . Por

la regla del paralelogramo,

es un

representante de la suma:

d) Como y

,

e) Si J e s e l p un to m ed io d e l a a ris ta BF, se ti en e

que , luego:

! ! "!" "!"

"!" EJ = FJ + EF = w 1 u

2 [ ] [ ] [ ]

=

1 2 ! "! " w

FJ [

]

H E D

v –w

v – w

! ! "!"" " ! ""

"!"" ED [ = ] HD [ ] EH [ = w v ]

=

! " ! "" HD [ w

] _!

"!"" EH [ = v ]

A

G u + w

v

u + v + w

B

F

! ! ! "!"" w v u

AG [ = + +

] AG "!"" !

v AB

"!"" ! w + ! u AF "!""

! ! ! ! ! ! ! !

! w u v w u w v u

v + ) + ( = + + = + +

A D

I

H

w ₁2

v

v +

w ₁2

! ! "!"" "!"

"!" DI AD w v

AI = + = +

1 2 [ ] [ ] [ ]

! ! w 1 + v

2

AI "!" ! v AD

"!"" 1

2

! w

DI "!" f)

Como y

,

g) Vimos que

.

Si K es el punto medio

de la arista CG,

es un , luego: representante de

h) Por la regla del paralelogramo:

! ! "!"" "!""

"!"" AD AB v u

AC [ = ] [ + ] [ = +

]

1 2 1 2 1

2 1 2

1 2

! ! ! ! ! !

! !

u v w u v w

u v

+ + = +

» º + =

= +

+ ) (

! ! w

A

u u

+

v

+

I K

w ₁2 w ₁2 + v

! ! ! "!" "!"

"!"" IK AI w v u

AK = + = + +

1 2 [ ] [ ] [ ]

! u

IK "!"

! !

"!" w v

AI = +

1 2 [ ]

! ! ! ! ! ! ! !

! + » º¹ w + v « ª© = ¹» º w + v ©« ª + u = w 1 + v + u

2 1

2 u u

E D

C u

u + v – w

v – w

! ! ! "!"" "!""

"!"" EC [ = ] DC [ + ] ED [ = w v + u ]

! "!"" u

DC [ =

] _! _!

"!"" ED [ = w v ]

! ! ! ! ! ! ! !

! u + ) w v ( = ) w v ( + u = w v + u

E F

J

u

u – w 1 2

– w 1 2

60

4. V

ector

b) Si I es el punto medio del lado DH, es un

re-presentante de con origen en el extremo ,

representante de .

Por tanto, es un representante de :

c)

es un representante de y de . Por

la regla del paralelogramo, es un

representan-te de la suma:

d) Como y ,

e) Si J es el punto medio de la arista BF, se tiene

que , luego:

! ! " !" "!" "!"

u1w = EF + FJ = EJ

2 [ ] [ ] [ ]

1 =

2 ! "!"

w [ ]FJ

H

E

D v

–w

v – w

! ! " !"" " !"" " !""

vw =[EH] [ HD] [= ED]

w! =[" !HD"" ] ! " !""

v=[EH]

A

G

u + w

v

u + v + w

B F ! ! ! " !""

u v+ +w =[AG]

AG

" !!"" ! " !AB"" v!

u+w

AF " !""

! ! ! ! ! ! ! ! !

u v+ +w= u+w+v =(u+w)+v

A D I H

w

1 2

v

v+1w

2

! ! " !"" " !" " !"

v+1w= AD + DI = AI

2 [ ] [ ] [ ]

! !

v+1w

2 AI

" !" ! v

AD " !"" 1

2 ! w

DI" !"

f)

Como y ,

g)

Vimos que .

Si K es el punto medio de la arista CG, es un

representante de , luego:

h)

Por la regla del paralelogramo: ! ! " !"" " !"" " !""

u v+ =[AB] [+ AD] [= AC]

1 2

1 2 1

2

! ! ! ! ! !

! !

u v w u v w

u v

+ + = © +

«ª ¹»º+ =

= ( + )+w!!

A

u

u + v +

I K

w

1 2

v +1w

2

! ! ! " !" " !" " !""

u v+ + 1w = AI + IK = AK

2 [ ] [ ] [ ]

!

u IK

" !" ! ! " !"

v+1w= AI

2 [ ]

! ! ! ! ! ! ! ! !

u v+ + w= u+©v+ w v w

«ª ¹»º =©«ª + ¹»º +

1 2

1

2 uu

E

D _u C

u + v – w

v – w

! ! ! " !"" " !"" " !""

u v+ w=[ED] [+ DC] [= EC]

! " !""

u=[DC]

! ! " !""

vw=[ED]

! ! ! ! ! ! ! ! !

u v+ w= u+(vw) (= vw)+u

E F

J u

u – 1w

2

– 1w

2

4. V

ector

(3)

luego , siendo L el punto medio de la cara ABCD.

Si M es el punto medio de la cara EFGH, es

un representante de con origen en el extremo

de , luego:

i)

Como y EC es una diagonal, si N

denota el centro del prisma:

6. Escogemos como representantes de , y los de

la figura, que tienen origen común en el punto A.

Vector :

El representante de con origen A es .

La recta que pasa por el extremo de , C, y tiene la

dirección del vector corta a la cara del ortoedro

ge-nerada por y en el punto Q =C.

Por tanto:

y como

resulta: [AC" !""]=2u v!+!+0w! = 2u v!+!

[ ] [ ]

AQ AC u v

QC CC

" !""" " !"" _! _! " !"" = " !"" = +

= =

2

!! _!

0 =0w

[" !AC""] [= AQ" !"""] [+ QC" !""] !

v ! u

!

w AC

" !"" AC " !"" [AC" !""]

[AC" !""]

! w ! v ! u E

C

u +

1

2 12v–12 w

u + v – w

N

1 2

! ! ! " !""

u+ v w=[EN]

! ! ! " !""

u v+ w=[EC]

1 2

! ! ! ! ! !

u+ v w = (u v+ w)

M

A

u + v + w

1 2

1

2 _u

L

u + v

1 2

1 2 1

2 1 2

! ! ! " !"" " !"" " !"""

u+ v+w=[AL] [+ LM] [= AM]

AL

" !"" w!

LM " !"" 1

2( ) [ ]

! ! " !""

u v+ = AL Vector :

La recta que pasa por su extremo, I, y tiene la direc-ción de corta a la base del ortoedro, generada por

y , en el punto medio, llamémosle Q. Se tiene:

y como Q es el punto medio de la base:

luego:

Vector :

La recta que pasa por su extremo, J, y tiene la direc-ción de corta a la base del ortoedro en el punto me-dio de ésta, Q.

Por tanto:

y como Q es el punto medio de la base:

luego:

— El vector no puede expresarse como

combina-ción lineal de y porque , y son no

co-planarios y, por tanto, linealmente independientes.

7. a) , son linealmente independientes, pues no

es-tán alineados.

Por tanto, rang .

b) , son linealmente dependientes, pues están

ali-neados.

Así, rang , pues .

c) , , son linealmente dependientes, pues son

co-planarios.

Por otro lado, y son independientes, por tanto

rang .

d) , , son linealmente independientes, pues no

son coplanarios.

Así, pues, rang .

e) , , son linealmente dependientes, pues son

co-planarios.

Sin embargo, los vectores , , por ejemplo, son

li-nealmente independientes, luego rang =

=2.

f) , , , son linealmente dependientes, pues son

más de tres vectores de V3_.

Ahora bien, como , , son linealmente

inde-pendientes, se tiene que rang { , , , }a b c d! ! ! ! =3.

! d ! b ! a !

d ! c ! b ! a

{ , , }! ! !a c e

! c ! a !

e ! c ! a

{ , , }a b d! ! ! =3

! d ! b ! a

{ , , }! ! !a b c =2

! b ! a !

c ! b ! a

{ , }! !a e |{ }0!

{ , }a e! ! =1

! e ! a

{ , }! !a b = 2

! b ! a

! w ! v ! u !

w ! v ! u

[ ]AJ" !" = u!+1v!+ w!

2 2

[ ]

AQ u v

QJ w

" !""" _! _! " !" _!

= +

= 1 2 2

[ ] [AJ" !" = AQ" !"""] [ ]+ QJ" !"

! w

AJ " !" [ ]" !AJ"

[ ]AJ" !"

[ ]AI" !" =u!+ 1v!+w! 2

[ ]

AQ u v

QI w

" !""" _! _! " !" _!

= +

= 1 2

[ ] [AI" !" = AQ" !"""] [ ]+ QI" !"

! v ! u

! w

AI " !" [ ]" !AI"

[ ]AI" !"

61

4. V

ector

luego , siendo

L el punto medio

de la cara ABCD.

Si M es el punto medio

de la cara EFGH, es

un representante de

con origen en el

extremo , luego: de

i)

Como y EC

es una diagonal, si

N denota el centro del prisma:

6. Escogemos como

representantes de , y

los de la figura, que tienen origen común en el punto A.

Vector :

El representante de con origen A es

.

La recta que pasa

por el extremo de

, C, ytiene

la ge- del ortoedro la cara corta a vector dirección del

nerada por y en el punto Q

=

C.

Por tanto: y como resulta: [

] AC

u v w u v

"!"" ! ! ! !

! + 2 = 0 + + 2 =

[ ] [ ]

AQ AC u v

QC CC

" ! """ "!"" ! !

"!"" "!""

= = +

= = 2 ! ! ! w 0 = 0

[ ] [ ] [

] QC AQ AC

"!"" " ! """ "!"" + =

!

v _! u

! w

AC "!"" AC

"!"" ] AC "!"" [ _] _AC _[ "!""

! w ! v ! u

E C

u

+ ₁2

1 2 v

w ₁2 –

u

+

v

– w _N

1 2 1 2 1 2

! ! !

"!"" w v u

EN [ = +

]

! ! ! "!"" w v u

EC [ = +

]

1 2 1 2 1 2 1 2

! ! ! ! !

! w v + u ( = w v + u

)

M

A

u

+

v

+ w ₁2 ₁2

u L

u

+

v ₁2 ₁2

1 2 1 2

! ! ! "!"" "!"" "

! """ AM [ = ] LM [ + ] AL [ = w + v + u ]

AL "!""

! w

LM "!""

1 2 ( ) [

] _! _!

"!"" v u

AL = +

Vector :

.

La recta que pasa

por su extremo, I,

y tiene

la direc- generada por del ortoedro, la base corta a ción de

y , en el punto medio, llamémosle Q.

Se tiene: y como Q es el punto medio de la base:

luego: Vector :

.

La recta que pasa

por su extremo, J,

y tiene

la direc- punto me- en el del ortoedro la base corta a ción de

dio de ésta,Q. Por tanto: y como Q es el punto medio de la base:

luego: —El vector

no puede expresarse como

combina- son no y , porque y de ción lineal

co- linealmente independientes. por tanto, planarios y,

7.

a)

, son linealmente independientes, pues

no es- tán alineados.

Por tanto, rang .

b)

, son linealmente dependientes, pues

están alineados.

Así, rang , pues

.

c)

, , son linealmente dependientes, pues

son co- planarios.

Por otro lado,

y son independientes,

por tanto . rang

d)

, , son linealmente independientes, pues

no son coplanarios.

Así, pues, rang .

e)

, , son linealmente dependientes, pues

son co- planarios.

Sin embargo, los vectores

, , por ejemplo, son

li- luego rang nealmente independientes,

=

2.

f)

, , , son linealmente dependientes, pues

son . 3 más de tres vectores de V

Ahora bien, como

, , son linealmente

independientes, se tiene que rang

=

3. } , , _! {,

! ! ! d bc a

! d !b ! a

! d ! c ! b ! a

{, ,

} _! e _! _! ac

!

c _!a

! e !c ! a {,

,

} _!

! ! bd a = 3

! d ! b ! a {, ,

} _!

! ! bc a = 2 ! b ! a

! c _! b ! a {,

}

{} _! _!

! 0 | ae 1 = } ! !ae {,

! e

! a

{,

} _!

! b a = 2

!

b _! a

! w ! v ! u ! w !v

! u

[

] AJ

u v w

"!" ! !

! + 1 + =

2 2

[ ]

AQ u v

QJ w

" ! """ ! !

"!" !

= +

=

1 2

2

[ ] [ ] [

] QJ AQ AJ

"!" " ! """ "!" + =

! w

AJ

"!" ] AJ "!" [

[ ] AJ

"!" [

] AI

u v w

"!" ! !

! + 1 + =

2

[ ]

AQ u v

QI w

" ! """ ! !

"!" !

= +

=

1 2

[ ] [ ] [

] QI AQ AI

"!" " ! """ "!" + =

! v ! u

! w

AI

"!" ] AI "!" [

[

] AI

"!"

4. V

ector

(4)

8. Deb em os exp res ar cad a u no d e l os vec to res c om

o coe- quedarnos los base y de cada combinación lineal

ficientes: • luego en ambas bases.

• luego en ambas bases.

• , luego:

en la base B 1 .

en la base B 2 .

• , luego:

en la base B 1 .

en la base B 2 .

• , luego:

en la base B 1 .

en la base B 2 .

• , luego:

en la base B 1 .

en la base B 2 . 9. a) b) c) 2 1 3 22 0 1 31 2 1 3 4 ! !

! w + v u

= = + (, ) , , ( ) , (, 2 27 2 22 02 1 31 2 , ) ( , , ( )) ( , , ) = = + + + _©« ª ¹ » º = = 1 3 4 1 3 2 1 3 7 40 , ( ), (, , + _©« ª ¹ » º = = + 2 31 2 4 3 2 3 7 3 4 3 4 ) ( , , ) , , ( ) 3 3 0 1 2 3 2 2 7 3 25 3 5 3 5 3 , , , , + © « ª ¹ » º = = _©« ª ¹ ¹ » º ! !

! w v + u

= + = = (, , ) ( , , ) (, ,

) 27 4 2 31 1 20

( ( ( ) , ( ), ) ( , , ) 2 3 40 1 2 1 2 7 53 6 + + + = = 5 6 52 0 1 6 31 2 5 25 ! ! u v + = + = = (, , ) ( , , ) ( , + = = , ( )) ( ( ), , ) ( 05 1 6 3 6 16 2 1 10 0 5 18 61 2 10 18 0 6 , , ) ( , , ) ( ( ), , + = = + + 5 5 12 86

7 , , ( = ) +

) [ ] (, , ) AH " ! "" = 00 1 [ ] (, , ) AH " ! "" = 01 2 [ ] AH x y z x y t " ! "" ! ! ! ! !

! 1 + 0 + 0 = 2 1 + 0 =

[ ] (, , ) AG "!"" = 10 1 [ ] (, , ) AG "!"" = 11 2 [ ] AG x y z x y t "!"" ! ! ! ! !

! 1 + 0 + 1 = 2 1 + 1 =

[ ] (, , ) AF "!"" = 1 11 [ ] (, , ) AF "!"" = 10 2 [ ] AF x y z x y t "!"" ! ! ! ! !

! 1 + 1 1 = 2 0 + 1 =

[ ] (, , ) AE "!"" = 0 11 [ ] (, , ) AE "!"" = 00 2 [ ] AE x y z x y t "!"" ! ! ! ! !

! + 1 0 = 2 0 + 0 =

[ ] (, , ) AD "!"" = 01 0 [ ] AD y x y z x y t "!"" ! ! ! ! ! !

! 0 + 1 + 0 = 0 + 1 + 0 = =

[ ] (, , ) AC "!"" = 11 0 [ ] AC x y z x y t "!"" ! ! ! ! !

! 0 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 =

[ ] (, , ) AB "!"" = 10 0 [ ] AB x x y z x y t "!"" ! ! ! ! ! !

! 0 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 = =

[ ] (, , ) AA "!"" = 00 0 [ ] AA x y z x y t "!"" ! ! ! ! ! !

! 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 =

10. Debemos hallar

tres números reales a,

b, c

tales que .

Tomando componentes: (2, 1, 2) =

= a (1, 2, 3) +

b ( 4, 1, 7) +

c (0, 2, 5) =

= (a, 2a, 3 a) + (4b, b, 7 b) + (0, 2c, 5c) = = (a 4b, 2 a + b 2c, 3 a + 7b 5c) La exp res ión de com o c om bin aci ón lin eal de ,

, . es

11. a) 1. Escribimos la ecuación:

k 1 (4, 1, 5) + k 2 (2, 3, 8)

+ + k 3 (10, 0, 7) = (0, 0, 0)

2. Igualamos componente

a componente

y resolvemos:

3. Como el sistema tiene

soluciones no

triviales, son linealmente y , los vectores

dependientes.

b) 1. Debemos resolver la ecuación:

k 1 (2, 0, 9) +

k 2 (3, 1, 2) +

k 3 (5, 1, 4) =

= (0, 0, 0)

2. Igualamos componente

a componente

y obtenemos un sistema:

3. Como la única solución es la

trivial, los

vectores son linealmente independientes. , ,

c) 1. Consideremos la ecuación:

k 1 (3, 2, 5) +

k 2 (3, 5, 2) +

k 3 (1, 1, 6) =

= (0, 0, 0)

2. Igualando componente

a componente

y resol- viendo el sistema:

3. La única solución del

sistema anterior es la

tri- en dep in te en lm nea li son , , go lue l, via

- dientes.

d) 1. Planteamos la ecuación:

k 1 (1, 2, 3) +

k 2 (2, 4, 4) +

k 3 (6, 3, 0) =

= (0, 0, 0)

! w !v ! u

3 3 0 2 5 0 5 2 6 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k k k + = + + = + + = ¿ À ² Á ² = =

= 3 k 2 k 1 k

0

! w !v ! u

2 3 5 0 0 9 2 4 0 1 2 3 2 3 1 2 3 1 k k k k k k k k k + + = = + + = ¿ À ² Á ² = k k k 2 3

0 = =

! w !v ! u

4 2 10 0 3 0 5 8 7 0 1 2 3 1 2 1 2 3 k k k k k k k k

k = + +

+ = = ¿ À ² Á ² 1 1 2 3

3 =

= = Q Q Q k k ! ! !

! w 3 + v + u 2 = s

! w ! v ! u s!

= = + = + ¿ À ² Á ² = = , 2 4 1 2 2 2 3 7 5 2 a b a b c a b c a b 1 1

3 = ,c

! ! !

! cw + bv + au = s

62

4. V

ector

8. Debemos expresar cada uno de los vectores como combinación lineal de cada base y quedarnos los coe-ficientes:

•

luego en ambas bases.

•

• , luego:

en la base B1.

en la base B2.

• , luego:

en la base B1.

en la base B2.

• , luego:

en la base B1.

en la base B2.

• , luego:

en la base B1. en la base B2.

9. a)

b)

c) 2 1

3

2 2 0 1 3 1 2 1

3 4

! ! !

u v + w =

= ( , , ) ( , , )+ ( , 22 7

2 2 2 0 2 1 3 1 2

, ) ( , , ( )) ( , , ) = = ++ +© «ª ¹»º = = 1 3 4 1 3 2 1 3 7 4 0 , ( ), ( , , +© «ª ¹»º = = +

2 3 1 2 4

3 2 3

7 3

4 3 4

) ( , , ) , ,

( )

33 0 1

2

3 2 2

7 3 25 3 5 3 5 3 , , , , + © «ª ¹»º = = © «ª ¹¹»º ! ! !

u v+ w= + =

=

( , ,2 0 1) ( , , ) ( ,3 1 2 4 2 7, )

(( ( ) , ( ), )

( , , )

2 3 4 0 1 2 1 2 7

5 3 6

+ + + =

=

5 6 5 2 0 1 6 3 1 2

5 2 5

! !

u+ v= + =

= ( , , ) ( , , ) ( , + = = , ( )) ( ( ), , ) (

0 5 1 6 3 6 1 6 2

110 0 5 18 6 12

10 18 0 6

, , ) ( , , )

( ( ), ,

+ =

= + + 55 12+ ) ( , , )= 8 6 7

[AH" !""] ( , , )= 0 0 1 [AH" !""] ( , ,= 0 1 2 )

[" !AH""]=0x!+1y!2z! =0x!+0!y+1!t [AG" !""] ( , , )= 1 0 1

[AG" !""] ( , ,= 1 1 2 )

[" !AG""]=1x!+1y!2z!=1x!+0!y+1!t [AF" !""] ( ,= 1 1 1 , )

[AF" !""] ( , ,= 1 0 2 )

[" !AF""]=1x!+0y!2z!=1!x1!y+1!t [AE" !""] ( ,= 0 1 1 , )

[AE" !""] ( , ,= 0 0 2 )

[AE" !""]= 0x!+0y!2!z = 0x!1! !y+t [AD" !""] ( , , )= 0 1 0

[" !AD""]= !y = 0x!+1y!+0!z= 0x!+1!y+0!t [AC" !""] ( , , )= 1 1 0

[" !AC""]=1x!+1y!+0z!=1x!+1!y+0!t [AB" !""] ( , , )= 1 0 0

[" !AB""]= x! =1x!+0y!+0!z =1x!+0!y+0!t [AA" !""] ( , , )= 0 0 0

[" !AA""]=0! =0x!+0!y+0!z= 0!x+0!y+0!t

10. Debemos hallar tres números reales a, b, c tales que .

Tomando componentes:

(2, 1, 2) =

=a (1, 2, 3) +b (4, 1, 7) +c (0, 2, 5) =

=(a, 2 a, 3 a) +(4 b, b, 7 b) +(0, 2 c, 5 c) =

=(a 4 b, 2 a +b 2 c, 3 a +7 b 5 c)

La expresión de como combinación lineal de , ,

es .

11. a) 1. Escribimos la ecuación:

k1(4, 1, 5) +k2(2, 3, 8) +

+k₃(10, 0, 7) =(0, 0, 0)

2. Igualamos componente a componente y resol-vemos:

3. Como el sistema tiene soluciones no triviales,

los vectores , y son linealmente

depen-dientes.

b) 1. Debemos resolver la ecuación:

k1(2, 0, 9) +k2(3, 1, 2) +k3(5, 1, 4) =

=(0, 0, 0)

2. Igualamos componente a componente y obte-nemos un sistema:

3. Como la única solución es la trivial, los vectores , , son linealmente independientes.

c) 1. Consideremos la ecuación:

k1(3, 2, 5) +k2(3, 5, 2) +k3(1, 1, 6) =

=(0, 0, 0)

2. Igualando componente a componente y resol-viendo el sistema:

3. La única solución del sistema anterior es la

tri-vial, luego , , son linealmente

indepen-dientes.

d) 1. Planteamos la ecuación:

k1(1, 2, 3) +k2(2, 4, 4) +k3(6, 3, 0) =

=(0, 0, 0)

! w ! v ! u

3 3 0

2 5 0

5 2 6 0

1 2 3

k k k

+ = + + = + + = ¿ À ² Á

²k1 = k2 = k3 =0

! w ! v ! u

2 3 5 0

0

9 2 4 0

1 2 3

2 3

1 2 3

1

k k k

k k

k k k

k + + = = + + = ¿ À ² Á

² = kk2 = k3 = 0

! w ! v ! u

4 2 10 0

3 0

5 8 7 0

1 2 3

1 2

1 2 3

k k k

k k

k k k

k + + = + = = ¿ À ² Á ² 11 2 3 3 = = = Q Q Q k k ! ! ! !

s = 2u v+ +3w

! w ! v ! u !_s = = + = + ¿ À ² Á ² = , = 2 4

1 2 2

2 3 7 5

2

a b

a b c

a b 11, c=3

! ! ! !

s = a u b v c w+ +

4. V

ector

(5)

2. Debemos igualar componente a componente y resolver:

3. Como la única solución es la trivial, los vectores , , son linealmente independientes.

12. a) 1. La matriz formada por las componentes de los

vectores , , , colocadas verticalmente es:

2.

orden 3, y no existen menores de orden mayor, luego:

3. Un subconjunto de que tenga el

máximo número de vectores linealmente

inde-pendientes es , pues a ellos

correspon-den las columnas del menor no nulo de orcorrespon-den máximo que hemos hallado.

b) 1. La matriz formada por las componentes de los

vectores , , , dispuestas verticalmente es:

2. El menor =3 es no nulo, y todos los

menores de orden 3 que lo contienen son nu-los.

Así, .

3. Podemos hallar como mucho 2 vectores lineal-mente independientes entre , , , ; por

ejemplo , pues la matriz de sus

compo-nentes tiene un menor no nulo de orden má-ximo.

3. COORDENADAS DE UN PUNTO DEL ESPACIO

13. •Punto I:

En el sistema de referencia R1: [ ]AI" !" = x!+ y!¡I=© , ,

«ª ¹»º 1

2 1

1

2 0

{ , }u v! !

!_s ! w ! v ! u

rang { , , , }u v w s! ! ! ! =rang( )A = 2

1 2 4 5

A=

©

« ª ªª

¹

» º ºº 1 2 3 1 4 5 6 3 7 8 9 5 !_s

! w ! v ! u

{ , , }u v w! ! !

{ , , , }u v w s! ! ! !

rang{ , , , }u v w s! ! ! ! = rang( )A =3

= 17 es un menor no nulo de

2 3 4 5 2 1 3 2 4

A =

©

« ª ªª

¹

» º ºº

2 3 4 1

5 2 1 6

3 2 4 2

! s ! w ! v ! u ! w ! v ! u

k k k

k k

k

1 2 3

1 2

2 6 0

2 4 3 0

3 4 0

=

+ + = + =

¿ À ²

Á

² 11 = k2 = k3 = 0

En el sistema de referencia R2:

•Punto J:

•Punto K:

A

AK

FK

F

[" !FK""]= u v!+!+ w! ¡K =© , , «ª ¹»º 1

2

1 2

1

2 1

1 2 [AK" !""]= x!+ y! !+z¡K = © , ,

«ª ¹»º 1

2 1

1

2 1

A

AJ _F_J

F

J

[ ]"!"FJ = u!+ !v+ w! ¡ J =© , ,

«ª ¹»º 1

2 2

1 2

1

2 2

1 2 [ ]" !AJ" = y! !+z¡ J= © , ,

«ª ¹»º 1

2 0

1

2 1

A

AI _I

FI

F

[ ]FI"!" = u v!+!+w! ¡I=© , ,

«ª ¹»º 1

2

1

2 1 1

63

4. V

ector

2. Debemos igualar

componente a

componente y resolver:

3. Como la única solución es la

trivial, los

vectores son linealmente independientes. , ,

12.

a)

1. La matriz formada por

las componentes

de los colocadas verticalmente , , , tores vec

es:

2. orden 3, y no existen menores

de orden

mayor, luego:

3. Un su bco nju nto d e qu

e t en ga

el linealmente inde- de vectores máximo número

pendientes es , pues

a ellos

correspon- nulo de menor no columnas del den las

orden máximo que hemos hallado.

b)

1. La matriz formada por

las componentes

de los ent lm ica ert s v sta pue dis , , , es tor vec

e e s:

2. El menor

=

3 es no nulo, y todos los

menores de orden 3

que lo contienen son

nulos.

Así, .

3. Podemos hallar

como mucho 2 vectores

lineal- , , , e ntr s e nte die en dep in te men

; p

or po- om c sus de iz atr m la ues , p o mpl eje

nentes tiene un menor

no nulo de orden

má- ximo.

3.COORDENADAS DE UN PUNTO DEL ESP ACIO

13. •

Punto I:

En el sistema de referencia R 1 :

[ ] ,

, I y x AI

"!" !

! + =

¡

=

1 2 1

1 2 0

{ ,

} _!v _! u

!

s _! w _!v _! u

ran g ran

g } , , , {

(

) A = s_! _! w _!v _! u

= 2

1 2

4 5

A =

» º º º

1 2 3 1

4 5 6 3

7 8 9 5

!

s _! w _!v _! u

{ , ,

} _! w _! v _! u

{ , , ,

} _!s _! w _!v _! u

ran g ran

g } , , , {

(

) A = _!s _! w _!v _! u

= 3

=

17 es un menor no nulo

de

2 3 4

5 2 1

3 2 4

A =

» º º º

2 3 4 1

5 2 1 6

3 2 4 2

!

s _! w _!v _! u

! w !v ! u

k k k

1 2 3

1 2

2 6 0

2 4 3 0

3 4 0

=

+ + =

+ =

¿ À ² Á ²

1 1 2 3

0 = k = k =

•

Punto J:

•

Punto K:

A

AK

F

K

F

[ ] ,

, K w v u FK

"!"" !

!

! + + =

¡

=

1 2 1

2 1

2 1 1 2

[ ] ,

, K z y x AK

"!"" ! !

! + + =

¡

=

1 2 1

A

AJ

F

J

F

J

[ ] ,

, J w v u FJ

"! " ! !

! + + =

¡

=

1 2 2 1 2 1

2 2 1 2

[ ] ,

, J z y AJ

"!" !

! + =

¡

=

1 2 0

1 2 1

A AI

I

F

I

F

[ ] ,

, I w v u FI

"! " ! !

! + + =

¡

=

1 2 1

2 11

4. V

ector

(6)

14. Para hallar el extremo D de

un representante de cuyo origen sea el punto C, imponemos que:

, o sea: Igualando componente a componente:

6 = d 1 3 ¡ d 1 = 3

4 = d 2 4 ¡ d 2 = 8

2 = d 3 + 5 ¡ d 3 = 7

El extremo de dicho vector es D = (3, 8, 7).

15. Se cumple que:

(1) (2) Si imponemos la igualdad

(1), componente

a componente:

4 (m 1 a 1 , m 2 a 2 , m 3 a 3 ) =

= (b 1 a 1 , b 2 a 2 , b 3 a 3 )

Así, Por tanto, Finalmente, si aplicamos (2):

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ OM MN OM ON

AM

" ! "" " ! """ " ! """ " ! """

" + = + =

! ! """ ]

, , ,

, =

= _©« ª ¹

» º + _©« ª ¹

» º

11 2 3 3 2 3 2 1 1 2 = = , (,

) 2 44

[ ] ( , ,

)

,

AM m a m a m a

" ! """ =

=

1 1 2 2 3 3

11 2 73 2,, ( ) ,

, = _¹» º _©« ª

_©« ª ¹

» º

3 2 1 3

2 1 1 2

M b a b a b

a + + + © =

« ª ¹

» º =

= +

1 1 2 2 3

3 ₃

4 3

4

1 3 7

4

, ,

, , ,

( )

, ,

6 3 2

4 3 3 1

4

11 2 3 3

+ +

©« ª

¹ » º =

=

2 2

» º

4 4 4

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( )

m a b a

=

¿ À À ² ² Á ² ² ¡

= +

m b a

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 4 3

4 3

4

A

M

N

P

B

[ ] [ ] [ ] [

] PB NP MN AM

" ! """ " ! """ "!""

"!" = = =

4[ ] [

] AB AM

" ! """ "!"" =

( , , ) [ ] [ ]

( , = = = =

= 64

2

1

AB CD d c

d d "!""

"!"" ! !

2 2 3 1

2

3 ₄ ₃ ₅ ₃₄

5 ( , , ( ) , (, ) ,

)) d d d = d

[ ] [

] AB CD

"!"" "!"" = [

] AB

"!""

[ ] (,

, ) (, , ) (

, a b AB

"!"" !

! =

= =

1 72 3 16 64

, ,

) 2

Las coordenadas de los puntos M, N, P son: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

16. La fuerza resultante que

actúa sobre la partícula

es la sobre ella: se ejercen fuerzas que de las suma vectorial

Realizamos la suma geométricamente, con la

regla del paralelogramo:

17. Sean B = una base

de V 2 y

un vector cualquiera.

Como B es base, es un

sistema de

generadores, k luego

1 , k 2 reales tales que:

Veamos que k 1

, k 2 son únicos:

Supongamos que h 1 , h 2 !, tales que:

En este caso: La otra condición para que

sea base es que independientes, por son linealmente ,

lo que

la anterior la igualdad se dé para que única posibilidad

es que: k 1 h 1 = k 2 h 2 = 0, o sea: h

1 = k 1 , h 2 = k 2

!

y _! x

B x

y {, =

} _! _!

! ! ! ! ! ! !

!

0

1 2 1 2

1 1

= = + + =

=

u u k x k y h x h y

k h x

( )

( ) + + (

) h k

y 2 2

!

! !

! h x h u

y 2 + 1 =

! !

! k x k u

y 2 + 1 =

{,

} _!y _!x

! u

V

2 _} _{,

! ! x y

F

2 1 2

–

2

F

1

F

R 3

F

3

F

2 1 2

+

3

F

3

! ! !

! F + F ©« ª + F = R F

¹

» º ₂ 1 2

3 2 1

3

! ! !

! F F F

F ₊ ₊ ₂ ₌ R

1 2

3 2 1

3

M N

P =

» º = =

3 2 ₁₁

3 2 44

2 5

2

5 , ), , (, , , ,

, 5 5 2

» º

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ON NP ON OP

AM

"!"" " ! "" "!"" " ! "" "

! """ " + = + =

]

(, , ) , , ,

, =

= + _©« ª ¹

» º =

5 ₅ 2 ₁ 2 1 ₃ 2 2 44 5

2 2

» º

64

4. V

ector

14.

Para hallar el extremo D de un representante de cuyo origen sea el punto C, imponemos que:

, o sea:

Igualando componente a componente:

6 =d₁3 ¡ d₁=3

4 =d24 ¡ d2=8

2 =d3+5 ¡ d3=7

El extremo de dicho vector es D =(3, 8, 7).

15. Se cumple que: (1)

(2)

Si imponemos la igualdad (1), componente a compo-nente:

4 (m1a1, m2a2, m3a3) =

=(b1a1, b2a2, b3a3)

Así,

Por tanto,

Finalmente, si aplicamos (2):

[ON" !""] [= OM" !"""] [+ MN" !"""] [= OM" !"""] [+ "AM"""!!]

, , , ,

=

=©

«ª ¹»º+©«ª ¹»º

11

2 3

3 2

3

2 1

1

2 ==( , ,4 4 2 )

[ ] ( , , )

,

AM m a m a m a

" !"""

= =

=

1 1 2 2 3 3

11

2 7 3 2,, ( ) , ,

©

«ª 32 1¹»º =©«ª ¹»º

3

2 1

1 2

M= ©b + a b + a b + a

«ª

¹

»º =

= +

1 3 1 2 2 3 3

4

3 4

3 4 1 3 7

4

, ,

,, , ( )

, ,

6 3 2 4

3 3 1

4 11

2 3

3

+ +

©

«ª ¹»º =

=

22

©

«ª ¹»º

4

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( )

m a b a

=

¿ ÀÀ ² ² Á ² ²

¡

= +

m b a

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 4

A M

N

P B

[AM" !"""] [= MN" !"""] [= NP" !""] [ ]= PB" !" 4[AM" !"""] [= AB" !""]

( , , ) [ ] [ ]

( ,

= = = =

=

6 4 2

1

AB CD d c

d d

" !"" " !"" _{! !}

22,d3) ( , , 3 4 5 ) (= d13,d24,d3 ( ))5

[CD" !""] [= AB" !""]

[" !AB""] [AB" !""]= b a!!=( , ,1 6 3) ( , ,7 2 1 ) ( ,= 6 4,,2)

Las coordenadas de los puntos M, N, P son:

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

16. La fuerza resultante que actúa sobre la partícula es la suma vectorial de las fuerzas que se ejercen sobre ella:

Realizamos la suma geométricamente, con la regla del paralelogramo:

17. Sean B = una base de V2y un vector

cualquiera.

Como B es base, es un sistema de generadores,

luego k1, k2reales tales que:

Veamos que k1, k2son únicos:

Supongamos que h1, h2!, tales que:

En este caso:

La otra condición para que sea base es que

, son linealmente independientes, por lo que la

única posibilidad para que se dé la igualdad anterior es que:

k1h1=k2h2=0, o sea: h1=k1, h2=k2

! y !

x B= { , }x y

! !

! _! _! _! _! _! _!

!

0 ₁ ₂ ₁ ₂

1 1

= = + + =

=

u u k x k y h x h y

k h x

( ) ( )

( ) ++(k₂h y₂)!

! ! !

u= h x h y₁ + ₂

! ! !

u= k x k y₁ + ₂

{ , }x y! !

!

uV2

{ , }x y! !

F2

1 2

–2F1

FR ₃_F

3

F2

1

2 + 3F3

! ! ! !

FR = 2F1+_«ª©1₂F2+3F3¹_»º

! ! ! !

FR = 2F1+ 1₂F2+3F3

M= © N P

«ª ¹»º = =

11

2 3

3

2 4 4 2

5

2 5

, , , ( , , ) , , , 55

2

©

«ª ¹»º

[" !OP""] [= ON" !""] [+ NP" !""] [= ON" !""] [+ " !AM""""]

( , , ) , , , ,

=

= +©

«ª ¹»º =

4 4 2 3

2 1

1 2

5

2 5

5 22

©

«ª ¹»º

4. V

ector

(7)

18. a) Sea

son linealmente dependientes

rang (A) <3 !A!=0

0 =!A!=4 k +3 k 1 =k 1 k =1

Así, , , son linealmente dependientes si y sólo

si k =1.

b)

Desarrollando el determinante:

0 =!A!=k +2 k2+k k k32 =

=k3+2 k2+k 2

Si descomponemos este polinomio por Ruffini:

0 =(k 1) (k +1)(2 k)

k =1 , k =1 o k =2

Así, los vectores , , son linealmente

depen-dientes si y sólo si k =1, k =1 o k =2.

19.

Como !A!=24 +3 20 =7 |0, rang (A) =3, luego

rang =rang (A) =3, y por tanto, , , son

li-nealmente independientes.

Como , , son base de V3, podemos expresar

de manera única como combinación lineal de , , , esto es:

k1, k2, k3!únicos tales que:

Si expresamos cada vector en la base del enunciado, operamos e igualamos componente a componente, obtenemos:

Las componentes de en la base , , son, pues,

=(2, 5, 1).

20. Puesto que M y N dividen el segmento AB en tres par-tes iguales, debe cumplirse:

[AM" !"""]= 1[AB" !""] , [AN" !""]= [" !AB""] 3

2 3 !

d

! c ! b ! a !

d

k k

k k k

k k

2 3

1 2

1 2 3

1

2

3 2

4 13

2 5 3

2

+ =

=

+ + =

¿ À ²

Á ²

=

= =

=

5 1

3

k

! _! ! _!

d = k a k b k c₁ + ₂ + ₃

! c ! b ! a !

dV3

! c ! b ! a

{ , , }! ! !a b c

©

« ª ªª

¹

» º ºº

0 1 3

4 1 0

1 2 5

Sea A =

! w ! v ! u

, luego rang (A) <3 !A! =0.

A

k k

= ©

« ª ªª

¹

» º ºº

1 1

1 2 1 ! w ! v ! u

{ , , }u v w! ! !

A k k

k =

©

« ª ªª

¹

» º ºº 2 0 1

1 1 3

Si M =(m1, m2, m3) y N =(n1, n2, n3), las

componen-tes de los vectores que intervienen en las igualdades anteriores son:

Sustituyendo en las igualdades anteriores:

Por tanto, y .

21. Si M, N, P, Q dividen el segmento AB en cinco partes iguales, debe cumplirse:

[ ] [ ] ; [ ] [ ]

[

AM AB AN AB

AP

" !""" " !"" " !"" " !""

= 1 =

5

2 5 "" !"" " !"" " !""" " !""

]= 3[ ] ; [ ]= [ ]

5

4 5

AB AQ AB

N=©

«ª ¹»º 11

3 2

5 3 , ,

M=©

«ª ¹»º 16

3 0

7 3 , ,

n n

1 1

2 2

3 3

7 10

3

11 3

2 4 2

3 4

3

5 3 = ¡ =

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

" !"" " !""

=

+ =

2 3

7 2 3 2

3

1 2 3 5 6 2, , )

m m

1 1

2 2

3 3

7 5

3

16 3

2 2 0

3 2

3

7 3 = ¡ =

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

" !""" " !""

=

+ =

1 3

7 2 3 1

3

1 2 3 (( , ,5 6 2 )

[AB" !""] (= 2 7 4 , ( ),2 1 3 ) ( , ,= 5 6 2 )

[ ] ( , ( ), )

( ,

AN n n n

n n

" !""

= =

= +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 2,,n33)

[ ] ( , ( ), )

( ,

AM m m m

m m

" !"""

= =

= +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 22,m₃3)

5 10

5

A = (7, –2,3)

B = (2,4,1) M N

X

Z

Y

5

65

4. V

ector

18.

a)

Sea son linealmente dependientes

rang (A)

<

3

! A !

=

0

=

! A !

=

4k

+

3k

1

=

k

1

k

=

1

Así, , , son linealmente dependientes si

y sólo si k

=

1.

b)

Desarrollando el determinante:

0

=

! A !

=

k

+

2k 2

+

k

k 3

2

=

k 3

+

2k 2

+

k

2 Si descomponemos este polinomio por Ruffini:

0

=

(k

1) (k

+

1)(2

k)

k

=

1 , k

=

1 o k

=

2

Así, los vectores

, , son linealmente

dependientes si y sólo si k

=

1, k

=

1 o k

=

2.

19. Como ! A !

=

24

+

3

20

=

7

|

0, rang (A)

=

3, luego rang

=

rang (A)

=

3, y por tanto, ,

,

son linealmente independientes.

Co mo , , so n b ase d e V 3 , p od em os exp res

ar de combinación lineal única como de manera

, , , esto es:

k 1 , k 2 , k 3

!

únicos tales que:

Si expresamos cada vector

en la base del

enunciado, om a c te en pon com os am ual ig e mos era op

pon en

te, obtenemos:

Las componentes de

en la base , ,

son, pues, 1). 2, 5, ( =

20. Puesto que

M y N dividen el segmento

AB en

tres partes iguales, debe cumplirse:

[ ] [ ], [ ] [

] AB AN AB AM

" ! """ "!""

"!""

"!"" = 1 =

3 2

3

! d

! c _! b ! a _! d

k k

k k k

k k

2 3

1 2

1 2 3

1 2

3 2

4 13

2 5 3

2 = +

=

+ + =

¿ À ² Á ²

=

= = =

5

1 3 _k

! ! !

! k b k a k d

c 3 + 2 + 1 =

! c

! b !a

! d

V

3

! c

! b !a

! c _! b ! a } ! , _! bc ! a {,

» º º º

0 1 3

4 1 0

1 2 5

Sea A

=

! w !v ! u

, luego rang (A)

<

3

! A !

=

0. _A

k k k k

=

» º º º

1 1

1 2

1

! w !v ! u

{ , ,

} _! w _!v _! u

A k k k

=

» º º º

2 0 1

1 1 3 Si M

=

(m 1 , m 2 , m 3 ) y N

=

(n 1 , n 2 , n 3 ), las

componen- las igualdades vienen en que inter los vectores tes de

anteriores son: Sustituyendo en las igualdades anteriores:

Por tanto, y

.

21. Si M, N, P, Q dividen el segmento

AB en

cinco partes iguales, debe cumplirse:

[ ] [ ]; [ ] [ ]

[

AM AB

AN AB

AP

" ! """ "!""

"!""

"!"" = 1 =

5 2

5

" "!"" "!""

" ! """

"!"" [ ] [ ]; [ ]

] = =

3 5 4

5

AB AQ AB

N =

» º

11 3 2 5 3

,

, = M

» º

16 3 0 7 3

, ,

n n

1 1

2 2

3 3

7 10 3 11

3 2 4 2

3 4 3 5

3

=

¡

=

+ =

¡

=

¡

=

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

"!"" "!"" =

+

=

2 3

7 2 3 2

3 ₃ ₂ ₁

56

2 , ,

)

m m

1 1

2 2

3 3

7 5 3 16

3

2 2 0

3 2 3 7

3

=

¡

=

+ =

¡

=

¡

=

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

" ! """ "!"" =

+

=

1 3

7 2 3 1

3 ₃ ₂ ₁

( ( , ,

) 2 56

[ ] ( , ( ), ) ( , ,

) AB

"!"" =

=

56 3 1 2 74 2

2

[ ] ( , ( ), )

( ,

AN n n n

n n

"!"" =

=

+

1 2 3

1 2

7 2

3

7 2,,

) ₃ 3 n

[ ] ( , ( ), )

( ,

AM m m m

m m

" ! """ =

=

+

1 2 3

1 2

7 2

3

7 2 2

3 3 _,

) m

5 1

0

5

A

=

(7,

–

2, 3) B

=

(2, 4,

1) N M

X

Z

Y

5

4. V

ector

(8)

Si M = (m 1 , m 2 , m 3 ), N = (n 1 , n 2 , n 3 ), P = (p 1 , p 2 , p 3

), (q Q =

1 , q 2 , q 3 ) son las coordenadas de los

puntos que los vectores componentes de buscamos, las

que intervienen en las igualdades anteriores son:

Sustituyendo en las igualdades anteriores e

igualando componente a componente, obtenemos:

[ ] [ ]

( , , ) (

AP AB

p p p

"!"" "!"" =

+ =

3 5

1 4 1 3

5 ₃ ₂ ₁

3 35

2 , ,

)

n n

1 1

2 2

3 3

1 6 5 1

5 2 4

6

1 4 5 9

5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

"!"" "!"" =

+ =

2 5

1 4 1 2

5 ₃ ₂ ₁

3 35

2 , ,

)

m m

1 1

2 2

3 3

1 3 5 2

5

4 1 5

1 2 5 7

5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

" ! """ "!"" =

+ =

1 5

1 4 1 1

5 ₃ ₂ ₁

( (, ,

) 2 35

[ ] ( ( ), , ) (, ,

) AB

"!"" =

= 1 43 9 1 2

35 2

[ ] ( , ,

) q q q AQ

" ! """ = +

3 ₄ 2 ₁ 1

1

[ ] ( , ,

) p p p AP

"!"" = +

3 ₄ 2 ₁ 1

1

[ ] ( , ,

) n n n AN

"!"" = +

3 ₄ 2 ₁ 1

1

[ ] ( ( ), ,

)

( ,

AM m m

m

m m

" ! """ =

=

= +

1 2

3

1 2

1 4

1

1 4 4

1 3 _,

) m

5 10

5 2

A = ( –1, 4, 1) B = (2,

9, 3) Q P N M

X

Y

Z

Por tanto, y .

22. Debemos hallar

las componentes de los

vectores

, que verifican el sistema:

Podemos resolver el sistema

vectorial por reducción:

Sum an do las d os ecu aci on es, o bte nem os

, luego:

Si ahora consideramos la

segunda ecuación,

tomando componentes para operar:

Las componentes de los

vectores , buscados son:

23. Resolvemos por sustitución el sistema vectorial:

Despejando

!

y en la primera ecuación y

sustituyendo en la segunda, obtenemos: y realizando esta operación en componentes:

! x

=

+ =

1 3 51 14 35 37 ₁ 7

24 (, )] , , ( ) , , [(

, ) )

! ! ! !

!

! u x v x u x

v + = = 2 3

1 7

3 ( , ) (

)

2 3

! ! !

x y u

x y v

+ =

= ¿ À Á

!

! x

y =

= ), , (,

(, ,

) 1 11 2 10

!

y _! x

! ! ! ! !

! v x v y x

y = ¡ = +

=

2 2

32 4 21

11 (, ) , (,

, ) (11 02 , , )

! !

! u y

v + =

= +

=

1 5 1

5 23 1 32 4

1 5 5

( ) [( , , ) (, , )]

(, , ) (, ,

) 1 11 = 55

5 ! !

! v + u = y

3 2

! ! !

y x u

x y v

=

+ = ¿ À Á

!

y _! x

Q = © « ª ¹

» º 7 5 8 13 5

,

, = P

» º 4 5 7 11 5

, ,

M

N © « ª =

2 5 5 7 5 1

5 6 9 5

, , , ,

, ,

q q

1 1

2 2

3 3

1 12 5 7

5 4 4

8

1 8 5 13

5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , )

AQ AB

q q q

" ! """ "!"" =

+ =

4 5

1 4 1 4

5 ₃ ₂ ₁

( (, ,

) 2 35

p p

1 1

2 2

3 3

1 9 5 4

5

4 3 7

1 6 5 11

5

+ = ¡ =

= ¡ =

66

4. V

ector

Si M =(m1, m2, m3), N =(n1, n2, n3), P =(p1, p2, p3),

Q =(q1, q2, q3) son las coordenadas de los puntos que

buscamos, las componentes de los vectores que inter-vienen en las igualdades anteriores son:

Sustituyendo en las igualdades anteriores e igualando componente a componente, obtenemos:

[ ] [ ]

( , , ) (

AP AB

p p p

" !"" " !""

=

+ =

3 5

1 4 1 3

5

1 2 3 33 5 2, , )

n n

1 1

2 2

3 3

1 6

5

1 5

4 2 6

1 4

5

9 5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

" !"" " !""

=

+ =

2 5

1 4 1 2

5

1 2 3 33 5 2, , )

m m

1 1

2 2

3 3

1 3

5

2 5

4 1 5

1 2

5

7 5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

" !""" " !""

=

+ =

1 5

1 4 1 1

5

1 2 3 (( , , )3 5 2

[AB" !""] (= 2 ( ),1 9 4 3 1 , ) ( , , )= 3 5 2 [AQ" !"""] (= q₁+1,q₂4,q₃1)

[AP" !""] (= p₁+1,p₂4,p₃1) [AN" !""] (= n₁+1,n₂4,n₃1)

[ ] ( ( ), , )

( ,

AM m m m

m m

" !"""

= =

= +

1 2 3

1 2

1 4 1

1 44,m31)

5 10

5

2

A = (–1, 4, 1)

B = (2, 9, 3)

MNPQ

X

Y

Z

Por tanto,

y .

22. Debemos hallar las componentes de los vectores , que verifican el sistema:

Podemos resolver el sistema vectorial por reducción:

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos ,

luego:

Si ahora consideramos la segunda ecuación, tomando componentes para operar:

Las componentes de los vectores , buscados son:

23. Resolvemos por sustitución el sistema vectorial:

Despejando !_{y en la primera ecuación y sustituyendo}

en la segunda, obtenemos:

y realizando esta operación en componentes: !

x = 1 + =

7 [ ( ,3 7 3 5, ) ( 14 5 13, , )] ( ,1 2 4, ))

! ! ! ! ! !

x3 u2x = v x= 1 u v+

7 3

( ) , ( )

2 3

! ! !

!x !y u!

x y v

+ =

=

¿ À Á

! !

x =( , , ) ,1 0 2 y=( , , )1 1 1

! y ! x

! ! ! ! ! !

x+ y = v¡ x = v y =

= =

2 2

3 2 4 2 1 1 1

( , , ) ( , , ) (11 0 2, , )

! ! !

y= u v+ = + =

= 1 5

1

5 2 3 1 3 2 4

1

5 5

( ) [( , , ) ( , , )]

( , , ) ( , , )5 5 = 1 1 1

5!y = u v!+!

3 2

! ! !

!y x! u!

x y v

=

+ =

¿ À Á

! y ! x

Q =©

«ª ¹»º

7

5 8

13 5 , ,

P= ©

«ª45 7 ¹»º

11 5 , ,

M= © N

7 5

1

5 6

9 5

, , , , , ,

q q

1 1

2 2

3 3

1 12

5

7 5

4 4 8

1 8

5

13 5

+ = ¡ =

= ¡ =

[ ] [ ]

( , , )

AQ AB

q q q

" !""" " !""

=

+ =

4 5

1 4 1 4

5

1 2 3 (( , , )3 5 2

p p

1 1

2 2

3 3

1 9

5

4 5

4 3 7

1 6

5

11 5

+ = ¡ =

= ¡ =

4. V

ector