PLANTEL 01 “EL ROSARIO” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

(1)

COLEGIO DE BACHILLERES

PLANTEL 01 “EL ROSARIO”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

PROBLEMARIO DE

MATEMÁTICAS IV

PLAN 2014

(FUNCIONES Y CÁLCULO DIFERENCIAL)

VERSIÓN

1.0

(2)

MATEMÁTICAS IV

El presente Problemario tiene la finalidad de mostrar ejercicios tipo extraordinario, así como el contenido esencial de la asignatura; de tal forma que este material puede ser utilizado para el programa REGULARIZATE y asesorías en general. Este Problemario debe ser entregado en hojas blancas indicando el procedimiento completo para llegar a la solución de cada uno de los ejercicios.

Contenido

1. FUNCIONES

 Relación y función desde el referente gráfico y simbólico

 Concepto y características de: relación, función, tipos de variables, dominio, contradominio, rango y regla de correspondencia.

 Representación gráfica de función (Diagrama sagital).

 Función: inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

 Características de funciones: Creciente, Decreciente, Periódica, Continuidad

 Funciones especiales: Constante, Identidad, Inversa, Valor absoluto, Escalonada, Racional, Irracional

 Transformaciones de funciones: Contracción y dilatación de funciones, Traslación, Reflexión, Rotación

2. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

 Función Lineal (Dominio, rango, regla de correspondencia, pendiente, ordenada y abscisa al origen, gráfica, creciente, decreciente y transformaciones de funciones lineales).

 Función cuadrática (Dominio, rango, regla de correspondencia, gráfica, creciente o decreciente, máximo o mínimo, ceros de la función, discriminante y transformaciones de funciones cuadráticas).

 Funciones Polinomiales de orden tres o mayor (Dominio, rango, gráfica, continuidad, creciente, decreciente, intersecciones con los ejes).

 Funciones Trigonométricas (Dominio, rango, gráfica, continuidad, periodo, amplitud).

 Función Exponencial (Dominio, rango, gráfica y asíntotas)

 Función Logarítmica (Dominio, rango, gráfica y asíntotas)

3. LIMITES Y DERIVADA

 Operaciones entre funciones: Suma, resta, multiplicación, división y composición.

 Límite de una función

 Noción intuitiva de la derivada.

 Reglas de derivación en funciones simples y compuestas: algebraicas, trigonométricas, directas, logarítmicas y exponenciales.

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1. Define los conceptos: función, rango, dominio, variable independiente, variable dependiente, monotonía 2. Tabula y construye la gráfica de las siguientes funciones lineales e identifica en cada una de ellas el valor de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b).

a) y=2x en el intervalo [0,4] en pasos de una unidad b) y=5 en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad c) y=-x en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad d) y=3x+2 en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad e) y=6x-2 en el intervalo [-4,4] en pasos de una unidad e) y=1/2x-3 en el intervalo [-4,4] en pasos de una unidad

3. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, tabula y obtén su dominio, rango, raíces (si tiene), coordenadas del vértice y monotonía.

a) 𝑦 = 𝑥2_{+ 4𝑥 + 1}_{en el intervalo [-5,1] en pasos de una unidad}

b) 𝑦 = 2𝑥2_{− 4𝑥 − 3}_{en el intervalo [-1,3] en pasos de0.5}

c) 𝑦 = 0.5𝑥2_{+ 𝑥 − 4}_{en el intervalo [-5,3] en pasos de una unidad}

d) 𝑦 = −𝑥2_{+ 4𝑥 − 4}_{en el intervalo [-1,5] en pasos de 0.5}

e) 𝑦 = −𝑥2_{+ 7𝑥 + 6}_{en el intervalo [-2,9] en pasos de una unidad}

f) 𝑦 = 3𝑥2_{− 7𝑥 − 10}_{en el intervalo [-2,4] en pasos de 0.5}

h) 𝑦 = 𝑥2_{en el intervalo [-5,5] en pasos de una unidad}

4. Grafica las siguientes funciones cubicas, tabula y obtén su dominio, rango, raíces (si tiene) y monotonía. a) 𝑦 = 𝑥3_{+ 𝑥}2_{− 7𝑥}_{en el intervalo [-4,3] en pasos de 0.5}

b) 𝑦 = 𝑥3_{− 𝑥}2_{+ 2𝑥}_{en el intervalo [-3,3] en pasos de 0.5}

c) 𝑦 = −𝑥3_{+ 4𝑥}2_{+ 7𝑥}_{en el intervalo [-3,6] en pasos de 0.5}

d) 𝑦 = −2𝑥3_{+ 4𝑥}2_{+ 10𝑥 + 5}_{en el intervalo [-2,4] en pasos de 0.5}

e) 𝑦 = 0.5𝑥3_{− 4𝑥}2_{+ 7𝑥 + 5}_{en el intervalo [-1,6] en pasos de 0.5}

f) 𝑦 = 𝑥3_{en el intervalo [-5,5] en pasos de una unidad}

5. Tabula y grafica los siguientes polinomios, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = −𝑥4_{− 2𝑥}3_{+ 2𝑥}2_{+ 3𝑥 + 3}_{en el intervalo [-3,2] en pasos de 0.2}

b) 𝑦 = 𝑥4_{+ 3𝑥}3_{− 𝑥}2_{− 3𝑥}_{en el intervalo [-3.2,1.2] en pasos de 0.2}

c) 𝑦 = 2𝑥4_{+ 3𝑥}3_{− 2𝑥}2_{− 1𝑥 + 2}_{en el intervalo [-2,1] en pasos de 0.2}

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MATEMÁTICAS IV

6. Tabula y grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color azul

b) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color rojo a) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color verde

¿Qué ocurre conforme el valor A en la expresión y= A sen(Bx+C) cuando este se hace más grande?

7. Tabula y grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color azul

b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color rojo a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color verde

¿Qué ocurre conforme el valor B en la expresión y= A sen(Bx+C) cuando este se hace más grande?

8. Tabula y grafica las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes

b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes c) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(2𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes d) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes a) 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes

9. Tabula y grafica las siguientes funciones exponenciales, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑒𝑥_{en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.5}

b) 𝑦 = 𝑒−𝑥_{en el intervalo [0,6] en pasos de una unidad}

c) 𝑦 = 2𝑒𝑥_{en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.5}

d) 𝑦 = 3𝑒2𝑥_{en el intervalo [-1,1] en pasos de 0.2}

e) 𝑦 = 2𝑥 en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.2 f) 𝑦 = 4𝑥_{en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.2}

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10. Tabula y grafica las siguientes funciones logarítmicas. Obtén dominio y rango. a) 𝑦 = ln(𝑥) en el intervalo [0,2] en pasos de 0.1

b) 𝑦 = log (𝑥) en el intervalo [0,7] en pasos de una unidad c) 𝑦 = log2𝑥 en el intervalo [0,10] en pasos de una unidad

c) 𝑦 = log3𝑥 en el intervalo [0,10] en pasos de una unidad

11. Grafica las siguientes funciones auxiliándote de algún programa de computadora (Excel, Geogebra, etc.) a) 𝑦 = √𝑥

b) 𝑦 = √𝑥3

c) 𝑦 = |𝑥|

d) 𝑦 = |𝑥2+ 8𝑥 + 2|

e) 𝑦 = √𝑥 + 3

f) 𝑦 = |𝑠𝑒𝑛(𝑥)|

12. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 5𝑥 − 8 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 5) ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 2}

Obtener: a) (f+g)(x) b) (f-g)(x) c) (f)(g)(x) d) (f/g)(x)

e) f compuesta con g f) g compuesta con f

g) f(0)+g(1) h) f(1)/g(2) i) h(3)/h(0)

13. Resuelve los siguientes límites.

a)

lim

𝑥→3

𝑥2−3𝑥+8

𝑥2_−7𝑥+4 b) _𝑥→0

lim

2𝑥2+9𝑥+5

𝑥2_−11𝑥+10 c) _𝑥→0

lim

𝑥2+25𝑥

3𝑥2_−12𝑥+4 d) _𝑥→−1

lim

𝑥2−5𝑥−10

𝑥2_+𝑥+4 e) _𝑥→3

lim

𝑥2−9 𝑥 −3

f)

lim

𝑥→−7 𝑥2−49

𝑥 +7

g) 𝑥→6

lim

𝑥−6

𝑥2₋₃₆ h) _𝑥→−11

lim

𝑥2−121

𝑥+11

i)

lim

𝑥→4

𝑥2+𝑥−20

𝑥−4 j) 𝑥→5

lim

𝑥2−3𝑥−10 𝑥2_−𝑥−20

k)

lim

𝑥→−3

𝑥2+6𝑥+9

𝑥+3 l) 𝑥→−5

lim

𝑥2+10𝑥+25

𝑥+5 m)

lim

𝑥→3

𝑥2−4𝑥+3

𝑥−3

n)

𝑥→−7

lim

𝑥2+4𝑥−21

𝑥2_+9𝑥+14

o)

_𝑥→−5

lim

(6)

MATEMÁTICAS IV

14. Deriva las siguientes funciones:

1) 𝑓(𝑥) = 5 2) 𝑓(𝑥) = −8 3) 𝑦 = 5𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2

5) 𝑦 = −10𝑥 +6 6) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥

3_{+ 6𝑥 + 2} ₇₎_{𝑦 = 3𝑥}2_{− 2𝑥 + 7}₈₎_{𝑦 = −2𝑥}4_{+ 3𝑥}3_{− 5𝑥}2_{+ 100}

9) 𝑦 = 3𝑥100_{− 2𝑥}80₊1 4𝑥

40_{+ 8𝑥} ₁₀₎_{𝑓(𝑥) = −6𝑥}1₂_{+ 3𝑥}1₃_{+ 2}

15. Usando las reglas de derivación para multiplicación y división resuelve.

1) 𝑦 = (2𝑥 + 6)(3𝑥 + 5) 2) 𝑦 = (𝑥3_{+ 5𝑥)(2𝑥}2_{+ 3)} ₃₎_{𝑦 = (−4𝑥}5_{+ 6𝑥}3_)(7𝑥3_{+ 8𝑥)}

4) 𝑓(𝑥) = (𝑥2_{+ 3)(𝑥}4_{+ 2𝑥)(𝑥}5₎ ₅₎_{𝑦 = (−𝑥}4_{+ 2𝑥}3_{+ 3𝑥)(8𝑥}5_{+ 4𝑥}2_{− 2)}

6) 𝑦 =𝑥+3

𝑥+5 7) 𝑓(𝑥) =

𝑥2+5𝑥−3

𝑥2₊₈ 8) 𝑦 =

5 𝑥3

9) 𝑦 =2𝑥3−𝑥+1

𝑥2_+2𝑥+2 10) 𝑦 =

𝑥2₊₂

6

16. Usa la regla de la cadena para derivar

1) 𝑦 = (𝑥3_{− 2𝑥)}100 ₂₎_{𝑦 = (𝑥}5_{+ 2𝑥 + 16)}25 ₃₎_{𝑦 = √𝑥} ₄₎_{𝑦 = √𝑥 + 1}3

5) 𝑦 = √𝑥5 ₆₎_{f(x) = √(𝑥}3 2_{+ 2𝑥)} ₇₎_{y = (3𝑥}2_{+ 4𝑥)}8_{(2𝑥 + 1)}10

8)𝑦 = √(2𝑥 − 4)3 5 ₉₎₍2

3𝑥

3_{− 2𝑥}2_{+ 3)}2.5 ₁₀₎_{𝑦 = (−5𝑥}6_{+ 2𝑥}4₎1₂

17. Deriva las funciones trigonométricas siguientes.

1)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3) 2) 𝑦 = cos (𝑥2_{+ 12)} ₃₎_{𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(−3𝑥}2_{+ 4𝑥 + 2)}

4)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(9𝑥3_{+ 16𝑥}2_{)cos (2𝑥}2_{+ 6𝑥)} ₅₎_{𝑦 =} 𝑠𝑒𝑛(2𝑥+5)

cos (8𝑥2₊₁₎ 6) 𝑦 = (cos (9𝑥

2_{+ 5𝑥))}8

7) 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛(7𝑥 + 3) 8)𝑓(𝑥) = tan(2𝑥4_{− 3) cot (6𝑥 − 2)} ₉₎_{𝑦 =}sec (3𝑥+5) csc (5𝑥−3)

(7)

18. Deriva las funciones exponenciales siguientes.

1) 𝑦 = 𝑒3𝑥+1 ₂₎_{𝑦 = 𝑒}−𝑥 ₃₎_{𝑦 = 𝑒}5𝑥3+6𝑥2−3𝑥 ₄₎_{𝑦 = 𝑒}2𝑥+3_𝑒𝑥3 ₅₎_{𝑦 =}𝑒6𝑥+3 𝑒5𝑥3

6) 𝑦 = 5−3𝑥2₊₂

7) 𝑦 = 93𝑥+14 ₈₎_{𝑦 = (12}𝑥₎₍₄𝑥+5₎ ₉₎_{𝑦 =}123𝑥

34𝑥 10)𝑦 = 3 ∙ 6

9𝑥+8

19. Deriva las funciones logarítmicas siguientes.

1) 𝑦 = ln (2𝑥 − 9) 2) 𝑦 = ln (3𝑥4+ 𝑥) 3)𝑦 = ln (1

𝑥2) 4) 𝑦 = 6𝑙𝑛(3𝑥

2_{+ 2𝑥)}

5) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 5)) 6) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥2₎₎

20. Miscelánea de derivadas.

1) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛(5𝑥+3) ₂₎_{𝑦 = 𝑒}3𝑥+1_{cos (2𝑥 − 3)} ₃₎_{𝑦 = 6𝑥}4_{+ 𝑠𝑒𝑛(7𝑥) − 𝑙𝑛(𝑥}3₎

4) 𝑦 = 3cos (2𝑥+1) ₅₎_{𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑒}2𝑥_{+ 1)} ₆₎_{𝑦 = (𝑒}4𝑥_{+ 𝑒}3𝑥₎2

7)𝑦 = 6𝑒2𝑥

8)𝑦 = 𝑒3𝑥2

𝑐𝑜𝑠(5𝑥) 9)𝑦 = 15𝑒 5𝑥