PLANTEL 01 “EL ROSARIO” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Texto completo

(1)

COLEGIO DE BACHILLERES

PLANTEL 01 “EL ROSARIO”

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

PROBLEMARIO DE

MATEMÁTICAS IV

PLAN 2014

(FUNCIONES Y CÁLCULO DIFERENCIAL)

VERSIÓN

1.0

(2)

MATEMÁTICAS IV

El presente Problemario tiene la finalidad de mostrar ejercicios tipo extraordinario, así como el contenido esencial de la asignatura; de tal forma que este material puede ser utilizado para el programa REGULARIZATE y asesorías en general. Este Problemario debe ser entregado en hojas blancas indicando el procedimiento completo para llegar a la solución de cada uno de los ejercicios.

Contenido

1.

FUNCIONES

 Relación y función desde el referente gráfico y simbólico

 Concepto y características de: relación, función, tipos de variables, dominio, contradominio, rango y regla de correspondencia.

 Representación gráfica de función (Diagrama sagital).

 Función: inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

 Características de funciones: Creciente, Decreciente, Periódica, Continuidad

 Funciones especiales: Constante, Identidad, Inversa, Valor absoluto, Escalonada, Racional, Irracional

 Transformaciones de funciones: Contracción y dilatación de funciones, Traslación, Reflexión, Rotación

2.

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

 Función Lineal (Dominio, rango, regla de correspondencia, pendiente, ordenada y abscisa al origen, gráfica, creciente, decreciente y transformaciones de funciones lineales).

 Función cuadrática (Dominio, rango, regla de correspondencia, gráfica, creciente o decreciente, máximo o mínimo, ceros de la función, discriminante y transformaciones de funciones cuadráticas).

 Funciones Polinomiales de orden tres o mayor (Dominio, rango, gráfica, continuidad, creciente, decreciente, intersecciones con los ejes).

 Funciones Trigonométricas (Dominio, rango, gráfica, continuidad, periodo, amplitud).

 Función Exponencial (Dominio, rango, gráfica y asíntotas)

 Función Logarítmica (Dominio, rango, gráfica y asíntotas)

3.

LIMITES Y DERIVADA

 Operaciones entre funciones: Suma, resta, multiplicación, división y composición.

 Límite de una función

 Noción intuitiva de la derivada.

 Reglas de derivación en funciones simples y compuestas: algebraicas, trigonométricas, directas, logarítmicas y exponenciales.

(3)

1. Define los conceptos: función, rango, dominio, variable independiente, variable dependiente, monotonía 2. Tabula y construye la gráfica de las siguientes funciones lineales e identifica en cada una de ellas el valor de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b).

a) y=2x en el intervalo [0,4] en pasos de una unidad b) y=5 en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad c) y=-x en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad d) y=3x+2 en el intervalo [0,5] en pasos de una unidad e) y=6x-2 en el intervalo [-4,4] en pasos de una unidad e) y=1/2x-3 en el intervalo [-4,4] en pasos de una unidad

3. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, tabula y obtén su dominio, rango, raíces (si tiene), coordenadas del vértice y monotonía.

a) 𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥 + 1 en el intervalo [-5,1] en pasos de una unidad

b) 𝑦 = 2𝑥2− 4𝑥 − 3 en el intervalo [-1,3] en pasos de0.5

c) 𝑦 = 0.5𝑥2+ 𝑥 − 4 en el intervalo [-5,3] en pasos de una unidad

d) 𝑦 = −𝑥2+ 4𝑥 − 4 en el intervalo [-1,5] en pasos de 0.5

e) 𝑦 = −𝑥2+ 7𝑥 + 6 en el intervalo [-2,9] en pasos de una unidad

f) 𝑦 = 3𝑥2− 7𝑥 − 10 en el intervalo [-2,4] en pasos de 0.5

h) 𝑦 = 𝑥2 en el intervalo [-5,5] en pasos de una unidad

4. Grafica las siguientes funciones cubicas, tabula y obtén su dominio, rango, raíces (si tiene) y monotonía. a) 𝑦 = 𝑥3+ 𝑥2− 7𝑥 en el intervalo [-4,3] en pasos de 0.5

b) 𝑦 = 𝑥3− 𝑥2+ 2𝑥 en el intervalo [-3,3] en pasos de 0.5

c) 𝑦 = −𝑥3+ 4𝑥2+ 7𝑥 en el intervalo [-3,6] en pasos de 0.5

d) 𝑦 = −2𝑥3+ 4𝑥2+ 10𝑥 + 5 en el intervalo [-2,4] en pasos de 0.5

e) 𝑦 = 0.5𝑥3− 4𝑥2+ 7𝑥 + 5 en el intervalo [-1,6] en pasos de 0.5

f) 𝑦 = 𝑥3 en el intervalo [-5,5] en pasos de una unidad

5. Tabula y grafica los siguientes polinomios, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = −𝑥4− 2𝑥3+ 2𝑥2+ 3𝑥 + 3 en el intervalo [-3,2] en pasos de 0.2

b) 𝑦 = 𝑥4+ 3𝑥3− 𝑥2− 3𝑥 en el intervalo [-3.2,1.2] en pasos de 0.2

c) 𝑦 = 2𝑥4+ 3𝑥3− 2𝑥2− 1𝑥 + 2 en el intervalo [-2,1] en pasos de 0.2

(4)

MATEMÁTICAS IV

6. Tabula y grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color azul

b) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color rojo a) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color verde

¿Qué ocurre conforme el valor A en la expresión y= A sen(Bx+C) cuando este se hace más grande?

7. Tabula y grafica en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color azul

b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color rojo a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) en el intervalo [0, 2𝜋] en pasos de 0.2 Radianes en color verde

¿Qué ocurre conforme el valor B en la expresión y= A sen(Bx+C) cuando este se hace más grande?

8. Tabula y grafica las siguientes funciones trigonométricas, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes

b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes c) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(2𝑥) en el intervalo [0, 3𝜋] en pasos de 0.2 Radianes d) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes f) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes a) 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐(𝑥) en el intervalo [0, 4𝜋] en pasos de 0.2 Radianes

9. Tabula y grafica las siguientes funciones exponenciales, obtén su dominio y rango. a) 𝑦 = 𝑒𝑥 en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.5

b) 𝑦 = 𝑒−𝑥 en el intervalo [0,6] en pasos de una unidad

c) 𝑦 = 2𝑒𝑥 en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.5

d) 𝑦 = 3𝑒2𝑥 en el intervalo [-1,1] en pasos de 0.2

e) 𝑦 = 2𝑥 en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.2 f) 𝑦 = 4𝑥 en el intervalo [-1,2] en pasos de 0.2

(5)

10. Tabula y grafica las siguientes funciones logarítmicas. Obtén dominio y rango. a) 𝑦 = ln(𝑥) en el intervalo [0,2] en pasos de 0.1

b) 𝑦 = log (𝑥) en el intervalo [0,7] en pasos de una unidad c) 𝑦 = log2𝑥 en el intervalo [0,10] en pasos de una unidad

c) 𝑦 = log3𝑥 en el intervalo [0,10] en pasos de una unidad

11. Grafica las siguientes funciones auxiliándote de algún programa de computadora (Excel, Geogebra, etc.) a) 𝑦 = √𝑥

b) 𝑦 = √𝑥3

c) 𝑦 = |𝑥|

d) 𝑦 = |𝑥2+ 8𝑥 + 2|

e) 𝑦 = √𝑥 + 3

f) 𝑦 = |𝑠𝑒𝑛(𝑥)|

12. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥 − 8 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 5) ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 2

Obtener: a) (f+g)(x) b) (f-g)(x) c) (f)(g)(x) d) (f/g)(x)

e) f compuesta con g f) g compuesta con f

g) f(0)+g(1) h) f(1)/g(2) i) h(3)/h(0)

13. Resuelve los siguientes límites.

a)

lim

𝑥→3

𝑥2−3𝑥+8

𝑥2−7𝑥+4 b) 𝑥→0

lim

2𝑥2+9𝑥+5

𝑥2−11𝑥+10 c) 𝑥→0

lim

𝑥2+25𝑥

3𝑥2−12𝑥+4 d) 𝑥→−1

lim

𝑥2−5𝑥−10

𝑥2+𝑥+4 e) 𝑥→3

lim

𝑥2−9 𝑥 −3

f)

lim

𝑥→−7 𝑥2−49

𝑥 +7

g) 𝑥→6

lim

𝑥−6

𝑥2−36 h) 𝑥→−11

lim

𝑥2−121

𝑥+11

i)

lim

𝑥→4

𝑥2+𝑥−20

𝑥−4 j) 𝑥→5

lim

𝑥2−3𝑥−10 𝑥2−𝑥−20

k)

lim

𝑥→−3

𝑥2+6𝑥+9

𝑥+3 l) 𝑥→−5

lim

𝑥2+10𝑥+25

𝑥+5 m)

lim

𝑥→3

𝑥2−4𝑥+3

𝑥−3

n)

𝑥→−7

lim

𝑥2+4𝑥−21

𝑥2+9𝑥+14

o)

𝑥→−5

lim

(6)

MATEMÁTICAS IV

14. Deriva las siguientes funciones:

1) 𝑓(𝑥) = 5 2) 𝑓(𝑥) = −8 3) 𝑦 = 5𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2

5) 𝑦 = −10𝑥 +6 6) 𝑓(𝑥) =1

2𝑥

3+ 6𝑥 + 2 7) 𝑦 = 3𝑥2− 2𝑥 + 7 8) 𝑦 = −2𝑥4+ 3𝑥3− 5𝑥2+ 100

9) 𝑦 = 3𝑥100− 2𝑥80+1 4𝑥

40+ 8𝑥 10) 𝑓(𝑥) = −6𝑥12+ 3𝑥13+ 2

15. Usando las reglas de derivación para multiplicación y división resuelve.

1) 𝑦 = (2𝑥 + 6)(3𝑥 + 5) 2) 𝑦 = (𝑥3+ 5𝑥)(2𝑥2+ 3) 3) 𝑦 = (−4𝑥5+ 6𝑥3)(7𝑥3+ 8𝑥)

4) 𝑓(𝑥) = (𝑥2+ 3)(𝑥4+ 2𝑥)(𝑥5) 5) 𝑦 = (−𝑥4+ 2𝑥3+ 3𝑥)(8𝑥5+ 4𝑥2− 2)

6) 𝑦 =𝑥+3

𝑥+5 7) 𝑓(𝑥) =

𝑥2+5𝑥−3

𝑥2+8 8) 𝑦 =

5 𝑥3

9) 𝑦 =2𝑥3−𝑥+1

𝑥2+2𝑥+2 10) 𝑦 =

𝑥2+2

6

16. Usa la regla de la cadena para derivar

1) 𝑦 = (𝑥3− 2𝑥)100 2)𝑦 = (𝑥5+ 2𝑥 + 16)25 3)𝑦 = √𝑥 4) 𝑦 = √𝑥 + 13

5) 𝑦 = √𝑥5 6) f(x) = √(𝑥3 2+ 2𝑥) 7) y = (3𝑥2+ 4𝑥)8(2𝑥 + 1)10

8)𝑦 = √(2𝑥 − 4)3 5 9) (2

3𝑥

3− 2𝑥2+ 3)2.5 10) 𝑦 = (−5𝑥6+ 2𝑥4)12

17. Deriva las funciones trigonométricas siguientes.

1)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 3) 2) 𝑦 = cos (𝑥2+ 12) 3) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(−3𝑥2+ 4𝑥 + 2)

4)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(9𝑥3+ 16𝑥2)cos (2𝑥2+ 6𝑥) 5)𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥+5)

cos (8𝑥2+1) 6) 𝑦 = (cos (9𝑥

2+ 5𝑥))8

7) 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛(7𝑥 + 3) 8)𝑓(𝑥) = tan(2𝑥4− 3) cot (6𝑥 − 2) 9) 𝑦 =sec (3𝑥+5) csc (5𝑥−3)

(7)

18. Deriva las funciones exponenciales siguientes.

1) 𝑦 = 𝑒3𝑥+1 2) 𝑦 = 𝑒−𝑥 3) 𝑦 = 𝑒5𝑥3+6𝑥2−3𝑥 4)𝑦 = 𝑒2𝑥+3𝑒𝑥3 5) 𝑦 =𝑒6𝑥+3 𝑒5𝑥3

6) 𝑦 = 5−3𝑥2+2

7) 𝑦 = 93𝑥+14 8)𝑦 = (12𝑥)(4𝑥+5) 9)𝑦 =123𝑥

34𝑥 10)𝑦 = 3 ∙ 6

9𝑥+8

19. Deriva las funciones logarítmicas siguientes.

1) 𝑦 = ln (2𝑥 − 9) 2) 𝑦 = ln (3𝑥4+ 𝑥) 3)𝑦 = ln (1

𝑥2) 4) 𝑦 = 6𝑙𝑛(3𝑥

2+ 2𝑥)

5) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 5)) 6) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥2))

20. Miscelánea de derivadas.

1) 𝑦 = 𝑒𝑠𝑒𝑛(5𝑥+3) 2) 𝑦 = 𝑒3𝑥+1cos (2𝑥 − 3) 3) 𝑦 = 6𝑥4+ 𝑠𝑒𝑛(7𝑥) − 𝑙𝑛(𝑥3)

4) 𝑦 = 3cos (2𝑥+1) 5) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑒2𝑥+ 1) 6)𝑦 = (𝑒4𝑥+ 𝑒3𝑥)2

7)𝑦 = 6𝑒2𝑥

8)𝑦 = 𝑒3𝑥2

𝑐𝑜𝑠(5𝑥) 9)𝑦 = 15𝑒 5𝑥

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...