INSTITUTI POLITECNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Secretaria de Investigación y Postgrado
Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada
ESTUDIO NUMÉRICO DEL CAMPO DE VELOCIDAD Y
DE PRESIONES EN TUBERÍAS HORIZONTALES CON
COMBINACIÓN DE CODOS DE 90º
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN
CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA OPCIÓN
ENERGÉTICA
PRESENTA
Ing. VÍCTOR ROBERTO VERA ARENAS
DIRECTOR DE TESIS
CONTENIDO
RELACIÓN DE FIGURAS i
RELACIÓN DE TABLAS v
NOMENCLATURA vi
RESUMEN viii
ABSTRACT ix
INTRODUCCIÓN x
CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES SOBRE EL FLUJO EN TUBERÍAS
CURVAS Y ACCESORIOS
1.1 Importancia del flujo en tuberías 1
1.2 Estudios realizados sobre el flujo en tubería curvas 2 1.2.1 Comportamiento del flujo en tuberías curvas 3
1.2.2 Caída de presión 5
1.2.3 Codo como elemento primario de medición 6
1.2.4 Separación de fases 8
1.2.5 Combinación de codos 11
1.3 Definición del problema 13
CAPÍTULO 2 TEORÍA SOBRE EL FLUJO EN TUBERÍAS Y ACCESORIOS
2.1 Flujo laminar y flujo turbulento 15
2.2 Flujo totalmente desarrollado 18
2.2.1 Región de entrada y flujo totalmente desarrollado 18
2.2.1 Presión y esfuerzo cortante 19
2.3 Flujo laminar totalmente desarrollado 22
2.3.1 Análisis de fuerzas aplicada directamente a un elemento
de fluido.
22
2.3.2 Perfil de velocidad laminar 25
2.4 Flujo turbulento totalmente desarrollado 29
2.4.1 Esfuerzo cortante turbulento 29
2.4.2 Longitud de Mezcla de Prandtl 35
2.4.3 Perfil fe velocidad turbulento 36
2.5 Pérdidas en flujos desarrollados en un tubo 41
2.5.1 Pérdidas menores en flujos desarrollados en tubos 44 2.5.2 Flujo a través de tubería curvas de 90° 45
CAPÍTULO 3 SIMULACIÓN NUMÉRICA
3.1 Generación del mallado en 3D, para tuberías curvas 49
3.1.1 Generación del mallado 49
3.1.2 Condiciones frontera 52
3.2 Modelo de turbulencia 52
3.2.2 Modelo de turbulencia k-e estándar 54
3.3 Estudio de independencia de malla 56
3.3.1 Cara frontal 56
3.3.2 Densidad de malla axial 57
3.4 Diseño de los experimentos numéricos 60
CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
4.1 Visualización de perfiles de velocidad 62
4.1.1 Perfiles de velocidad en un solo codo 62 4.1.2 Perfiles de velocidad en una combinación de codos 67
4.2 Distribución de presión. 76
4.2.1 Localización de las tomas de presión 77 4.2.2 distribución de la presión a lo largo de la tubería 77
CONCLUSIONES 83
RECOMENDACIONES 85
REFERENCIAS 86
Relación de Figuras
No. de Figura Titulo Página
Figura 1.1 Comportamiento del flujo dentro de un codo de 90° 3 Figura 1.2 Variación de los perfiles de presión y velocidad en un
codo y en la sección recta corriente abajo.
5
Figura 1.3 Descripción de las tomas de presión para un codo medidor de flujo (a), como para una placa de orificio (b).
8
Figura 1.4 Codo con ramificación ocupado como separador de fases, en los trabajos de [9,10].
9
Figura 1.5 Datos de separación de flujo en unión T, d3/d1=1 ,
USL=0.180 m/s y USG=10.8 m/s. H.R. Buell, Soliman (1994)
9
Figura 1.6 Datos de separación de flujo en unión T, d3/d1=1,
USL=0.056m/s y USG=12m/s. Azzopardi et al (1989).
10
Figura 1.7 Datos de separación de flujo en el codo. d3/d1=1 e inclinación de 15°, USL= 0.6951m/s y USG = 11.9m/s,
Hernández [9,10].
10
Figura 1.8 Arreglo de la tubería ocupada por Morrison [13] en sus trabajos.
11
Figura 1.9 Mallado de la sección transversal usado por Morrison [13].
12
Figura 1.10 Arreglo de dos codos con distinta orientación, Coffield
[12].
12
Figura 1.11 Comparación de resultados para solo codo (r/D = 1.2, codo de 90°), Coffield [12].
13
Figura 1.12 Resumen de los trabajos realizados por Coffield [12], correspondientes a una combinación de codos con distintas orientaciones.
13
Figura 2.1 a) Flujo en una tubería. b) Flujo estratificado dentro de una tubería.
15
Figura 2.2 a) Arreglo experimental para ilustrar el tipo de flujo. b) Representación de las estelas del colorante
16
Figura 2.3 Dependencia con respecto al tiempo de la velocidad del fluido en un punto.
17
Figura 2.4 Región de entrada, flujo en desarrollo y flujo totalmente desarrollado en un sistema de tubería.
18
Figura 2.5 Distribución de presión a lo largo de una tubería horizontal [14].
20
Figura 2.6 Caudal como función de la caída de presión en una tubería horizontal dada [14].
Relación de Figuras y Tablas
Figura 2.7 Movimiento de un elemento cilíndrico de fluido dentro de una tubería.
23
Figura 2.8 Diagrama de cuerpo libre de un cilindro de fluido. 23 Figura 2.9 Distribución del esfuerzo cortante dentro del fluido en
una tubería (flujo laminar o turbulento) y perfiles de velocidad característicos.
25
Figura 2.10 Diagrama de cuerpo libre de un cilindro de fluido para flujo en una tubería no horizontal.
28
Figura 2.11 Descripción de tiempo medio, u, y fluctuante, u′, de un parámetro para flujo turbulento.
30
Figura 2.12 Esfuerzo cortante en flujo laminar producido por el movimiento aleatorio de las moléculas.
31
Figura 2.13 Flujo turbulento como una serie de remolinos tridimensionales aleatorios.
32
Figura 2.14 Estructura de flujo turbulento en una tubería. a) Esfuerzo cortante, b) Velocidad media.
34
Figura 2.15 Notación para la teoría de longitud de mezcla. 35 Figura 2.16 Esquema de distribución de (a) esfuerzo cortante y (b)
velocidad cerca de una pared en flujo turbulento.
37
Figura 2.17 Flujo turbulento en tuberías lisas. 39 Figura 2.18 Exponente, n, para la ley de potencias para perfiles de
velocidad.
40
Figura 2.19 Perfiles de velocidad característicos para flujo laminar y flujo turbulento.
41
Figura 2.20 Características del flujo en un codo con esquina redondeada.
45
Figura 2.21 Coeficientes de curva deducidos por varios investigadores.
47
Figura 3.1 Geometría bajo estudio. 49
Figura 3.2 Mallado de la sección transversal de entrada (cara por donde entra el flujo).
50
Figura 3.3 Distancia entre nodos en la sección transversal del tubo. 51 Figura 3.4 Representación de la separación entre los volúmenes de
control.
51
Figura 3.5 Comparación de resultados de diferentes modelos de turbulencia y de datos experimentales.
53
Figura 3.6 Refinamiento de unas partes en la geometría bajo estudio.
59
Figura 3.7 Representación general de la geometría de los casos bajo estudio.
60
Figura 4.1 Comparación del perfil de velocidad turbulento obtenido en la simulación con un perfil de velocidad turbulento teórico, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
63
Figura 4.2 Perfiles de velocidad obtenido a lo largo de un codo de 90°, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m,
con Re de 44000.
Figura 4.3 Espectros de velocidad obtenido a lo largo de un codo de 90°, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
65
Figura 4.4 Vectores de velocidad a la salida del codo, a una distancia de 0D, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
66
Figura 4.5 Espectros de Velocidad a la salida de un solo codo, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
66
Figura 4.6 Perfiles de velocidad a la salida del codo de 90º (rotados a 90º para una mejor visualización).
67
Figura 4.7 Representación general de la geometría de los casos bajo estudio.
68
Figura 4.8 Perfiles de velocidad obtenido a lo largo de una combinación de codos de 90° en un plano horizontal, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000, para el caso 1.
69
Figura 4.9 Espectros de velocidad en los codos 1, 2 y 3, para el caso 1, con flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
70
Figura 4.10 Perfiles de velocidad para el caso 2, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
71
Figura 4.11 Perfiles de velocidad para el caso 3, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
71
Figura 4.12 Perfiles de Velocidad para el Caso 4, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
72
Figura 4.13 Perfiles de Velocidad para el caso 5, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
72
Figura 4.14 Perfiles de velocidad para el caso 6, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
73
Figura 4.15 Perfiles de velocidad para el Caso 7, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
73
Figura 4.16 Perfiles de velocidad para el caso 8, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
74
Figura 4.17 Perfiles de velocidad para el caso 13, para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
74
Figura 4.18 Representación esquemática de las zonas en donde se tomaron las presiones estáticas.
76
Figura 4.19 Distribución de presión a lo largo de la tubería en las partes internas y externa, caso 1.
78
Figura 4.20 Distribución de presión en la zona de los codos en las partes internas y externa, así como la diferencia de estas en su valor absoluto, caso 1.
79
Figura 4.21 Localización de la máxima diferencia de presión, para los 18 casos bajo estudio; para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
Relación de Figuras y Tablas
Figura 4.22 Localización de la presión máxima, para cada uno de los 18 casos bajo estudio; para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
80
Figura 4.23 Localización de la presión mínima, para cada uno de los casos 18 bajo estudio; para un flujo de agua en una tubería de 0.044 m, con Re de 44000.
81
Figura 4.24 Localización de la presión mínima, máxima y diferencia máxima para el caso 1; para un flujo de agua a diferentes números de Reynolds.
Relación de Tablas
No. de Tabla Titulo Página
Tabla 2.1 Coeficiente de pérdidas para codos de 90°. 46 Tabla 3.1 Separación entre los nodos radiales. 51 Tabla 3.2 Errores máximos y puntos donde se localizan estos,
para la independencia de malla de la cara frontal.
57
Tabla 3.3 Errores máximos y puntos donde se localizan estos, para la independencia de malla de la malla axial.
58
Tabla 3.4 Comparación de los errores máximos de un mallado uniforme contra mallados no uniformes, así como el punto donde se localizan estos.
58
Tabla 3.5 Errores máximos de mallados no uniformes, y puntos donde se localizan estos de la independencia de l malla axial. Con refinamiento solo en una parte de la geometría (30 cm antes y después del codo, así como el mismo codo).
59
Tabla 3.6 Matriz de pruebas para los casos bajo estudio. 61 Tabla 4.1 Matriz de pruebas para los casos bajo estudio. 68 Tabla 4.2 Alturas máximas, velocidad promedio y posición de los
casos más favorables en donde se obtuvo una velocidad menor a la promedio dentro de los codos.
75
Tabla A.1 Resultados de simulaciones para el análisis de la independencia de malla de la cara frontal.
88
Tabla A.2 Resultados de simulaciones para el análisis de la independencia de la malla axial.
89
Tabla A.3 Resultados de simulaciones de mallados uniformes contra mallados no uniformes.
89
Tabla A.4 Resultados de simulaciones de mallados no uniformes (antes, en y depuse del codo) para el análisis de independencia axial.
Nomenclatura
Nomenclatura
Símbolo Descripción Unidad
A Área m2
A, B, C Constantes de modelos -
Cp Coeficiente de calibración de la placa de orificio -
Cc Coeficiente de calibración del codo medidor de flujo -
D, d Diámetro de la tubería, distancia de un punto a otro m
E Energía total kJ/(kg · K)
e Altura de los granos de arena m
F, f Intensidad de turbulencia, factor de fricción -
g Gravedad m/s2
Gb Generación de energía cinética turbulenta, debida a la flotación kJ/(kg · K)
Gk Generación de energía cinética turbulenta, debida a bajos gradiente de
velocidad
kJ/(kg · K)
h Altura, elevación m
hc Pérdida debida a la curvatura m
hL Pérdida de carga hidrostática m
hl Perdidas en la curvatura debida a la longitud m
hp Pérdida excesiva en la tangente corriente abajo m
ht Pérdida total m
K Coeficiente de perdida -
keff Conductividad térmica efectiva W/(m · K)
L, l Longitud m
le Longitud de entrada, longitud equivalente de tubería recta m
le Longitud de mezcla m
n Exponente de la “ecuación de potencias para el perfil de velocidad en una tubería”
-
P Presión estática Pa Prt Número de Prandtl turbulento -
R, r Radio de la tubería; radio medio de curvatura del codo, distancia del centro de la tubería, relación de separación entre nodos
m
r1 Radio interno de curvatura del codo m
r2 Radio externo de curvatura del codo m
Re Número de Reynolds - S Numero de Schmidt -
T, t Intervalo de tiempo, tiempo s
to Tiempo inicial s
Q Flujo volumétrico m3/s
u Vector de velocidad m/s
u´, v´, w´ Fluctuación de la velocidad, en el eje x, y ó z m/s
u* Velocidad de fricción m/s
u Velocidad promedio dentro de la tubería m/s
V Velocidad promedio dentro de la tubería m/s
Vc Velocidad en la línea central de la tubería m/s
X, Y, Z Ejes del espacio cartesiano -
YM Generación de energía debida a la compresión fluctuante en flujos
turbulentos compresibles
Símbolos Griegos
Símbolo Descripción Unidad
∆P Caída de presión a lo largo de una tunería Pa ∆Pr Caída de presión radial en un codo Pa
γ Peso especifico del fluido N/m3
κ, Números de Prandtl para κ y respectivamente -
Espesor de la subcapa límite m Disipación de energía cinética kJ/kg · K η Viscosidad de remolino
κ Producción de energía cinética turbulenta kJ/kg · K
µ Viscosidad dinámica N · s/ m2 ν Viscosidad cinemática m2/s ρ Densidad kg/m3
w lam tur
Esfuerzo cortante, en la pared, laminar y turbuleto Pa
Abreviaciones
Símbolo Descripción Unidad
Pe Presión en la parte externa de la tubería Pa
Pi Presión en la parte interna de la tubería Pa
Le Lado externo -
Resumen
Resumen
Se realizo el estudio del comportamiento de los perfiles de velocidad y la distribución de presiones a lo largo de una tubería horizontal con combinación de codos de 90º grados, mediante la simulación computacional con el programa FLUENT©.
Para la elección del modelo de turbulencia, se probaron distintos modelos de turbulencia con los que el mismo simulador cuenta, estos a saber son: κ-ε
Estándar, RNG y Realizable, así como los modelos κ-ω Normalizado y SST, y se compararon con datos experimentales obtenidos por Sánchez [1], estas simulaciones se realizaron con un solo codo de 90º en posición horizontal. El diámetro de la tubería es de 0.044 m, con un radio de curvatura de 0.1 m, con una velocidad de entrada de 1 m/s (lo que corresponde a 44000 Re).
Aunque dentro el programa FLUENT® existen otros modelos de turbulencia como el Sparlat-Allmaras, Esfuerzos de Reynolds y LES (Simulación de Grandes Remolinos, siglas en Inglés), no se ocuparon debido a que el primero de estos es ocupado para flujos externos, y los otros dos modelos, debido a que su formulación es mucho más completa y compleja, y rebasa por mucho el tiempo de computo.
También se desarrollo un estudio de independencia de malla, en la cual se pudo observar que combinar diferentes densidades de mallas para una misma geometría, reduce los tiempos de cómputo comparado con una malla uniforme alrededor de 1.5 h.
Se visualizo que las presiones en las paredes de la tubería, denominadas Pe y Pi, se incrementan y disminuyen según la posición de los codos, originando con esto una diferencia de presión en el codo │Pe-Pi│, la cual es muy útil para la fabricación de codos medidores de flujo y separadores de fases en un flujo bifásico.
Cuando se tiene una combinación de dos codos, la velocidad cercana al radio externo del segundo codo, tiene una magnitud de 0.471 m/s, con una altura de
Abstract
The water flow behavior going through a horizontal pipe with a combination of three 90º elbows was studied, the velocity profile and the pressure distribution were obtained numerically using the computational code FLUENT©.
Several models of turbulence were tested, for the turbulence model selection. All
the models tested are included in the computational code that is, κ-ε standard,
RNG and realizable, the normalized κ-ω and the SST model, all the above models
were compared using experimental data obtained by Sánchez and Hernández [1]
who used a single 90º elbow is a horizontal position, so the simulation was carried
on using the same conditions, in a 0.044 m internal diameter pipe, with a 2.27 d
curvature radius elbow, and an average inlet velocity of 1 m/s which corresponds a
Reynolds number of 44,000.
In the FLUENT® code, other turbulence models are included as the Sparlat-Allmaras, the Reynolds Stress and the LES (large eddy simulation), they were not used because the first one is used for external flow and the others because their formulation is much more complete and complex, and so they employ a lot of computing time.
The mesh independence was also undertaken, in which it was possible to observe that the combination of several mesh densities for a given geometry reduces the
computational time compared against a uniform mesh around 1.5 hours.
The static pressure on the pipe walls, Pe and Pi, were observed to increase and
decrease according to the elbows position, producing an interesting radial pressure
difference in the elbow │Pe-Pi│ which is useful for the elbow characterization as a
mass flow measurement instrument or as a phase separator devise in two phase flow applications.
With a combination of two elbows, the velocity near the external radius of the
second elbow, has a magnitude of 0.471 m/s until a deepness of 0.015 m , that is 34
% of the pipe diameter. This happens with the condition that there is not a flow
Introducción
Introducción
Cuando consideramos las comodidades y necesidades de la vida diaria, es en verdad sorprendente observar el papel que desempeñan los conductos. Por ejemplo, el agua que utilizamos en nuestros hogares se transporta por medio de tuberías para que dispongamos de ella cuando y donde la necesitemos. Además, prácticamente toda esta agua sale de nuestras casas en forma de deshechos diluidos por drenajes, otro tipo de conductos. Aparte del uso doméstico, el consumo de agua en la industria es enorme, desde el procesamiento de productos agrícolas hasta la manufactura de acero y papel. Toda el agua que se utiliza en estos procesos es transportada por medio de sistemas de tuberías. En estados unidos, sólo la industria del petróleo transporta alrededor de 20 millones de barriles de petróleo líquido por día, sin contar los miles de millones de pies cúbicos de gas transportado por gasoductos [4].
Así mismo, en las redes de tuberías en donde se transporta cualquier tipo de fluido, ya sea líquidos, gases o combinación de estos (flujos multifásicos), los
codos son accesorios de acoplamiento, necesariamente empleados debido a los
cambios de dirección que debe tomar el flujo para dar flexibilidad al sistema.
En estos accesorios, existe un fenómeno de separación de las fases de un flujo bifásico que fluye a través de un codo con ramificación debido a la acción de la fuerza centrifuga. Por lo tanto, un codo con ramificación puede ser utilizado como un elemento útil en la industria de procesamiento, principalmente como separador de fases.
En este trabajo se presenta la primera de tres etapas de un proyecto de investigación en el que se estudia la separación del flujo, caídas de presión y zonas de menor velocidad que ocurren cuando un flujo atraviesa una serie de codos de 90º en posición horizontal.
En el Capítulo 1, se da un panorama del estudio realizado recientemente sobre el flujo en tuberías curvas, tanto para flujo en una sola fase, así como para un flujo bifásico. Estos estudios han sido realizados tanto en simulación como experimentalmente. Aunque a últimas fechas la tendencia es la simulación, ya que ofrece ventajas de espacio y el costo de los equipos para la experimentación son elevados, todo esto en comparación espacio y costo de del equipo de computo. En
el Capitulo 2 se dan los fundamentos del flujo de un fluido en una tubería, para
En esta primera etapa, se modela el flujo de un fluido en una sola fase que pasa a través de una combinación de codos de 90º, esto se desarrollará en el Capítulo 3. Todo esto con la finalidad de encontrar las zonas de menor velocidad y mayor velocidad dentro de la tubería, que serán analizados en el Capitulo 4, ya que estos resultados, nos ayudarán a elegir la zona y el diámetro de la tubería, la cual se utilizara como ramificación en la zona de menor velocidad, para construir un separador de fases.
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
Capítulo
1
Antecedentes sobre el
flujo en tuberías curvas y
accesorios
Con el fin de poder plantear el problema en consideración, en este capítulo se hace una descripción de la importancia del flujo en tuberías curvas en diversos procesos industriales, se muestran también las investigaciones realizadas sobre este fenómeno para conocer la forma en que se ha atacado el problema, así como los resultados que se tienen para poder establecer las condiciones en las que se desarrollará el presente trabajo.
1.1 Importancia del flujo en tuberías
Cuando consideramos las comodidades y necesidades de la vida diaria, es en verdad sorprendente observar el papel que desempeñan los conductos. Por ejemplo, el agua que utilizamos en nuestros hogares se transporta por medio de tuberías para que dispongamos de ella cuando y donde la necesitemos. Además, prácticamente toda esta agua sale de nuestras casas en forma de deshechos diluidos por drenajes, otro tipo de conductos. Aparte del uso doméstico, el consumo de agua en la industria es enorme, desde el procesamiento de productos agrícolas hasta la manufactura de acero y papel. Toda el agua que se utiliza en estos procesos es transportada por medio de sistemas de tuberías. En Estados Unidos, sólo la industria del petróleo transporta alrededor de 20 millones de barriles de petróleo líquido por día, sin contar los miles de millones de pies cúbicos de gas transportado por los gasoductos [2].
En los ejemplos anteriores, el transporte de fluido es el objetivo principal, pero hay numerosas aplicaciones en las que el flujo es una parte necesaria pero secundaría dentro de un proceso. Por ejemplo, los sistemas de calefacción y ventilación, así como las plantas de generación de energía eléctrica, utilizan el flujo en conductos para hacer circular fluidos y transportar energía de un lugar a otro.
Los motivos por los que se presenta este cambio de dirección se encuentran en lo que el proceso mismo persigue; así por ejemplo, en un intercambiador de calor se necesita una mayor transferencia de energía entre el fluido y las paredes sólidas con las cuales está en contacto, como en los generadores de vapor, en los sistemas de enfriamiento para automóviles (radiador), frigoríficos, etc. Otra de las causas se encuentra en los efectos de mezclado que se inducen a la salida después de pasar el flujo por pasajes curvos, siendo aprovechado este fenómeno en equipos químicos.
Para los diseñadores de ductos, ya sea para manejar los fluidos en plantas industriales o conducirlos a través de de regiones geográficas, los efectos de cambio de dirección son de gran importancia, aquí se inducen fenómenos tales como caídas de presión, inestabilidades de flujo, etc., que tienen repercusiones importantes en el gasto de la energía del sistema de conducción, en los dispositivos para medir el flujo, en la erosión o en las vibraciones de la tubería.
Al pasar un flujo (monofásico) por una tubería curva se origina, una diferencia de presión radial que puede ser empleada para determinar la cantidad de fluido que circula por el sistema. Este método de medición presenta dos importantes ventajas en relación con otros métodos: bajo costo de su instalación y mantenimiento, así como la facilidad de su operación. Su aplicación es justificable en sistemas donde no se requiere gran exactitud como puede ser el caso del monitoreo del flujo volumétrico, ya que, su principal desventaja es precisamente la baja exactitud que presenta. También, para poder implementar este método de medición de flujo, se requiere realizar una calibración del elemento, preferentemente en el lugar a utilizar [1,2,3].
Existe también otro fenómeno importante cuando se transportan mezclas bifásicas, en donde en el interior del codo, debido a la diferencia de presiones que se genera dentro del mismo y a las diferentes densidades de los componentes de la mezcla bifásica, estos tienden a separarse dentro del codo, lo cual puede aprovecharse para que funcione como un separador de fases bifásicas.
Los campos de presión y velocidad en la región de la tubería curva obedecen a fenómenos complejos que requieren un análisis detallado, y esto es lo que se persigue en este trabajo de investigación con el objeto de poder conocer la forma en que influyen diversos parámetros como la velocidad de entrada, diámetro de la tubería, radio de curvatura, la posición angular, etc., en las lecturas de presión radial para determinar: el flujo volumétrico de la sección curva de la tubería, y el punto donde debe ser colocado el separador de fases.
1.2 Estudios realizados sobre el flujo en tuberías curvas.
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
elemento, longitud requerida corriente arriba y corriente abajo, para poder tener un flujo completamente desarrollado, distribución de temperatura, diferencia entre el flujo en tuberías rectas y curvas, efectos de entrada y salida, etc. También, solo se habían considerado los estudios en dos dimensiones y en regímenes de flujo laminar, debido a su mayor facilidad y a las restricciones de cómputo. Esto sin embargo no ocurre en la mayoría de los casos reales, en donde el fenómeno que ocurre en tuberías curvas es tridimensional, con un comportamiento de flujo viscoso y generalmente en régimen de flujo turbulento.
Una característica importante que distingue el flujo en ductos curvos de aquel en tuberías rectas, es el flujo secundario inducido en dos planos transversales, y es debido a la fuerza centrífuga generada por la curvatura del ducto. Típicamente este flujo secundario consiste de un par de vórtices en el plano transversal y persiste aun asintóticamente a una cierta distancia corriente abajo. Las consecuencias que se tienen con este flujo secundario, es que ocurre una distorsión del perfil de velocidad para el flujo axial en el plano vertical y horizontal, existe un mezclado de partículas de fluido, y como consecuencia se presenta un incremento en la transferencia de calor, masa y momento y, adicionalmente un caída de presión longitudinal y radial (Ver figura 1.1).
Figura 1.1 Comportamiento del flujo dentro de un codo de 90°.
1.2.1 Comportamiento del flujo en tuberías curvas.
partículas de fluido de esta pared hacia los costados, dirigiéndose después, a través de los mismos hacia el centro de la sección transversal y luego hacia la pared interior creando una circulación transversal. En un mismo plano de simetría, el fluido es dirigido entonces de la pared interior a la exterior. La capa límite se desarrolla primero en la parte exterior y es transportada a través de los costados hacia la pared interna donde las dos corrientes de fluido chocan originando una corriente de flujo que abandona la pared interna y se dirige a la externa [3].
De acuerdo a lo escrito anteriormente, se establece entonces que en una tubería curva con sección transversal circular, rectangular o elíptica, se genera un flujo secundario debido a los diferentes efectos de los gradientes de presión transversales.
El flujo secundario provoca que haya un mayor coeficiente de transferencia de calor, aumenta los efectos de mezclado en la sección transversal. La configuración geométrica de un ducto con forma curva es sugerida como un medio conveniente y eficiente para producir el flujo secundario. Por consiguiente, si se compara un ducto recto con uno curvo, este último tiene muchas ventajas para ser usado en intercambiadores de calor y como mezcladores tubulares.
El cambio de dirección del flujo en tuberías curvas, trae como consecuencia, la aparición de fuerzas centrifugas dirigidas desde el centro de la curvatura a la pared externa del tubo. Esto ocasiona un incremento de la presión en la pared externa y un decremento en la pared interna, cuando el flujo pasa de la sección recta de la tubería a la sección curva [1], esto se puede ver más claramente en la figura (1.2). Por lo tato, la velocidad del flujo será como consecuencia más pequeña en la pared externa y más grande en la pared interna. De aquí que, en el codo ocurre un efecto de difusor cerca de la pared externa y un efecto de boca de campana en la pared interna. El paso del flujo de la zona curva a la sección recta, se presentan los mismos efectos mencionados anteriormente, pero ahora se ocurren en un orden inverso; cerca de la pared interna se tiene un efecto difusor y en la cercanía de la pared externa un efecto de boca de campana. El efecto difusor conduce a una separación del flujo en las dos paredes. En este caso, la separación en la pared interna se intensifica por las fuerzas de inercia que actúan en la zona curva en la dirección hacia la pared externa.
Corriente abajo, se propaga una zona de vórtices, que es formada por la separación del flujo en la pared interna, y que reduce la sección transversal de la corriente principal (Ver figura 1.2).
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
pared interna, y esto, junto con los flujos secundarios, determina la naturaleza de la distribución de velocidad corriente abajo del codo.
Figura 1.2 Variación de los perfiles de presión y velocidad en un codo y en la sección recta corriente abajo.
1.2.2 Caía de presión.
La caída de presión en una tubería es una de las principales incógnitas que tienen los ingenieros en el sistema de turbomaquinaría y sistemas de tuberías. Desde hace tiempo, se ha estudiado la relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds para un flujo desarrollado en una tubería recta (diagrama de Moody), y como es sabido, la caída de presión axial en una tubería recta es constante para un flujo desarrollado, no así en el caso de una tubería curva, el cual depende de otro parámetro como el radio medio de curvatura [4,5]. Lo anterior solo es valido para el flujo de una sola fase en una tubería horizontal y básicamente en líquidos, ya que en gases lo anterior no necesariamente se cumple debido a su expansión originada por la caída de presión.
La resistencia por fricción en un ducto curvo se incrementa considerablemente en comparación con un conducto recto, y a partir del factor de fricción se puede estimar la caída de presión total producida por el elemento, pero la distorsión de la presión a través de la sección transversal no se puede obtener. Para un flujo de una sola fase, la caída de presión en un accesorio se puede determinar experimentalmente trazando los gradientes de presión longitudinales antes y después del accesorio. La diferencia es la caída de presión provocada por la presencia del accesorio [4].
combinación de estos, además de que no se describe a detalle todo lo que esta ocurriendo dentro del codo, como son los vórtices, el campo de velocidad, intensidad de turbulencia, entre otros detalles de interés [6].
1.2.3 Codo como elemento primario de medición.
La medición del flujo volumétrico es de gran importancia en las industrias que requieren fluidos en sus procesos. Por lo tanto, esta medición de flujo tiene grandes efectos en la economía de la empresa ya que su presencia en el mercado puede ser afectada por la baja calidad de sus productos o por la mala atención a los clientes que puede ser debida a lo deficientes métodos de medición, que como se sabe involucran una gran variedad de principios fiscos de los cuales resultan tecnologías avanzadas como el rayo láser y el ultrasonido o en técnicas con principios de funcionamiento aparentemente sencillos como los instrumentos de presión diferencial.
Entre toda esta gama de instrumentos, los de presión diferencial ocupan un lugar importante en el área de medidores de flujo debido al alto porcentaje de dispositivos instalados que pertenecen a esta clasificación. En este tipo de instrumentos, el flujo del fluido es determinado usando la caída de presión provocada por una obstrucción que se inserta normalmente en el conducto donde el fluido fluye. La ecuación de flujo se desarrolla basándose en la ecuación de Bernoulli y se complementa con factores de corrección basados en observaciones experimentales que toman en cuenta la geometría del elemento primario, la repartición desigual del flujo, las inestabilidades de flujo, etc.
La obstrucción puede ser de diferentes configuraciones, así se tiene por ejemplo el tubo Vénturi, la placa de orificio, la tobera de flujo, etc. La forma convencional de usar estos instrumentos es insertándolos en una tubería horizontal o vertical de sección transversal constante con una longitud normalizada corriente arriba y abajo que asegure tener un flujo completamente desarrollado.
Los codos, también generan una diferencia de presión debido a su configuración geométrica. El uso de estos dispositivos como elementos primarios de medición no es un método nuevo, sin embargo, su difusión no ha sido amplia debido a la falta de estudios para su completa caracterización. Este método tiene importantes ventajas como son su simplicidad y menor costo comparado con cualquier otro instrumento de medición de flujo, además no introduce caídas de presión adicionales, lo que trae como consecuencia un ahorro de energía que de otra manera se requeriría complementariamente para recuperar la energía perdida por la obstrucción utilizada para la medición de flujo, con el consecuente efecto económico.
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
Q=VA (1.1)
donde A es el área transversal del conducto del flujo, V es la velocidad promedio del fluido en el área transversal del conducto y es determinada por medio de la ecuación de Bernoulli, lo que resulta (solo es valido para una tubería horizontal de sección constante, y para flujo incompresible)
2 P
V
ρ ∆
= (1.2)
Si se toma como ejemplo una placa de orificio, el flujo volumétrico está dado por la siguiente ecuación:
2
2 4
p P
C d P
Q π
ρ ∆
= (1.3)
En el caso de los codos usados como elementos primarios, el flujo de fluido se determina también con la diferencia de presión entre dos puntos, la principal diferencia con los otros dispositivos es que la diferencia de presión es radial en vez de axial (Ver figura 1.3). Si se aplica la ecuación de Euler a una línea de corriente se tiene:
2
1 P V
r r
ρ
∂ =
∂ (1.4)
Usando esta ecuación puede obtenerse la velocidad promedio en el codo la cual está expresada como;
2 1 2 ln r P V r r ρ ∆
= (1.5)
donde V es la velocidad tangencial promedio en el codo. Entonces, el flujo volumétrico en el codo está dado por:
2 2 1 2 4 ln C r
C d P
Q r r π ρ ∆
(a) Codo medidor de flujo (b) Placa de orificio
Figura 1.3 Descripción de las tomas de presión para un codo medidor de flujo (a), como para una placa de orificio (b).
Los coeficientes CP y CC en las ecuaciones (1.3) y (1.6) toman en cuenta la fricción entre el fluido y las paredes del ducto y las inestabilidades del flujo. Las ecuaciones (1.3) y (1.6) son similares en forma, ambas tienen una diferencia de presión multiplicada por parámetros geométricos del elemento, que pueden ser tomados también como coeficientes; de lo anterior se deduce que es posible usar la diferencia de presión radial en el codo para determinar el flujo de fluido en el sistema. Para hacer esto, es necesario determinar el punto donde ∆Pr es lo suficientemente grande para que sea más sensible al cálculo del flujo volumétrico.
1.2.4 Separación de fases.
Como se ha visto dentro de un codo que conduce un solo fluido (refiriéndonos a flujo monofásico; solo líquido o gas), ocurren distintos fenómenos, y estos mismos persisten aún para flujo bifásico, pero ahora aparece uno nuevo, que es la separación de las fases dentro del codo, y además la caída de presión dentro del accesorio para mezclas bifásicas tiene un comportamiento distinto.
Por lo anterior, hoy en día se están haciendo estudios con codos para ver su eficiencia como separadores de fases cuando se les adiciona una salida a 45º. En la figura 1.4, se muestra al codo con ramificación usado como separador de fases. El efecto de separación que existe, es un fenómeno que se había visualizado en otros accesorios como son las “Y” y las “T”, en donde las bases no se distribuían equitativamente en cada una de las salidas [7,8].
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
Figura 1.4. Codo con ramificación ocupado como separador de fases, en los trabajos de [9,10].
Según los resultados obtenidos en el trabajo de Hernández [9,10], es el líquido el que tiene mayor preferencia para salir por el ramal del codo y aunque la fracción de líquido extraído por el ramal resultó ser en el mejor de los casos de alrededor de 0.4 para la mayor relación de diámetros d3/d1, la fracción de gas acompañante
resulta ser apenas de 0.015, es decir, en el ramal la fracción de líquido es cerca de 26 veces mayor que la fracción de gas. Lo anterior hace notar que, en realidad, el codo con ramificación funciona mejor como separador de fases que una unión T. Esto se puede ver más claramente en las figuras 1.5, 1.6 y 1.7, en donde se compara al codo con ramificación con una unión T, como separadores de flujo, ambos con similares características de relación de diámetros y patrón de flujo.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.25 0.5 0.75 1
WL3/WL1
WG
3
/WG
1
Figura 1.5 Datos de separación de flujo en unión T, d3/d1=1 , USL=0.180 m/s y USG=10.8 m/s. H.R.
Buell, Soliman (1994)
d =0.5"
θ = 0°, 15° Y 45° 45
°
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
WL3/WL1
WG
3
/WG
1
Figura 1.6 Datos de separación de flujo en unión T, d3/d1=1, USL=0.056m/s y USG=12m/s. Azzopardi et
al (1989).
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
WL3/WL1
WG
3
/WG
1
Figura 1.7 Datos de separación de flujo en el codo. d3/d1=1e inclinación de 15°, USL= 0.6951m/s y USG= 11.9m/s, Hernández [9,10].
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
1.2.5 Combinación de Codos.
A pesar de que se han realizado diversos trabajos en los cuales se estudia a los codos como medidores de flujo, separadores de fases o simplemente se analizan los efectos que tienen estos sobre la caída de presión o la distorsión en el perfil de velocidad, aún quedan muchas dudas sobre su desempeño. En la actualidad se continúa con el estudio de este accesorio, pero ahora en combinación con otros, para analizar la influencia de otros accesorios vecinos.
Al tener una combinación de codos ya sea en un mismo plano o en planos diferentes, los perfiles de presión y de velocidad, así como la caída depresión se ven afectados considerablemente en comparación con el efecto de un solo codo
[11,12,13].
Morrison [13] trabajó con el arreglo de tuberías que se muestra en la figura 1.8, que consiste en dos codos separados por una distancia, la cual varía desde los 0D
hasta 11D. EL fluido de trabajo ocupado fue aire en una tubería de un diámetro de
10.16 cm, a un número de Reynolds de 800,000.
La malla utilizada por [13] en el trabajo consiste en 21 círculos concéntricos con 21 líneas radiales igualmente espaciadas en la sección del circulo, y 20 círculos concéntricos de sección constante, tal y como se muestra en la figura 1.9. Cabe mencionar que el perfil de entrada al arreglo experimental corresponde a un perfil de velocidad desarrollado, que se importó de una simulación anterior, esto para ahorrar tiempo de iteración. Se asume que el flujo es incompresible y el modelo de turbulencia ocupado es el modelo κ-ε RNG, y el programa utilizado es FLUENT® versión 4.3.
Figura 1.8. Arreglo de la tubería ocupada por Morrison [13] en sus trabajos.
-5D), la estructura de los vórtices persiste hasta una distancia de 12D corriente abajo del último codo.
Figura 1.9. Mallado de la sección transversal usado por Morrison [13].
Por otro lado, Coffield [12] realizó un trabajo de simulación de un flujo monofásico en una tubería muy parecida a la utilizada por Morrison, salvo que el segundo codo tenía una orientación distinta a la del primer codo (ver figura 1.8 y 1.10). Coffield estudió el efecto de la orientación de los codos así como la separación existente en ellos sobre la caída de presión.
En las figuras 1.11 y 1.12, se presentan los resultados más importantes de su investigación. En la primera de estas dos figuras compara la caída de presión producida por un solo codo fabricado de distintos materiales contra el número de Reynolds, y sugiere una correlación de los datos obtenidos. En la segunda figura, reporta el coeficiente de pérdidas promediado de los dos codos, con sus respectivas separaciones entre ellos, donde se puede observar que la orientación del segundo codo, tiene un efecto poco significante.
Figura 1.10. Arreglo de dos codos con distinta orientación, Coffield [12].
Dirección del flujo
Capítulo 1. Antecedentes sobre flujos en tuberías curvas.
Figura 1.11. Comparación de resultados para solo codo (r/D = 1.2, codo de 90°), Coffield [12].
Figura 1.12. Resumen de los trabajos realizados por Coffield [12], correspondientes a una combinación de codos con distintas orientaciones.
1.3 Definición del problema.
Como se ha visto, los codos son de gran importancia en la conducción de fluidos, ya que dan flexibilidad al sistema de conducción. Pero también pueden ser utilizados como elementos primarios de medición de flujo, así como separadores de fases de mezclas bifásicas.
Aunque se tienen caracterizado el comportamiento del flujo dentro de un codo en una tubería recta, no así el comportamiento del flujo en una combinación de codos. El interés de estudiar la combinación de codos, surge de la rápida
Coeficiente de perdida K
Reynolds (millones)
□ Codo de plástico
◊ Codo de metal No. 1
♪ Codo de metal No. 2
0.145
1.49 Re
K = −
K promediada / K de un solo codo
Distancia de separación, Ls/D
Angulo relativo
◊ 0°
expansión de las instalaciones denominadas paquetes, en donde en un reducido espacio se instala un planta de proceso, y es aquí, en donde hasta cierto punto, se hace uso arbitrario de los codos para librar equipos u otras tuberías, por lo que es necesario conocer la influencia de la combinación de codos sobre todo para efectos de mezclado y de instalación de instrumentos.
El objetivo de este trabajo de investigación es el de estudiar el comportamiento de los campos de velocidad y de presión en una combinación de codos de 90°. Esto con el fin de que los resultados obtenidos, puedan ser utilizados en la realización de instalaciones paquetes; aunque también los datos obtenidos pueden ser utilizados para determinar los puntos de mayor diferencia de presión radial, y con esto, poder hacer medidores de flujo acodados más precisos; y por último, para determinar la mejor posición de la rama, esto para convertir al codo en un separador de fases.
Los estudios se harán utilizando el programa FLUENT®, ya que este programa ha sido ampliamente utilizado en la simulación del flujo de fluidos, y nos permitirá hacer los estudios en 3-D, ya que los fenómenos que ocurren dentro del codo son en 3-D y no en 2-D.
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
Capítulo
2
Teoría sobre el flujo en
tuberías y accesorios.
En este capítulo se presentará la teoría fundamental del flujo de un fluido real (fluido viscoso, µ >0) a través de un conducto de sección circular (que en adelante denominaremos tubería), dentro de la cual el fluido moja completamente las paredes de la tubería; en otras palabras que la tubería esta completamente llena, tal y como se muestra en la figura 2.1a.
Figura 2.1. a) Flujo en una tubería. b) Flujo estratificado dentro de una tubería.
2.1 Flujo laminar y flujo turbulento
Figura 2.2. a) Arreglo experimental para ilustrar el tipo de flujo. b) Representación de las estelas del colorante
Las curvas que se muestran en la figura 2.3 representan la componente x de la velocidad en función del tiempo en un punto A del flujo. Las fluctuaciones aleatorias del flujo turbulento (con el mezclado de partículas asociado) son las que dispersan el colorante por toda la tubería y producen la apariencia borrosa ilustrada en la figura 2.2b. Para flujo laminar en una tubería sólo hay una componente de la velocidad, V=uˆi. Para un flujo turbulento la componente
predominante de la velocidad está también a lo largo de la tubería, pero es inestable (aleatoria) y va acompañada de componentes aleatorias normales al eje de la tubería, V=uˆi+ +v$j wk$.
El régimen de flujo depende de tres parámetros físicos que describen las condiciones en las cuales se encuentra el flujo:
El primero es una escala de longitud característica del campo de flujo, tal como el espesor de una capa límite o el diámetro del tubo. Si la escala de longitud es suficientemente grande, puede incrementarse una perturbación dentro del flujo y el flujo puede llegar a ser turbulento.
El segundo es una escala de velocidad tal como el promedio en toda la sección del tubo de la velocidad; con una velocidad suficientemente grande el flujo puede llegar a ser turbulento.
El tercero es la viscosidad cinemática; con una viscosidad cinemática muy pequeña el flujo puede llegar a ser turbulento.
Los tres parámetros pueden combinarse en uno solo que puede servir como herramienta para predecir el régimen de flujo. Esta cantidad física es el número de Reynolds, nombrada así en honor de Osborne Reynolds; este es un parámetro sin dimensiones, definido como
D Tinta
Tubo
Q = VA
Entrada lisa bien redondeada Rastro de tinta
Laminar
De transición
Turbulento
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
v VL
=
Re (2.1)
donde L y V son la longitud y velocidad características respectivamente (en el caso de un tubo, diámetro y velocidad promedio dentro de la tubería ), y ν es la viscosidad cinemática (en ocasiones, es conveniente sustituir la viscosidad cinemática por µ ρ, de donde µ, es la viscosidad dinámica y ρ, es la densidad del fluido).
Figura 2.3. Dependencia con respecto al tiempo de la velocidad del fluido en un punto.
Ahora bien, si se expresa el número de Reynolds en función del caudal, podemos sustituir el término “caudal” de párrafos anteriores, por el número de Reynolds, y podemos llegar a la siguiente conclusión:
“Si el número de Reynolds es relativamente pequeño, el flujo es laminar; si es grande, el flujo es turbulento”.
Como se puede apreciar en la definición del número de Reynolds (ecuación 2.1), no es solo la velocidad del flujo la que determina el carácter del flujo; su viscosidad cinemática y el diámetro de la tubería son igualmente importantes.
Los intervalos del número de Reynolds para los cuales se obtienen los flujos laminar, turbulento y de transición no se pueden proporcionar de manera precisa. La transición de flujo laminar a flujo turbulento se puede efectuar a diferentes números de Reynolds, dependiendo de cuánto sea “perturbado” el flujo por vibraciones de la tubería, rugosidad en la región de entrada y factores semejantes. Para fines prácticos de la ingeniería, los valores que normalmente se toman para flujos en tuberías de sección redonda son: el flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que aproximadamente 2100; será turbulento para números de
Q A
x u
A
t
Laminar De transición
Turbulento
Reynolds mayores que aproximadamente 4000; y para números de Reynolds comprendidos entre estos dos límites, el flujo se denomina flujo de transición.
2.2 Flujo
totalmente
desarrollado
2.2.1 Región de entrada y flujo totalmente desarrollado.
La región cerca del sitio en que el fluido entra al tubo se denomina región de entrada y se ilustra en la figura 2.4. El fluido, por lo general, entra a la tubería con un perfil de velocidad casi uniforme en la sección (1). A medida que el fluido se desplaza por la tubería, los efectos viscosos hacen que se adhiera a la pared de la tubería (la condición de no deslizamiento). Lo anterior se cumple sin importar que el fluido sea aire (relativamente no viscoso) o un aceite (muy viscoso). Así, a lo largo de la pared de la tubería se genera una región denominada capa límite
donde los efectos viscosos son importantes, de modo que el perfil de velocidad inicial cambia con la distancia a lo largo de la tubería, x, hasta que el fluido llega a un punto, en donde ya no existen efectos de la entrada, sección (2), más allá del cual el perfil de velocidad no varía con x. En este punto, el espesor de la capa límite ha aumentado hasta llenar por completo la tubería. Los efectos viscosos son considerablemente importantes dentro de la capa límite Para el fluido fuera de la capa límite [dentro del núcleo no viscoso que rodea la línea central de (1) y (2)], los efectos viscosos son insignificantes.
Figura 2.4. Región de entrada, flujo en desarrollo y flujo totalmente desarrollado en un sistema de tubería.
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
del flujo en tuberías, la longitud de entada adimensional, le D, se correlaciona bastante bien con el número de Reynolds. Las longitudes de entrada característica están dadas por
0.06 Re
e
D =
l
para flujo laminar
y
( )
1 64.4 Re
e
D =
l
para flujo turbulento.
Para los flujos con muy bajo número de Reynolds la longitud de entrada puede ser bastante corta (le =0.6D si Re 10= ), en tanto que para flujos con gran número de Reynolds puede asumir una longitud igual a muchos diámetros de la tubería antes de llegar al final de la región de entrada (le =120D si Re=2000). Para muchos
problemas prácticos de ingeniería, 104 <Re 10< 5, de modo que 20D<le <30D.
El cálculo del perfil de velocidad y de la distribución de presión dentro de la región de entrada es bastante complejo. Sin embargo, una vez que el fluido llega al final de la región de entrada, sección (2) de la figura 2.4, es más fácil expresar el flujo porque la velocidad es función sólo de la distancia a la línea central, r, y es independiente de x. Lo anterior es cierto hasta que la forma de la tubería cambia de alguna manera, como un cambio de diámetro, o cuando el fluido circula a través de un codo, válvula o algún otro componente en la sección (3). El flujo entre (2) y (3) se denomina totalmente desarrollado. Más allá de la interrupción del flujo totalmente desarrollado [sección (4)], el flujo comienza a regresar gradualmente a su carácter totalmente desarrollado [sección (5)], y continua con este perfil hasta llegar al siguiente componente del sistema de tubos [sección (6)] [14].
2.2.2 Presión y esfuerzo cortante
Un flujo estable totalmente desarrollado en una tubería de diámetro constante se puede provocar por gravitación o por fuerzas de presión. Para flujo en tubos horizontales, la fuerza de gravitación no tiene ningún efecto, salvo para una variación de presión hidrostática a través de la sección transversal de la tubería,
D
En regiones de flujo no completamente desarrollado, como en la región de entrada de una tubería, el fluido acelera o desacelera a medida que circula (el perfil de velocidad cambia de un perfil uniforme en la entrada a su perfil totalmente desarrollado al final de la región de entrada). Así, en la región de entrada existe un equilibrio entre las fuerzas de presión, viscosas e inerciales (aceleración). El resultado es una distribución de presión a lo largo de la tubería horizontal, como se muestra en la figura 2.5. La magnitud del gradiente de presión, ∂ ∂p x, es mayor en la región de entrada que en la región de flujo totalmente desarrollado, en donde el gradiente es constante, ∂ ∂ = −∆p x p l<0. Esto es valido solo para un estado permanente y una tubería de sección constante.
Figura 2.5. Distribución de presión a lo largo de una tubería horizontal [14].
El hecho de que a lo largo de la tubería horizontal exista un gradiente de presión diferente de cero es un resultado de los efectos viscosos. Si la viscosidad fuese cero, la presión no variaría con x. La necesidad de la caída de presión se puede considerar desde dos puntos de vista diferentes.
1. En términos de un equilibrio de fuerzas, la fuerza de presión es necesaria para superar las fuerzas viscosas generadas.
2. En términos de un equilibrio de energía, el trabajo realizado por la fuerza de presión es necesario para superar la disipación viscosa de energía en todo el fluido.
Si la tubería no es horizontal, el gradiente de presión a lo largo de éste se debe parcialmente a la componente de peso en esa dirección, esta distribución debida al peso mejora o retarda el flujo, dependiendo de si el flujo es hacia abajo o hacia arriba.
p
∆
3 2
x −x =l
2 e
x =l x3 x
1 0
x =
p
= constante
p x
∂ ∂
Flujo totalmente desarrollado Longitud de entrada
Caída de presión en la
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
Figura 2.6. Caudal como función de la caída de presión en una tubería horizontal dada [14].
La naturaleza del flujo en tuberías depende bastante de si el flujo es laminar o turbulento, esta es una consecuencia directa de las diferencias en la naturaleza del esfuerzo cortante en los flujos laminares y turbulentos. El esfuerzo cortante en un flujo laminar es resultado directo del traspaso de la cantidad de movimiento entre las moléculas que se mueven de manera aleatoria (un fenómeno microscópico). Por otro lado, el esfuerzo cortante en un flujo turbulento se debe en gran medida a la transferencia de cantidad de movimiento entre los paquetes de tamaño finito de partículas de fluido que se mueven aleatoriamenté (un fenómeno macroscópico). El resultado neto es que las propiedades físicas del esfuerzo cortante son bastante distintas para flujo laminar que para flujo turbulento. Esto se muestra en la gráfica del caudal, Q, en función de la caída de presión, ∆p, para una longitud dada de tubería, tal y como se muestra en la figura 2.6. Para “caudales pequeños” (flujo laminar), el caudal es directamente proporcional a la caída de presión, en tales casos, para duplicar el caudal también es necesario duplicar la caída de presión; Para “caudales grandes” (flujo turbulento), el caudal es menos sensible a la caída de presión. Para flujos con números de Reynolds muy grandes se encuentra que el caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la
Flujo Turbulento con gran número de Re:
1 2
Q∆p
Flujo Laminar:
Flujo de Transición
Flujo Turbulento
Q ∆p
3 ,
Q m s
,
p kPa
caída de presión, 1 2
Q∆p . En tales casos, para duplicar el caudal, la caída de presión se debe incrementar por un factor de 4.
2.3 Flujo
laminar
totalmente
desarrollado.
Como se indicó en párrafos anteriores, el flujo en largas secciones rectas de diámetro constante de una tubería se vuelve totalmente desarrollado, es decir, el perfil de velocidad es el mismo en cualquier sección transversal de la tubería. Aunque esto es cierto para flujo laminar y turbulento, los detalles del perfil de velocidad (y otras propiedades del flujo) son bastante diferentes entre estos dos tipos de flujo. El conocimiento del perfil de velocidad, puede conducir directamente a otra información útil, tal como, la caída de presión, la pérdida de carga, el caudal y parámetros semejantes.
Aunque casi todos los flujos son turbulentos en vez de laminares y muchas tuberías no son lo suficientemente largas para permitir que se alcance la condición de flujo totalmente desarrollado, el tratamiento teórico y la completa compresión del flujo laminar totalmente desarrollado reviste considerable importancia. Primero, representa uno de los pocos análisis viscosos teóricos que se pueden efectuar de manera “exacta” (dentro de un marco de referencia de hipótesis bastante generales) sin usar otras hipótesis o aproximaciones especiales. Una compresión del método de análisis y los resultados obtenidos, son una base a partir de la cual se pueden realizar análisis más complicados. Segundo, existen muchas situaciones prácticas donde se requiere flujo laminar totalmente desarrollado en tuberías.
Existen varias formas para obtener modelos sobre el comportamiento del flujo laminar totalmente desarrollado. Tres opciones son: (1) a partir de F=ma aplicada
directamente a un elemento de fluido, (2) a partir de las ecuaciones de movimiento de Navier-Stokes y (3) a partir de análisis dimensional. En el presente trabajo, solo se analizará la opción que parte del análisis de la Segunda Ley de Newton, F=ma
aplicada directamente a un elemento de fluido. Esta opción, permite entender de una manera más sencilla los efectos que ocurren en del flujo de un fluido dentro de una tubería, bajo el análisis de flujo totalmente desarrollado.
2.3.1 Análisis de fuerzas aplicada directamente a un elemento de fluido
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
extremo del elemento de fluido es la misma, y ninguna parte del fluido experimenta aceleración cuando circula. La aceleración local es cero
(
∂ ∂ =V t 0)
porque el flujoes estable, y la aceleración convectiva es cero
(
V∇ = ∂ ∂ =V u u xˆi 0)
debido a queel flujo es totalmente desarrollado. De esta manera, cada parte del fluido simplemente fluye a lo largo de su línea de trayectoria paralela a las paredes de la tubería con velocidad constante, aunque las partículas vecinas poseen velocidades ligeramente diferentes. La velocidad varía de una trayectoria a la siguiente. Esta variación de velocidad, combinada con la viscosidad del fluido, produce el esfuerzo cortante y tiene una dirección opuesta al flujo.
Figura 2.7. Movimiento de un elemento cilíndrico de fluido dentro de una tubería.
Si se ignoran los efectos gravitacionales, la presión es constante a través de cualquier sección transversal vertical de la tubería a lo largo de la tubería de una sección a otra. Por lo tanto, si la presión es p= p1 en la sección (1), entonces en la sección (2) es p2 = p1− ∆p(se anticipa el hecho de que la presión disminuye en la dirección del flujo, de modo que ∆ >p 0). Sobre la superficie del cilindro de fluido actúa un esfuerzo cortante, τ . Este esfuerzo viscoso es función del radio del cilindro, τ τ=
( )
r .Figura 2.8. Diagrama de cuerpo libre de un cilindro de fluido.
Elemento de fluido en el instante
(2) (1)
Perfil de velocidad
l
( )
V=v r i
r
Elemento en el instante
t t+δt
D
x
2 r
τ π l
2 1
p rπ (p1− ∆p)πr2
l
r
Ahora, si se aísla el cilindro de fluido, tal y como se muestra en la figura 2.8 y se aplica la segunda ley de Newton, Fx =max. Se observa que en este caso, el fluido no tiene aceleración, de modo que ax =0. Por lo tanto, el flujo totalmente
desarrollado en una tubería horizontal es simplemente un equilibrio entre las fuerzas de presión y las fuerzas viscosas; la diferencia de presión que actúa sobre el extremo del cilindro de área 2
r
π , y el esfuerzo cortante que actúa sobre la superficie lateral del cilindro de área 2πrl. Este equilibrio de fuerzas puede expresarse como
( )
2(
)
2( )
1 1 2 0
p πr − p − ∆p πr − τ πrl=
simplificando la expresión anterior, tenemos
2 p
r
τ
∆ =
l (2.2)
La ecuación 2.2 representa el equilibrio básico de las fuerzas necesarias para hacer que cada partícula de fluido se mueva a lo largo de la tubería a velocidad constante. Como ∆p y l no son funciones de la coordenada radial, r, se intuye que τ es dependiente de r. Es decir, τ =Cr, donde C es una constante. En r=0
(la línea central de la tubería) no hay esfuerzo cortante
(
τ =0)
, en r=D 2 (la pared de la tubería) el esfuerzo cortante es máximo, que se denota por τw y se denomina esfuerzo cortante en la pared. Por tanto, C=2τwr D y la distribución de esfuerzo cortante en toda la tubería es función de la coordenada radial2 wr D
τ
τ = (2.3)
tal y como se muestra en la figura 2.9. La dependencia lineal de τ con respecto a
r es un resultado de que la fuerza de presión es proporcional a 2
r (la presión actúa sobre el extremo del cilindro de fluido; área 2
r
π
= ) y que la fuerza de esfuerzo cortante es proporcional a r (el esfuerzo cortante actúa sobre los lados laterales del cilindro; área =2πrl). Si la viscosidad fuese cero, no habría esfuerzo cortante y la presión sería constante en toda la tubería horizontal
(
∆ =p 0)
. Como se observa a partir de las ecuaciones 2.2 y 2.3, la caída de presión y el esfuerzo cortante están relacionados por4 w p
D
τ
Capítulo 2. Teoría sobre el flujo en tuberías y accesorios.
También se puede deducir de esta expresión que un pequeño esfuerzo cortante, puede producir una gran diferencia de presión si la tubería es relativamente larga
(
l D 1)
.Aunque se está analizando flujo laminar, una consideración más cuidadosa de las hipótesis para la obtención de las ecuaciones 2.2, 2.3 y 2.4 revela que estas ecuaciones son válidas para flujo laminar y para flujo turbulento.
Figura 2.9. Distribución del esfuerzo cortante dentro del fluido en una tubería (flujo laminar o turbulento) y perfiles de velocidad característicos.
2.3.2 Perfil de Velocidad Laminar
Para llevar más lejos el análisis es necesario describir cómo el esfuerzo cortante está relacionado con la velocidad. Este es el paso importante que separa el análisis del flujo laminar del flujo turbulento: de poder resolver para las propiedades del flujo laminar y no poder hacerlo para las del flujo turbulento sin establecer más hipótesis adecuadas (la dependencia del esfuerzo cortante para flujo turbulento es muy compleja). Para el flujo laminar de un fluido newtoniano el esfuerzo cortante es simplemente proporcional al gradiente de velocidad, “τ µ= du dy”, donde la constante de proporcionalidad es la viscosidad. En la notación asociada con el flujo en tuberías, lo anterior se convierte en
du dr
τ = −µ (2.5)
El signo negativo se incluye a fin de obtener τ >0 con du dr<0 (la velocidad disminuye de la línea central a la pared de la tubería).
Las ecuaciones 2.2 y 2.5 representan las dos leyes rectoras para flujo laminar totalmente desarrollado de un fluido newtoniano dentro de una tubería horizontal. Una es la segunda ley de movimiento de Newton y la otra es la definición del
Perfil laminar
Perfil ideal (no viscoso)
(
D 2)
wτ =τ
( )
rτ
r
w
τ
( )
0 0τ =
( )
u r
c
V V =Vc 2
