TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL

TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL

5.1 Vectores

5.2 Sistemas de referencia. Coordenadas. Componentes de un vector.

5.3 Operaciones con vectores: Suma, producto por un número. Módulo de un vector. 5.4 Vectores unitarios.

5.5 Producto escalar. Ángulo que forman dos vectores. 5.6 Descomposición de vectores en sus componentes. 5.1 VECTORES

La Física (y cualquier disciplina científica en general), se encarga de estudiar aquellas características o propiedades de los cuerpos que pueden ser medidas. Es decir, estudia magnitudes físicas.

Existen dos tipos de magnitudes físicas:

Magnitudes escalares: Para indicar su valor basta con indicar un número y la unidad correspondiente. Ejemplos de estas magnitudes: Masa, Tiempo, Volumen, Temperatura, Densidad...

Magnitudes vectoriales: Para indicar su valor no basta con indicar un número y una unidad (módulo), habrá que dar información sobre en qué dirección va, y en qué sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales: Velocidad, Fuerza, Aceleración...

Sobre estas magnitudes vectoriales centraremos nuestro estudio en este tema. VECTORES: un vector es la representación matemática de una magnitud vectorial. Consiste en un segmento orientado, que contiene toda la información sobre la magnitud que estamos midiendo. Se representa por

ar

.

Partes del vector: - Módulo: (

ar

o

a

) : Longitud del segmento

- Dirección: La de la recta en la que se encuentra el vector (recta soporte).

- Sentido: Viene dado por la flecha. Dentro de la dirección, será + ó - , dependiendo del criterio que hayamos escogido en un principio.

OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES:

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 5: Cálculo vectorial - 2 - Opuesto de un vector: El opuesto del vector

ar

es el vector

−

ar

, un vector con el mismo módulo y dirección que

ar

, pero en sentido contrario.

Producto de un vector por un número real: Al multiplicar un vector

ar

por un número real k, el resultado es otro vector

cr

con las siguientes características:

Módulo:

c

r

=

c

=

k

⋅

a

Dirección: la de

ar

Sentido: Igual que

ar

si k > 0 Contrario que

ar

si k < 0

Vector unitario: Se dice que un vector es unitario cuando su módulo es 1. Se usa para indicar dirección y sentido.

Supongamos un vector a cualquiera. Podemos obtener un vector unitario en su misma dirección y sentido, dividiendo el vector

ar

por su módulo.

5.2 SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO. COMPONENTES DE UN VECTOR.

Siempre que queramos localizar un objeto, debemos indicar su posición respecto a algo que consideremos fijo. En una dimensión, basta con indicar la distancia a un punto que elijamos (punto de referencia). En el ejemplo de la figura, podemos indicar la posición del coche respecto al árbol.

En dos dimensiones, en el plano, que es la parte que estudiaremos en el presente curso, necesitamos indicar dos distancias a dos rectas que habremos fijado. Este conjunto de dos rectas se denomina sistema de referencia.

Sistema de referencia: Está formado, como ya hemos dicho, por dos direcciones (dos rectas) que hemos fijado en el plano. Para mayor facilidad en los cálculos, estas dos rectas siempre serán perpendiculares. Reciben el nombre de ejes coordenados ( eje x , eje y ).

Llevan incorporado un sentido, indicando con + y -.

Cada dirección de los ejes coordenados viene indicada por un vector unitario: En dirección x:

i

r

En dirección y:

r

j

Estos vectores unitarios indican además el sentido positivo de los ejes. El punto de corte de los ejes coordenados se denomina Origen de coordenadas ( O ). La posición de cualquier punto del plano se referirá respecto a ese punto.

COORDENADAS DE UN PUNTO P:

Para localizar un punto del plano, basta con indicar las coordenadas, las distancias a los ejes coordenados.

Coordenada x: distancia medida sobre el eje x. Coordenada y: distancia medida sobre el eje y

Las coordenadas se colocan entre paréntesis, separadas por comas: P: ( xP , yP )

Nota: La tercera dimensión. En este curso sólo trataremos problemas en el plano, en dos dimensiones. En el espacio existe una tercera dimensión, a la que corresponde el eje z, perpendicular al x y al y. El vector unitario correspondiente al eje z es el

k

r

.

a

a

u

r =

_a

_r

r

+ + + +

COMPONENTES DE UN VECTOR:

También un vector puede ponerse en función del sistema de referencia. Se puede expresar el vector como las coordenadas de su extremo. ax y ay se denominan componentes del vector

ar

.

(Esas componentes nos vienen a indicar cuánto hay que avanzar o retroceder desde el origen para llegar hasta el extremo)

(Para un vector que no empiece en el origen, nos indicaría qué cantidad tendremos que sumar a cada coordenada del origen del vector, para obtener las coordenadas del extremo.)

Existe otra forma de expresar el valor de un vector, y es en función de los vectores unitarios

i

r

,

r

j

Como puede verse en la figura, el vector

ar

es igual a la suma de los vectores

ar

_x y

ar

_y

ar

=

ar

_x +

ar

_y Ahora bien,

ar

_x= ax ·

i

r

y

ar

= ay ·

j

r

Por lo tanto

ar

= ax

i

r

+ ay

r

j

Es decir, sabiendo las componentes ax y ay , tenemos dos formas de expresar

el valor del vector:

- Poner las componentes entre paréntesis ( ax , ay )

- Poner la suma de las componentes, cada una acompañada de su vector unitario.

ar

= ax

i

r

+ ay

j

r

5.3 OPERACIONES CON VECTORES.

Una vez conocido el concepto de componente de un vector, ya tenemos una herramienta para poder realizar numéricamente operaciones con vectores.

Supondremos dos vectores:

ar

= ax

i

r

+ ay

j

r

;

b

r

= bx

i

r

+ by

j

r

Suma de vectores:

sr

=

ar

+

b

r

= (ax

i

r

+ ay

j

r

) + (bx

i

r

+ by

j

r

) = ( ax + bx )

i

r

+ ( ay + by )

j

r

Se suman las componentes x por un lado y las componentes y por el otro. Para restar, la operación es idéntica.

Producto de un vector por un número real:

cr

= k ·

ar

k ∈ R

cr

= k · ax

i

r

_{+ k · a} y

j

r

De otra forma

cr

= ( k · ax , k · ay )

La división es un caso particular de producto. Dividir por k es lo mismo que multiplicar por 1/ k.

Módulo de un vector: Recordemos que indicaba el valor numérico de la magnitud y se correspondía con la longitud del vector.

En el plano, se calcula fácilmente a partir del teorema de Pitágoras.

La raíz que se toma siempre es la positiva, ya que el módulo de un vector debe ser positivo siempre.

Vector que une dos puntos:

PQ

= ( Qx - Px )

i

r

+ (Qy - Py )

j

r

)

,

(

a

_x

a

_y

a

r

=

2 2 y x

a

a

a

a

r

=

=

+

+ + + + + + + +

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 5: Cálculo vectorial - 4 - 5.4 VECTORES UNITARIOS

Ya vimos que un vector unitario es un vector de módulo 1. Nos indica una dirección y un sentido determinados. El vector unitario correspondiente a un vector

ar

dado será un vector que mantendrá la misma dirección y

sentido que

ar

, pero que tendrá módulo 1. Recordamos que se calculaba con

A partir de lo anterior, podemos dejar el vector a de esta manera:

De esta forma tendremos separados el módulo del vector por un lado, y la dirección y sentido por otro, lo cual puede ser muy interesante en algunas situaciones.

5.5 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES.

El producto entre dos vectores es muy diferente del producto que conocemos para números. Para comenzar, existen dos tipos de producto entre vectores:

- Escalar: El resultado de la operación es un número (un escalar) - Vectorial: El resultado de la operación es un vector.

En este curso estudiaremos el producto escalar.

Esta operación se representa mediante un punto

ar

·

b

r

= k , k ∈ R El producto escalar se calcula como

ar

·

b

r

= a · b · cos α

donde α es el ángulo que forman los vectores a y b (se coge el menor ángulo) El producto escalar de dos vectores puede ser:

Positivo ( > 0 ): Si α < 90º

Nulo (= 0 ) : Si α = 90º (condición de perpendicularidad) Negativo ( < 0 ): Si α > 90º

También puede calcularse el producto escalar usando las componentes de los vectores. Sabiendo que:

ar

= ax

i

r

+ ay

j

r

;

b

r

= bx

i

r

+ by

j

r

ar

·

b

r

= (ax

i

r

+ ay

j

r

) · (bx

i

r

+ by

j

r

) = ax · bx ·

i

r

·

i

r

+ ax· by·

i

r

·

r

j

+ ay · bx·

j

r

·

i

r

+ ay · by ·

j

r

·

r

j

= = ax · bx + ay · by puesto que

i

r

·

i

r

= 1 ;

r

j

·

r

j

= 1 ;

i

r

·

r

j

= 0 ;

r

j

·

i

r

= 0

Ángulo entre dos vectores: Con lo visto anteriormente, podemos calcular fácilmente el ángulo que forman dos vectores

ar

y

b

r

, mediante su producto escalar, ya que en la expresión aparece el coseno de dicho ángulo.

Condición de perpendicularidad: dos vectores

ar

y

b

r

son perpendiculares si y sólo si

ar

·

b

r

= 0

Condición de paralelismo: dos vectores

ar

y

b

r

son paralelos si y sólo si sus componentes x e y son proporcionales

2 2 y x y x a

a

a

j

a

i

a

a

a

u

+

⋅

+

⋅

=

=

r

r

r

r

r

a

u

a

a

r

=

r

⋅

r

α

cos

b

a

b

a

r

⋅

r

=

⋅

⋅

a

r

⋅

b

r

=

a

_x

⋅

b

_x

+

a

_y

⋅

b

_y

α

cos

⋅

⋅

=

⋅

b

a

b

a

r

r

y y x x

b

a

b

a

b

a

r

⋅

r

=

⋅

+

⋅

a

b

b

a

b

a

_{x x y y}

⋅

⋅

+

⋅

=

α

cos

y x y x

b

b

a

a =

5.6 DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES EN SUS COMPONENTES. Las cuestiones que nos planteamos a continuación son las siguientes:

- Conociendo las componentes de un vector: ¿Podemos conocer su módulo y orientación?

- Conociendo el módulo de un vector y el ángulo que forma con alguno de los ejes coordenados ¿Podemos conocer sus componentes?

Partiendo de las componentes:

Descomposición (A partir del módulo y el ángulo, obtener las componentes)

Además, hay que tener en cuenta los signos de cada componente (eso nos lo da el dibujo y el criterio de signos) EJERCICIOS:

1. Dados los vectores

ar

= 4

i

r

- 3

r

j

,

b

r

= ( 0, 2 ). Calcular:

1)

ar

+

b

r

2) -

ar

3) -

b

r

4) 2

ar

5) -7

b

r

6)

ar

-

b

r

7) 2

ar

- 3

b

r

8) |

ar

| 9) |

b

r

| 10) |

b

r

-

ar

| 11) |3

b

r

| 12)

ur

_a

13)

ur

_b 14)

ar

·

b

r

15)

b

r

·

ar

16) 2

ar

· (-

b

r

) 17) Ángulo entre

ar

y

b

r

2. Dados los siguientes puntos del espacio: P: ( 2 , -1 ) y Q: ( -1 , 3 ) , calcular:

1)

ar

=

OP

2)

b

r

=

OQ

3) →

c

=

PQ

4) →

d

=

QP

5)

ar

+

b

r

6)

cr

- 2

d

r

7) 3

ar

8) |

cr

| 9)

ar

·

b

r

10)

cr

· 3

b

r

11)

ur

_c 12)

ur

_a

13)

ar

· (

b

r

·

cr

) 14) (

ar

·

b

r

) ·

cr

15)

ar

· (

b

r

+

cr

) 16) Ángulo entre

cr

y

d

r

3. De las siguientes parejas de vectores: ¿cuáles son perpendiculares entre sí y cuáles no?

1)

ar

= (-1 , 3) ;

b

r

= (2 , 2/3) 2)

cr

=

i

r

+ 2

r

j

;

d

r

= - 2

i

r

-

r

j

4. Calcular m para que los vectores sean perpendiculares:

1)

ar

= m

i

r

+ 4

r

j

; →

b

= -

i

r

+ m

r

j

2)

cr

= (m , 3) ;

d

r

= (-1 , 2) 5. Calcular m para que los vectores sean paralelos:

1)

ar

= (m , -2) ;

b

r

= (3 , 6) 2)

cr

= -

i

r

+ m

r

j

;

d

r

= - m

i

r

+ 4

r

j

2 2 y x

a

a

a

a

r

=

=

+

a

a

_x

=

α

cos

x y

a

a

=

α

tg

a

a

_y

=

α

sen

α

α

sen

cos

⋅

=

⋅

=

a

a

a

a

y x

α

α

cos

sen

⋅

=

⋅

=

a

a

a

a

y x + + + + + +

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 6: Descripción del movimiento - 1 -

TEMA 6: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

6.1 Concepto de movimiento. Sistema de referencia. Vector de posición de una partícula. Vector

desplazamiento.

6.2 Velocidad media e instantánea.

6.3 Aceleración. Componentes intrínsecas de la aceleración.

6.4 Clasificación de movimientos según los valores de aceleración y sus componentes. 6.5 Estudio de algunos movimientos: uniforme, uniformemente acelerado, circular.

6.1. CONCEPTO DE MOVIMIENTO. SISTEMA DE REFERENCIA. VECTOR DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA. VECTOR DESPLAZAMIENTO.

6.1.1. Concepto de movimiento.

Cuando viajamos en un avión, sentados en nuestra plaza, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento. Pero, ¿Estamos realmente en reposo, o nos movemos junto con el avión? ¿Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitiva, la pregunta que nos planteamos es: ¿cuándo podemos afirmar que un objeto se mueve?

Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo. Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el observador que estudia el movimiento) mediremos un movimiento u otro, o no mediremos movimiento alguno.

Los movimientos, entonces, son siempre relativos, pues para un observador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio tendrá un movimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia.

El sistema de referencia (punto O, ejes coordenados, criterio de signos) es elegido por el observador, la persona que estudia el movimiento. Una vez elegido, debe mantenerse. No puede cambiarse durante la resolución del problema.

Punto material: En nuestro estudio del movimiento consideraremos que el objeto móvil es una partícula, un punto material que representa al objeto (bola, coche, avión, electrón…) y que concentra toda su masa.

6.1.2. Posición. Trayectoria. Ecuación de movimiento. Vector desplazamiento. Posición (

rr

): Lugar que ocupa el móvil en un instante determinado.

- La posición se indica con las coordenadas del punto en el que está situado el móvil, medidas respecto al sistema de referencia escogido. O lo que es lo mismo, con las componentes del vector

rr

, que va desde el punto O hasta el punto en que está la partícula.

- Lógicamente, la posición de un móvil dependerá del sistema de referencia escogido. En este curso estudiaremos movimientos en dos dimensiones. Nuestro

sistema de referencia está formado por los ejes coordenados x e y, a los que corresponden los vectores unitarios

i

r

y

r

j

. En todos los problemas es obligatorio dibujar claramente el sistema de referencia con el criterio de signos. El desplazamiento será el segmento o vector que une los puntos inicial y final. También se calcula restando las posiciones (final menos inicial). Para ello restamos las coordenadas x e y por separado.

Así, el vector de posición

rr

se expresará

r

r

=

x

i

r

+

y

r

j

Nota: (En el espacio (3 dimensiones), existiría una componente más, de modo que

r

r

=

x

i

r

+

y

r

j

+

z

k

r

. Todas las magnitudes vectoriales tendrían tres componentes)

En el Sistema Internacional de unidades (S.I.), las coordenadas están dadas en metros (m).

rr

i

r

j

r

Trayectoria: Es la línea formada por la unión de los puntos que sigue el móvil en su recorrido.

Según la forma de la trayectoria, tendremos movimientos: - Rectilíneos.

- Curvilíneos. Ecuación de movimiento:

Al transcurrir el tiempo, el móvil va pasando por los distintos puntos de la trayectoria. A cada valor de t, corresponde una posición. Es decir, la posición

rr

del móvil depende del tiempo.

A la expresión de la posición en función del tiempo

rr

(t

)

se le denomina ecuación de movimiento de la partícula. Al sustituir en ella un valor de tiempo, obtenemos las coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil en ese instante. Cada movimiento tiene su propia ecuación de movimiento.

Posición inicial:

r

r

(

t

₀

)

=

r

r

₀ Posición en el instante en que empezamos a contar el movimiento. Normalmente consideraremos t0 = 0 s., pero puede ser cualquier otro valor de tiempo.

Vector desplazamiento (

∆

rr

): Vector que une dos puntos de la trayectoria. Va desde la posición considerada inicial hasta la posición final. Se calcula como la diferencia entre las dos posiciones (siempre la final menos la inicial). 0

r

r

r

r

=

r

−

r

∆

Diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida: Vemos que

∆

rr

mide el desplazamiento en línea recta. El módulo del desplazamiento

(

∆

rr

) sólo nos indica la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el punto final. La distancia recorrida ( s ) se mide sobre la trayectoria.

Los valores de

∆

rr

y s sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea.

6.2. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA.

Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir, la velocidad mide cómo cambia la posición de un móvil con el tiempo.

6.2.1. Velocidad media:

Mide el cambio de posición en un intervalo de tiempo. 0 0 m

t

t

r

r

t

r

v

−

−

=

=

r

r

r

r

∆

∆

Unidades: En el S.I. [vm]= m/s = m·s-1

Otras unidades: km/h, nudos (millas marinas/h)

Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo

haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto.

6.2.2 Velocidad instantánea (

vr

): Indica cómo varía la posición del móvil en cada instante.

Hemos visto que la velocidad media no nos da información sobre cómo se mueve la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto de tiempo, la información del movimiento resulta más precisa. Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la velocidad media a la velocidad que lleva el móvil en el instante que estamos estudiando (velocidad instantánea).

rr

0

rr

rr

0

rr

∆

rr

rr

0

rr

∆

rr

m

vr

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 6: Descripción del movimiento - 3 -

Matemáticamente, esta operación se calcula mediante un paso al límite.

t

r

v

v

lim 0 t m lim 0 t

_∆

∆

∆ ∆

r

r

r

→ →

=

=

Esta operación se denomina derivada (en este caso “derivada de la posición respecto al tiempo”).

dt

r

d

v

dt

r

d

t

r

v

v

lim 0 t m lim 0 t

r

r

r

r

r

r

₌

₌

₌

_→

₌

→ →

_∆

∆

∆ ∆

Nota: Derivada de una función.

dt

)

t

(

f

d

La derivada respecto al tiempo de una función nos indica cómo cambia esa función respecto al tiempo. Es una operación que tiene sus propias reglas de cálculo, de las que sólo vamos a ver brevemente las que nos interesan).

Teniendo en cuenta que el vector de posición tiene dos componentes

rr

(t) = x (t)

i

r

+ y (t)

r

j

, la velocidad también tendrá dos componentes.

j

v

i

v

j

dt

dy

i

dt

dx

dt

r

d

v

r

=

r

=

r

+

r

=

_x

r

+

_y

r

Recordemos que la velocidad es una magnitud vectorial. - Su módulo (

v

r

=

v

) se denomina rapidez. Se mide en m/s.

- Su dirección y sentido nos indican hacia dónde se mueve la partícula en ese momento. El vector velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto.

6.3. ACELERACIÓN. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN. Introducción:

Supongamos un movimiento en el que la velocidad se mantiene constante en todo momento. Eso significa - Que recorre los mismos metros en cada segundo (rapidez constante)

- Que la dirección y sentido del movimiento se mantienen constantes, no cambian. Su trayectoria es recta. No podemos olvidar este segundo aspecto de la velocidad. Un automóvil que toma una curva manteniendo su rapidez a 60 km/h, NO lleva velocidad constante, ya que hay algo que cambia en la velocidad: su dirección.

Para estudiar los cambios en la velocidad (ya sea en módulo o en dirección) usamos una magnitud vectorial: la aceleración.

Nota: Es importante tener en cuenta que el concepto de aceleración no tiene por qué significar que el movimiento sea más rápido. Puede ser también un frenado, o puede que la rapidez sea constante y cambie la dirección.

6.3.1 Aceleración media: (

ar

_m )

Mide el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo .

0 0 m

_t

_t

v

v

t

v

a

−

−

=

=

r

r

r

r

∆

∆

Unidades: En el S.I. [am]= m/s2 = m·s-2

Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes.

Función: f(t) Derivada: df(t)/ dt a = cte 0 t 1 a·t a a·t n _a·n·t n-1

)

t

(

f

f(t)

2

df/dt

f(t)

±

g(t) df/dt

±

dg/dt

vr

vr

vr

6.3.2 Aceleración instantánea (

ar

): Indica cómo cambia la velocidad del móvil en un instante determinado. Al igual que en el caso de la velocidad instantánea, se calcula mediante un paso al límite.

dt

v

d

a

dt

v

d

t

v

a

a

lim 0 t m lim 0 t

r

r

r

r

r

r

₌

₌

₌

_→

₌

→ →

_∆

∆

∆ ∆

Es decir, la aceleración mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante, ya sea porque cambia su módulo (rapidez) o su dirección.

Se mide en las mismas unidades que la aceleración media. [am]= m/s2 = m·s-2

Por ejemplo, si el módulo de una aceleración es de 2 m/s2_{, significa que su rapidez cambia en 2 m/s por}

cada segundo de tiempo que pasa. La aceleración NO nos dice nada sobre distancia recorrida

Importante: Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se mueve la partícula ni hacia dónde se mueve. Eso es la velocidad. La aceleración nos informa de si la velocidad cambia, de qué modo y hacia dónde está cambiando.

El vector aceleración tiene componentes cartesianas x e y.

j

a

i

a

j

dt

dv

i

dt

dv

dt

v

d

a

x y y x

r

r

r

r

r

r

₌

₌

₊

₌

₊

6.3.3 Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial (

ar

_t) y normal (

ar

_n) Cuando en un movimiento cambia la velocidad, puede ser que cambie su rapidez, su dirección, o ambas cosas. Podemos estudiar estos cambios por separado, descomponiendo la aceleración como la suma de dos componentes distintas de las cartesianas, denominadas componentes intrínsecas :

- Aceleración tangencial (

ar

_t):

- Lleva la misma dirección del vector velocidad (puede ir en el mismo sentido o en el opuesto). NO modifica la dirección del movimiento.

- Modifica la rapidez (el módulo de la velocidad). Hace que el movimiento sea más rápido o más lento. Si el sentido de

ar

_t coincide con el de

vr

Æ aumenta la rapidez

Si el sentido de

ar

_t es el opuesto al de

vr

Æ disminuye la rapidez En módulo, se calcula con

dt

v

d

a

_t

r

=

Por ejemplo, al pisar el acelerador o el freno de un coche originamos una aceleración tangencial. Varía la rapidez, pero no cambia la dirección.

- Aceleración normal (o centrípeta) (

ar

_n):

- Lleva dirección perpendicular (=normal) a la velocidad. Modifica la dirección del movimiento, indicando hacia dónde se desvía. Apunta hacia el centro de la curva.

- NO modifica la rapidez (el módulo de la velocidad). En módulo, se calcula con

R

v

a

2

n

=

donde R es el radio de la curva que describe en ese momento Por ejemplo, al girar el volante del coche originamos una

aceleración normal, que hace variar la dirección del movimiento. La suma de ambas componentes es, lógicamente, el vector aceleración:

n t

a

a

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 6: Descripción del movimiento - 5 - 6.4 CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS:

Existen múltiples clasificaciones posibles para los movimientos. Veremos dos de ellas. Según los valores de

ar

y

vr

:

-

ar

= 0

vr

= cte= 0. Æ Estado de reposo.

vr

= cte

≠

0. Æ Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): -

ar

=cte

≠

0 Æ Movimiento uniformemente acelerado (MUA)

- Si

vr

₀ y

ar

van en la misma dirección Æ Trayectoria recta (MRUA)

- Si

vr

₀ y

ar

tienen direcciones distintas Æ Trayectoria curva Movimiento parabólico

-

ar

≠

cte Movimiento variado. Según los valores de

ar

_t y

ar

_n:

-

ar

_t= 0 Rapidez constante. Movimiento uniforme (no tiene por qué ser rectilíneo)

-

ar

_t = 0 y

ar

_n = cte Æ v = cte, R = cte Æ Movimiento circular uniforme (MCU)

-

ar

_n= 0 Trayectoria recta Æ Movimiento rectilíneo (no tiene por qué ser uniforme).

-

ar

_t y

ar

_n variables Æ Movimiento variado.

6.5 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU):

Este tipo de movimiento se caracteriza por una velocidad constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto: Su aceleración es nula (

ar

= 0 )

Su rapidez es constante (recorre la misma distancia en cada segundo)

Su trayectoria es rectilínea (al ser constante la dirección de la velocidad en todo momento). Ecuación del MRU: Sabiendo que el vector velocidad se mantiene constante (

vr

=cte)

)

t

t

(

v

r

r

)

t

t

(

v

r

r

t

t

r

r

v

_{0 0 0 0} 0 0

_→

₋

₌

_⋅

₋

_→

₌

₊

_⋅

₋

−

−

=

r

r

r

r

r

r

r

r

r

_{Si t} 0 = 0 Æ

r

r

=

r

r

0

+

v

r

⋅

t

6.6 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUA):

Este tipo de movimiento se caracteriza porque posee aceleración constante en módulo, dirección y sentido.(

ar

= cte)

La velocidad (vector) varía a ritmo constante.

La rapidez del movimiento ( v ) varía, aumentando o disminuyendo. La trayectoria que sigue depende de las direcciones de

vr

₀ y

ar

:

Si

vr

₀=0 Æ Trayectoria rectilínea Si

vr

₀ y

ar

van en la misma dirección (son paralelos) Æ Trayectoria rectilínea

Si

vr

₀ y

ar

van en direcciones distintas Æ Trayectoria curvilínea (parabólica) Ecuaciones del M.U.A:

Ecuación de la velocidad: Sabiendo que

ar

=cte:

)

t

t

(

a

v

v

t

t

v

v

a

_{0 0} 0 0

_→

₌

₊

_⋅

₋

−

−

=

r

r

r

r

r

r

_{Si t} 0 = 0 Æ

v

r

=

v

r

0

+

a

r

⋅

t

Ecuacion de la posición: 2 0 2 1 0 0 0

v

(

t

t

)

a

(

t

t

)

r

r

r

=

r

+

r

⋅

−

+

r

⋅

−

Si t0 = 0 Æ

r

r

=

r

r

0

+

v

r

0

⋅

t

+

₂1

a

r

⋅

t

2 Puede comprobarse que, lógicamente, al derivar la ecuación del movimiento obtenemos la de la velocidad.

CASOS ESPECIALES DENTRO DEL M.U.A:

Si bien todos los movimientos que tengan aceleración constante obedecen a las ecuaciones expresadas anteriormente, y resolveremos los problemas del mismo modo, podemos establecer algunos casos particulares de MUA que tienen especial interés.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A):

En este movimiento la trayectoria es rectilínea, ya que la velocidad y la aceleración son paralelas. Es el caso, por ejemplo, de un automóvil que se desplaza en línea recta y pisa el acelerador, o el freno.

Para estos movimientos es bueno escoger un sistema de referencia de forma que uno de los ejes (x o y) coincida con la dirección de la trayectoria. Así, todos los vectores tendrá el mismo vector unitario (

i

r

o

r

j

), facilitando la resolución del problema.

Movimientos de caída libre:

Estos movimientos están sometidos únicamente a la aceleración de la gravedad (

ar

=

gr

). Aunque el valor de la gravedad varía con la altura, siempre que no nos alejemos mucho de la superficie del planeta (es decir, hasta una altura de algunos km), podemos considerar que su valor se mantiene constante. Al nivel de la superficie terrestre el valor del módulo de la aceleración gravitatoria es de 9,8 m s-2 _{~ 10 m s}-2

(Nota: El valor de la gravedad en la superficie de un planeta depende de la masa y del radio de dicho planeta) En los problemas de caída libre, siempre consideraremos que el rozamiento con el aire es despreciable, y no lo tendremos en cuenta

La trayectoria que sigue un cuerpo en caída libre depende de la dirección de su velocidad inicial, caso de que tenga. Esto ya lo hemos estudiado anteriormente, para un MUA en general:

Si

vr

₀=0 Æ Trayectoria rectilínea Si

vr

₀ y

gr

van en la misma dirección (son paralelos) Æ Trayectoria rectilínea

Si

vr

₀ y

gr

van en direcciones distintas Æ Trayectoria curvilínea (parabólica)

6.7 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE MOVIMIENTO EN UNA O DOS DIMENSIONES: Pasos a seguir.

1º- Esquema del problema, indicando claramente el sistema de referencia y criterio de signos. (Esto es fundamental, ya que todos los datos y magnitudes del problema los calcularemos según ese sistema de referencia. No se puede cambiar durante el problema).

2º- Datos del problema (tipo de movimiento, posición inicial, velocidad, inicial, aceleración). Todas esas son magnitudes vectoriales, deben llevar vectores unitarios según el sistema de referencia escogido, además de sus unidades. Es posible que haya que descomponer algún vector en componentes x e y (suele ocurrir con la velocidad inicial).

3º- Ecuación del movimiento y ecuación de velocidad: sustituir los datos y descomponer (ecuaciones paramétricas). 4º- A partir de estas ecuaciones, calculamos lo que nos pide el problema (en muchas ocasiones, un dato servirá

para calcular el valor del tiempo en una de las ecuaciones, y sustituirlo luego en otra ecuación). Ejemplo: Resolución de un movimiento rectilíneo uniforme:

Un tren se aproxima a la estación con una velocidad constante de 72 km/h. Inicialmente se encuentra a 5 km de la estación. Calcule: a) Ecuación de movimiento del tren. b) Posición al cabo de 1 minuto c)

Desplazamiento en ese tiempo d) Tiempo que tarda en llegar a la estación, suponiendo que mantiene constante la velocidad.

En este caso, hemos colocado el sistema de referencia en la estación.

Datos iniciales (en unidades S.I.): (72 km/h = 20 m/s) 0

rr

= - 5000

i

r

m ,

vr

= 20

i

r

m/s = cte , t0 = 0

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU), ya que la velocidad se mantiene constante en módulo y dirección. a) Ecuación de movimiento:

r

r

=

r

r

₀

+

v

r

⋅

t

Æ

rr

= - 5000

i

r

+ 20 t

i

r

(m) Æ x = - 5000 + 20 t (m) 0

rr

vr

X

O +

_

y+

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 6: Descripción del movimiento - 7 - b) Para t = 1 min = 60 s Æ x (60) = - 3800 m ;

rr

(60) = - 3800

i

r

m. Se encuentra a 3800 m de la estación.

c)

∆

r

r

=

r

r

−

r

r

₀= - 3800

i

r

- (- 5000

i

r

) m = 1200

i

r

m ;

∆

r

= 1200 m. Se ha desplazado 1200 m en sentido positivo.

d) Cuando llega a la estación: x = 0 Æ - 5000 + 20 t = 0 Æ t = 250 s tarda en llegar a la estación. Ejemplo: Resolución de un movimiento de caída libre (parabólico):

Desde un acantilado de 30 m de altura sobre el nivel del mar, se lanza una piedra hacia el mar, con una velocidad de 20 m/s y formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular la altura máxima que alcanza y a qué distancia del acantilado caerá la piedra.

[ Colocamos el sistema de referencia en la base del acantilado (de esta forma las coordenadas x e y de la piedra serán siempre positivas) ]

Datos iniciales:

rr

₀= 30

r

j

m ;

ar

=

gr

= -10

r

j

m s-2 _{= cte , t}

0 = 0 Descomponemos

vr

₀: v0x= 20·cos30º = 17,32 m/s

v0y= 20·sen30º = 10 m/s

[ambas componentes son positivas] 0

vr

= 17,32

i

r

+ 10

r

j

m s-1

Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración es constante. Sigue una trayectoria parabólica, pues

vr

₀ y

ar

no van en la misma dirección.

Ecuaciones: 2 2 1 0 0

v

t

a

t

r

r

r

=

r

+

r

⋅

+

r

⋅

Æ

r

r

₌

30

r

j

₊

17

,

32

_⋅

t

r

i

₊

10

_⋅

t

r

j

₋

5

_⋅

t

2

r

j

(

m

)

_{Æ x = 17,32· t (m)}

y = 30 + 10· t – 5 t2 _(m)

t

a

v

v

r

=

r

₀

+

r

⋅

Æ

v

r

=

17

,

32

i

r

+

10

r

j

−

10

⋅

t

r

j

Æ vx= 17,32 m/s = cte vy = 10 – 10· t m/s

[ Es decir, la piedra lleva un movimiento uniforme en el eje x (siempre avanza al mismo ritmo en horizontal) y un movimiento acelerado en el eje y, ya que la aceleración va sólo en vertical. ]

Cálculo de la altura máxima:

[ En el punto de altura máxima, se cumple que la componente vertical de la velocidad se anula ] vy = 0

vy = 10 – 10· t = 0 Æ t = 1 s. [ tarda 1 s en alcanzar su altura ( y ) máxima. Sustituimos en la ecuación de y ] y = 30 + 10· t – 5 t2 _{= 35 m. = y}

máx [En ese momento está a 35 m de altura sobre el mar.]

Cálculo del punto de impacto con el mar (alcance horizontal):

Cuando llega a la superficie del mar, se cumple que su altura es cero ( y = 0 ).

y = 30 + 10· t – 5 t2 _{= 0 Æ t = 3,65 s [se desprecia la otra solución t = - 1,65 s, que carece de sentido]}

Sustituimos en x x = 17,32· t = 63,22 m. Cae a esa distancia horizontal desde la base del acantilado.

6.8. MOVIMIENTOS CIRCULARES:

6.8.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U):

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento acelerado (la dirección de la velocidad cambia), dotado únicamente de aceleración centrípeta (aceleración normal). La trayectoria que describe es una curva de radio constante: una circunferencia.

Un movimiento circular es más sencillo de estudiar si usamos coordenadas polares

(en lugar de coordenadas x e y, usamos el radio y el ángulo que forma con uno de los ejes, normalmente el semieje x +). Como el radio de la circunferencia que describe se mantiene constante ( R ), para indicar la posición del móvil

gr

0

rr

y

20 m/s

x

y

máx

+

+

_

O

_

30 m 30º

R

₊

_

θ

O

v

0y

v

0x

v

₀

30º

en la circunferencia sólo tendremos que dar el valor del ángulo

θ

, que se denomina posición angular y se mide en radianes (rad) ( 2π rad Æ 360º )

El desplazamiento angular entre dos posiciones se calcula como la diferencia entre las mismas

∆

θ

=

θ

−

θ

₀ La rapidez con que varía el ángulo θ descrito proporciona una medida de la velocidad del movimiento circular. A esa velocidad relacionada con el ángulo se la denominará “velocidad angular”, que se simboliza como ω y que, en términos de velocidad angular media, se expresa como:

0 0

t

t

t

−

−

=

=

θ

θ

∆

θ

∆

ω

Unidades (S.I) = radián por segundo (rad·s-1₎

Ecuación del movimiento circular uniforme : Sabemos que en un MCU, la velocidad angular es constante. Despejando:

)

t

t

(

)

t

t

(

_{0 0 0} 0

=

⋅

−

→

=

+

⋅

−

−

θ

ω

θ

θ

ω

θ

En el caso de que t0 = 0. Æ

θ

=

θ

0

+

ω

⋅

t

Magnitudes asociadas al M.C.U: Al tratarse de un movimiento periódico, que se repite cada cierto tiempo, podemos definir:

• Período ( T ): Tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa (o repetir su posición). En el S.I. se mide en segundos.

ω

π

2

T

=

• Frecuencia (

υ

): Es la magnitud inversa del periodo. Indica el número de vueltas (o número de veces que se repite una posición) por unidad de tiempo.

π

ω

υ

υ

2

;

T

1

₌

=

Unidad en el S.I: 1/s = s-1 _{(también se denomina hertzio (Hz)).}

Relación entre magnitudes angulares y lineales:

Posición y desplazamiento sobre la trayectoria:

s

=

θ

⋅

R

;

∆

s

=

∆

θ

⋅

R

Velocidad lineal (rapidez, v)

v

=

ω

⋅

R

6.8.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA).

Cuando la velocidad angular de un cuerpo que se mueve describiendo círculos varía, se dice que está dotado de aceleración angular, que se simboliza con la letra α. Indica cómo varía la velocidad angular con el tiempo.

0 0

t

t

t

−

−

=

=

ω

ω

∆

ω

∆

α

La unidad de la aceleración angular en el sistema internacional es el radián por segundo al cuadrado (rad/s2_{). Si α es constante, se dice que el movimiento circular es uniformemente acelerado (MCUA)}

Ecuaciones del MCUA:

Posición: ₂1 ₀ 2 0 0 0

+

⋅

(

t

−

t

)

+

⋅

(

t

−

t

)

=

θ

ω

α

θ

Si t

0

= 0

θ

=

θ

0

+

ω

0

⋅

t

+

₂1

α

⋅

t

2 Velocidad:

ω

=

ω

₀

+

α

⋅

(

t

−

t

₀

)

ω

=

ω

₀

+

α

⋅

t

Relación entre magnitudes angulares y lineales: Aceleración tangencial:

a

_t

=

α

⋅

R

Aceleración normal:

R

R

v

a

2 2 n

=

=

ω

⋅

R

₊

_

θ

O

s

ω < 0

ω > 0

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 7: Dinámica de la partícula 1

TEMA 7: DINÁMICA

1

_{DE LA PARTÍCULA}

7.1. Introducción histórica.

7.2. Interacción entre partículas. Leyes de Newton de la dinámica. 7.3. Fuerzas de particular interés.

7.4. Cantidad de movimiento: conservación. Impulso. 7.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.

La observación y el estudio de los movimientos (tanto de los cuerpos terrestres como de los celestes) ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia donde tiene su origen la sentencia “Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza”, que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición, científico y filósofos observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características.

En la Antigua Grecia, las principales ideas sobre la naturaleza las encontramos en Aristóteles (s. IV a.C.)

El estudio de la naturaleza de Aristóteles parte de la observación de los fenómenos para, a partir de ahí, deducir sus causas a partir de primeros principios. No es un estudio “científico” como entendemos actualmente, ya que no exige la comprobación experimental de las conclusiones obtenidas. Se da mayor importancia a la coherencia del razonamiento y al “sentido común”, aunque en ocasiones se contradiga con la experiencia.

Aristóteles basa sus razonamientos sobre la naturaleza en dos principios, básicamente: - La teoría de los cuatro elementos: Cualquier sustancia en la naturaleza está

constituida por mezcla de cuatro elementos básicos: tierra, agua, aire y fuego. Establece un quinto elemento para los cielos, el éter, que es eterno e inmutable.

- El principio de finalidad (teleología): Todo cambio en la naturaleza tiene una finalidad, el perfeccionamiento de la misma.

Así, en cuanto al movimiento (un cambio de lugar), Aristóteles establece que el estado natural de un cuerpo es el reposo. Cuando se mueve es porque se le esté forzando o porque intenta ir hacia un sitio mejor, por afinidad con el elemento del que está formado (una piedra tiende a ir hacia la tierra, el fuego tiende a subir hacia el fuego supremo que es el Sol). De este modo se distinguen:

- Movimientos naturales - Cuerpos celestes: Movimiento circular (considerado el movimiento perfecto) - Cuerpos terrestres (imperfectos): Movimiento hacia lo que le es propio. Son

movimientos uniformes de caída (cuerpos graves) o subida (cuerpos ligeros). - Movimientos forzados: Ocurren de forma no natural, cuando empujamos o tiramos de algo. Desaparecen

cuando cesa la causa (fuerza). El rozamiento no es incluido como una fuerza aplicada, sino sólo como un impedimento al movimiento, ocasionado por la imperfección de los cuerpos terrestres. Esta descripción del movimiento es muy limitada, y muchas veces se contradice con la experiencia Por ejemplo, no explica el hecho de que una piedra siga subiendo después de soltarla (propone que el aire que rodea a la piedra sigue impulsándola). Ya algunos seguidores critican y modifican la teoría, pero lo fundamental del pensamiento de Aristóteles se sigue manteniendo durante la Antigüedad y la Edad Media.

Ya en el siglo XVII, se inicia el estudio científico del movimiento con Galileo Galilei (1564-1642). Basándose en la experiencia y el razonamiento (y no en la autoridad de pensadores anteriores), descubre que el movimiento es un estado tan natural como el del reposo, y que no es necesaria la acción de una fuerza para que un cuerpo permanezca en movimiento. El efecto de la fuerza que apliquemos será un cambio en dicho movimiento (ya sea para aumentar su rapidez, frenarlo o desviarlo). Un cuerpo sobre el que no se aplique ninguna fuerza permanecerá en el estado en que se encuentre, ya sea de reposo o de movimiento, tiene tendencia a continuar en su estado, ya sea de reposo o de movimiento).

Además de estudiar los movimientos de caída rectilíneos y parabólicos, Galileo descubre

los satélites de Júpiter, defiende el sistema Heliocéntrico de Copérnico (por lo que es perseguido por la Iglesia) y desecha la clasificación de movimientos naturales y forzados, incluso para los cuerpos celestes, dejando claro el camino a Isaac Newton para el descubrimiento de la ley de la gravedad y de las leyes de la dinámica.

Posteriormente, la descripción y explicación de las fuerzas eléctricas (s XVIII) y magnéticas (s. XIX), y las fuerzas nucleares fuerte y débil en el s. XX, completan la descripción actual que tenemos acerca de la dinámica.

7.2. INTERACCIÓN ENTRE PARTÍCULAS. LEYES DE NEWTON:

Fuerza: Es una magnitud vectorial que mide la intensidad de la interacción entre dos cuerpos. De la definición anterior podemos extraer las características generales que cumplen las fuerzas:

- Siempre que exista una interacción entre dos cuerpos (es decir, que un cuerpo actúe sobre otro), se ejercerán fuerzas entre ambos cuerpos. Por ejemplo, choques, contactos, rozamientos, atracción gravitatoria, atracciones o repulsiones eléctricas y magnéticas... Para que exista interacción no es necesario que los cuerpos estén en contacto. - Los cuerpos no tienen fuerza por sí mismos. Ejercen fuerzas al interaccionar con

otros. Al finalizar la interacción, por tanto, también dejan de ejercerse estas fuerzas. - Para que se ejerzan fuerzas son necesarios dos cuerpos que interaccionen. El primer

cuerpo ejercerá una fuerza sobre el segundo, y el segundo ejercerá una fuerza sobre el primero. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.

Las fuerzas, como magnitudes vectoriales, se representan por vectores (módulo, dirección, sentido). El punto de aplicación de la fuerza se coloca sobre el cuerpo que sufre la fuerza.

Las diferentes fuerzas que actúen sobre un cuerpo pueden sumarse (vectorialmente). El resultado de sumar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se denomina resultante del sistema de fuerzas (

Σ

F

r

).

Sólo tiene sentido sumar las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo, ya que son estas las que influirán en su movimiento.

Unidades: La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de unidades es el Newton ( N ). Otras unidades:

Sistema técnico: kilopondio ( kp ); 1 kp = 9.8 N ~ 10 N. Sistema CGS: dina 1 dina = 10-5 _N

Efectos de las fuerzas: Las fuerzas pueden producir dos efectos posibles en los cuerpos: -Deformaciones

-Cambios en el movimiento (aceleraciones)

A lo largo de este tema nos dedicaremos a estudiar fundamentalmente el segundo de los efectos, ya que consideraremos a los cuerpos como partículas puntuales, sin forma ni tamaño, con lo que no tendría sentido hablar de deformación.

LEYES DE NEWTON):

Fueron propuestas, junto con las definiciones de masa y fuerza, por Isaac Newton (1642-1727) en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), publicada en 1686. 2

1ª LEY: (LEY DE INERCIA) (1er _{PRINCIPIO DE LA DINÁMICA):}

“Todo cuerpo tiende a continuar en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza neta que le obligue a cambiar este movimiento.”

La fuerza neta será la resultante (la suma) de todas las fuerzas que actúen sobre el cuerpo. Podemos expresar también esta ley diciendo que “Siempre que

Σ

F

r

= 0, el cuerpo mantiene su estado de movimiento” (y siempre que el cuerpo mantenga su estado, es porque

Σ

F

r

= 0 )

Esta tendencia que tiene el cuerpo a continuar en el estado que estaba fue llamada vis inertiae (actualmente inercia) por Newton. Hay que resaltar que la inercia no es ninguna fuerza, es simplemente la tendencia que tiene cualquier cuerpo a continuar tal y como estaba, hasta que lo obliguemos a cambiar. La inercia de un cuerpo depende fundamentalmente de la masa que éste tenga. A mayor masa, más difícil será modificar su movimiento.

2 _{Es muy recomendable leer el capítulo 3 de Biografía de la Física, de George Gamow, donde aparecen las leyes tal como}

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 7: Dinámica de la partícula 3 La primera ley de inercia y los sistemas de referencia están estrechamente ligados. Hasta ahora hemos visto cómo influye el planteamiento y la resolución de un problema físico el sistema de referencia que hayamos elegido, pero a partir del primer principio podemos clasificar los sistemas de referencia en dos:

• Sistema de referencia inercial (aquel que cumple el primer principio de la dinámica de Newton. Es aquel sistema de referencia que está en reposo o moviéndose con velocidad constante respecto a un S.R. en reposo)

• Sistema de referencia no inercial (aquel que no cumple el primer principio de la dinámica de Newton. Es un sistema de referencia que se mueve con aceleración, como en el caso de un autobús cuando frena. Los pasajeros del autobús notan como si algo les empujara hacia delante, aplicándoles una “fuerza imaginaria”. O en un coche que toma una curva, notamos como si algo nos empujara hacia una lado con una “fuerza centrífuga”. Esas “fuerzas” no existen realmente, lo que ocurre es que nuestro sistema de referencia sufre aceleración y nosotros tendemos a continuar nuestro movimiento)

En todas las cuestiones y problemas, usaremos sistemas de referencia inerciales. 2ª LEY: (RELACIÓN CAUSA-EFECTO) (2º PRINCIPIO DE LA DINÁMICA)

“El cambio de movimiento (aceleración) originado en una partícula es proporcional a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, y va en la misma dirección y sentido que dicha resultante.”

Lo dicho anteriormente puede resumirse mediante una fórmula que relaciona el efecto (la aceleración) con la causa que la ha producido (la fuerza resultante). La constante que relaciona ambas magnitudes es la masa del cuerpo.

Esta expresión es la que utilizaremos en la mayoría de los problemas. De ella se pueden extraer varias conclusiones:

- Usando unidades del S.I, vemos que 1 N = 1 kg · 1 ms-2 _{, es decir [ N = kg · m · s}-2 _]

También: 1 dina = 1 g · cm · s-2 _{= 10}-3 _{kg · 10}-2 _{cm · s}-2 _{= 10}-5 _N

- La dirección y sentido de la aceleración coinciden con las de la fuerza resultante.

- La expresión nos está indicando un relación entre vectores. Es decir, si nos encontramos ante un problema en dos dimensiones, como corresponde a este curso, tendremos dos componentes de la ecuación.

ΣFx = m · ax

ΣFy = m · ay

- De esta segunda ley puede obtenerse la primera (ley de inercia) como un caso particular. Si hacemos que

F

r

Σ

sea cero, la aceleración también será cero, con lo que el movimiento no cambiará (seguirá tal como estaba).

- Una misma fuerza no tiene por qué producir siempre el mismo efecto. Dependerá del cuerpo sobre el que esté aplicado (de su masa).

3ª LEY: (PRINCIPIO DE ACCIÓN-REACCIÓN) (3er _{PRINCIPIO DE LA DINÁMICA)}

“En toda interacción entre dos cuerpos, se ejercen dos fuerzas, una aplicada sobre cada cuerpo, que son iguales en módulo y dirección, y en sentidos contrarios”.

Lo que quizá más pueda sorprendernos de esta tercera ley es el hecho de que las dos fuerzas tengan el mismo valor. Es decir, si le damos una patada a un balón, el balón ejerce sobre nuestro pie una fuerza igual. Si la Tierra nos atrae, nosotros atraemos a la Tierra con la misma fuerza. ¿Por qué entonces los cuerpos caen y la Tierra no sube? ¿Por qué el balón sale disparado y nuestro pie no sale rebotado hacia atrás? La razón hay que buscarla en la

segunda ley. Las fuerzas que actúan son iguales, pero los efectos que producen (las aceleraciones) dependen también de la masa. La Tierra tiene una masa tan enorme que la aceleración que sufre es insignificante, inapreciable. El balón tiene mucha menos masa que nuestra pierna, y sufre más aceleración (la pierna también se ve frenada en su movimiento, debido a la acción de la fuerza que le ejerce el balón).

a

m

F

r

=

⋅

r

Σ

m

F

a

r

r Σ

₌

7.3 ESTUDIO DE ALGUNAS FUERZAS DE ESPECIAL INTERÉS: 7.3.1 FUERZA GRAVITATORIA. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

Hasta ahora, en cursos anteriores, hemos usado como definición de fuerza gravitatoria (peso) la siguiente: “Fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre un cuerpo.” Pero ¿El cuerpo no ejerce ninguna fuerza de atracción sobre la Tierra? ¿No se cumple el principio de acción-reacción? ¿Pesa igual un objeto en la Tierra que en la Luna, al nivel del mar o en la cima de una montaña? ¿por qué el valor de 9,8 para la gravedad?

A finales del siglo XVII Isaac Newton formuló la ley de gravitación universal, con la que se explicaban los movimientos que se observan en los planetas del sistema solar, así como los movimientos de caída libre de los cuerpos. Así, el movimiento de caída de una manzana se explica de la misma forma que las órbitas de la Luna en Torno a la Tierra. La ley de gravitación universal dice así

“Todos los cuerpos, por el hecho de tener masa, se atraen entre sí con una fuerza gravitatoria, que es

directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia que las separa”.

Matemáticamente, en módulo: g 1 ₂ 2

r

m

m

G

F

=

⋅

⋅

donde G es una constante universal de valor G = 6,67⋅10-11 _{N ⋅ m}2 _{/ kg}2_.

Gravedad terrestre:

Hasta ahora hemos calculado el peso de un cuerpo aplicando la expresión g

m F_g = ⋅ .

Pero ya sabemos que también la podemos calcular con la ley de gravitación universal, siendo m1 igual a la masa de la Tierra (M), y r la distancia desde el centro de la Tierra

hasta el centro del cuerpo. g ₂

r

m

M

G

F

=

⋅

⋅

Las dos fórmulas deben darnos el mismo resultado, por lo que llegamos a la conclusión de que el valor de la gravedad, g, es igual a ₂

r

M

G

g

=

⋅

Esta fórmula nos permite calcular la gravedad a cualquier distancia del centro de la Tierra. Si calculamos su valor en la superficie ( g0 ), sustituyendo los datos (M = 5,98 ·1024 kg, r = RT = 6,37 ·106 m ) obtendremos el valor

conocido de g0 = 9,8 m/s2 aprox. Para cualquier planeta, basta sustituir su masa y su radio.

Una característica importante que observamos de la gravedad (g), es que su valor disminuye con la altura. Cuanto más alejado esté un objeto del centro del planeta, menor será la atracción que se ejercerá entre ambos cuerpos (menos pesará el objeto).

Aunque el peso de un cuerpo disminuye con la altura, para alturas de pocos km sobre la superficie terrestre, puede considerarse que la gravedad, g, se mantiene constante en g = 9,8 ms-2 _{~ 10 ms}-2_{. El punto de aplicación del}

peso es el centro de gravedad del cuerpo. 7.3.2. TENSIÓN:

Fuerza que ejerce una cuerda o cable tenso sobre sus extremos Para una misma cuerda, el valor de T es el mismo en ambos extremos

Cuando T se haga 0, significará que la cuerda deja de estar tensa (se ha aflojado).

Normalmente, cuerdas y cables tienen un valor de tensión máxima que pueden soportar sin romperse.

g

m

F

P

g

r

r

r

⋅

=

=

Valores de gravedad superficial ( g0 ) en el Sistema solar (en m/s2₎

Mercurio: Venus: Tierra: Luna: Marte: Júpiter: Saturno: Urano: Neptuno: Plutón: 3,6 8,6 9,8 1,6 3,7 25,9 11,3 11,5 11,6 (1,2)?

IES Al-Ándalus. Dpto. Física y Química. F.Q. 1º Bachillerato. Tema 7: Dinámica de la partícula 5 7.3.3 FUERZA ELÁSTICA :

Los cuerpos elásticos, al deformarse por la acción de una fuerza, intentan recuperar su forma inicial. Es decir, ejercen una fuerza que se opone a la deformación. Esta fuerza se denomina fuerza elástica, y tiene estas características:

- Depende del tipo de material (esto se ve reflejado en una constante, K (cte. elástica)). [ K ] =N/m

- Es proporcional a la deformación realizada (es decir, a mayor deformación, mayor fuerza opondrá el cuerpo elástico).

- Se opone a la deformación realizada.

Estas tres características quedan recogidas en la ley de Hooke:

Hay que destacar que la elasticidad de los cuerpos posee un limite. Si estiramos

indefinidamente un muelle llegará un momento en que no será capaz de recuperar su forma inicial, y se quedará estirado. Al límite a partir del cual ocurre esto se denomina límite elástico.

7.3.4 FUERZAS DE CONTACTO:

Cuando dos cuerpos entran en contacto, se ejercen fueras iguales y de sentido contrario entre ambos cuerpos. Estas fuerzas, llamadas reacciones, tendrán, en general, cualquier dirección. Pero siempre podremos descomponer la reacción en dos componentes: una perpendicular a la superficie de contacto, y otra en dirección paralela a la superficie de contacto.

• La componente perpendicular recibe el nombre de normal.

• La componente paralela recibe el nombre de fuerza de rozamiento. Normal: Respuesta del plano a todas las fuerzas perpendiculares a él. Esta reacción de la superficie explica el hecho de que el cuerpo no se hunda en la superficie.

Es una fuerza perpendicular a la superficie y siempre va en sentido hacia fuera.

Ya que esta fuerza se debe al contacto entre las dos superficies, desaparecerá cuando los dos cuerpos dejen de estar en contacto.

Se calcula haciendo si no hay movimiento en ese eje.

Fuerza de rozamiento: Es debida a la rugosidad de las superficies que están en contacto. Aparece cuando una superficie intenta deslizar sobre la otra. Entonces aparecen fuerzas sobre ambas superficies (3ª ley Newton) que se oponen a dicho deslizamiento. Es una fuerza paralela a las superficies que estén en contacto.

El rozamiento entre dos superficies dependerá básicamente de:

- La rugosidad de las superficies: Según el tipo de superficie, tendremos más o menos rozamiento. Esto viene indicado por un coeficiente característico para cada pareja de superficies, llamado coeficiente de rozamiento (µ) - La intensidad del contacto entre ambas superficies. Es la fuerza normal la que nos indica si el contacto es más o

menos intenso.

Existen dos tipos de rozamiento, según que el cuerpo se mueva o no. F Roz. estática: Mientras el cuerpo no se mueve

En el límite

F Roz. dinámica: Cuando se produce un deslizamiento

x

K

F

r

_e

=

−

⋅

∆

r

aplicada R

F

F

=

N

F

_RsMAX

=

µ

_s

⋅

N

F

_R

=

µ

⋅

0

F

_y

=

Σ

r