* Energía en circuitos eléctricos. Ley de Joule.

Tema 2: Electrocinética

* Intensidad de corriente eléctrica.

* Resistencia. Ley de Ohm.

* Energía en circuitos eléctricos. Ley de Joule.

* Generadores y fem.

* Leyes de Kirchhoff.

Aplicaciones

- Conexiones de resistencias: serie y paralelo.

Intensidad de corriente eléctrica

Cuando se conectan una serie de conductores a un generador para formar un circuito eléctrico, de forma casi instantánea se alcanza un flujo de corriente eléctrica estacionaria.

La intensidad de corriente eléctrica se define como el flujo neto de cargas eléctricas que atraviesa la sección transversal de un conductor por unidad de tiempo:

donde dQ es la carga que fluye a través del área A en un intervalo de tiempo dt. La unidad de intensidad de corriente en el SI es el ampere (A), que definiremos más adelante.

Los portadores de carga de los conductores (electrones) en ausencia de efectos externos se mueven aleatoriamente. Al conectar los generadores, se ven sometidos a un campo eléctrico que los acelera en el sentido opuesto (-eE). La energía cinética que adquieren se pierde posteriormente en choques contra los iones de la red metálica, pero en promedio se adquiere una cierta velocidad en el sentido opuesto al campo, la velocidad de desplazamiento v_d.

dt

dQ

I



Intensidad de corriente eléctrica

Si n es la densidad de portadores de un material y q la carga de cada partícula, el flujo de carga dQ en el lapso de tiempo dt a que hacíamos referencia antes, será:

La magnitud vectorial densidad de corrienteJ se define a través de:

La corriente a través de una superficie S depende de la orientación relativa de la superficie respecto a la dirección de desplazamiento de los portadores:

Podemos ver que esto se corresponde con la expresión que escribimos antes suponiendo una densidad de corriente uniforme, y tomando una superficie ortogonal a la dirección de flujo de portadores:

d v nq J  







S

A

d

J

I





A

nqv

A

J

A

d

J

A

d

J

I

_d S S

































d



nqAvd dt dQ I dt v nqA dQ    

Resistencia. Ley de Ohm.

Consideremos un segmento de un cable de longitud L y sección A. La diferencia de potencial entre los puntos a y b, extremos de este, será:

si el campo eléctrico es uniforme.

Se define la resistencia del segmento como el cociente entre la caída de potencial en el sentido de la corriente y la intensidad de corriente que circula por él:

Su unidad en el SI es el V/A, que recibe el nombre de ohm (

Para los buenos conductores, la resistencia no es función de la intensidad de corriente que fluye. El comportamiento de estos materiales se denomina óhmico, puesto que siguen la denominada ley de Ohm:

Hay que recalcar que esta no es una ley fundamental, sino de tipo empírico.

L

E

V

V

V



_a



_b







I

V

R





IR

V





Resistencia. Ley de Ohm.

La resistencia de un cable conductor es proporcional a su longitud y a la inversa de su sección:



es una propiedad del conductor denominada resistividad, que se mide en



·m

.

. Podemos sustituir en la ley de Ohm, de donde obtenemos:

donde hemos supuesto un campo y una corriente uniformes en el conductor De hecho la ecuación vectorial

es la expresión microscópica puntual de la ley de Ohm. La inversa de la resistividad recibe el nombre de conductividad (), cuya unidad es el m-1_{. Resistividad y conductividad son función}

de la temperatura de operación de las resistencias. Para los buenos conductores, y dentro del rango de temperaturas comunes, la resistividad muestra un incremento lineal con T, que viene determinado por el denominado coeficiente de temperatura:

A

L

R





JL

EL

A

L

I

V











E

J

J

E



















0 0 0

T

T

/

)

(















Energía en circuitos eléctricos. Ley de Joule.

Como expusimos anteriormente, los portadores de carga se aceleran bajo el efecto del campo eléctrico pero colisionan con los iones de la red, con la correspondiente pérdida de energía, que se transmite en forma de calor, lo que conduce a una situación en promedio estacionario. Vamos a estudiarla desde un punto de vista energético.

Tomemos un pequeño elemento de volumen dV en un conductor. La carga asociada a los portadores en dicho elemento es dQ=nqdV. Sobre este elemento actúa una fuerza eléctrica neta

El trabajo realizado por dicha fuerza al desplazar las cargas del elemento durante un breve lapso de tiempo dt es

Esta energía adquirida se dispersa en los choques. Podemos cuantificar la potencia disipada por unidad de volumen, que de acuerdo con la expresión anterior será:

que es la expresión puntual de la ley de Joule. Podemos escribirla macroscópicamente para un elemento resistivo:

dV

E

nq

dQ

E

F

d











dt

dV

J

E

dt

v

dV

E

nq

l

d

F

d

dW













·



_d





·



J

E

dV

dt

dW

dV

dP





·

/

_



R

V

R

I

VI

JA

EL

AL

EJ

dV

J

E

P

V 2 2

)

)(

(

)

(

·



















Generadores y fem.

Todo lo dicho hasta este momento, pone de manifiesto que es necesario disponer de fuentes energéticas que mantengan el estado cinético en los circuitos. Estos dispositivos reciben el nombre de fuentes o generadores de fem (fuerza electromotriz). Estos dispositivos transforman, por ejemplo, energía química, ó mecánica, en eléctrica (baterías ó pilas y dinamos ó alternadores).

El parámetro fundamental que caracteriza estas fuentes energéticas es el trabajo que realizan por unidad de carga, denominado fem () (fuerza electromotriz).

Su unidad en el SI es la misma que se utiliza para el potencial, el volt (V). Una batería ideal mantiene una diferencia de potencial constante entre sus terminales, que coincide con .

En la figura vemos la representación común de una fem y una resistencia. La fem mantiene una diferencia de potencial entre a y b, que origina una corriente en el sistema, que circula en el sentido indicado y tiene una intensidad

R

I





Generadores y fem.

Cuando una pequeña cantidad de carga dQ fluye a través del generador, su energía potencial se ve incrementada en la magnitud dQ·La potencia suministrada por la fem será:

El funcionamiento de las baterías reales difiere ligeramente de lo descrito, puesto que estas presentan también una pequeña resistencia al flujo de la corriente.

Si denotamos esa resistencia por r, podemos evaluar la diferencia de potencial exacta entre los bornes:

Por tanto, vemos que disminuirá con la intensidad de corriente en el circuito. Para este simple ejemplo









I

dt

dQ

P

Ir

V

V

Ir

V

V

_a



_b









_a



_b







r

R

I

Ir

V

V

IR

_{a b}



















Leyes de Kirchhoff.

Para analizar circuitos más complicados que el que acabamos de mostrar, se utilizan las leyes de Kirchhoff. Estas se enuncian del modo siguiente

1. En un nudo de un circuito (punto en que convergen dos o más componentes, sean resistencias y/o generadores) la suma algebraica de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma algebraica de las corrientes que salen del mismo.

2. La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier malla (subcircuito cerrado) debe ser igual a 0.

La primera ley se deriva del principio de conservación de la carga, mientras que la segunda es consecuencia conjunta de la ley de Ohm y del hecho de que el campo eléctrico es conservativo. La segunda ley se puede enunciar alternativamente para una rama (tramo de circuito comprendido entre dos nudos), del modo siguiente

2.La diferencia de potencial entre dos nudos de un circuito es la suma algebraica de las fems y de las caidas de tensión en las resistencias presentes entre dichos nudos.







salientes entrantes

I

I













j k K K j b a

V

I

R

V

0

R

I

j k K K j











Leyes de Kirchhoff.

Conexiones de resistencias: serie y paralelo. Conexión en serie

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff para la rama:

La resistencia equivalente en conexiones en serie es la suma de las individuales:

Conexión en paralelo Aplicamos la 1ª al nudo a:

Aplicamos la 2ª a las dos ramas:

esto es, la inversa de la resistencia equivalente es la suma de las inversas de las resistencias individuales

)

R

R

(

I

IR

IR

V

V

_a



_c



₁



₂



₁



₂





j j eq

R

R

2 1

I

I

I





eq b a 2 b a 1 b a 2 2 b a 1 1 b a

R

V

V

I

R

V

V

R

V

V

R

I

V

V

R

I

V

V

























j _j eq

R

1

R

1

Leyes de Kirchhoff.

Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

Los dispositivos de medida de corriente (amperímetros), diferencia de potencial (voltímetros) y resistencia (ohmímetros) están basados en el mismo componente principal, el galvanómetro. Un galvanómetro es un aparato capaz de detectar

pequeñas corrientes que lo atraviesan.

Los galvanómetros comunes consisten en un circuito que forma un bobinado, el cual se sitúa entre los polos de un imán. Como veremos en el tema próximo, cuando una corriente circula por la bobina, el campo magnético del imán genera sobre ella un par proporcional a la magnitud de la corriente.

La resistencia propia del galvanómetro la denotaremos por R_g. Detallemos ahora cómo se diseñan y operan los tres dispositivos de medida.

Leyes de Kirchhoff.

Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

La diferencia de potencial se mide colocando el voltímetro en paralelo con el elemento del circuito en cuestión. De este modo la caída de potencial para el voltímetro es la misma que para el elemento.

Se debe perturbar lo mínimo posible el circuito sobre el que se mide, por lo que interesa que la resistencia del voltímetro sea muy alta (conexión de resistencias en paralelo):

Por tanto, un voltímetro se puede construir conectando una elevada resistencia en serie con un galvanómetro.

R

R

R

R

si

;

R

1

R

1

R

1

eq volt volt eq











Leyes de Kirchhoff.

Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

La intensidad corriente se mide colocando el amperímetro en serie con el elemento del circuito en cuestión. De este modo la corriente que fluye por el amperímetro es la misma que para el elemento.

Se debe perturbar lo mínimo posible el circuito sobre el que se mide, por lo que interesa que la resistencia del amperímetro sea muy baja (conexión de resistencias en serie):

Por tanto, un amperímetro se puede construir conectando una elevada resistencia en paralelo con un galvanómetro.

R

R

R

R

si

;

R

R

R

_eq





_{amp amp}





_eq



Leyes de Kirchhoff.

Instrumentos de medida. Amperímetros y voltímetros.

Finalmente, un ohmímetro puede construirse con un galvanómetro conectado en serie con un generador y una resistencia.

La resistencia R_S se elige de forma que al cortocircuitar los terminales a y b la corriente a través del galvanómetro produzca una deflexión al fondo de la escala.

Si los terminales a y b están en abierto, no hay corriente y el galvanómetro da medida nula, mientras que al insertar una resistencia dada entre los terminales, la desviación será intermedia y, debidamente calibrada, establecerá la