matematica ii clase 17

Álgebra lineal,

funciones de múltiples variables, cálculo

diferencial y cálculo integral

Cátedra de Matemática II

Clase 17

1 _{Diferenciabilidad}

Linearización def(x,y) Diferenciales

Índice

1 Diferenciabilidad

Linearización def(x,y) Diferenciales

Aproximación lineal a

f

(

x

)

La recta tangente ay=f(x)en x₌aes una aproximación a los valores def(x)cerca dea

f(x)≈L(x)=f(a)+f0(a)(x−a)

L(x)es lalinearizacióndef ena. El error se hace más pequeño a medida que la distanciah, entrex ya, se achica

lim

h→0

f(a+h)−L(a+h)

h =hlim→0

f(a+h)−f(a)−f0(a)h h

=lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h −f 0_(a)

Aproximación lineal a

f

(

x

)

La recta tangente ay=f(x)en x₌aes una aproximación a los valores def(x)cerca dea

f(x)≈L(x)=f(a)+f0(a)(x−a)

L(x)es lalinearizacióndef ena. El error se hace más pequeño a medida que la distanciah, entrex ya, se achica

lim

h→0

f(a+h)−L(a+h)

h =hlim→0

f(a+h)−f(a)−f0(a)h h

=lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h −f 0_(a)

Aproximación lineal a

f

(

x

)

La recta tangente ay=f(x)en x₌aes una aproximación a los valores def(x)cerca dea

f(x)≈L(x)=f(a)+f0(a)(x−a)

L(x)es lalinearizacióndef ena. El error se hace más pequeño a medida que la distanciah, entrex ya, se achica

lim h→0

f(a+h)−L(a+h) h =hlim→0

f(a+h)−f(a)−f0(a)h h

=lim h→0

f(a+h)−f(a)

h −f

0_(a)

Aproximación lineal a

f

(

x

,

y

)

El plano tangente al gráfico dez=f(x,y)en(a,b)es L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)

y x

z=f(x,y) L(x,y)

T2

T1

n z

¡

a,b,f(a,b)¢

L(x,y)es lalinearización def en(a,b).

Podemos usarL(x,y)para aproximarf(x,y)cerca de(a,b)

Aproximación lineal a

f

(

x

,

y

)

El plano tangente al gráfico dez=f(x,y)en(a,b)es L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)

y x

z=f(x,y) L(x,y)

T2

T1

n z

¡

a,b,f(a,b)¢

L(x,y)es lalinearización def en(a,b).

Podemos usarL(x,y)para aproximarf(x,y)cerca de(a,b)

Aproximación lineal a

f

(

x

,

y

)

El plano tangente al gráfico dez=f(x,y)en(a,b)es L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)

y x

z=f(x,y) L(x,y)

T2

T1

n z

¡

a,b,f(a,b)¢

L(x,y)es lalinearización def en(a,b).

Ejemplo

Encontrar un valor aproximado paraf(x,y)=p2x2_+e2y _en (2,2;−0,2).

Podemos usar la linearización en(2;0), donde es fácil evaluarf y sus derivadas.

fx(x,y)=

2x

p

2x2_+e2y

fy(x,y)=

e2y

p

2x2_+e2y

f(2;0)=3

f(2;0)=4 3

f(2;0)=1 3 EntoncesL(x,y)=3+43(x−2)+

1

3(y−0), y

f(2,2;−0,2)≈L(2,2;−0,2)=3+4

3(2,2−2)+ 1

Ejemplo

Encontrar un valor aproximado paraf(x,y)=p2x2_+e2y _en (2,2;−0,2).

Podemos usar la linearización en(2;0), donde es fácil evaluarf y sus derivadas.

fx(x,y)=p 2x

2x2_+e2y fy(x,y)= e

2y

p

2x2_+e2y

f(2;0)=3 f(2;0)=4 3 f(2;0)=1 3 EntoncesL(x,y)=3+43(x−2)+

1

3(y−0), y

f(2,2;−0,2)≈L(2,2;−0,2)=3+4

3(2,2−2)+ 1

Ejemplo

Encontrar un valor aproximado paraf(x,y)=p2x2_+e2y _en (2,2;−0,2).

Podemos usar la linearización en(2;0), donde es fácil evaluarf y sus derivadas.

fx(x,y)=p 2x

2x2_+e2y fy(x,y)= e

2y

p

2x2_+e2y

f(2;0)=3 f(2;0)=4 3 f(2;0)=1 3 EntoncesL(x,y)=3+43(x−2)+

1

3(y−0), y

f(2,2;−0,2)≈L(2,2;−0,2)=3+4

3(2,2−2)+ 1

Ejemplo

Encontrar un valor aproximado paraf(x,y)=p2x2_+e2y _en (2,2;−0,2).

Podemos usar la linearización en(2;0), donde es fácil evaluarf y sus derivadas.

fx(x,y)=p 2x

2x2_+e2y fy(x,y)= e

2y

p

2x2_+e2y

f(2;0)=3 f(2;0)=4 3 f(2;0)=1 3 EntoncesL(x,y)=3+43(x−2)+

1

3(y−0), y

f(2,2;−0,2)≈L(2,2;−0,2)=3+4

3(2,2−2)+ 1

Funciones diferenciables

A diferencia del caso de una variable, la simple existencia defx(a,b)y defy(a,b)no implicaquef sea contínua en (a,b). . .

Y tampoco implica que el error de la linearización sea pequeño, comparado con la distancia

q

(x−a)2_+(y−b)2 entre(a,b)y(x,y). . .

Esto nos permite dar una condición para quef(x,y)sea diferenciableen un punto.

Definición

Se dice que la funciónf(x,y)esdiferenciableen el punto

(a,b)si

lim

(h,k)→(0,0)

f(a+h,b+k)−f(a,b)−hfx(a,b)−kfy(a,b)

p

Funciones diferenciables

A diferencia del caso de una variable, la simple existencia defx(a,b)y defy(a,b)no implicaquef sea contínua en (a,b). . .

Y tampoco implica que el error de la linearización sea pequeño, comparado con la distancia

q

(x−a)2_+(y−b)2

entre(a,b)y(x,y). . .

Esto nos permite dar una condición para quef(x,y)sea diferenciableen un punto.

Definición

Se dice que la funciónf(x,y)esdiferenciableen el punto

(a,b)si

lim

(h,k)→(0,0)

f(a+h,b+k)−f(a,b)−hfx(a,b)−kfy(a,b)

p

Funciones diferenciables

A diferencia del caso de una variable, la simple existencia defx(a,b)y defy(a,b)no implicaquef sea contínua en (a,b). . .

Y tampoco implica que el error de la linearización sea pequeño, comparado con la distancia

q

(x−a)2_+(y−b)2

entre(a,b)y(x,y). . .

Esto nos permite dar una condición para quef(x,y)sea diferenciableen un punto.

Definición

Se dice que la funciónf(x,y)esdiferenciableen el punto (a,b)si

lim

(h,k)→(0,0)

f(a+h,b+k)−f(a,b)−hfx(a,b)−kfy(a,b)

p

Comentarios

La funciónf(x,y)es diferenciable en el punto(a,b)si y solo si la superficiez=f(x,y)tiene un plano tangenteno verticalen(a,b).

Esto implica quefx(a,b)yfy(a,b)deben existir, y quef

debe ser contínua en(a,b).

Teorema

Sifx yfy soncontínuasen un entorno del punto(a,b),

Comentarios

La funciónf(x,y)es diferenciable en el punto(a,b)si y solo si la superficiez=f(x,y)tiene un plano tangenteno verticalen(a,b).

Esto implica quefx(a,b)yfy(a,b)deben existir, y quef debe ser contínua en(a,b).

Teorema

Sifx yfy soncontínuasen un entorno del punto(a,b),

Comentarios

La funciónf(x,y)es diferenciable en el punto(a,b)si y solo si la superficiez=f(x,y)tiene un plano tangenteno verticalen(a,b).

Esto implica quefx(a,b)yfy(a,b)deben existir, y quef debe ser contínua en(a,b).

Teorema

Ejemplo

Calcularf(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)k si f(x,y)=x3+xy2.

Comofx(x,y)=3x2+y2yfy(x,y)=2xy tenemos f(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)k=

=(x+h)3+(x+h)(y+k)2−x3−xy2−(3x2+y2)h−2xyk =3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2

Y la condición de diferenciabilidad se comprueba

lim

(h,k)→(0,0)

3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2

p

h2_+k2 =0

Ejemplo

Calcularf(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)k si f(x,y)=x3+xy2.

Comofx(x,y)=3x2+y2yfy(x,y)=2xy tenemos f(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)k=

=(x+h)3+(x+h)(y+k)2−x3−xy2−(3x2+y2)h−2xyk =3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2

Y la condición de diferenciabilidad se comprueba

lim

(h,k)→(0,0)

3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2

p

h2_+k2 =0

Índice

1 Diferenciabilidad

Linearización def(x,y) Diferenciales

El concepto de diferencial

Si las derivadas parciales primeras de una función

z=f(x1, . . . ,xn)existen en un punto, se puede construir un

diferencialdz odf de la función, en dicho punto, de manera similar al caso de funciones de una variable

dz=df= ∂z

∂x1

dx1+ ∂

z

∂x2

dx2+ · · · + ∂

z

∂xn dxn

=fx1(x1, . . . ,xn)dx1+ · · · +fxn(x1, . . . ,xn)dxn

El concepto de diferencial

Si las derivadas parciales primeras de una función

z=f(x1, . . . ,xn)existen en un punto, se puede construir un

diferencialdz odf de la función, en dicho punto, de manera similar al caso de funciones de una variable

dz=df= ∂z

∂x1

dx1+ ∂

z

∂x2

dx2+ · · · + ∂

z

∂xn dxn

=fx1(x1, . . . ,xn)dx1+ · · · +fxn(x1, . . . ,xn)dxn

Definición de diferencial

Para una función diferenciablef, el diferencialdf es una aproximaciónal cambio∆f, en el valor de la función, cuando se calcula

∆f=f(x1+dx1, . . . ,xn+dxn)−f(x1, . . . ,xn)

El error de esta aproximación es pequeño, comparado con la distancia entre dos puntos del dominio def, es decir

∆f−df

q

(dx1)2+ · · · +(dxn)2

→0 si todos losdxi→0 (1≤i≤n)

Definición de diferencial

Para una función diferenciablef, el diferencialdf es una aproximaciónal cambio∆f, en el valor de la función, cuando se calcula

∆f=f(x1+dx1, . . . ,xn+dxn)−f(x1, . . . ,xn)

El error de esta aproximación es pequeño, comparado con la distancia entre dos puntos del dominio def, es decir

∆f−df

q

(dx1)2+ · · · +(dxn)2

→0 si todos losdxi→0 (1≤i≤n)

Definición de diferencial

Para una función diferenciablef, el diferencialdf es una aproximaciónal cambio∆f, en el valor de la función, cuando se calcula

∆f=f(x1+dx1, . . . ,xn+dxn)−f(x1, . . . ,xn)

El error de esta aproximación es pequeño, comparado con la distancia entre dos puntos del dominio def, es decir

∆f−df

q

(dx1)2+ · · · +(dxn)2

→0 si todos losdxi→0 (1≤i≤n)

Ejemplo

Estimar el porcentaje de cambio en el periodoT=2πq_gL de un péndulo simple, si la longitudLdel péndulo se incrementa un 2 % y la aceleración de la gravedadg disminuye un 0,6 %.

Calculamos el diferencial deT

dT=∂T ∂LdL+

∂T ∂gdg=

2_π 2p

LgdL− 2_πpL 2g3/2dg

Tenemos quedL=₁₀₀2 Lydg= −₁₀₀₀6 g, entonces

dT ₌ 1 1002π

s L g− µ − 6 1000

¶₂π

2 s L g = 13 1000T

Ejemplo

Estimar el porcentaje de cambio en el periodoT=2πq_gL de un péndulo simple, si la longitudLdel péndulo se incrementa un 2 % y la aceleración de la gravedadg disminuye un 0,6 %.

Calculamos el diferencial deT dT=∂T

∂LdL+

∂T

∂gdg= 2_π 2p

LgdL− 2_πpL 2g3/2dg

Tenemos quedL=₁₀₀2 Lydg= −₁₀₀₀6 g, entonces

dT ₌ 1 1002π

s L g− µ − 6 1000

¶₂π

2 s L g = 13 1000T

Ejemplo

Estimar el porcentaje de cambio en el periodoT=2πq_gL de un péndulo simple, si la longitudLdel péndulo se incrementa un 2 % y la aceleración de la gravedadg disminuye un 0,6 %.

Calculamos el diferencial deT dT=∂T

∂LdL+

∂T

∂gdg= 2_π 2p

LgdL− 2_πpL 2g3/2dg

Tenemos quedL=₁₀₀2 Lydg= −₁₀₀₀6 g, entonces

dT ₌ 1 1002π

s L g− µ − 6 1000

¶₂π

Índice

1 Diferenciabilidad

Linearización def(x,y) Diferenciales

Una transformación de

R

en

R

Un vectorf=(f1,f2, . . . ,fm)demfunciones, cada una dependiendo denvariables, define unatransformación deRnenRm.

Específicamente, six=(x1,x2, . . . ,xn)∈Rn, y si

y1=f1(x1,x2, . . . ,xn) y2=f2(x1,x2, . . . ,xn)

.. .

ym=fm(x1,x2, . . . ,xn)

entoncesy₌(y1,y2, . . . ,ym)es el punto deRm que le

Una transformación de

R

en

R

Un vectorf=(f1,f2, . . . ,fm)demfunciones, cada una dependiendo denvariables, define unatransformación deRnenRm.

Específicamente, six=(x1,x2, . . . ,xn)∈Rn, y si

y1=f1(x1,x2, . . . ,xn)

y2=f2(x1,x2, . . . ,xn) ..

.

ym=fm(x1,x2, . . . ,xn)

entoncesy₌(y1,y2, . . . ,ym)es el punto deRm que le

Una transformación de

R

en

R

Un vectorf=(f1,f2, . . . ,fm)demfunciones, cada una dependiendo denvariables, define unatransformación deRnenRm.

Específicamente, six=(x1,x2, . . . ,xn)∈Rn, y si

y1=f1(x1,x2, . . . ,xn)

y2=f2(x1,x2, . . . ,xn) ..

.

ym=fm(x1,x2, . . . ,xn)

entoncesy₌(y1,y2, . . . ,ym)es el punto deRm que le

La matriz jacobiana de

f

La información acerca de la tasa de cambio deycon respecto axestá contenida en las derivadas parciales ∂yi

∂xj, con 1≤i≤m, 1≤j≤n.

Generalmente estas derivadas parciales se organizan en una matriz, dem×n, llamadamatriz jacobiana o

jacobianode la transformaciónf

J=Df(x)=

      

∂y1 ∂x1

∂y1 ∂x2 · · ·

∂y1 ∂xn ∂y2

∂x1 ∂y2 ∂x2 · · ·

∂y2 ∂xn ..

. ... ... ∂ym

∂x1 ∂ym ∂x2 · · ·

∂ym ∂xn

La matriz jacobiana de

f

La información acerca de la tasa de cambio deycon respecto axestá contenida en las derivadas parciales ∂yi

∂xj, con 1≤i≤m, 1≤j≤n.

Generalmente estas derivadas parciales se organizan en una matriz, dem×n, llamadamatriz jacobiana o

jacobianode la transformaciónf

J=Df(x)=

       ∂y1

∂x1

∂y1

∂x2 · · ·

∂y1

∂xn

∂y2

∂x1

∂y2

∂x2 · · ·

∂y2 ∂xn .. . ... ... ∂ym ∂x1 ∂ym

∂x2 · · ·

Ejemplo

Encontrar el jacobianoDf(1;0)para la transformación deR2en R3 _{dada porf(x,y)}

=(xey+cos(πy),x2,x−ey, y luego usarlo para aproximar el valor def(1,02;0,01).

Df(1;0)es la matriz de 3×2 compuesta por las derivadas parciales

Df(1:0)=





ey xey−πsin(πy)

2x 0

1 −ey

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(1;0)

=





1 1 2 0 1 −1





Comof(1;0)=(2;1,0)ydx₌h0₀,_,02₀₁i, tenemos

df=Df(1;0)dx=





1 1 2 0 1 −1



 ·₀

,02 0,01

¸

=





0,03 0,04 0,01





Ejemplo

Encontrar el jacobianoDf(1;0)para la transformación deR2en R3 _{dada porf(x,y)}

=(xey+cos(πy),x2,x−ey, y luego usarlo para aproximar el valor def(1,02;0,01).

Df(1;0)es la matriz de 3×2 compuesta por las derivadas parciales

Df(1:0)=





ey xey−πsin(πy)

2x 0

1 −ey

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(1;0)

=





1 1 2 0 1 −1





Comof(1;0)=(2;1,0)ydx₌h0₀,_,02₀₁i, tenemos

df=Df(1;0)dx=





1 1 2 0 1 −1



 ·₀

,02 0,01

¸

=





0,03 0,04 0,01





Ejemplo

Encontrar el jacobianoDf(1;0)para la transformación deR2en R3 _{dada porf(x,y)}

=(xey+cos(πy),x2,x−ey, y luego usarlo para aproximar el valor def(1,02;0,01).

Df(1;0)es la matriz de 3×2 compuesta por las derivadas parciales

Df(1:0)=





ey xey−πsin(πy)

2x 0

1 −ey

  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(1;0)

=





1 1 2 0 1 −1





Comof(1;0)=(2;1,0)ydx₌h0₀,_,02₀₁i, tenemos

df=Df(1;0)dx=





1 1 2 0 1 −1



 ·₀

,02 0,01

¸

=





0,03 0,04 0,01



