trabajos13

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TRABAJOS PARA LA EVALUACI ´ON CONTINUA. (Ecuaciones Diferenciales. Grupo B. Curso 13/14)

INSTRUCCIONES GENERALES

Los trabajos deberán hacerse usando métodos numéricos para aproximar las soluciones de las ecuaciones diferenciales que aparezcan. Se sugiere el uso de MATLAB/0CTAVE UPM.

Los trabajos consistir´an

1. Una parte escrita que deberá estar disponible en la wiki (https://mat.caminos.upm.es/wiki/MateWiki) el martes 5 de marzo. Se valorarán la presentación, claridad y rigor de esta parte. Para escribir en la wiki es necesario darse de alta. Para ello hay que solicitarlo en la misma página de la wiki y esperar unas horas hasta que la cuenta esté abierta.

2. Una presentación oral oral (10 minutos como maximo) por uno de los miembros del grupo elegido al azar el mismo d´ıa de la exposición. La exposición oral será el viernes 7 de marzo.

3. Turno de preguntas por parte de los profesores de 5 minutos.

La nota será comun para todos los integrantes del grupo. La asignación de trabajos a los diferentes grupos se expondrá en el moodle de la asignatura.

ENUNCIADOS DE LOS TRABAJOS

Tabajo 1. Un modelo matemático para la dinámica de poblaciones de especies competidoras, una predadora con población xd(t) y la otra su presa, con poblaciónxp(t), fue desarrollada

independiente-mente a principios de la década iniciada en 1900 por A. Lotka y V. Volterra. En el modelo se supone que hay una cantidad suficiente de comida disponible para la alimentación de la presa, as´ı que la tasa de natalidad de ésta debe seguir la ley malthusiana o exponencial; esto es, la tasa de natalidad de la presa es Axp, donde A es una constante positiva. La tasa de mortalidad de la presa depende del

n´umero de iteraciones entre los predadores y la presa. Esto se modeta mediante la expresi´on Bxpxd

dondeB es una constante positiva. Por tanto, la tasa de cambio de la presa por unidad de tiempo es

dxp

dt =Axd−Bxdxp.

Suponiendo que la alimentaci´on de los predadores depende completamente de la presa, se sostiene que la tasa de natalidad de los predadores depende del n´umero de iteraciones con la presa; esto es, la tasa de natalidad de los predadores es igual aDxpxd, dondeD es una constante positiva. La tasa de

mortalidad de los predadores se supone que es igual a−Cxd, con C >0, ya que sin alimentaci´on la

población ir´ıa desapareciendo a una razón proporcional a la población presente. En consecuencia, la razón de cambio de la población de los predadores por unidad de tiempo es

dxd

dt =−Cxp+Dxdxp.

Combinando estas dos ecuaciones, se obtien el sistema de Volterra-Lotka para la din´amica de las poblaciones de las dos especies competidoras

 

 dxp

dt =Axd−Bxdxp, t >0, dxd

dt =−Cxp+Dxdxp,

xp(0) =p0, xd(0) =d0,

dondep0 yd0 son el número de presas y predadores que hay en el momento inicial. Estos sistemas en general no se pueden resolver en forma expl´ıcita y requieren una aproximación numérica.

(2)

1. Interprete el problema de valor inicial

   

  

dx1

dt =A1x1−A2x1x2−A3x1x3, t >0, dx2

dt =−B1x2+B2x1x2−Dx2x3, dx3

dt =−C1x3+C2x1x3−Dx2x3,

x1(0) =p0, x2(0) =d0, x3(0) =e0.

(1)

en t´erminos de una din´amica de poblaciones de especies competidoras, en la que hay un tipo de presa y dos tipos diferentes de predadores, y suponemos que todas las constantes que aparecen en (2) con positivas.

2. Utilizando el m´etodo de Euler modificado con h= 0.1, las constantes

 



A1= 0.4, A2 = 0.3, A3 = 035, B1= 0.3, B2 = 0.05, D= 0.1, C1 = 0.28, C2 = 0.045,

p0 = 3.5 millones de presas, d0 = 1 millones de predadores de un tipo y e0 = 1.2 millones de predadores del otro tipo,

(a) resuelva numéricamente (2) en [0,100años] y [0,300años],

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) y x3(t) para t en [0,100a˜nos] y [0,300a˜nos] en interprete los resultados.

(c) Dibuje las trayectorias

• (x1(t), x2(t),

• (x1(t), x3(t),

• (x2(t), x3(t),

e interpr´etelas. ¿Puede decirse que tenemos un ecosistema estable?

3. Utilizando el m´etodo trapezoidal conh= 1, las constantes

 



A1= 0.5, A2 = 0.25, A3= 03, B1 = 0.4, B2 = 0.07, D= 0.05, C1 = 0.38, C2 = 0.045,

p0 = 3.5 millones de presas, d0 = 1 millones de predadores de un tipo y e0 = 0.2 millones de predadores del otro tipo,

(a) resuelva num´ericamente (2) en [0,300a˜nos],

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) yx3(t) parat en [0,300años] en interprete los resultados. Calcule en qué instantes existen el mayor y menor número de presas as´ı como el mayor y menor número de de predadores de ambs tipos.

• (x1(t), x2(t),

• (x1(t), x3(t),

(d) Compare los resultados con el apartado anterior.

4. Utilizando el m´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden conh= 0.1, las constantes

 



(3)

• p0 = 3.5 millones de presas, d0 = 0.001 millones de predadores de un tipo y e0 = 0.0002 millones de predadores del otro tipo,

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) yx3(t) parat en [0,500años] en interprete los resultados. Calcule en qué instantes existen el mayor y menor número de presas, as´ı como el mayor y menor número de de predadores de ambs tipos.

(c) Compare los resultados con el apartado anterior.

Tabajo 2 Capa l´ımite de un fluido laminar sobre una capa plana. Consideramos un fluido que encuentra una placa plana. Tomaremos una secci´on transversal y supondremos que la placa ocupa la semirecta (x,0) con x∈(0,∞) (ver figura 1). Vamos a estudiar lo que pasa por encima de la placa, es decir en los puntos (x, y) conx >0 e y >0. Supondremos que el fluido, antes de llegar a la placa

Figure 1: Fluido por encima de una placa plana.

mantiene una velocidad constante~u=u0~iconu0 = 2. Lejos de la placa se espera que la velocidad del fluido sea la misma~u =u0~i, pero en los puntos de la placa la velocidad del fluido será nula y habrá una zona de transición.

Supondremos que la funci´on de corriente del fluidoψ(x, y) viene dada por

ψ(x, y) =√νu0xf(η), η=ypu0/(νx)

dondeν es la viscosidad del fluido, que supondremosν = 1, y f satisface la ecuaci´on de Blasius

f000(η) +1 2f(η)f

00

(η) = 0,

con condiciones inicialesf(η) =f0(η) = 0 y

lim

η→∞f

0_{(η) = 1.}

El campo de velocidades del fluido viene dado por

~

u= (u1, u2) = (∂ψ ∂y,−

∂ψ ∂x)

Se pide:

1. Resolver la ecuaci´on de Blasius tomando datos iniciales f(η) = f0(η) = 0 y f00(0) =k dondek toma valores de 0.1 a 1 con un intervalodk= 0.01, es decir

k= 0.1,0.11,0.12,0.13, ...,1

(4)

2. Repetir el apartado anterior con el método de Runge-Kutta de orden 4. ¿Qué diferencia se observa? ¿Y si usamos el método de Euler?

3. Dibujar la funci´on f0(η) en el intervalo η ∈ (0,20) para el valor del par´ametro k elegido en el apartado anterior. Determinar el valorη0 para cual

|f0(η)−1|<0.99, siη > η0

4. Calcular anal´ıticamente la componenteu1 de la velocidad del fluido en funci´on def(η). Dibujar en una misma gr´afica u1(xk, y) para y ∈ (0,3) tomando los valores xk = 0.05,0.2,0.4,0.6,0.8.

¿Qu´e se observa?

5. Dibujar para cada x ∈ (0,10) la función g(x) donde g(x) es el valor y para el cual η = η0. Interpretar esta gráfica como el borde de la capa l´ımite que hace la transición entre la velocidad nula en la placa y la velocidad lejos de la misma

Tabajo 3Circuitos eléctricos RL. El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación (ver el dibujo de la izquierda en la figura 2). En una resistencia R, la ley de Ohm establece

i(t) = v(t) R

donde i(t) es la intensidad de corriente (en amperios A), v(t) el voltaje (dado en voltios V) y R el coeficiente de resistencia (en Ohmios Ω). En un inductorL, la ley de Faraday establece

v(t) =Ld dti(t)

dondeLes el coeficiente de autoinducci´on (dado en Henrios H).

Figure 2: Circuitos LR.

Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: En cada nodo, la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.

2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial el´ectrico es nula.

Se pide:

1. Escribir la ecuaci´on diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 2 cuando est´a cerrado.

(5)

3. Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande. ¿Cuanto tarda en estabilizarse la intensidad a un valor constante? Si aumentamos o disminuimos la constante del inductor, ¿qué ocurre?

4. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 2. Interpretar cada ecuaci´on en t´erminos de las leyes de Kirchoff

E(t) =R1i1(t) +L2 d

dti2(t) +R2i2(t),

E(t) =R1i1(t) +L1 d

dti3(t) +R3i3(t), i1(t) =i2(t) +i3(t).

Escribir el sistema anterior en t´erminos dei2(t) yi3(t), eliminandoi1(t). Interpretar las condi-ciones inicialesi2(0) =i3(0) = 0.

5. Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: R1=R2 = 6Ω,R3= 3ΩL1 = 0,3H, L2= 0,11H y la fuente de alimentaciónE(t) = 20V constantes. Usar el método de Euler expl´ıcito y el método impl´ıcito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidadesi1(t), i2(t) para diferentes tiempos del intervalo [0,0.4]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

6. Repetir el apartado anterior tomando R3 = 9Ω. Interpretar como cambia el resultado

7. Retomamos el caso en el queR3 = 3Ω. Suponiendo que las intensidadesi2,i3 eran iguales en el tiempot= 0.02 con valor 1 amperio. ¿Qu´e valores de las intensidades hab´ıa inicialmente?

Tabajo 4

Muchos modelos de vibraciones se modelizan con sistemas de muelles masas. Considemos aqu´ı un ejemplo simple de cuatro muelles con constantes de restauraci´on kiN/m, i = 1,2,3,4, (fuerzas

restauradoras), y tres masasmi, i= 1,2,3, unidos a dos paredes que se deslizan libremente sobre un

plano horizontal (ver figura 3).

Figure 3: Sistema de 3 masas y 4 muelles.

1. Escribir el sistema de ecuciones diferenciales para el desplazamiento de las tres masas desde la posici´on de equilibrio, (suponer que no hay rozamiento). Interprete las condiciones iniciales.

2. Suponiendo que en el instantet= 0 las tres masas están desplazadas 0.5, 1 y 0.8 metros hacia la derecha de la posición de equilibrio y se sueltan repentinamente, sin velocidad, calcule la posición x1(t), x2(t) yx3(t) , con respecto a su estado de equilibrio, de cada masa y muestre un gráfico de estas posiciones. Vamos a suponer que k1 = 4N/m, k2 = 2N/m,k3 = 1N/m, k4 = 3N/m, m1 = 2kg, m2 = 1kg, m3 = 3kg, que la distancia entre las paredes es de 12 metros y que en equilibrio las tres masas están en las posiciones 2.5, 4 y 8. Use el método de Euler modificado y Runge-Kutta, después de reducirnos a un sistema de primer orden, conh= 0.1m yh= 0.025m. Compare los resultados obtenido e interprételos.

(6)

(a) la primera masa se desplaza a su izquierda 0.5 metros y se suelta con velocidad de 1m/s en dirección hacia la derecha, la segunda masa está desplaza a su derecha 1 metro y se suelta con velocidad de 1m/s en dirección hacia la derecha y la tercera masa se desplaza a su izquierda 0.5 metros y se suelta con velocidad de 1m/s en dirección hacia la derecha,

(b) la primera masa se desplaza a su derecha 0.5 metros y se suelta con velocidad de 1m/s en dirección hacia la izquierda, la segunda masa está desplaza a su derecha 1 metro y se suelta sin velocidad y la tercera masa se desplaza a su izquierda 0.5 metros y se suelta con velocidad de 0.5m/s en dirección hacia la derecha,

dibuje

(a) los desplazamientos, respecto a su posici´on de equilibrio, durante los primeros 20 segundos, usando el m´etodo trapezoidal conh= 0.2m,

(b) posiciones relativas de

• primera y tercera masas, es decir gr´afica de (x1(t), x3(t)),

• las tres masas, es decir gr´afica de (x1(t), x2(t), x3(t))

durante los primeros 10 segundos, usando el m´etodo de Euler modificado conh = 0.05m. Interprete los resultados.

4. Suponemos ahora que el sistema solo tiene un muelle y una masa, m=1kg, (solo consideramos una pared). Tambi´en suponemos que

(a) el sistema est´a sumergido en un medio viscoso que provoca un amortiguamiento en el comportamiento del muelle proporcional a la velocidad de la masa, con constanteµ= 1,

(b) que está actuando una fuerza exterior en la dirección del movimiento de la masa, y provo-cada por la vibraciones de la pared, y que en el instantetestá dada por 2e−0.01tsin 2t, (c) hemos desplazado la masa de su posición de equilibrios 0.3m hacia la derecha y la hemos

soltado con una velocidad, hacia la derecha, de 0.3m/s.

Usando el m´etodo trapezoidal con h = 0.2 dibuje la posici´on de la masa durante el primer minuto.

Dibuje en una gr´afica la energ´ıa asociada al sitema a lo largo del tiempo, (use escala logar´tmica). ¿Es cierto que al aumentarµse incrementa la tasa de decaimiento de la energ´ıa?. ¿ Es razonable?.

Tabajo 5Un modelo matemático para la dinámica de poblaciones de especies competidoras, una predadora con población xd(t) y la otra su presa, con población xp(t), fue desarrollada

independien-temente a principios de la década iniciada en 1900 por A. Lotka y V. Volterra. Ellos suponen que hay una cantidad suficiente de comida disponible para la alimentación de la presa, as´ı que la tasa de natalidad de ésta debe seguir la ley malthusiana o exponencial; esto es, la tasa de natalidad de la presa esAxp, donde Aes una constante positiva. La tasa de mortalidad de la presa depende del número de

iteraciones entre los predadores y la presa. Esto se modela mediante la expresi´on Bxpxd donde B es

una constante positiva. Por tanto, la raz´on de cambio de la presa por unidad de tiempo es

dxp

dt =Axd−Bxdxp.

Suponiendo que la alimentaci´on de los predadores depende completamente de la presa, se sostiene que la tasa de natalidad de los predadores depende del n´umero de iteraciones con la presa; esto es, la tasa de natalidad de los predadores es igual aDxpxd, dondeD es una constante positiva. La tasa de

mortalidad de los predadores se supone que es igual a−Cxd, con C >0,ya que sin alimentaci´on la

población ir´ıa desapareciendo a una razón proporcional a la población presente. En consecuencia, la tasa de cambio de la población de los predadores por unidad de tiempo es

dxd

(7)

Combinando estas dos ecuaciones, se obtiene el sistema de Volterra-Lotka para la din´amica de las poblaciones de las dos especies competidoras

 

 dxp

dt =Axd−Bxdxp, t >0, dxd

dt =−Cxp+Dxdxp,

xp(0) =p0, xd(0) =d0,

dondep0 yd0 son el n´umero de presas y predadores que hay en el momento inicial. Estos sistemas en general no se pueden resolver en forma expl´ıcita.

Se pide:

1. Interprete el problema de valor inicial

   

  

dx1

dt =A1x1−A2x1x3, t >0, dx2

dt =B1x2−B2x2x3, dx3

dt =−C1x3+C2x1x3+C3x2x3,

x1(0) =p0, x2(0) =q0, x3(0) =d0.

(2)

en t´erminos de una din´amica de poblaciones de especies competidoras, en la que hay un tipo de predador y dos tipos diferentes de presas, y suponemos que todas las constantes que aparecen en (2) con positivas.

2. Utilizando el m´etodo de Euler modificado con h= 0.1, las constantes

 



A1 = 0.35, A2= 0.6, B1 = 0.3, B2 = 0.5,

C1 = 0.37, C2 = 0.04, C3 = 0.035,

p0 = 2 millones de presas de un tipo , q0 = 1.4 millones de presas del otro tipo y d0 = 1 millon de predadores,

(a) resuelva numéricamente (2) en [0,100años] y [0,300años],

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) y x3(t) para t en [0,100a˜nos] y [0,300a˜nos] en interprete los resultados.

• (x1(t), x3(t),

• (x2(t), x3(t),

• (x1(t), x2(t),

3. Utilizando el m´etodo trapezoidal conh= 1, las constantes

 



A1 = 0.35, A2= 0.6, B1= 0.3, B2 = 0.5,

C1= 0.37, C2= 0.04, C3= 0.035

p0 = 0.8 millones de presas de un tipo , q0 = 2.4 millones de presas del otro tipo y d0 = 0.2 millon de predadores,

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) yx3(t) parat en [0,300años] en interprete los resultados. Calcule en qué instantes existen el mayor y menor número de presas de ambos tipos y el mayor y menor número de predadores.

(8)

• (x1(t), x3(t),

• (x2(t), x3(t),

(d) Compare los resultados con el apartado anterior.

4. Utilizando el m´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden conh= 0.1, las constantes

 



A1 = 0.4, A2 = 0.7, B1 = 0.2, B2= 0.4,

C1 = 0.37, C2 = 0.04, C3= 0.03,

• p0 = 3.5 millones de presas de un tipo,q0= 0.2 millones de presas de otro tipo y d0 = 0.4 millones de predadores,

(b) dibuje en una figurax1(t), x2(t) yx3(t) parat en [0,500años] en interprete los resultados. Calcule en qué instantes existen el mayor y menor número de presas de ambos tipos y el mayor y menor número de predadores.

(c) Compare los resultados con los apartados anteriores.

Tabajo 6 Si consideramos un planeta con una luna aislados en el universo, la luna se mover´ıa en una órbita plana en torno al planeta. Si designamos por (x(t), y(t)),t∈[0, T]⊂_Runa parametrización de la órbita de la luna en función del tiempo, las funcionesx(t) ey(t) satisfacen el sistema sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

(

x00=−G mx

(x2₊_y2₎3/2, t∈[0, T],

y00=−G₍_x2₊my_y2₎3/2,

(3)

dondeGes la cosntante gravitacional ymla masa de la luna. Planteamos el problema de valor inicial

  

 

x00=−G₍_x2₊mx_y2₎3/2, t∈[0, T],

y00=− Gmy

(x2₊_y2₎3/2,

x(0) =a, x0(0) =b, y(0) =c, y(0) =d.

(4)

1. Exprese (4) en t´erminos de un problema de valor inicial para un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.

2. Resuelva numéricamente (4) para a= 1, b=c= 0, d= 1 yGm = 1, utilizando un método de Euler modificado con una longitud de pasoh= 0.1 y h= 1, en un intervalo de tiempo [0,100]. Dibuje las órbitas y justifique los resultados obtenidos.

3. Resuelva num´ericamente (4) para

(a) a= 1,b=c= 0,d= 1 yGm= 1,

(b) a= 1.3,b=c= 0, d= 1 yGm= 1,

(c) a= 1.3,b=c= 0, d= 1.1 y Gm= 1,

(d) a= 1,b=c= 0,d= 1.4 y Gm= 1,

(9)

utilizando el m´etodo de Runge-Kuta de cuarto orden con una longitud de paso h = 1, en un intervalo de tiempo

(a) [0,100],

(b) [0,500],

(c) [0,2000].

Dibuje las ´orbitas.

Tabajo 7. Consideramos tres pantanos A, B y C . Los pantanos B y C tienen 200Hm3 de agua cada uno mientas que el A tiene 400Hm3 . Por un accidente, en un momento dado empieza a entrar agua contaminada al pantano A a razón de 5Hm3/dia . Las mediciones indican que el porcentaje de contaminante que está entrando es de 3kg/Hm3. Se decide bombear agua de una pantano hacia otro o hacia un rio quedando la situación como sigue

• A recibe de B 2Hm3_/dia _{y B de A 3Hm}3_/dia,

• B recibe de C 2Hm3/diay C de B 1Hm3/dia,

• C recibe de A 4Hm3/diay A no recibe agua de C,

• de B sale a un rio 2Hm3/diay de C 3Hm3/dia.

SixA(t),xB(t) y xC(t) designa las cantidades en kilos de contaminante en cada pantano cuando han

pasadot d´ıas desde que que se empez´o a bombear agua de unos pantanos hacia otros,

1. Encuentre el problema de valor inicial que satisfacenxA(t),xB(t) y xC(t).

2. Resuelva numericamente el problema de valor inicial en los primeros 60 d´ıas desde e el bombeo de agua, con el m´etodo del trapecio y con h= 0.1 yh= 1.

3. Obtenga una aproximaci´on dexA(t),xB(t) yxC(t) cuando han pasado justo 60 d´ıas del bombeo.

4. A partir de cuanto tiempo podemos asegurar que los pantanos B y C tienen m´as de 400 kg. de contaminannte.

5. A partir de cuanto tiempo podemos asegurar que el pantano A tiene m´as de 1 tonelada de contaminante.

6. A lo largo de los primeros 600 d´ıas desde el bombeo, ¿qué pantano tiene más contaminación, el B o el C?.

7. ¿A qu´e tienden las concentraciones de contaminaci´on en los pantanos A,B y C para tiempos largos?

Suponemos ahora una situaci´on distinta a la tratada. A partir de d´ıa 60, se ha logrado evitar que entre la contaminaci´on al pantano A, pero con el fin de activar un plan de limpieza en los pantanos, sigue la entrada de agua al pantano A sin contaminar a la misma velocidad, y el mismo bombeo de agua que en los primeros 60 d´ıas. Si seguimos llamando , por comodidad, xA(t), xB(t) y xC(t) las

cantidades en kilos de contaminante en cada pantano cuando han pasado td´ıas desde que empez´o a entrar agua no contaminada,

1. CalculexA(0), xB(0) yxC(0).

(10)

3. Resuelva num´ericamente el problema de valor inicial utilizando el m´etodo de Runge-Kuta y la longitud de pasoh= 1 en

(a) primer a˜no desde que dej´o de entrar contaminante a los pantanos,

(b) dos primeros a˜nos desde que dej´o de entrar contaminante a los pantanos,

(c) tres primeros a˜nos desde que dej´o de entrar contaminante a los pantanos.

4. ¿Puede resolver num´ericamente en [0, T∞] cuando T∞ es tan grande como uno quiera?. ¿Hay

alguna relaci´on con el tama˜no deh >0?.

5. Parece razonable de que xA(t) y xC(t) empezar´an siendo creciente, para luego pasar a ser

de-crecientes, mientras quexB(t) siempre va a ser decreciente.

• D´e un valor aproximado del valor m´aximo dexA(t) yxC(t). ¿Existe alguna manera

razon-able de medir, o tener una idea, del error que estamos cometiendo?.

• Sites muy grande, ¿a qu´e valores se aproximanxA(t),xB(t) y xC(t)?.

• Las autoridades considerar´an que ha desaparecido la contaminaci´on de los pantanos, cuando las cantidades xA(t), xB(t) y xC(t) sean menores que 0.01 Kg/Hm3. ¿Puede dar una

estimación del número de d´ıas a partir de los cuales, podemos pensar que ha desaparecido la contaminación?

Tabajo 8. Tenemos tres pantanos A, B y C con 300 Hm3 _{de agua cada uno y con capacidad} máxima de 500Hm3. Los pantanos A y C pueden recibir agua procedente de un rio y también pueden desalojarla por canales artificiales, pero tanto la entrada como salida de agua está regulada. Al pantano B puede fluir agua de del rio, pero este pantano no tiene canal de desalojo de agua. Se produce un vertido tóxico al rio y al activar la entrada y salida a los pantanos del agua procedente del rio, al pantano B enpieza a entrar agua contaminada a razón de 2Hm3/dia con 10kg/Hm3 de contaminante,mientras que

• hacia el pantano A entra agua contaminada a razon de 2Hm3/diacon 5kg/Hm3de contaminante y el agua contaminada sale por el canal a raz´on de 3Hm3_/dia;

• hacia el pantano C entra agua contaminada a razon de 2Hm3/diacon 0.05kg/Hm3 de contam-inante y el agua contaminada sale por el canal a raz´on de 1Hm3/dia;

cuando el pantano B se ha llenado, las autoridades cortan el acceso de agua al pantano B y filtran la entrada de agua a los pantano A y C, de tal manera que deja de entrar agua contaminada.

En este momento, si designamos por xA(0), xB(0), xC(0) y VA, VB yVC la cantidad de

contam-inante y el volumen de agua respectivamente que hay en los pantanos A, B y C, determine estas cantidades.

Para intentar eliminar el contaminate de los pantanos, se bonbea agua entre estos, quedando la situaci´on como sigue

• al pantano A sigue entrando agua desde el rio a razón de 2Hm3/dia, pero sin contaminar, y sale por el canal artificial 3Hm3/diade agua contaminada. Del pantano B al A entra agua a razón de 3Hm3/diay de A hacia B a razón de 2Hm3/dia;

• al pantano C sigue entrando agua desde el rio a raz´on de2Hm3/dia, pero sin contaminar y sale por el canal artificial 1Hm3/dia de agua contaminada. Del pantano B recibe 1Hm3/dia y sale hacia B 2Hm3/dia;

SixA(t),xB(t) yxC(t) designan la cantidad de contaminante que hay en los pantanos A, B y C cuando

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1. Obtenga el problema de valor inicial que satisfacenxA(t), xB(t) y xC(t).

2. Resuelva numéricamente este problema de valor inicial en [0,50], [0,100] y [0,300] (medimos en d´ıas) utilizando el método de Euler, método trapezoidal y metodo de Runge-Kuta, con una longitud de paso h= 1 yh= 0.1. ¿Puede resolver numericamente en [0, T∞] cuando T∞ es tán

grande como uno quiera ?. En la cuesti´on acabada de plantearse, ¿tiene algo que ver el tama˜no deh?.

3. Parece razonable de que xA(t) y xC(t) empezar´an siendo crecientes, para luego pasar a ser

decrecientes, mientras quexB(t) siempre va a ser decreciente. • D´e un valor aproximado del valor m´aximo dexA(t) y xC(t).

• Sites muy grande, ¿a qu´e valores se aproximanxA(t),xB(t) yxC(t)? ¿En qu´e tiempos los

valores de las concentraciones se hacen pr´oximos a los que toman para tiempos grandes?

• Las autoridades consideran que ha desaparecido la contaminaci´on de los pantanos, cuando las cantidadesxA(t), xB(t) y xC(t) sean menores que 0.01. ¿Puede dar una estimaci´on del