An´
alisis L´
ogico 2011-2, nota de clase 12
Sistemas de Deducci´
on Natural
Favio Ezequiel Miranda Perea Araceli Liliana Reyes Cabello Lourdes Del Carmen Gonz´alez Huesca
18 de mayo de 2011 Facultad de Ciencias UNAM
1.
Introducci´
on
Los sistemas de deducci´on natural, introducidos por Gentzen en 1935, son formalismos de-ductivos que modelan el razonamiento matem´atico ordinario de manera m´as fiel que un sistema axiom´atico o que el m´etodo de tableaux. Un sistema de deducci´on natural consiste de reglas de inferencia para introducir y eliminar cada uno de los conectivos l´ogicos. Las pruebas o derivacio-nes se construyen mediante la aplicaci´on de dichas reglas en una sucesi´on adecuada que relaciona conclusiones con premisas de reglas posteriores. De igual forma que en el razonamiento ordinario se pueden hacer hip´otesis temporales durante la prueba, las cuales se puedendescargar al incorporarlas a la conclusi´on. Mientras que los sistemas computacionales de razonamiento automatizado usual-mente se basan en m´etodos refutacionales como los tableaux, los asistentes de prueba interactivos ´
utiles para razonar acerca de las propiedades de programas se basan frecuentemente en los sistemas l´ogicos de deducci´on natural.
Por otra parte, en fundamentos de lenguajes de programaci´on la deducci´on natural juega tambi´en un papel importante por medio de la llamada correspondencia de Curry-Howard tambi´en conocida como el paradigma de f´ormulas como tipos, cuya idea a grandes rasgos es que las pruebas l´ogicas contienen ciertas construcciones las cuales pueden interpretarse como programas, de modo que las proposiciones l´ogicas se convierten en tipos de un lenguaje de programaci´on. La ´ultima parte de nuestro curso se dedicar´a en gran parte a mostrar tal correspondencia.
El adjetivo natural dado por Gentzen a estos sistemas deductivos se refiere al hecho de que modelan de manera tan cercana como sea posible el razonamiento natural de un humano, o al menos el razonamiento matem´atico hecho por personas mediante distintos juicios.
1.1. Significado de conectivos y cuantificadores
El significado de una f´ormula l´ogica se entender´a si comprendemos cuando ´esta es verdadera. Analicemos a este respecto cada clase de f´ormula de acuerdo a su conectivo o cuantificador principal:
Informaci´on b´asica: A es cierta, lo cual podemos denotar con:A true.
Conjunci´on: A∧B es cierta solo s´ı ambasA yB son ciertas. Lo cual nos lleva al juicio:
A true B true
Esta clase de regla se conoce como regla de introducci´on porque introduce un conectivo en la conclusi´on en este caso ∧.
La siguiente cuesti´on es preguntarnos como usar la informaci´on A∧B true, a cuya respuesta nos lleva de nuevo el razonamiento natural:
A∧B true
Atrue
A∧B true
B true
Implicaci´on: ¿Cuando es verdadera una implicaci´on ? El razonamiento matem´atico nos dice que la implicaci´on A →B es cierta si el suponer el antecedente A cierto nos permite probar que el consecuente B es cierto. Esto nos lleva a la siguiente regla de introducci´on:
[A true] .. .
B true
A→B true
Aqu´ı los corchetes que encierran al juicio hip´otetico A true indican que en la conclusi´on tal hipot´esis fue descargada, es decir despues de introducir la implicaci´on tal hip´otesis ya no es necesaria, es decir, se trataba de una hip´otesis temporal.
La regla de eliminaci´on de la implicaci´on modela una forma de razonamiento conocida desde Arist´oteles y llamada “modus ponens”. De los juicios A→B true yA true podemos obtener el juicio B true.
A→B true Atrue
B true
La disyunci´on nos lleva a las siguientes reglas de introducci´on
Atrue
A∨B true
B true
A∨B true
Lo cual captura el hecho de que una disyunci´on es cierta s´olo si alguna de sus dos componentes lo es.
Para obtener la regla de eliminaci´on debemos considerar como utilizar correctamente el juicio
A∨B truedado que no sabemos con certeza cual de las dos componentes es cierta. Si tratamos de probarC truea partir deA∨B truedebemos llegar a tal juicio sin importar cual deAtrue oB truees v´alido. Esto nos lleva a hacer una prueba por casos capturada en la siguiente regla:
A∨B true
[A true] .. .
C true
[B true] .. .
C true
C true
La falsedad ⊥ representa una contradicci´on y no deber´ıa ser probable, por lo que no tiene regla de introducci´on. Inversamente si llegamos en alg´un momento al juicio⊥truedeberiamos poder concluir cualquier cosa, lo cual genera la regla de eliminaci´on:
⊥true
A true
La verdad debe ser demostrable sin importar que hip´otesis tenemos, de manera que su regla de introducci´on es:
>true
Dado que no tenemos informaci´on de como introducir la verdad, tampoco podemos tener informaci´on de como eliminarla, por lo que no hay regla de eliminaci´on.
Cuantificaci´on Universal: ¿Bajo que circunstancias debe la f´ormula ∀xA ser verdadera?, la respuesta depende claramente del dominio de cuantificaci´on. Por ejemplo, si sabemos que la variable x toma como valores n´umeros naturales, entonces podemos concluir que ∀xA es verdadera si podemos probar que las f´ormulasA[x:= 0], A[x:= 1], . . . , A[x:=n], . . .son todas verdaderas, lo cual nos lleva a la siguiente regla:
A[x:= 0] true A[x:= 1] true. . . A[x:=n] true. . .
∀xA true
Tal regla no es efectiva dado que tendr´ıamos un n´umero infinito de premisas, usualmente se usa la regla de inducci´on en su lugar. Sin embargo la elecci´on de tal regla depende fuertemente de un dominio de cuantificaci´on particular mientras que lo que nos interesa es probar la verdad en cualquier dominio posible. De manera que podremos decir que∀xAes verdadera si sin asumir nada acerca de x, podemos cercioranos de la verdad deA, es decir tenemos la siguiente regla informal:
A true xpar´ametrica enA
∀xA true
Por otro lado si sabemos que la f´ormula∀xAes cierta entonces deber´ıamos poder concluir la verdad de A[x:=t] para cualquier objetot, lo cual nos lleva a la siguiente regla:
∀xA true
A[x:=t] true
Cuantificaci´on Existencial: Si sabemos que A[x := t] es cierta para alg´un objeto t entonces podemos concluir que ∃xAes cierta, lo cual se modela mediante la regla:
A[x:=t] true ∃xA true
estaba ligada en A. La regla de eliminaci´on para el existencial es entonces similar al caso de la disyunci´on:
∃xA true
[A true] .. .
B true
x /∈F V(B)
B true
Se observa que no hemos hablado de la negaci´on, conectivo de suma importancia que discuti-remos m´as tarde. La equivalencia se considera, como siempre, una abreviaturaA ↔B =def (A→
B)∧(B →A)
2.
Reglas del sistema con cajas
Las reglas informales anteriores se formalizan mediante las siguientes reglas de inferencia ya discutidas y ejemplificadas ampliamente en clase.
Conjunci´on:
A B A∧B (∧I)
A∧B A (∧E)
A∧B B (∧E)
Implicaci´on:
A .. . B
A→B (→I)
A→B A B (M P)
1
Disyunci´on
A
A∨B (∨I)
B
A∨B (∨I)
A∨B A
.. . C
B .. . C C
Verdad:
> (>I) Cuantificaci´on universal:
y .. . A[x:=y]
y no libre fuera de su caja
∀xA (∀I)
∀xA
A[x:=t] (∀E) Cuantificaci´on existencial:
A[x:=t] ∃xA (∃I)
∃xA
y
A[x:=y] .. . B
y no libre fuera de su caja
B (∃E)
3.
La Negaci´
on
La negaci´on es quiz´as el conectivo l´ogico m´as importante, recordemos por ejemplo que para definir en l´ogica cl´asica todos los conectivos y cuantificadores, basta quedarnos con uno de los conectivos binarios, un cuantificador y la negaci´on, la cual es imprescindible.
Sin importar que otros conectivos est´en presentes, un sistema de deducci´on natural puede cla-sificarse, de acuerdo a que clase de negaci´on tenga, como minimal, intuicionista o cl´asico.
3.1. L´ogica Minimal DNm
Se dice que la l´ogica es minimal si no hay reglas para la negaci´on ¬ ni para lo falso ⊥. En un sistema minimal la constante ⊥pueden estar presente pero no tiene propiedades particulares. En particular la regla (⊥E) no est´a permitida.
En la presencia de ⊥el s´ımbolo de negaci´on puede definirse como ¬A=def A→ ⊥
En cuyo caso hablamos de la negaci´on constructiva, cuyas reglas de inferencia son:
A ¬A
⊥ (¬E)
3.2. L´ogica Intuicionista DNi
La l´ogica intuicionista2 se obtiene al agregar a la l´ogica minimal la regla (⊥E) conocida tambi´en como ex-falso-quodlibet.
⊥
A (⊥E)
Se observa que cualquier f´ormula derivada en la l´ogica minimal sigue siendo derivable en la l´ogica intuicionista. Adem´as se pueden derivar nuevas f´ormulas, en particular la regla de eliminaci´on de la negaci´on puede modificarse como sigue en la l´ogica intuicionista:
A ¬A B (¬Ei)
M´as a´un, el car´acter constructivo de la negaci´on restringe a la l´ogica de una manera importante, en particular el sistema no permite probar la tautolog´ıa cl´asica
A∨ ¬A
conocida como el principio del tercero excluido. Para convencernos de tal situaci´on basta recor-dar qu´e significa el hecho de que una disyunci´on sea demostrable. En el caso del tercero excluido tendr´ıamos que construir una prueba deAo bien una prueba de¬Alo cual no es posible en general. Este hecho implica igualmente que la f´ormula¬¬A→ANO es v´alida. Por otro lado es f´acil dar una derivaci´on deA→ ¬¬Adesde la l´ogica minimal. Otras f´ormulasNOv´alidas en la l´ogica intuicionista son:
(¬A→ ¬B)→(B→A). (A→B)∨(B →A). ¬∀xA→ ∃x¬A.
∀x(A∨B)→A∨ ∀xB conx /∈F V(A). (B→ ∃xA)↔ ∃x(B→A) conx /∈F V(B). (∀xA→B)↔ ∃x(A→B) conx /∈F V(B). ∀x¬¬A→ ¬¬∀xA.
Las demostraciones de la invalidez intuicionista de tales f´ormulas utilizan t´ecnicas de sem´anticas de Heyting ´o forzamiento mediante marcos que no pertenecen a nuestro curso.
La l´ogica intuicionista tambi´en se conoce como constructiva porque toda f´ormula se puede construir o derivar directamente, en particular se tienen las siguientes propiedades NO v´alidas en la l´ogica cl´asica:
Propiedad Disyuntiva: Si Γ`DNi A∨B entonces Γ`DNi A ´o Γ`DNi B.
Propiedad Existencial: Si Γ`DNi ∃xAentonces existe un t´ermino ttal que Γ`DNi A[x:=t].
2
3.3. L´ogica cl´asica DNc
Para recuperar a la l´ogica cl´asica tenemos que postular alguna de las siguientes reglas:
Tercero Excluido:
A∨ ¬A (T E)
3
Reducci´on al absurdo:
¬A .. . ⊥
A (RAA) Esta regla es muy utilizada en razonamientos matem´aticos. Eliminaci´on de la doble negaci´on4
¬¬A
A (¬¬E)
Obs´ervese que la regla (T E) permite probar ` A∨ ¬A situaci´on imposible de motivar en el ´
ambito constructivo. Esta situaci´on rompe con la simetr´ıa de los conectivos dada por las reglas de introducci´on y eliminaci´on. En particular en la l´ogica cl´asica podemos deducir disyunciones por medio de una regla distinta a la regla de introducci´on de la disyunci´on, a saber mediante el uso de la regla del tercero excluido.
4.
Sistemas de Deducci´
on Natural con Contextos
En esta secci´on presentamos sistemas de deducci´on natural con contextos o hip´otesis localizadas, es decir, en cada paso de la deducci´on estar´an disponibles todas las hip´otesis. Esta presentaci´on podr´ıa parecer m´as complicada que otras, sin embargo la disponibilidad de todo el conjunto de hip´otesis en cada momento es de gran utilidad como se ver´a al estudiar sistemas de tipos.
Definici´on 1 Un contexto es un conjunto finito de f´ormulas {A1, . . . , An} . Usualmente
denota-remos un contexto con Γ,∆,Π. En lugar de Γ∪∆ escribimos Γ,∆. Analogamente Γ, A denota al contexto Γ∪ {A}.
En adelante hacemos la siguiente convenci´on: siempre que un contexto sea de la forma Γ, A, suponemos que la f´ormulaA no figura en Γ.
Si Γ ={A1, . . . , An} entonces el conjunto de variables libres de Γ, denotado F V(Γ), se define como la uni´on de los conjuntos de variables libresF V(Ai).
3
Tambi´en conocida como (T N D) por su nombre en lat´ınTertium non datur.
4La regla dual para introducci´on de la doble negaci´on:
A
¬¬A (¬¬I)
4.1. Reglas de inferencia
La relaci´on de derivabilidad o deducibilidad Γ`A, leida “la f´ormulaA es derivable o deducible en el contexto Γ”, se define recursivamente a partir de la regla de inicio
Γ, A `A (Hip)
dando reglas de introducci´on y eliminaci´on para cada conectivo que queremos est´e presente en el sistema:
Implicaci´on:
Γ, A`B
Γ`A→B (→I)
Γ`A→B Γ`A
Γ`B (→E)
Conjunci´on:
Γ`A Γ`B
Γ`A∧B (∧I)
Γ`A∧B
Γ`B (∧E)
Γ`A∧B
Γ`A (∧E)
Disyunci´on
Γ`A
Γ`A∨B (∨I)
Γ`B
Γ`A∨B (∨I)
Γ`A∨B Γ, A`C Γ, B`C
Γ`C (∨E)
Cuantificador Universal:
Γ`A x /∈F V(Γ) Γ` ∀xA (∀I)
Γ` ∀xA
Γ`A[x:=t] (∀E)
Cuantificador Existencial: Γ`A[x:=t]
Γ` ∃xA (∃I)
Γ` ∃xA Γ, A`B x /∈F V(Γ, B)
Γ`B (∃E)
Verdadero
Γ` > (>I)
A continuaci´on damos las reglas correspondientes a la falsedad y a las negaciones constructiva y cl´asica.
L´ogica minimal: negaci´on constructiva¬A=def A→ ⊥.
Γ, A` ⊥ Γ` ¬A (¬I)
Γ`A Γ` ¬A
Γ` ⊥ (¬E) L´ogica intuicionista: ex-falso-quodlibet
L´ogica cl´asica: alguna de las siguientes • Tercero excluido:
Γ`A∨ ¬A (T E)
• Reducci´on al absurdo:
Γ,¬A` ⊥
Γ`A (RAA)
• Eliminaci´on de la doble negaci´on:
Γ` ¬¬A
Γ`A (¬¬E)
Obs´ervese que mediante estas reglas de inferencia no estamos derivando f´ormulas sino expresiones de la forma Γ ` A, conocidas como secuentes. En particular las reglas de inferencia transforman secuentes v´alidos (respecto a |=) en secuentes v´alidos.
Definici´on 2 Una derivaci´on del secuenteΓ`Aes una sucesi´on finita de secuentesΓ1 `A1, . . . ,Γn`
An tal que:
Γi `Ai es instancia de la regla(Hip) ´o
Γi ` Ai es conclusi´on de alguna regla de inferencia tal que las premisas necesarias figuran
antes en la sucesi´on.
Γ`A es el ´ultimo elemento de la sucesi´on.
Definici´on 3 Si ` A es derivable, es decir si ∅ ` A es derivable (A es derivable sin hip´otesis)
entonces decimos que A es un teorema.
Mencionamos ahora algunas propiedades estructurales de la noci´on de derivaci´on que permiten simplificar pruebas:
Proposici´on 1 Las siguientes reglas de inferencia son v´alidas:
Intercambio de premisas:
Γ, A, B`C
Γ, B, A`C
Monoton´ıa o debilitamiento:
Γ`A
Γ, B`A
Contracci´on:
Γ, A, A`B
Γ, A`B
Sustituci´on:
Γ, A`B Γ`A
5.
Ejemplos de derivaciones
En lo que sigue denotamos con`m,`i,`ca las relaciones de derivaci´on en los sistemas minimal, intuicionista y cl´asico, respectivamente. De las definiciones es claro que el sistema intuicionista es una extensi´on conservativa del minimal y el cl´asico del intuicionista. Es decir, Γ `m A implica Γ`i Aimplica Γ`cA. Sin embargo ninguna de las afirmaciones rec´ıprocas es v´alida en general. En los ejemplos siguientes debe entenderse que el sistema correspondiente es estrictamente necesario, es decir, para las derivaciones en `i (`c) no existe una derivaci´on en `m (`i), aunque para mostrar formalmente estas afirmaciones se necesitan t´ecnicas sem´anticas que van m´as all´a del alcance de nuestro curso.
`m A→ ¬¬A. Basta mostrar queA, A→ ⊥ ` ⊥.
1. A, A→ ⊥ `A (Hip) 2. A, A→ ⊥ `A→ ⊥ (Hip) 3. A, A→ ⊥ ` ⊥ (→E) 1,2 `m ¬¬(A∨ ¬A). Basta derivarA∨ ¬A→ ⊥ `m⊥.
1. A∨ ¬A→ ⊥, A`A (Hip) 2. A∨ ¬A→ ⊥, A`A∨ ¬A (∨I) 1 3. A∨ ¬A→ ⊥, A`A∨ ¬A→ ⊥ (Hip) 4. A∨ ¬A→ ⊥, A` ⊥ (→E) 2,3 5. A∨ ¬A→ ⊥ `A→ ⊥ (→I) 4 6. A∨ ¬A→ ⊥ `A∨ ¬A (∨I) 5 7. A∨ ¬A→ ⊥ ` ⊥ (→E) 3,6 `m ¬(A∨B)↔ ¬A∧ ¬B. Hay que mostrar ambas implicaciones:
• `m ¬(A∨B)→ ¬A∧ ¬B. Basta mostrarA∨B → ⊥, A`m ⊥yA∨B→ ⊥, B`m ⊥. 1. A∨B→ ⊥, A`A (Hip)
2. A∨B→ ⊥, A`A∨B (∨I) 1 3. A∨B→ ⊥, A`A∨B → ⊥ (Hip) 4. A∨B→ ⊥, A` ⊥ (→E) 2,3 la derivaci´on faltante es an´aloga.
`i ¬A∨B →A→B. Basta mostrar¬A∨B, A`B
1. ¬A∨B, A` ¬A∨B (Hip) 2. ¬A∨B, A,¬A`A (Hip) 3. ¬A∨B, A,¬A` ¬A (Hip) 4. ¬A∨B, A,¬A` ⊥ (→E) 2,3 5. ¬A∨B, A,¬A`B (⊥E) 4 6. ¬A∨B, A, B `B (Hip) 7. ¬A∨B, A`B (∨E) 1,5,6
`i A∨ ¬A→ ¬¬A→A. Basta mostrarA∨ ¬A,¬¬A`A. 1. A∨ ¬A,¬¬A`A∨ ¬A (Hip) 2. A∨ ¬A,¬¬A, A`A (Hip) 3. A∨ ¬A,¬¬A,¬A` ¬A (Hip) 4. A∨ ¬A,¬¬A,¬A` ¬¬A (Hip) 5. A∨ ¬A,¬¬A,¬A` ⊥ (→E) 3,4 6. A∨ ¬A,¬¬A,¬A`A (⊥E) 5 7. A∨ ¬A,¬¬A`A (∨E) 1,2,6
`c ¬¬A↔ A. La parte `A → ¬¬A ya fue probada. Basta probar entonces ` ¬¬A →A, es decir, ¬¬A`A. Pero esto es inmediato por la regla (¬¬E)
`c¬(A∧B)↔ ¬A∨ ¬B. La parte “←“ es v´alida minimalmente. Basta probar¬(A∧B)`c ¬A∨ ¬B.
1. ¬(A∧B)`A∨ ¬A (T E) 2. ¬(A∧B), A`B∨ ¬B (T E) 3. ¬(A∧B), A, B `A (Hip) 4. ¬(A∧B), A, B `B (Hip) 5. ¬(A∧B), A, B `A∧B (∧I) 3,4 6. ¬(A∧B), A, B ` ¬(A∧B) (Hip) 7. ¬(A∧B), A, B ` ⊥ (→E) 5,6 8. ¬(A∧B), A, B ` ¬A∨ ¬B (⊥E) 7 9. ¬(A∧B), A,¬B ` ¬B (Hip) 10. ¬(A∧B), A,¬B ` ¬A∨ ¬B (∨I) 9 11. ¬(A∧B), A` ¬A∨ ¬B (∨E) 2,8,10 12. ¬(A∧B),¬A` ¬A (Hip) 13. ¬(A∧B),¬A` ¬A∨ ¬B (∨I) 12 14. ¬(A∧B)` ¬A∨ ¬B (∨E) 1,11,13
`m A∨ ∀xB→ ∀x(A∨B) con x /∈F V(A).
1. A∨ ∀xB, A`A∨ ∀xB (Hip) 2. A∨ ∀xB, A`A (Hip) 3. A∨ ∀xB, A`A∨B (∨I,2)
4. A∨ ∀xB, A` ∀x(A∨B) (∀I,3), x /∈F V({A∨ ∀xB, A}) 5. A∨ ∀xB,∀xB` ∀xB (Hip)
6. A∨ ∀xB,∀xB`B (∀E,5) 7. A∨ ∀xB,∀xB`A∨B (∨I,6)
8. A∨ ∀xB,∀xB` ∀x(A∨B) (∀I,7), x /∈F V({A∨ ∀xB,∀xB}) 9. A∨ ∀xB` ∀x(A∨B) (∨E,1,4,8)
`c∀x(A∨B)→A∨ ∀xB conx /∈F V(A). Basta probar que ∀x(A∨B),¬A`c∀xB
1. ∀x(A∨B),¬A` ∀x(A∨B) (Hip) 2. ∀x(A∨B),¬A` ¬A (Hip) 3. ∀x(A∨B),¬A`A∨B (∀E,1) 4. ∀x(A∨B),¬A`B (RB,2,3)
5. ∀x(A∨B),¬A` ∀xB (∀I,4), x /∈F V({∀x(A∨B),¬A}) Aqu´ıRB denota a la regla de resoluci´on binaria, v´alida en l´ogica cl´asica.
`m ∃x(A→B)→(∀xA→B) con x /∈F V(B). Basta ver que∃x(A→B), ∀xA`m B 1. ∃x(A→B), ∀xA` ∃x(A→B) (Hip)
2. ∃x(A→B), ∀xA, A→B` ∀xA (Hip) 3. ∃x(A→B), ∀xA, A→B`A (∀E,2) 4. ∃x(A→B), ∀xA, A→B`A→B (Hip) 5. ∃x(A→B), ∀xA, A→B`B (→E,3,4)
6. ∃x(A→B), ∀xA`B (∃E,1,5), x /∈F V({∃x(A→B), B})
`c (∀xA → B) → ∃x(A → B) con x /∈ F V(B). Puesto que estamos en l´ogica cl´asica basta probar ∀xA→B `c¬∀x¬(A→B), es decir,∀xA→B, ∀x¬(A→B)`c⊥.
1. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)` ∀x¬(A→B) (Hip) 2. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)` ¬(A→B) (∀E,1)
3. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)`A∧ ¬B (equiv. logica,2) 4. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)`A (∧E,3)
5. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)` ∀xA (∀I,4), x /∈F V({∀xA→B, ∀x¬(A→B)}) 6. ∀xA→B, ∀x¬(A→B)` ∀xA→B (Hip)
`m ∀xA→ ¬∃x¬A. Basta ver que∀xA, ∃x¬A`m ⊥ 1. ∀xA,∃x¬A` ∃x¬A (Hip).
2. ∀xA,∃x¬A,¬A` ¬A (Hip).
3. ∀xA,∃x¬A,¬A` ∀xA (Hip).
4. ∀xA,∃x¬A,¬A`A (∀E,3).
5. ∀xA,∃x¬A,¬A` ⊥ (→E,2,4).
6. ∀xA,∃x¬A` ⊥ (∃E,1,5), x /∈F V({∀xA,∃x¬A,⊥}).
`c ¬∃x¬A → ∀xA. Basta ver que ¬∃x¬A `c ∀xA y como x /∈ F V(¬∃x¬A) basta con ¬∃x¬A`cA, para lo cual mostramos¬∃x¬A`c¬¬A, es decir ¬∃x¬A,¬A`c⊥
1. ¬∃x¬A,¬A` ∃x¬A→ ⊥ (Hip).
2. ¬∃x¬A,¬A` ¬A (Hip).
3. ¬∃x¬A,¬A` ∃x¬A (∃I,2).
4. ¬∃x¬A,¬A` ⊥ (→E,1,3).
6.
Los teoremas de completud y correctud para la l´
ogica cl´
asica
Finalizamos nuestras consideraciones acerca de los sistemas de deducci´on natural mencionando los teoremas de correctud y completud para la l´ogica cl´asica DNc que vinculan el mundo de la
sem´antica con el de la sint´axis de manera biun´ıvoca.
Teorema 1 (Correctud de DNc) Sean Γ un conjunto de f´ormulas y A una f´ormula. La relaci´on
`c es correcta con respecto a la consecuencia l´ogica,es decir:
Si Γ`cA entonces Γ|=A.
Demostraci´on. Inducci´on sobre Γ`cA. Lo cual equivale a probar que todas las reglas del sistema DNc preservan la noci´on|=.
Teorema 2 (Completud de DNc) Sean Γun conjunto de f´ormulas y A una f´ormula. El sistema
DNc es completo con respecto a la relaci´on `C, e decir:
Si Γ|=A entonces Γ`cA.
