Guía7-EDO2008

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 7

Tema: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

Contenido:

 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

 Variación de Parámetros.

 Ecuación de Cauchy – Euler

Objetivos:

 Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

 Maneja de forma adecuada el método de variación de parámetros en la solución de las ecuaciones

diferenciales lineales no homogéneas.

 Reconoce ecuaciones diferenciales de Cauchy- Euler.

Metodología:

 Realizar una lectura de la guía con los temas dados.  Estudiar los temas presentados en la guía.

 Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean

ampliados.

 Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas

presentados.

 Realizar un trabajo más detallado en la solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.  Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.

Introducción: El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular 𝑦_𝑝 de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es aplicable también a las ecuaciones diferenciales de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden

𝑎₂(𝑥)𝑦′′ _{+ 𝑎}

1(𝑥)𝑦′+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔 𝑥

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Variación de Parámetros: Para una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden de la forma 𝑦′′ _{+ 𝑃 𝑥 𝑦}′_{+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)}_{, obtenemos una solución complementaria por el método de coeficientes} constantes, además en la obtención de una solución particular se tienen métodos como coeficientes indeterminados ó método del anulador, pero estos no siempre son los más efectivos, es por estos que la variación de parámetros resulta muy beneficiosa en la solución de ecuaciones no homogéneas.

Supongamos que la solución particular 𝑦_𝑝 = 𝑢₁ 𝑥 𝑦₁(𝑥) que se uso en la reducción de orden anteriormente dada, para encontrar una solución particular 𝑦𝑝 de 𝑑𝑦_𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥), para la ecuación lineal de segundo orden dos se busca una solución de la forma 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 𝑦2(𝑥) , derivando está ecuación dos veces y reemplazándolas en la ecuación diferencial 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) se llega a establecer un sistema de ecuaciones 𝑦₁𝑢₁′ + 𝑦₂𝑢₂′ = 0 ; 𝑦₁′𝑢₁′ + 𝑦₂′𝑢₂′ = 𝑓(𝑥) que es solucionado por la regla de Cramer, expresándose:

𝑢₁′ _{= −} 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂)=

𝑊1

𝑊(𝑦₁, 𝑦₂) ; 𝑢2′ =

𝑦1𝑓(𝑥) 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂)=

𝑊2 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂)

Donde 𝑊 es el Wronskiano de las funciones obtenidas en la solución asociada a la homogénea 𝑊₁ y 𝑊₂ son:

𝑊1 = _{𝑓(𝑥) 𝑦}0 𝑦2

2′ , 𝑊2=

𝑦₁ 0

𝑦₁′ _{𝑓(𝑥) , 𝑊 =}

𝑦₁ 𝑦₂ 𝑦₁′ _𝑦

2′

Para determinar 𝑢₁ 𝑥 , 𝑢₂ 𝑥 integramos 𝑢₁′, 𝑢₂′, es decir:

𝑢₁ 𝑥 = − _𝑊(𝑦𝑦2𝑓(𝑥)

1, 𝑦2) 𝑑𝑥 , 𝑢2 𝑥 =

𝑦₁𝑓(𝑥) 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂)𝑑𝑥

Ejemplos:

1. Resuelva 𝑦′′ − 4𝑦′+ 4𝑦 = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥

De la ecuación auxiliar 𝑚2− 4𝑚 + 4 = (𝑚 − 2)2= 0 se tiene que 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒2𝑥+ 𝑐2𝑥𝑒2𝑥 con las identificaciones 𝑦₁= 𝑒2𝑥 , 𝑦₂ = 𝑥𝑒2𝑥 , por tanto el wronskiano es:

𝑊 = 𝑒_2𝑒2𝑥_2𝑥 _2𝑥𝑒𝑥𝑒_2𝑥2𝑥_{+ 𝑒}_2𝑥 = 𝑒4𝑥

Y para determinar a 𝑢₁ 𝑥 , 𝑢₂ 𝑥 podemos hacerlo mediante los 𝑊₁ y 𝑊₂ o mediante las otras ecuaciones equivalentes, estas sólo son posibles en las ecuaciones de segundo orden

𝑢1′ = −

𝑦₂𝑓(𝑥)

𝑊 = −

𝑥 + 1 𝑥𝑒4𝑥

𝑒4𝑥 = −𝑥2− 𝑥 , ; 𝑢2′ =

𝑦₁𝑓(𝑥)

𝑊 =

(𝑥 + 1)𝑒4𝑥

𝑒4𝑥 = 𝑥 + 1

Luego se deduce que 𝑢₁ 𝑥 = −1 3𝑥

3₋1 2𝑥

2_{, 𝑢}

2 𝑥 =1₂𝑥2+ 𝑥 por consiguiente la solución general es:

𝑦 = 𝑐₁𝑒2𝑥 _{+ 𝑐}

2𝑥𝑒2𝑥+ − 1 3𝑥3−

1

2𝑥2 𝑒4𝑥+ 1

2𝑥2+ 𝑥 𝑥𝑒2𝑥 = 𝑐1𝑒2𝑥+ 𝑐2𝑥𝑒2𝑥 + 1

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2. Resolver la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden superior 𝑦′′′ + 𝑦′ = tan 𝑥

La ecuación auxiliar de la homogénea es: 𝑚3+ 𝑚 = 0 ⟶ 𝑚 𝑚2+ 1 = 0 ⟶ 𝑚 = 0 , 𝑚 = ± −1

Por consiguiente la solución complementaria es: 𝑦_𝑐 = 𝑐₁+ 𝑐₂cos 𝑥 + 𝑐₃sin 𝑥

Luego los Wronskiano para orden superior son de la forma

𝑢1′ = 𝑊₁

𝑊 , 𝑢2′ = 𝑊₂

𝑊 , 𝑢3′ = 𝑊₃

𝑊

𝑊 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃ = 10 − sin 𝑥cos 𝑥 cos 𝑥sin 𝑥 0 − cos 𝑥 − cos 𝑥

= 1 , 𝑊₁ = 00 − sin 𝑥cos 𝑥 cos 𝑥sin 𝑥 tan 𝑥 − cos 𝑥 − cos 𝑥

= tan 𝑥

𝑊₂= 10 00 cos 𝑥sin 𝑥 0 tan 𝑥 − cos 𝑥

= sin 𝑥 , 𝑊₃= 10 − sin 𝑥cos 𝑥 00 0 − cos 𝑥 tan 𝑥

= sin 𝑥 tan 𝑥

Luego,

𝑢₁ 𝑥 = tan 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 , 𝑢2 𝑥 = sin 𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝑥 , 𝑢3 𝑥 = sin 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + sin 𝑥

Por consiguiente la solución general es:

𝑦 = 𝑐1+ 𝑐2cos 𝑥 + 𝑐3sin 𝑥 + ln sec 𝑥 + ln sec 𝑥 + tan 𝑥 sin 𝑥

Ecuación de Cauchy –Euler: Una ecuación de Cauchy- Euler de orden dos tiene la forma:

𝑎₂𝑥2_𝑦′′ _{+ 𝑎}

1𝑥𝑦′+ 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑦′′ _{+ 𝑎}1 𝑥 𝑦′+ 𝑏

1

𝑥2𝑦 = 𝑅 𝑥 , 𝑅 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑎₂𝑥2

Donde, 𝑎₀, 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛 son constantes reales.

Para resolver este tipo de ecuaciones hacemos la sustitución 𝑥 = 𝑒𝑥 entonces x= ln 𝑥 . Entonces reemplazando en la última ecuación se obtiene

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Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′ + 6𝑦 = 0

𝑦′′ ₋4 𝑥𝑦′ +

6

𝑥2𝑦 = 0 , 𝑥 = 𝑒𝑥, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 , 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥

𝑦′′ _{+ 𝑎 − 1 𝑦}′ _{+ 𝑏𝑦 = 0 , 𝑎 = −4 ,} _{𝑏 = 6}

Entonces, 𝑦′′ − 5𝑦′+ 6𝑦 = 0 , 𝑚2− 5𝑚 + 6 = 0 , 𝑚₁= 3 , 𝑚₂= 2

Luego la solución es 𝑦 = 𝑐₁𝑒3𝑥+ 𝑐₂𝑒2𝑥 aplicando logaritmo natural se tiene 𝑦 = 𝑐₁𝑥3+ 𝑐₂𝑥2 el cual corresponde a la solución.

Ahora una ecuación de segundo orden no homogénea de la forma 𝑎₂𝑥2𝑦′′ + 𝑎₁𝑥𝑦′ + 𝑎₀𝑦 = 𝑔(𝑥) donde 𝑎₀, 𝑎₁ , 𝑎₂ son constantes con 𝑎₂ ≠ 0 y 𝑔(𝑥) es una función definida y continua en un intervalo 𝐼. Entonces la solución general es: 𝑦𝑔 = 𝑦𝑐+ 𝑦𝑝 la solución asociada a la homogénea se determina como se explico en la parte anterior, y la una solución particular se calcula por variación parámetros teniendo en cuenta que se debe escribir la ecuación diferencial de Cauchy Euler de la forma:

𝑦′′ ₊ 𝑎1 𝑎₂𝑥𝑦′+

𝑎₀ 𝑎₂𝑥2𝑦 =

𝑔 𝑥 𝑎₂𝑥2

El cual podemos escribir 𝐹 𝑥 =𝑔 𝑥

𝑎2𝑥2 y concluir que la solución particular 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 𝑦2(𝑥) donde,

𝑢₁ 𝑥 = − _𝑊(𝑦𝑦2𝐹(𝑥)

1, 𝑦2) 𝑑𝑥 , 𝑢2 𝑥 =

𝑦1𝐹(𝑥) 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂)𝑑𝑥

Ejemplos: solucionar la ecuación diferencial 𝑥2𝑦′′ + 10𝑥𝑦′+ 8𝑦 = 𝑥2

La ecuación homogénea es: 𝑥2𝑦′′ + 10𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0 y la ecuación auxiliar es: 𝑚2+ 9𝑚 + 8 = 0 cuyas soluciones son: 𝑚₁= −8 , 𝑚₂= −1 luego 𝑦₁= 𝑥−8 , 𝑦₂ = 𝑥−1 son soluciones de la homogénea.

Ahora 𝐹 𝑥 = 1, 𝑊 𝑥−8, 𝑥−1 = 7/𝑥10

𝑢₁ 𝑥 = −1₇ 𝑥−1_𝑥10_{𝑑𝑥 = −} 1 70𝑥10 𝑢₂ 𝑥 =1₇ 𝑥−8_𝑥10_{𝑑𝑥 =} 1

21𝑥3 𝑦_𝑝 = − 1

70𝑥2+ 1 21𝑥2=

1 30𝑥2 Así la solución general es:

𝑦_𝑔 = 𝑐₁𝑥−8_{+ 𝑐} 2𝑥−1+

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Ejercicios

1. Use el método de variación de parámetros para solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales :

a. 𝑦′′ − 9𝑦 = 𝑥 g. 2𝑦′′′ − 6𝑦′′ = 𝑥2

b. 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 2 sin 𝑥 h. 𝑦′′′ − 5𝑦′′ + 6𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 8 c. 𝑦′′ + 𝑦 = csc 𝑥 cot 𝑥 i. 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′− 𝑦 = 𝑒𝑥 − 𝑥 + 16 d. 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 2𝑒𝑥 j. 𝑦(4)− 4𝑦′′ = 5𝑥2− 𝑒2𝑥

e. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 5𝑥 + 2 k. 𝑦(4)− 5𝑦′′ + 42𝑦 = 2 cosh 𝑥 − 6 f. 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 m. 𝑦′′′ − 𝑦′′ + 𝑦′− 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥+ 7

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

a. 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′+ 6𝑦 = 𝑙𝑛𝑥2 b. 𝑥2𝑦′′ − 4𝑥𝑦′+ 6𝑦 = 𝑥2 c. 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′+ 3𝑦 = 5𝑥6 d. 𝑥2𝑦′′ + 4𝑥𝑦′+ 2𝑦 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 e. 𝑥2𝑦′′ − 6𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥

f. 𝑥2𝑦′′ − 8𝑥𝑦′− 6𝑦 = 5𝑥4 g. 𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′+ 15𝑦 = 7𝑥−4

BIBLIOGRAFÍA

1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley.

2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.

3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.

4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.

5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa.