BOLETÍN DE PROBLEMAS 1:

BOLET´IN DE PROBLEMAS 1:

DIN

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1. Una part´ıculaPde masamest´a sujeta a un resorte de constante recuperadoraky longitud natural nula. El movimiento de Pse realiza en el plano horizontal y el resorte est´a unido al origen de coordenadasOdel sistemaOXY. Las condiciones en el instante inicial (t = 0), vienen dadas por{x(0) =a;y(0) = 0; ˙x(0) = 0; ˙y(0) =λaω₀}, y el valor de la constante recuperadora esk=mω2₀. Aplique la segunda ley de Newton en coordenadas cartesianas, obtenga las ecuaciones horarias y diga qu´e tipo de curva describe el punto.

2. Utilizando la terna (ver la cuesti´on de este bolet´ın sobre cil´ındricas) de coordenadas cil´ındricas{ρ, θ, z}, estudie el mo-vimiento del punto materialP de masamrepresentado en la figura que est´a vinculado a la superficie cil´ındricaΣlisa y vertical (g = −gk) descrita por la ecuaci´on ρ =R .. Las condiciones iniciales sonθ(0) = 0;z(0) = z0;θ˙(0) = Ωy

˙

z(0) =v₀. Se piden las ecuaciones horarias{ρ(t), θ(t), z(t)}del puntoP por los siguientes m´etodos: (a) Leyes de Newton.

(b) Teoremas de conservaci´on.

3. Una part´ıculaP (de un s´olido“2”) de masamest´a contenida en un plano horizontal y sujeta a un resorte de constante recuperadoraky longitud natural nula, que est´a unido al origen de coordenadas0del sistemaOX₁Y₁. El puntoP est´a en contacto con un tubo liso obligado a moverse seg´un la leyθ(t) =ωt, dondeωes una constante conocida. Las condiciones en el instante inicial (t= 0), vienen dadas por{ρ(0) =a; ˙ρ(0) = 0}, y el valor de la constante recuperadora esk=mω2₀.

(a) An´alisis din´amico inercial{2 1}deP :

obtenga la ecuaci´on diferencial del movimiento y la fuerza vincular. (b) An´alisis din´amicono inercial{2 0}deP:

Obtenga la ecuaci´on diferencial del movimiento y la fuerza vincular. ¿Qu´e ocurre siω=ω₀?.

4. Una part´ıculaPde masamse encuentra vinculada a un aro liso de radioRsituado en un plano vertical (g=gj) estando su posici´on dada por el ´anguloθformado con el eje horizontalOX, como se indica en la figura. Las condiciones iniciales son:θ(0) = 0 ; ˙θ(0) = 0.

(a) Demuestre que la expresi´on de la fuerza vincular viende dada por{N(θ) =−3mgsenθ u_R}, donde{u_R, u_θ}es la base polar.

(b) Considerando ahora adem´as una fuerza de rozamiento secof₁(coeficienteμ) y una fuerza viscosaf₂=−γmv2u_θ, dondeγes una constante conocida yvla velocidad deP, obtenga la ecuaci´on diferencial de movimiento y la fuerza vincular.

5. Un tuboOA, liso y de secci´on despreciable, est´a obligado a girar con velocidad angular constanteΩk1alrededor del eje vertical inercialOZ₁, siendo siempre fijo y agudo el ´anguloαformado por−→OAyOZ₁. Una part´ıcula puntualP de masa m, pesadag=−gk₁, puede deslizar sin rozamiento por el interior deOA. Denomineρa la distancia deP al ejeOZ₁. Si en el instante inicial (t= 0) la part´ıcula se coloca en la posici´onρ(0) =ay en reposo respecto deOA, ¿cu´anto debe valerapara queP no deslice respecto al tubo en el movimiento posterior (es decir, para queρ˙(t) = 0 ∀t >0)?

gcotα Ω2 ; g Ω2 ; gtanα Ω2 .

6. Dos part´ıculasAyBde la misma masamest´an unidas por un muelle ideal de constante el´asticaky longitud natural nula. AyB est´an obligadas a moverse, respectivamente, por los ejesOX yOY del plano inercial horizontalOXY. No hay rozamiento. En el instante inicial las part´ıculas se encuentran en el origen, y las velocidades de ambas tienen m´odulov0. ¿Cu´al es la m´axima distancia a la que llegan a estar del origen?

v₀m/(4k) ; v₀m/k ; v₀4m/k .

7. En la figura se muestra un carrito AOB (s´olido “0”) , de masa m y longitud2a, que puede deslizar sin rozamiento sobre el eje horizontalO₁X₁. Sobre la superficie del carrito se encuentra una part´ıculaP de la misma masa, la cual se encuentra unida al extremo de un muelle ideal de constante el´asticak = K y longitud natural nula que tiene su otro extremo fijo aO, punto medio del segmentoAB. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo, siendo su posici´on inicial {s(0) = 0, x(0) =a}. Sabiendo que no hay rozamiento entre la part´ıculaPy el carrito, ¿cu´al es el m´odulo de la velocidad del carrito en el momento en que la part´ıculaPpasa porO?

a K 2m ; a 2K m ; a 2 K 2m.

8. Se tiene un sistema formado por una barra ho-mog´eneaABde masa M y longitud2ben con-tacto liso con el eje O₁X₁ y un hombre C de masa m que anda sobre la barra de modo que −−→

MC = bcosωt u_x (ω = cte.; ver figura). Ini-cialmente el sistema est´a en reposo y se cumple quex(0) = 0.

(a) Se verifica:

˙

x(t) =_mM_+Mbωsenωt . x˙(t) = _m+m_Mbωsenωt . x˙(t) = _mM_+Mbsenωt .

A partir de ahora supondr´a que x˙(t) =γsenωt, dondeγes una constante conocida en funci´on de los datos anterio-res.

(b) La fuerza horizontalfque la barra recibe del hombre es:

f = (m+M)γωcosωt u_x. f=Mγωcosωt u_x. f=Mγcosωt u_x.

(c) El trabajo que recibe la barra desde el instante inicial hasta que el hombre pasa por la mediatriz del segmentoABes igual a:

(m+M)γ2_{/2. cero, porque la barra es un s´olido r´ıgido. Mγ}2_/2.

9. Tres part´ıculas{A, B, C} id´enticas de masam se mueven en el espacio tridimensional inercialOXY Z de modo que Ay B est´an apoyadas sobre un plano liso (z = 0) y unidas entre s´ı (ver previamente las cuestiones de este bolet´ın) mediante un muelle ideal de constantek y longitud naturall₀ = 0, mientras queC est´a debajo del plano anterior y se encuentra vinculada aB por medio de un hilo tenso e inextensible de longituda. Considere la acci´on de la gra-vedad cong = −gu_z. Como coordenadas de trabajo se proponen las cartesianas de los puntos materiales del sistema {x_A, y_A, z_A;x_B, y_B, z_B;x_C, y_C, z_C}.

(a) Escriba las ecuaciones de ligadura y plantee las fuerzas vinculares. Haga un balance de ecuaciones e inc´ognitas para la soluci´on din´amica del sistema.

(b) Plantee las ecuaciones din´amicas del sistema.

(c) Obtenga razonadamente magnitudes cuya conservaci´on aporte integrales primeras del movimiento.

10. Dos part´ıculasA y B de igual masam se encuentran unidas entre s´ı (ver previamente las cuestiones de este bolet´ın) mediante un hilo de longitudl = 2ade masa despreciable, inextensible y siempre tenso que est´a obligado a pasa por el origenO. La part´ıculaAest´a apoyada en el planoz= 0yBcuelga verticalmente desdeO. Suponga que los contactos son ideales y utilice las coordenadas{ρ, θ}propuestas en la figura. Las condiciones iniciales son{ρ(0) = a , θ(0) =

0 ; ˙ρ(0) = 0,θ˙(0) =ω₀}.

1. Obtenga, de forma razonada, las integrales primeras del movimiento; y una ecuaci´on del tipof(ρ_M) = 0 que determine los valores m´aximos y m´ınimos de la coordenadaρ.

Estudie los siguientes supuestos y obtenga en cada caso las ecuaciones diferenciales de movimiento -a ser posible en forma de integrales primeras-:

2. SUPUESTO 1:{ρ, θ}libres y act´ua una fuerza sobreAconocidaFA(ρ) =−kρuθ. ¿ConservaFAla energ´ıa?

3. SUPUESTO 2:{ρ, θ}libres y act´ua una fuerza sobreBconocidaF_B(t) =−F₀etu_z.

4. SUPUESTO 3:θlibre y−−→OB=−(a+gt2/4)uz.

CUESTIONES

11. Una part´ıculaP sometida a la acci´on de la gravedad puede deslizar sin rozamiento por el contorno de un disco vertical fijo de radioRy centroC, midi´endose la alturahdePrespecto al plano horizontal que pasa porC(h(C) = 0). El punto P parte inicialmente del reposo desde una alturah(P)>0.El movimiento posterior deP consta de dos fases. Durante la1a fase, la part´ıcula desliza por el contorno del disco, ganando energ´ıa cin´etica a medida que desciende. Al llegar a cierta altura, la part´ıcula pierde contacto con el contorno del disco (despega), comenzando as´ı la2afase, de ca´ıda libre. Entonces:

En ambas fases se conserva la cantidad de movimiento y la energ´ıa mec´anica deP. Se conserva la cantidad de movimiento horizontal dePs´olo en la segunda fase. Se conserva el momento cin´etico dePrespecto al centro del disco en la primera fase.

12. El bloqueA(s´olido “2”), de masamy dimensiones despreciables, pue-de pue-deslizar sin rozamiento por un plano inclinado que se encuentra fijo al suelo de un ascensor (s´olido “0”, cuya masa total esM). El ascensor sube con aceleraci´onaO₀₁respecto a los ejes inercialesO1X1Y1(s´olido “1”), siendo−→T la fuerza resultante de la instalaci´on sobre el ascensor. SeaN la reacci´on del plano inclinado sobre el bloque, yaA₂₁la acele-raci´on de A respecto a los ejes inerciales. Se˜nale verdadero (V) o falso (F) en las siguientes relaciones:

T+N +mg=maA 21 , N +mg=maA21 , N +mg−maO01=maA21. T+ (m+M)g=MaO 01 , T+Mg=MaO01 , T +Mg−N =MaO01. T+ (m+M)g=maA 21+MaO01 , T+N + (m+M)g=maA21+MaO01.

13. El tren de la figura, formado por tres vagones{A, B, C}de id´entica masam, avanza en el sentido de una fuerza aplicada y horizontalF =F ux. La uni´on entre vagones se hace mediante hilos ideales e inextensibles de masa despreciable, siendo nulas las fuerzas horizontales sobre las ruedas, cuyas masas son despreciables.

Los valores de las tensiones de los hilos ser´an:

T₁=F , T₂=F ; T₁=F/2 , T₂=F/2 ; T₁= 2F/3 , T₂=F/3.

14. Se tiene un sistema de dos part´ıculas id´enticas y de masamunidas mediante un hilo ideal, tenso e inextensible de longitud2a. Las part´ıculas permanecen en el plano horizontalOXY, estando la part´ıculaA obligada a deslizar sin rozamiento por el ejeOX. Se conservar´a:

La energ´ıa mec´anica de la part´ıculaA . El momento cin´etico del sistemaLA.

La cantidad de movimiento del sistema en la direcci´onOX .

15. Un sistema de part´ıculas arbitrario, de centro de masasG, se mueve respecto a un sistema de referencia inercial en ca´ıda libre, con la ´unica influencia externa de un campo gravitatorio vertical y uniforme. Entonces, en general,NOse conserva:

La energ´ıa mec´anica.

La componente horizontal de la cantidad de movimiento. El momento cin´etico respecto deG.

16. El movimiento de una part´ıculaP de masamse describe en el sistemaOXY de la figura. Su posici´on puede estudiarse en funci´on de las coordenadas cartesianas{x, y}o de las coordenadas polares{ρ, θ}de la figura. Sean{u_x, u_y, u_z}los unitarios cartesianos, y{u_ρ, u_θ}los unitarios polares de la figura, que son los unitarios radial y transversal respectivamente.

Calcule en coordenadas polares el vector de posici´on deP, la velocidad, la aceleraci´on, la energ´ıa cin´etica y el momento cin´etico enO,

r, v,a, T, L_O, y llegue a las siguientes expresiones:

r=ρu_ρ , v= ˙ρu_ρ+ρθu˙ _θ , a=ρ¨−ρθ˙2u_ρ+ρθ¨+ 2 ˙ρθ˙u_θ, T =mρ˙2_+ρ2_θ˙2_{/2 , L}

O=mρ2θu˙ z.

A˜nadiendo a las coordenadas polares la coordenada cartesianazse consigue la terna cil´ındrica{u_ρ, u_θ, u_z}definida respecto de los ejesOXY Z de la figura. Deduzca que en coordenadas cil´ındricas el vector de posici´on deP, la velocidad, la aceleraci´on, la energ´ıa cin´etica y el momento cin´etico enO,

r, v,a, T, L_O, son los que siguen:

r=ρu_ρ+zu_z , v= ˙ρu_ρ+ρθu˙ _θ+ ˙zu_z , a=ρ¨−ρθ˙2_u ρ+ ρθ¨+ 2 ˙ρθ˙u_θ+ ¨zu_z, T =mρ˙2_+ρ2_θ˙2_{+ ˙z}2_{/2 , L} O=m −zρθu˙ _ρ+ (zρ˙−ρz˙)u_θ+ρ2_θu˙ z .

17. Considere un sistema de part´ıculas sometido a las fuerzas

F_i actuando sobre los puntos{P_i, m_i;i= 1, ..., N}, y demuestre que la resultante y el momento resultante externos son nulos

Fext_{=0, M}ext

A =0,∀A

en los siguientes sistemas particulares

(a) Sistemas de masa despreciable en movimiento. (S´olidos ligeros, hilos ligeros, muelle ligero). (b) Sistemas de masa apreciable en equilibrio. (Est´atica).

Suponga que sobre cada uno de los sistemas particulares anteriores act´uan ´unicamente dos fuerzas

F_AenA , F_BenB y demuestre que debe cumplirse que

F_A=−F_B −−→AB .

18. Suponga un sistema de part´ıculas{Pi, mi;i= 1, ..., N}de masa totalM sometido ´unicamente a la acci´on din´amica de una gravedad constante g=−guz. Se define la funci´on altura h creciente en contra de la gravedad. Demuestre que el momento resultante de las fuerzasMAy la energ´ıa potencial resultanteV son:

M_A≡ N i=1 −→ AP_i∧m_ig=−→AG∧P , V = N i=1 m_igh_i=Mg h(G),

donde P es el peso total del sistema. Los valores de M_A y V son por tanto equivalentes a que todas las fuerzas peso estuviesen concentradas enG.