Los números han surgido a lo largo de la historia, gracias a la necesidad que ha teni-do el ser humano de contar, medir, repartir, clasificar, distribuir, etc. El primer conjunto numérico que surgió fue el de los números naturales; sin embargo, con el correr de los años, este conjunto no cubría las nuevas necesidades que se presentaban en la vida cotidiana, motivo por el cual surgieron otros conjuntos numéricos como el de los nú-meros enteros, los núnú-meros racionales, los núnú-meros reales, entre otros.
Por ejemplo, para contar las cabezas de ganado en un rebaño, se necesitaba asignar un símbolo que representara esa cantidad y además debía ser único para esa cultu-ra. En el semestre anterior ya has estudiado algunos sistemas de numeración que te pueden ser útiles en este encuentro, por eso, es recomendable que hagas un repaso de ello.
A medida que el ser humano va satisfaciendo algunas de sus necesidades, surgen otras que también debe atender. Por ejemplo, ¿cómo hace un comerciante para re-presentar matemáticamente las deudas que tiene en su negocio o un marinero para indicar a qué profundidad bajo el nivel del mar se encuentra determinada especie marina? Pareciera que los números naturales no lograran dar respuesta a estas cues-tiones. Sin embargo, estas ideas se pueden manejar matemáticamente dando paso a un nuevo conjunto numérico: el de los números enteros, donde se incluyen los núme-ros negativos. Basándose en este conjunto, un comerciante puede decir que tiene un saldo de -5000 Bs.F., donde el signo menos “-” representa que 5000 Bs.F. son deudas y se lee: menos cinco mil bolívares fuertes. Análogamente, se pueden usar los números negativos para indicar que un pez está a 20 metros bajo el nivel del mar, escribiendo -20 m.
Curiosamente, a lo largo de la historia, los conjuntos numéricos no surgieron en el orden que hemos seguido hasta ahora y tampoco fueron aceptados tan fácilmente como lo pretendemos proponer en la actualidad. El conjunto numérico que más costó para ser aceptado fue el de los números enteros, ya que, en un principio, los números negativos no tenían sentido para asociarlos a los problemas cotidianos.
Para que profundices en la historia de los conjuntos numéricos, se propone la Actividad 1 (en la sección de Actividades).
naturales y enteros
Semana 5
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Esta semana, tenemos como objetivo primordial estudiar los dos primeros conjun-tos numéricos antes mencionados, naturales y enteros, de manera que logres distin-guir claramente los elementos de cada uno de ellos, así como las restricciones de las operaciones básicas definidas en cada conjunto.
En adelante, trabajaremos con los dos conjuntos numéricos naturales y enteros, así como sus operaciones y propiedades. Sin embargo, es necesario que revises el módu-lo del semestre anterior en el que trabajaste estos contenidos, en especial las opera-ciones y propiedades en estos conjuntos.
Conjuntos numéricos
En la vida cotidiana se presentan muchos números, pero no todos pertenecen al mismo conjunto. Estudiemos cada conjunto por separado y sus operaciones.
Los números naturales
Si deseas saber cuántos compañeros tienes en este curso, simplemente los contarías uno por uno y obtendrías la respuesta. Esa respuesta siempre será un número natural. Un número natural es todo número que se pueda expresar como una suma de unos. Por ejemplo, el 3 es natural, pues se puede escribir como 1 + 1 + 1. Sin embargo, el 3,5 no es un número natural, porque no puede ser expresado como suma de unos.
El conjunto de los números naturales los representamos con la letra N, y lo expresa-mos en forma de conjunto, de la siguiente manera:
N = {1, 2, 3, 4, 5,……..10, 11,………, 100,101,…..}
Los puntos suspensivos que están al final, indican que el conjunto posee infinitos elementos. Es decir, existen infinitos números naturales. Este conjunto tiene una gran aplicabilidad en la vida cotidiana; siempre que contamos algo, usamos un elemento del conjunto. ¿Cuántas sillas hay en la sala?, ¿cuántos perros hay en tu casa?, ¿cuántas personas viven en tu casa?, ¿cuántos amigos tienes tú?, ¿cuántas veces vas a la biblio-teca en una semana?, etc. Todas estas preguntas tienen como respuesta un número natural. Algunos autores toman el cero como un número natural, aunque no hay un acuerdo general para ello. Sin embargo, nosotros asumiremos que el cero no es natu-ral, pues, no nos sirve para contar.
Operaciones y sus propiedades en N
Cualquier operación que se defina sobre algún conjunto debe cumplir la propiedad de clausura, la cual establece que si dos elementos del conjunto se operan, el resulta-do debe también pertenecer al conjunto.
La adición
La adición en los números naturales cumple la propiedad de clausura para todos sus elementos. Si sumamos dos números naturales, cualquiera que sea el resultado, siempre será un número natural. Por ejemplo: 154 + 15 = 169. En general,
Si a y b son números naturales, entonces a + b es un número natural.
Los números que están al lado izquierdo de la igualdad reciben el nombre de su-mandos o términos y el número que está a la derecha, recibe el nombre de suma.
Propiedades de la adición
Esta operación cumple con algunas propiedades:
Prop. 1. Conmutativa
Si Juan tiene cinco metras y Carlos tiene 8 metras, ¿cuántas metras tienen entre los dos? Para responder a esta pregunta, podemos tomar las metras de Juan y sumárselas a las de Carlos; o bien, tomar las de Carlos y sumárselas a las de Juan. En ambos casos, la respuesta es la misma: 13. Esto, matemáticamente, significa que: 5 + 8 = 8 + 5 = 13. En general, podemos decir que,
Si a y b son números naturales, entonces a + b = b + a
Prop. 2. Asociativa
Si además, Pedro tiene 7 metras y queremos saber cuántas metras tienen entre los tres, podemos sumar las metras de Juan y las de Carlos y sumar el resultado con las metras de Pedro; o bien, podemos sumar las de Juan con el resultado de sumar las de Carlos y Pedro. En símbolos, tenemos esto: (5 + 8) + 7 = 5 + (8 + 7) = 20. Donde los paréntesis indican la operación que se va a realizar primero. En general escribimos:
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
La sustracción
La sustracción se representa con el símbolo “ - “, que se lee: menos. Y escribimos, por ejemplo, 15 - 3 = 12. Cada uno de estos números recibe un nombre particular. El primer número del lado izquierdo de la igualdad (15) se llama minuendo, el siguiente (3) se llama sustraendo y el número que está del lado derecho de la igualdad se llama
diferencia o resta.
Existen muchas situaciones de la vida cotidiana donde usamos la sustracción de nú-meros naturales, por ejemplo, si he comprado 20 panes y en el desayuno nos comi-mos 8, ¿cuántos panes tengo para la cena? La respuesta es muy natural: 12 panes. Lo que hemos hecho es efectuar la operación 20 - 8 = 12.
En el caso de la sustracción de números naturales, la propiedad de clausura no siem-pre se cumple; por ejemplo, 154 - 15 = 139. En este caso, hemos restado dos números naturales y la resta es otro número natural. Si embargo, cuando se nos presenta este caso: 8 - 14 = ?, la sustracción carece de sentido. Si contextualizamos el problema con los panes, tendríamos 8 panes de los cuales nos comimos 14, cosa que es absurda, pues no se pueden comer más panes de los que tengo.
Por esta razón, la sustracción en los números naturales sólo se define cuando el mi-nuendo es mayor que el sustraendo. Así, la diferencia 8 - 14 no está definida en los naturales, pero si escribimos 14 - 8, entonces sí estaría definida, pues el minuendo es mayor al sustraendo.
La multiplicación
La multiplicación se suele representar con un punto (•), aunque a veces se utiliza también el símbolo x. Entonces, podemos escribir 3 • 5 = 3 x 5 = 15. En los casos en los que no haya lugar a que se presenten confusiones, se puede, incluso, omitir el símbo-lo. Los números 3 y 5 reciben el nombre de factores y el resultado que es 15, en este caso, se llama producto.
La multiplicación de dos números naturales siempre es otro número natural; es de-cir, se cumple la propiedad de clausura. Esto es:
Si a y b son números naturales, entonces a • b es un número natural
Propiedades de la multiplicación
Prop.1. Conmutativa
La propiedad conmutativa advierte que el orden de los factores no altera el resulta-do. Por ejemplo, 3 x 4 = 4 x 3 = 12. En general,
Prop. 2. Asociativa
Esta propiedad, al igual que para la suma, establece que, si vamos a multiplicar tres números, podemos hacerlo con los dos primeros factores y el producto obtenido lo multiplicamos con el tercer factor; o bien, multiplicamos el primer factor con el pro-ducto, que se obtiene de multiplicar el segundo y tercer factor. Por ejemplo,
(3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 30 3 x (2 x 5) = 3 x 10 = 30 En general,
Si a, b y c son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
En el conjunto de los números naturales existe un número que cumple la propiedad de que cualquier número del conjunto dé como resultado el mismo número: el núme-ro uno, que es el primer elemento del conjunto. Por ejemplo, 5 • 1 = 5, y lo mismo ocu-rre con todos los elementos del conjunto. En general, escribimos esta propiedad así:
Si a es un número natural, entonces a • 1 = a
Los números enteros
Si al conjunto de los números naturales le agregamos los números negativos -1, -2, -3, -4, -5,… que son conocidos como los opuestos a los naturales, y, además, agrega-mos el cero, obteneagrega-mos un nuevo conjunto numérico, llamado conjunto de los nú-meros enteros. Este conjunto se denota con la letra Z y lo expresamos de la siguiente manera: Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}
Los puntos a la izquierda y derecha indican que el conjunto sigue infinitamente ha-cia ambos lados. Una de las asoha-ciaciones que de los números negativos suele hacerse en la cotidianidad es con las deudas, y los positivos con las ganancias; el cero indica, entonces, que no hay deudas ni ganancias.
El origen de este conjunto da posibilidades de resolver problemas que, bajo el con-junto de los números naturales, no se podían resolver. Por ejemplo, la ecuación x + 3 = 1 no tiene solución en los números naturales, porque no existe un número natural que al sumarlo con 3 el resultado sea 1. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros existe el -2, que es la solución de la ecuación, pues -2 + 3 = 1.
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Operaciones de los números enteros
En el conjunto de los números enteros también existen algunas operaciones, cada una de ellas con ciertas propiedades.
Adición
La adición de los números enteros siempre da como resultado un número entero, es decir, se cumple la propiedad de clausura.
Trata de responder estas preguntas antes de continuar avanzando:
1. Si en tu celular tienes un saldo deudor de 2 Bs.F. y un día logras llamar porque la línea estaba libre, y consumes en la llamada 3 Bs.F., ¿qué saldo tendrás en tu celular? 2. Supongamos que ahora tienes en tu celular 10 Bs.F. y haces una llamada que te
cuesta 3 Bs.F., ¿cuál es ahora el saldo de tu celular?
3. Si en la llamada anterior hubieras consumido 13 Bs.F., ¿de qué saldo dispondrías en tu celular?
4. Si ahora tienes 4 Bs.F. y le introduces una tarjeta de 15 Bs.F., ¿cuál es tu nuevo saldo? Ahora, veamos cómo podemos hacer uso de nuestro nuevo conjunto numérico, para responder a estas preguntas:
1. Si tengo 2 Bs.F. en saldo deudor, que se representaría así: -2. Y si he llamado, significa que me he endeudado más; en este caso con 3 Bs.F., que por ser una deuda lo representamos con -3. El saldo que tendré en mi celular será la suma de mis deudas, es decir, (-2) + (-3) = -5. Luego, tendré 5 Bs.F. de deuda.
2. Si en mi celular tengo 10 Bs.F. de saldo disponible para llamar, entonces, lo podré ver como ganancias; es decir, se puede representar con 10. Pero al llamar, he consumido de mi saldo, lo que se puede interpretar como una deuda que, en este caso, es de 3 Bs.F., y la representamos con -3. Por lo tanto, el saldo en mi celular será la suma de las ganancias con las deudas, es decir, 10 + (-3) = 7. El saldo en mi celular es de 7 Bs.F.
3. Si en lugar de consumir 3 Bs.F. en la llamada, consumo 13 Bs.F., el saldo en mi celular seguirá siendo la suma de las ganancias con las deudas, esto es, 10 + (-13) = -3. El signo menos (-), me indica que el saldo ahora será una deuda de 3 Bs.F. 4. Finalmente, si en mi celular tengo una ganancia de 4 Bs.F. y le agrego un monto
adicional de 15 Bs.F., entonces tendré en mi celular un total de 19 Bs.F., esto es, 4 +15 = 19.
Este ejemplo nos ayuda a generalizar unas reglas en la suma de números enteros: 1. Si se suman deudas con deudas el resultado será la suma de las deudas y seguirá
siendo una deuda. Por ejemplo: (-5) + (-3)= -8
2. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es mayor a la deuda, entonces, el resultado será una ganancia igual a la resta de la ganancia con la deuda. Por ejemplo, (-2) + 7 = 5
3. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es menor a la deuda, entonces, el resultado será una deuda igual a la resta de la deuda con la ganancia. Por ejemplo, (-9) + 7 = -2
4. Si sumamos ganancias con ganancias, el resultado es la suma de las ganancias y seguirá siendo una ganancia. Por ejemplo, 5 + 8 = 13
Propiedades de la adición en Z
La adición en Z cumple la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa, al igual que en los números naturales. Pero además, se cumplen dos propiedades más: exis-tencia de un elemento neutro y exisexis-tencia de un opuesto para cada elemento del conjunto.
Prop.1. Conmutativa
Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces a + b = b + a
Prop. 2. Asociativa
Si a, b y c son tres enteros cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
En el conjunto de los números enteros existe un número que tiene la propiedad que al ser sumado con cualquier número da como resultado el mismo número. Este núme-ro es el cenúme-ro (0) y se le llama elemento neutnúme-ro para la suma de entenúme-ros. Por ejemplo: 5 + 0 = 5 ; 0 + (-3) = -3. En general,
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
Prop. 4. Existencia del opuesto aditivo
Para cada elemento del conjunto de los números naturales existe un elemento que cumple la propiedad de que al sumarlos da como resultado el elemento neutro de la suma, es decir, cero. Por ejemplo, para el -3 existe el 3, tal que (-3) + 3 = 0, para el 7 exis-te el -7, tal que 7 + (-7) = 0, para el cero está él mismo, que al sumarlo consigo mismo resulta cero, esto es 0 + 0 = 0. En general,
Si a es un entero cualquiera, entonces se cumple que a + (-a) = 0
Donde -a significa el opuesto de a, es decir el signo menos (-) lo leemos como “el opuesto de…”.
Observa que el opuesto del cero es él mismo y, además, es el único que tiene esta particularidad.
Sustracción
La sustracción de dos números enteros cumple con la propiedad de clausura y se define a partir de la adición. Por ejemplo, si deseamos encontrar la resta 5 - 4 simple-mente transformamos esta sustracción como la suma 5 + (-4), si deseamos encontrar la resta -7 -6 lo escribimos como la suma -7 + (-6), y en cada caso, aplicamos las reglas para la suma de enteros, que ya hemos trabajado antes. En general,
Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces definimos la resta a - b como a + (-b), esto es, a - b = a + (-b)
De esta manera, la sustracción en los núme-ros entenúme-ros no es más que una suma. Por tal motivo, en adelante, nos abstendremos de hablar de sustracción y en su lugar sólo ha-blaremos de suma algebraica, entendiendo ésta como la suma de dos o más números enteros cualesquiera. Por ejemplo, (3 - 2) + 4 es una suma algebraica, a pesar de haber un signo menos en la expresión.
176
Multiplicación
La multiplicación de dos números enteros da como resultado un número entero; esto significa que la multiplicación cumple la propiedad de clausura. La notación que se usa es igual a la usada en los números naturales.
Al igual que en la suma, existen unas reglas que permiten encontrar el producto de dos enteros cualesquiera, teniendo en cuenta su signo.
Si tienes que multiplicar dos enteros cualesquiera, haces lo siguiente:
1. Multiplicas los números como lo hacías con los naturales, sin tomar en cuenta sus signos.
2. Si los signos son iguales, el producto siempre es positivo.
3. Si los signos son diferentes, el producto es negativo. Por ejemplo:
a) (-3) • (-2) = 6. Si multiplicamos el 3 con el 2 resulta 6, y como los signos son iguales, lo colocamos positivo.
b) 8 • 3 = 24. Lo mismo del caso anterior.
c) 4 • (-5) = -20. Al multiplicar el 4 con el 5 resulta 20 y, como los signos son diferentes, entonces el producto lo colocamos negativo.
Propiedades de la multiplicación en Z
Las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros son las mismas que las del conjunto de los números naturales.
Prop. 1. Conmutativa
Si a y b son números enteros, entonces a • b = b • a
Prop. 2. Asociativa
Si a, b y c son números enteros, entonces (a • b) • c = a • (b • c)
Prop. 3. Existencia de un elemento neutro
Semana 5
Conjuntos numéricos: naturales y enteros
177
Operaciones combinadas
Si en el mismo problema se te presentan varias operaciones combinadas, debes te-ner en cuenta el orden de prioridad para resolverla. Siempre que vayas a resolver un problema de este estilo, debes efectuar primero el producto y luego la suma o resta, a menos que los paréntesis te indiquen lo contrario. Por ejemplo:
1. 3 • (-5) + 2 = -15 + 2 = -13
No puedes cometer el error de sumar algebraicamente el -5 con el 2 y luego multi-plicarlo por 3, porque la prioridad siempre será el producto.
2. 3 • (-5) + 2) = 3. (-3) = -9
En este caso, hemos sumado primero el -5 con el 2 y luego multiplicamos por 3 el resultado, sólo porque los paréntesis indican que lo hagamos primero.
Actividad 1
1. Realiza las lecturas que encontrarás en la siguiente dirección web: http:// personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf
2. ¿Quiénes son los primeros en diferenciar entre los números positivos y los negativos? Explica cómo lo hacían.
3. ¿Cómo surgen los símbolos que usamos actualmente para representar la suma (+) y la resta (-)?
4. ¿Quién fue el primero en dar un estatuto legal a los números negativos?
5. Explica cómo surge el conjunto de los números enteros, a partir de los negativos y los naturales.
Actividad 2
Completa el siguiente cuadro comparativo entre el conjunto de los números natu-rales y enteros, señalando con un ejemplo las propiedades que se cumplen en cada conjunto, y con una x las propiedades que no se cumplen.
Operaciones y Propiedades Adición
Conmutativa Asociativa Elemento NeutroExistencia Existencia del Opuesto Números Enteros
Números Naturales 3 + 4 = 4 + 3 = 7
Multiplicación
Conmutativa Asociativa Elemento NeutroExistencia Existencia del Inverso
1. ¿Un número puede ser entero y natural a la vez? Justifica tu respuesta.
2. Menciona 3 situaciones de la vida cotidiana donde uses los números naturales y 3 donde uses los números enteros.
3. Observa la resolución de los siguientes problemas, e indica en el espacio libre la operación o propiedad que se ha usado.
a) 4.(-3 + 2) + (6 – 3) b) 5. (3 + 0) – 2. (4 – 2) 4.(-1) + (6 – 3) 5. 3 - 2. (4 - 2) -4 + (6 – 3) 5. 3 - 2. 2 -4 + (6 + (-3)) 15 – 4 -4 + 3 11 - 1
4. Completa el espacio en blanco en cada caso:
a) 145 + ______ = 131 b) ______ + 147 = -24 c) 134 - 87 = _______
5. Resuelve aplicando propiedades y menciona cada propiedad al momento de usarla.
a) (12 - 3) + 3. (4 +3) b) (-1 + 4). 5 + 4 c) 5. (7 - 12) + 3. (-4)
En esta sesión hemos hecho un estudio de dos conjuntos numéricos muy importantes, los números naturales y los números ente-ros. Hemos visto que éstos surgen a través de la historia, a partir de las necesidades co-tidianas del ser humano y, de allí, se han ido estudiando y expandiendo, definiéndose al-gunas operaciones y propiedades en cada conjunto. Hemos visto las operaciones que se definen en los naturales y enteros, así como sus propiedades. Esto último lo has resumi-do en el cuadro comparativo propuesto en la Actividad 2.
