DOCUMENTO DE TRABAJO 2009 TRIGONOMETRÍA

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

*

ANGULO TRIGONOMETRICO

Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición

inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo

llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación:

:

Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede

ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en

cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos

trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello

las siguientes consideraciones:

*

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos;

destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:

Sistema Sexagesimal Centesimal Radial Sexagesimal 1° = 60' 1' = 60'' 1° = 3600'' Centesimal 1 = 100 1 = 100 1 = 10000 g m m s g s Unidad 1° 1 1rad g ∠ π 1 vuelta 360° 400 2 rad g

A partir de estas definiciones, se pueden establecer :

1.

1 rad. > 1º > 1

2.

180º < > 200

< >

π

rad

3.

9º < > 10

4.

aºb'c'' = aº+b'+c''

27' < > 50

x

y

z

s

= x

+ y

+ z

81"< > 250

s

*

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un

sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de

conversión que consiste en lo siguiente:

•

Convertir 40

→

radianes

Convertir

π

/3 rad

→

sexagesimal

*

FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general

de conversión es la relación entre los números que representan la

medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo

"

α

", se cumple:

•

Por ejemplo, si queremos convertir 30°

→

radianes:

tenemos: S = 30 y R = ??

Luego:

∴

Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los

cuales se requiere tener además, lo siguiente :

1.

S

C

S

C

ó

S

C

180

200

9

10

9

10

=

⇒ =

=

2.

3.

*

Una aplicación sería:

"Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números

de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo,

planteamos el problema así:

Si:

_⇒

sexag. + # gradoscentes. = 19 S + C = 19

como piden "R", entonces:

180 200 19 380 19 20 R R R R π π π π + = ⇒ = ⇒ = rad 20 mide ngulo á el π

∴

PROBLEMAS

NIVEL 1

1. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a "α" y "β":

a) α+β=90º b) α-β= 90º c) β-α= 90º d) α+β= 0º e) α+β= -90º

2. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados:

a) α+β= 90º b) α-β= 90º

c) β-α=90º d) α+β= 0º

e) α+β= -90º

3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a partir del gráfico mostrado:

a) 2π α β− − b) 2π α β− + c) 2π α β+ − d) β α− −2π e) β α+ −2π 4. A qué es igual 320'' a) 3º40' b) 3'40'' c) 3º20'' d) 5º 40' e) 5'20'' 5. A qué es igual: 1º 20' a) 1500'' b) 3620'' c) 4000'' d) 4800'' e) 6000'' 6. A qué es igual: E=2 3° 3 ' ' a) 2 b) 12 c) 40 d) 41 e) 52 7. Convierta a radianes: 45º a) π 3rad b) π 4rad c) 8rad π d) π 2rad e) π 9rad 8. Convierta a radianes: 36º a) π 2rad b) π 3rad c) π 4rad d) π 5rad e) π 6rad 9. Convierta a radianes: 60g a) π 20rad b) 3 10 π_rad c) 3 20 π_rad d) π 5rad e) π 4rad

a) 70g _{b) 80}g _{c) 90}g

d) 60g _{e) 72}g

NIVEL II

1. Convierta al sistema sexagesimal : "π

7rad "

a) 25º 42' 51'' b) 6º 37' 30'' c) 5º 37' 20'' d) 5º 32' 30'' e) N.A

2. Convierta al sistema centesimal: " π

125rad "

a) 1g30m b) 1g50m

c) 1g60m d) 1g40m

e) 1g70m

3. Convierta al sistema centesimal: " π 125 rad" a) 1g30m b) 1g50m c) 1g60m d) 1g40m e) 1g70m 4. Si: π 48rad<> °a bc' Calcular: E = (b + c)a-1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 1 e) 2 1

5. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30g. ¿Cuánto mide el mayor?

a) 27° b) 28°

c) 27°50' d) 28°30'

e) 18°30'

6. La suma y diferencia de dos ángulos son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?

a) 1' b) 2' c) 3'

d) 4' e) 5'

7. En un triángulo sus ángulos miden: 14x°; 160 9 xg y πxrad 3 . ¿Cuál es el valor de "x"? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia

de sus números de grados

centesimales y sexagesimales es 5. a) rad 2 π b) 3 π c) 4 π d) 5 π e) 6 π

9. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

a) 4 π rad b) 5 π c) 10 π d) 20 π e) 40 π

10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde "S", "C" y "R" son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?

a) 85 b) 78 c) 95

d) 98 e) 100

NIVEL III

1. Halle la medida circular de un ángulo que cumple:

180 200+ + =π 6

siendo: "S", "C" y "R" lo conocido

a) πrad b) 2π c) 3π

d) 4π e) 5π

2. La diferencia de las recíprocas que representan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a su número de radianes entre 2π. ¿Cuánto mide el ángulo en el sistema sexagesimal?

a) 6° b) 8° c) 10°

d) 12° e) 15°

3. Se tiene un ángulo que al medirlo en grados sexagesimales dicho número excede a 7 veces su número de radianes en 79. Si: π=

7 22

, halle la medida sexagesimal del ángulo.

a) 75° b) 90° c) 60°

d) 120° e) 45°

4. La diferencia de medidas de dos

ángulos consecutivos de un

paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide el ángulo mayor en radianes?

a) 5 12 π_rad b) 7 12 π c) 2 3 π d) 4 3 π e) 5 6 π

5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que:

x 1 x 2 10 C ; x 1 x 9 S − = + =

calcular la medida radial del ángulo.

a) π 2 40 rad b) π 2 15 c) π 2 5 d) π 2 20 e) N.A.