Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Propiedades b´
asicas de la integral de Riemann
Departamento de An´alise Matem´atica Facultade de Matem´aticas Universidade de Santiago de Compostela
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Esquema
Objetivos del tema:
1) Profundizar en la relaci´on integrabilidad/continuidad. 2) Teoremas del valor medio del c´alculo integral.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Esquema
Objetivos del tema:
1) Profundizar en la relaci´on integrabilidad/continuidad.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Esquema
Objetivos del tema:
1) Profundizar en la relaci´on integrabilidad/continuidad. 2) Teoremas del valor medio del c´alculo integral.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Integrabilidad y continuidad
Seaf :I = [a,b]−→Rintegrable en I.Problema. Si cambiamos los valores def en un conjunto finito
de puntos deI ¿la nueva funci´on es integrable en I? Si lo es ¿qu´e relaci´on hay entre las integrales de ambas funciones?
Para responder con claridad llamemosg a la funci´on
modificada y notemos que
g −f es una funci´on enjambre.
Por lo tanto,g =f + (g−f) es integrable en I, por ser suma de integrables, y Z b a g(x)dx = Z b a f(x)dx+ Z b a (g(x)−f(x))dx | {z } =0 = Z b a f(x)dx.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Integrabilidad y continuidad
Seaf :I = [a,b]−→Rintegrable en I.Problema. Si cambiamos los valores def en un conjunto finito
de puntos deI ¿la nueva funci´on es integrable en I? Si lo es ¿qu´e relaci´on hay entre las integrales de ambas funciones?
Para responder con claridad llamemosg a la funci´on
modificada y notemos que
g −f es una funci´on enjambre.
Por lo tanto,g =f + (g−f) es integrable en I, por ser suma de integrables, y Z b a g(x)dx = Z b a f(x)dx+ Z b a (g(x)−f(x))dx | {z } =0 = Z b a f(x)dx.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Integrabilidad y continuidad
Seaf :I = [a,b]−→Rintegrable en I.Problema. Si cambiamos los valores def en un conjunto finito
de puntos deI ¿la nueva funci´on es integrable en I? Si lo es ¿qu´e relaci´on hay entre las integrales de ambas funciones?
Para responder con claridad llamemosg a la funci´on
modificada y notemos que
g −f es una funci´on enjambre.
Por lo tanto,g =f + (g−f) es integrable en I, por ser suma de integrables, y Z b a g(x)dx = Z b a f(x)dx+ Z b a (g(x)−f(x))dx | {z } =0 = Z b a f(x)dx.
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Integrabilidad y continuidad
Seaf :I = [a,b]−→Rintegrable en I.Problema. Si cambiamos los valores def en un conjunto finito
de puntos deI ¿la nueva funci´on es integrable en I? Si lo es ¿qu´e relaci´on hay entre las integrales de ambas funciones?
Para responder con claridad llamemosg a la funci´on
modificada y notemos que
g −f es una funci´on enjambre.
Por lo tanto,g =f + (g−f) es integrable en I, por ser suma de integrables, y Z b a g(x)dx = Z b a f(x)dx+ Z b a (g(x)−f(x))dx | {z } =0 = Z b a f(x)dx.
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Integrabilidad y continuidad
Conclusi´on. Si una funci´on integrable se modifica en un conjunto finito de puntos entonces la nueva funci´on es
integrable y su integral coincide con la de la funci´on de partida.
Aplicaci´on. Las funciones continuas a trozos con
discontinuidades de salto finito o evitables son integrables en intervalos compactos.
¿Qu´e sucede si las discontinuidades no son del tipo anterior? ¿Qu´e sucede si tenemos infinitos puntos de discontinuidad?
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Integrabilidad y continuidad
Conclusi´on. Si una funci´on integrable se modifica en un conjunto finito de puntos entonces la nueva funci´on es
integrable y su integral coincide con la de la funci´on de partida.
Aplicaci´on. Las funciones continuas a trozos con
discontinuidades de salto finito o evitables son integrables en intervalos compactos.
¿Qu´e sucede si las discontinuidades no son del tipo anterior? ¿Qu´e sucede si tenemos infinitos puntos de discontinuidad?
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Integrabilidad y continuidad
Conclusi´on. Si una funci´on integrable se modifica en un conjunto finito de puntos entonces la nueva funci´on es
integrable y su integral coincide con la de la funci´on de partida.
Aplicaci´on. Las funciones continuas a trozos con
discontinuidades de salto finito o evitables son integrables en intervalos compactos.
¿Qu´e sucede si las discontinuidades no son del tipo anterior? ¿Qu´e sucede si tenemos infinitos puntos de discontinuidad?
Propiedades de la integral Introducci´on Integrabilidad y continuidad Teoremas del valor medio
Integrabilidad y continuidad
Conjuntos de medida cero y el Teorema de Lebesgue
Definici´on. Un conjunto N ⊂Res de medida cerocuando
para cadaε >0existe una familia de intervalos {(an,bn)}n∈N
tal que N ⊂ [ n∈N (an,bn) y ∞ X n=1 (bn−an)< ε.
Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero (aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).
Teorema de Lebesgue. Para que una funci´on acotada
f :I = [a,b]−→R sea integrable en I es necesario y suficiente que el conjunto de puntos de discontinuidad de f sea de medida cero.
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Integrabilidad y continuidad
Conjuntos de medida cero y el Teorema de Lebesgue
Definici´on. Un conjunto N ⊂Res de medida cerocuando
para cadaε >0existe una familia de intervalos {(an,bn)}n∈N
tal que N ⊂ [ n∈N (an,bn) y ∞ X n=1 (bn−an)< ε.
Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero
(aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).
Teorema de Lebesgue. Para que una funci´on acotada
f :I = [a,b]−→R sea integrable en I es necesario y suficiente que el conjunto de puntos de discontinuidad de f sea de medida cero.
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Integrabilidad y continuidad
Conjuntos de medida cero y el Teorema de Lebesgue
Definici´on. Un conjunto N ⊂Res de medida cerocuando
para cadaε >0existe una familia de intervalos {(an,bn)}n∈N
tal que N ⊂ [ n∈N (an,bn) y ∞ X n=1 (bn−an)< ε.
Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero (aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).
Teorema de Lebesgue. Para que una funci´on acotada
f :I = [a,b]−→R sea integrable en I es necesario y suficiente que el conjunto de puntos de discontinuidad de f sea de medida cero.
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Integrabilidad y continuidad
Conjuntos de medida cero y el Teorema de Lebesgue
Definici´on. Un conjunto N ⊂Res de medida cerocuando
para cadaε >0existe una familia de intervalos {(an,bn)}n∈N
tal que N ⊂ [ n∈N (an,bn) y ∞ X n=1 (bn−an)< ε.
Por ejemplo, todo conjunto numerable es de medida cero (aunque no todo conjunto de medida cero es numerable).
Teorema de Lebesgue. Para que una funci´on acotada
f :I = [a,b]−→R sea integrable en I es necesario y suficiente que el conjunto de puntos de discontinuidad de f sea de medida cero.
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Teoremas del valor medio del c´
alculo integral
Teorema del valor medio para funciones integrables.
Si f :I = [a,b]−→Res integrable en I entonces
Z b
a
f(x)dx =y(b−a)
para un ´unico y ∈[inf{f(x) : x∈I},sup{f(x) : x∈I}].
Teorema del valor medio para funciones continuas.
Si f :I = [a,b]−→Res continua en I entonces
Z b
a
f(x)dx =f(c) (b−a)
