Proyectos de trabajos
para “Matem´
aticas”
14 de julio de 2011
Resumen
En cada uno de los Proyectos elegidos, los estudiantes deber´an com-pletar las etapas siguientes:
Comprender el problema. Tomarse el tiempo necesario. Ponerse ejem-plos concretos para experimentar.
Resolver el problema.
Analizar la soluci´on y los resultados obtenidos.
Estudiar los conceptos matem´aticos que se han empleado: definicio-nes; teoremas; m´etodos; etc.
Redactar la soluci´on. A˜nadir gr´aficas siempre que sea posible. Re-dactar tambi´en la teor´ıa de las matem´aticas empleadas.
Preparar una presentaci´on: puede hacerse a mano con transparencias o con ordenador. Regla de oro para cada p´agina: (1) M´aximo 8 l´ıneas; (2) M´aximo 16 caracteres por l´ınea.
Periodo de una trayectoria de un sistema de Volterra-Lotka. Sea
(
x0(t) = 2x(t)−3x(t)y(t), y0(t) =−6x(t) + 5x(t)y(t)
un sistema de ecuaciones diferenciales de Volterra-Lotka. Se sabe que sus so-luciones son funciones peri´odicas. Esto implica que las trayectorias del sistema son curvas cerradas. Sea (x(t), y(t)) la soluci´on que satisface la condici´on inicial (x(0), y(0)) = (1,2). Determinar de forma aproximada el periodo positivo m´ıni-mo p de esta funci´on. Es decir, hallar aproximadamente p sabiendo que para todo treal, (x(t+p), y(t+p)) = (x(t), y(t)).
Matem´aticas relacionadas: Teorema de existencia y unicidad. Funciones
peri´odicas. M´etodos num´ericos de resoluci´on de ecuaciones diferenciales (Euler, Runge-Kutta).
Puntos de ensilladura. Sea a ∈ Rn un punto cr´ıtico de una funci´on real f(x1, . . . , xn) con derivadas parciales segundas en una bolaB(a, r) de centroa
y radior >0. Demostrar que si hay dos elementos de la diagonal principal de la matriz hessiana H(a) con signos opuestos, entonces f(x1, . . . , xn) tiene un
punto de ensilladura ena.
Matem´aticas relacionadas: F´ormula de Taylor para funciones de varias
variables. Formas cuadr´aticas. Matrices reales sim´etricas. Valores y vectores propios.
Referencias
[1] T.M. Apostol.Calculus. Vol. 2. Revert´e. Barcelona.
Demostraci´on del teorema fundamental del c´alculo.
Matem´aticas relacionadas: Definici´on de integral definida. Regla de Ba-rrow. Teorema del valor medio.
M´etodo de minimizaci´on del gradiente, o del descenso por la m´axima pendiente.
Aplicando el m´etodo de minimizaci´on del gradiente resolver aproximada-mente el sistema de ecuaciones
(
x= sen(x+y), y= cos(x−y).
Para ello debemos buscar el punto (x, y) que hace m´ınimo el valor de la funci´on f(x, y) := [x−sen(x+y)]2+ [y−cos(x−y)]2.
Matem´aticas relacionadas:diferencial, derivadas direccionales, gradien-te.
Referencias
[1] T.M. Apostol.Calculus. Vol. 2. Revert´e. Barcelona.
[2] F. Scheid.Theory and problems of Numerical Analysis. Col. Schaum. McGrawHill. 1968. P´ags. 329–330.
Interpolaci´on de Cressman
Se consideran dados tres puntos distintosP1 = (x1, y1), P2= (x2, y2), P3=
(x3, y3) del plano x, y. Sean z1, z2, z3 n´umeros reales dados. Se considera la
funci´ong(x, y) definida en todo puntoP = (x, y) del plano, salvo en estos tres puntos, de la manera siguiente:
g(P) := w1z1+w2z2+w3z3 w1+w2+w3
,
siendowi igual al inverso del cuadrado de la distancia del puntoP al puntoPi, para cadai= 1,2,3.
Se pide
i. Hallar una f´ormula expl´ıcita que nos d´eg(x, y) en funci´on dex, y. ii. Probar que
l´ım
(x,y)→(x1,y1)
g(x, y) =z1.
iii. ¿Se puede definir el valorg(x1, y1) para queg(x, y) sea continua en (x1, y1)?
iv. Probar que g0x(x1, y1) = 0, g0y(x1, y1) = 0. ¿Es diferenciable g(x, y) en el
punto (x1, y1)?
Matem´aticas relacionadas:diferencial, continuidad, interpolaci´on.
Leyes de Kepler sobre los planetas.
Estas leyes, que rigen el movimiento de los planetas en torno al Sol, son las siguientes:
Primera ley de Kepler.Los planetas describen ´orbitas planas que son elip-ses en uno de cuyos focos est´a el Sol.
Segunda ley de Kepler.Las ´areas barridas por el radio vector desde el Sol a un planeta en tiempos iguales son iguales.
Tercera ley de Kepler.El cuadrado del periodo de un planeta es propor-cional al cubo de su distancia media al Sol.
Observaci´on:Ladistancia media al Sol es la mitad de la longitud del eje mayor de la elipse.
Se pide demostrar estas leyes a partir de la segunda ley del movimiento de Newton y de su ley de la gravitaci´on universal.
Matem´aticas relacionadas:Elipses, vectores, producto vectorial, coorde-nadas polares, derivadas, integrales.
Referencias
[1] T.M. Apostol.Calculus. Vol. 1. Revert´e. Barcelona. P´aginas 667–671.
[2] Larson, Hostetler, Edwards. Calculus II. Octava edici´on. McGrawHill, M´exico, 2006. P´aginas 751–755.
Problema sobre m´aximos condicionados del libro de Lipman Bers, Calculus.
Se tiene un alambre de 100 cm de longitud. Se parte en dos trozos. Con un de los trozos se forma un c´ırculo y con el otro un cuadrado. Hallar la longitud de los trozos para que la suma de las ´areas del c´ırculo y del cuadrado sea m´axima.
Desintegraci´on radiactiva
Matem´aticas relacionadas:ecuaciones diferenciales lineales.
Bifurcaci´on y caos: ecuaci´on log´ıstica.
Matem´aticas relacionadas:Sucesiones oscilantes.
Trayectorias en un billar
Aguja de Buffon
Matem´aticas relacionadas:Probabilidades geom´etricas, integrales.
Movimiento browniano
Matem´aticas relacionadas:Probabilidades, ecuaci´on de Laplace.
Ajuste de una elipse a unos puntos por el m´etodo de los m´ınimos cuadrados
Matem´aticas relacionadas: m´aximos y m´ınimos de funciones de dos
variables reales.
Longitud de una cinta magnetof´onica.
Una cinta magnetof´onica de 0,0254 mm de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior mide 12,7 mm y cuyo radio exterior mide 50,8 mm. ¿Cu´anta cinta se necesita para llenar la bobina?
Matem´aticas relacionadas:Integrales. Longitud de una curva plana.
Coor-denadas polares. Referencias
[1] Larson, Hostetler, Edwards. Calculus II. Octava edici´on. McGrawHill, M´exico, 2006. P´agina 723.
[1] P. Puig Adam.C´alculo integral.
