Introducción
1.1.
Algebra tensorial y análisis
1.1.1.
Definiciones y terminología
El uso de notación indicial es ventajosa porque generalmente hace posible escribir en forma compacta formulas matemáticas o sistemas de ecuaciones de cantidades físicas o geométricas, que de otra manera contendría un número grande de términos.
La transformación de coordenadas constituye la base de conceptos generales de tensores que aplica a sistemas coordenados arbitrarios. La razón del uso de tensores se debe al hecho de que una ecuación tensorial es independiente de cualquier sistema coordenado particular.
Un escalar, caracterizado por un componente como la temperatura, el área, etc., se le denomina tensor de orden cero.
Un vector, caracterizado por tres componentes como la velocidad, la fuerza, etc., se le denomina tensor de primer orden.
El producto diádico de dos vectores, llamado diada como los esfuerzos, deformaciones etc., se le denominatensor de segundo orden, el cual contiene nueve componentes.
Notación de tensores
Tensores de primer orden a) Simbólica en notación matricial:
a= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ a1 a2 a3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ b) Analítica: a=a+a+a
o a=a+a+a = 3 X =1 a
con, y como vectores base en un sistema coordenado Cartesiano. En notación indicial,
la expresión a o (= 123) representa el vector total, Fig.1.1
Figura 1.1: Definición de los vectores base.
Tensores de segundo orden a) Simbólica en notación matricial:
T= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 33 32 33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ b) Analítica: T = 1111+1212+1313 +t2121+t2222+t2323 +t3131+t3232+t3333 o T= 3 X =1 3 X =1 t
1.1.2.
Reglas indíciales y convención de sumas
1. Regla indicial ()Si una letra indicial aparece una y solamente una vez en cada término de una expresión, la expresión es válida para cada uno de los valores reales que la letra indicial puede tomar. Este índice se le llama índice libre.
−3= 0 ⇔ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1−31 = 0 2−32 = 0 3−33 = 0 =T ⇔ ( 1=T1 = T 1 2=T2 = T2
Nota. La coma indica derivada parcial respecto a la coordenada de los índices sucesivos. Las siguientes reglas también son aplicables a este tipo de índices.
2. Convención de suma de Einstein
Donde sea que aparezca una letra indicial dos veces dentro del mismo término, como un sub o superíndice, una sumatoria es implícita sobre el rango de este índice, i.e., de 1 a 3 en un espacio 3D (uso de índices del Latín), y de 1 a 2 en un espacio 2D (uso de índices del Griego). Estos índices se denominan mudos.
Ejemplos: a = a =a11+a22+a33espacio 3D a = a =a11+a22espacio 2D (superficie) T = t =t1111+t1212+t1313 +t2121+t2222+t2323 +t3131+t3232+t3333 = =11+22+33 = = 1 1+ 2 2+ 3 3
Atención. Como no es de importancia la notación que un índice doble posee, llamado índice mudo, puede renombrarse arbitrariamente:
a=a =a =a
Excepción. No existe suma en índices dentro de paréntesis:
a∗ =a q ()→a∗ 1 =a1 q (11)
3. Regla máxima
Cualquier letra indicial nunca se aplicará más de dos veces en cada término. Ejemplos:
Los siguientes ejemplos no tienen sentido:
= 0,cos = 1
Las siguientes expresiones tampoco tienen sentido, pues los índices libres tienen que ser los mismos en cada término:
+= 0, =
1.1.3.
Notación de tensores en mecánica
Las variables utilizadas en ingeniería mecánica usualmente tienen un carácter tensorial. General-mente, los tensores de primer orden (vectores) se representan con letras minúsculas del Latín, los tensores de segundo orden por letras minúsculas del Griego y del Latín, y los tensores de cuarto grado por letras mayúsculas del Latín. Letras negritas representan un tensor completo en su notación compacta. Cuando se refiere a componentes cartesianos de tensores (notación indi-cial) se utilizaran subíndices representados con letras minúsculas del Latín,,,,..., las cuales pueden tomar valores del 1, 2 y 3, correspondientes a la los ejes coordenados Cartesianos1,2 y3. Por ejemplo, el tensor de primer ordenues el vector de desplazamientos con componentes , = 123; el tensor segundo orden ε, de deformaciones, con componentes , = 123 y
= 123; el tensor segundo orden σ, de esfuerzos, con componentes ,= 123 y= 123;
y el tensor de cuarto gradoC, constitutivo, con componentes , todos los subíndices toman
valores del 1 al 3. Cuando un tensor tiene un subíndice, éste se sube como un superíndice al escribirlo en notación indicial para evitar confusión referente a los subíndices de los componentes individuales. Por ejemplo, cuando los componentes del tensor constitutivo elásticoCse denotan
como .
Considere los siguientes tensores de primer orden:
u= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ v= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ n= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 2 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ los de segundo orden:
σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ε= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.1)
c=⎢⎢⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎥ ⎥ ⎦ d= ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎥ ⎥ ⎦ Las operaciones básicas que se necesitan en la mecánica de sólidos son:
1. el producto punto de dos tensores de primer orden,u·v= , que produce un escalar,
por lo que también se le llama producto escalar;
u·v=11+22+33
2. el producto punto doble de dos tensores de segundo orden, σ:ε=, que también
produce un escalar, por consiguiente se le llama producto escalar;
σ :ε= 1111+1212+1313 +2121+2222+2323 +3131+3232+3333 o
σ:ε=1111+2222+2333+2323+3232+1313+3131+1212+2121 3. el producto punto de dos tensores de segundo orden,c·d=, que produce un tensor
de segundo orden con componentes (c·d) =;
c·d= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1111+1221+1331 1112+1222+1332 1113+1223+1333 2111+2221+2331 2112+2222+2332 2113+2223+2333 3111+3221+3331 3112+3222+3332 3113+3223+3333 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
4. el producto punto de un tensor de segundo orden con uno de primero, σ·no n·σ, que produce un tensor de primer orden con componentes (σ·n) = o (n·σ) =;
σ·n= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 111+122+133 211+222+233 311+322+333 ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
5. el producto punto doble un tensor de cuarto orden con un tensor de segundo orden,C:ε o ε:C, que produce un tensor de segundo orden con componentes (C:ε) = o
(ε:C) =;y == ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 11 = 111111+111212+111313+112121+112222 +112323+113131+113232+113333 12 = 121111+121212+121313+122121+122222 +122323+123131+123232+123333 13 = 131111+131212+131313+132121+132222 +132323+133131+133232+133333 21 = 211111+211212+211313+212121+112222 +212323+213131+213232+213333 22 = 221111+221212+121313+222121+222222 +222323+223131+223232+223333 23 = 231111+231212+231313+232121+232222 +322323+233131+233232+233333 31 = 311111+311212+311313+312121+312222 +312323+313131+313232+313333 32 = 321111+321212+321313+322121+322222 +332323+323131+323232+323333 33 = 331111+331212+331313+332121+332222 +332323+333131+333232+333333
El producto directo de dos tensores de primer orden,u⊗v, que produce un tensor de segundo orden con componentes(u⊗v)=.
u⊗v= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Los productos escalaresu·v=v·uyσ :ε=ε:σ son conmutativos; sin embargo, el producto punto de un tensor de segundo orden con uno de primero es conmutativa si el tensor de segundo orden es simétrico (σ·n=n·σ si = para cualquier ,) y el producto punto doble un
simetría mayor (C:ε=ε:Csi= para cualquier ,,,), y el producto directo es
generalmente no conmutativo.
Un ejemplo importante de un tensor de segundo orden es ladelta de Kronecker, δ, con compo-nentes = 1 si = y = 0 si 6=. La propiedad más importante de la delta de delta de
Kronecker es que todos sus valores principales son igual a 1.
11= 1 12= 0 13= 0 21= 0 22= 1 23= 0 31= 0 32= 0 33= 1
1.1.4.
Notación Ingenieril
La notación tensorial es ciertamente muy elegante y útil para derivaciones teoréticas. Sin embar-go, para desarrollar algoritmos numéricos que deben implementarse en un código es más práctico trabajar con una notación diferente. Aunque actualmente existen librerías de cómputo que pro-porcionan acceso directo a operaciones tensoriales eficientemente, la aproximación convencional es guardar los componentes de esfuerzo y deformación en arreglos unidimensionales, y las ma-trices constitutivas en arreglos bidimensionales. El desarrollo de código se facilita si las fórmulas básicas se escriben con los esfuerzos y deformaciones representados por matrices columnas, y los coeficientes del tensor constitutivo en matrices cuadradas. Esta notación se utiliza comúnmente en textos de ingeniería, por lo que se le llama notación ingenieril. La representación de del tensor constitutivo en matrices cuadradas también se llama notación Voigt.
Cuando se emplea la notación ingenieril se debe tener cuidado en el orden de los componentes. Los componentes normales usualmente se arreglan en el orden natural,i.e.,seguido dey,
pero para el orden de los componentes de esfuerzo cortante existen diferentes convenciones. En principio, es posible utilizar cualquiera de ellos, pero es extremadamente importante el seleccionar una convención y mantenerla. Una posibilidad es escribir:
σ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 11 22 33 23 31 12 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ε= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 11 22 33 223 231 212 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
1.1.5.
Operadores
∇= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Los operadores que mapean vectores a vectores generalmente se representan por símbolos mayús-culos negritos. El operador nabla aplicado a una función escalar, (1 2 3), proporciona el gradiente de dicha función.
∇= grad= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
El divergente de un tensor de primer orden se obtiene mediante el producto punto con el operador nabla: ∇·u= divu= = 1 1 + 2 2 + 3 3
El divergente de un tensor de primer segundo orden proporciona un vector:
∇·σ= divσ =σ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 11 1 + 12 2 + 13 3 21 1 + 22 2 + 23 3 31 1 + 32 2 + 33 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.2)
1.1.6.
Teorema de divergencia
Este teorema permite expresar la una integral en un espacio 3D como una integral de superficie: Z Ω ∇·σΩ= Z Γ σ·nΓ (1.3)
o una combinación de integrales de volumen y de superficie: Z Ω ∇·σ·uΩ=− Z Ω σ :εuΩ+ Z Γ σ·n·uΓ (1.4)
1.1.7.
Tarea
Con los siguientes elementos:
n= ( 1 2 ) σ= " 11 12 21 22 # ε= " 11 12 21 22 #
Desarrolle las siguientes operaciones:
3. Producto puntoσ·n
4. Repita los incisos 1 a 3 con los siguientes valores:
n= ( cos 30◦ cos 60◦ ) σ= " 20 −5 −5 10 # ε= " 001 −00025 −00025 005 #
5. Desarrolle el producto diádico siguiente:
1 2(∇ ⊗u+u⊗ ∇) para ∇= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦; u= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ y∇= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦; u= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
