Fundamentos de las operaciones financieras

Fundamentos de las operaciones

financieras

Autor:

Fuentes: UNED, U. Sevilla, U. Granada, U. León, U. Albacete, González Catalá. MFBT3 (Universidad Sevilla)

Indice

1

PROBLEMAS PRÉSTAMOS

¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.

1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) ¡Error! Marcador no definido.

1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) ¡Error! Marcador no definido.

4.1

Problemas préstamos (Universidad de Sevilla-MFBT3)

Problema 4.1-1

Consideremos un préstamo de cuantía C0, pactado a un tanto anual vencido constante i, a amortizar en n años mediante términos amortizativos anuales variables en progresión aritmética de diferencia p.

Deducir la relación entre dos cuotas de amortización consecutivas cualesquiera.

𝐼[ℎ] = 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ] 𝐼[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖1} → 𝐶𝑝[ℎ − 1] = 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ] 𝑖1 → 𝐶𝑝[ℎ] =𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1] 𝑖1 Pero 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1] − 𝐶𝑝[ℎ] =𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ] 𝑖1 −𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1] 𝑖1

De los términos amortizativos en progresión aritmética se infiere: 𝑎[ℎ] = 𝑎[1] + 𝑑(ℎ − 1) 𝑎[ℎ + 1] = 𝑎[1] + 𝑑 ∗ ℎ Sustituyendo, operando y cancelando, se llega a:

Hace cinco años el Sr. Martín solicitó a una entidad financiera un préstamo de 150:000 € para amortizarlo a un tanto nominal del 4% en diez años con las siguientes condiciones: durante el primer año no se pagaría cantidad alguna, en el segundo año sólo intereses semestrales y en los ocho restantes semestralidades que varían en progresión geométrica de razón 𝑞 = 1′01. Hoy desea cancelar el préstamo, para lo que le piden el saldo pendiente más un 3% de dicho saldo. Obtener:

(a) Cuantía de los intereses semestrales que se pagan en el segundo año. (b) Ultima semestralidad pagada por el Sr. Martín antes de la cancelación. ´ (c) Cantidad solicitada por la entidad financiera para cancelar el préstamo Solución: a) I = 3.121; 20; b) a10 = 11.246; 62; c) X = 109.774; 01

Resulta evidente que la unidad temporal del período es el semestre. Por tanto, se infiere que el tanto nominal es:

𝐽2 = 0′04 → 𝑖2=

𝐽2

2 = 0′04

2 = 0′02 Además, nótese que los cuatro primeros períodos (semestres) son un tanto atípicos.

1 2 4 5 6 19 20

0

i2 =0'02

C0

Términos amortizativos en progresión geométrica a[h]=a[1]*1'01 (n-4)-1

Hoy

Situación financiera de los cuatro primeros períodos

Período a[h] I[h] A[h] Cp[h] M[h]

1 0 0 0 𝐶0(1 + 𝑖2) 0

2 0 0 0 𝐶0(1 + 𝑖2)2 0

3 𝐶0(1 + 𝑖2)2𝑖2 𝐶0(1 + 𝑖2)2𝑖2 0 𝐶0(1 + 𝑖2)2 0

4 𝐶0(1 + 𝑖2)2𝑖2 𝐶0(1 + 𝑖2)2𝑖2 0 𝐶0(1 + 𝑖2)2 0

Nótese que, al ser la amortización nula en estos períodos y no haber satisfecho los dos primeros intereses, el principal se ha incrementado al inicio del período quinto.

Tomando como fecha de referencia la firma del contrato del préstamo, vamos a determinar, en primer lugar, la expresión funcional del término amortizativo, aplicable a la totalidad del préstamo en su duración completa. Para ello, debemos calcular el término amortizativo de la porción correspondiente a la progresión geométrica.

Datos del problema y término genérico de la progresión geométrica.

Para obtener el primer término de dicha progresión, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio del quinto término (no de la operación financiera):

C0 150 000;J2 0.04;i2

J2

2 ; n 10 2; q 1.01; aa h : x qh1;

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros que interesan, para su aplicación a todo el préstamo:

Tabla de amortización

Nótese cómo el capital amortizado totalmente es superior al principal inicial del préstamo. La cuantía a desembolsar, para cancelar el préstamo, hoy es

a1 x . First NSolve C0 1 i2 2 j1 n 4 aa j k1 j 1 i2 1,x 10 700.8 a h : Which 1 h 2, 0, 3 h 4, h , 5 h 20,a1 qh5 ; Cp h : Which 1 h 2, C0 1 i2 h, 3 h 4, C0 1 i2 2, 5 h 20, j h 1 n a j k h 1 j 1 i2 1 ; h : Which 1 h 2, 0, 3 h 2n,Cp h 1 i2 ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20 , TableHeadings None, "Semestre", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Semestre a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 153 000. 0 2 0 0 0 156 060. 0 3 3121.2 3121.2 0. 156 060. 0. 4 3121.2 3121.2 0. 156 060. 0. 5 10 700.8 3121.2 7579.57 148 480. 7579.57 10 11 246.6 2310.26 8936.35 106 577. 49 483.3 20 12 423.3 243.593 12 179.7 0 156 060. z 10; Cp z 1.03 109 774.

Se concede un préstamo de 100.000 € para amortizarlo en doce años en las siguientes condiciones: durante los dos primeros años no se paga nada, y en los diez siguientes se pagan términos amortizativos mensuales constantes, pactando un tanto de interés del 6% nominal. Transcurridos seis años se pacta un tanto de interés trimestral efectivo del 1,5% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectúen pagos trimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento términos amortizativos trimestrales cuyas cuotas de amortización son constantes. Se pide:

(a) Ultima mensualidad del sexto año (del préstamo inicial), así como su descomposición en amortización e intereses.

(b) Capital pendiente al final del sexto año.

(c) Primera trimestralidad del segundo año, una vez cambiadas las condiciones del préstamo, así como su descomposición en amortización e intereses.

(d) Nuda propiedad, Usufructo y Valor financiero del nuevo préstamo, un año después del cambio, si el tanto de interés de mercado es del 4% anual efectivo.

Solución: a) 𝑎72= 1251′38 = 381′89 + 869′49; b) C(6) = 75.507; 56687; c) 𝑎1= 4907′99 = 1132′61 + 3775′38; d) N(7) = 68:229; 45359; U(7) = 11:079; 58946

;

U(7) = 11:079; 58946; V(7) = 79:309; 04336 1 2 24 25 0 71 1 4 5 6 23 24 144 i12 a[h]=Cte A B C0(1+i12) 24 C0 A[h]=Cte Cp[72] Cp[72] meses 12 años 6 años 6 años trimestres i4 Sólo intereses Operación A

𝐷𝑒 1 → 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 no se paga nada. Los intereses se capitalizan.

𝐷𝑒 25 → 144 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 los términos amortizativos son constantes y mensuales.

Para obtener el término amortizativo, resolvemos la ecuación de equivalencia, teniendo en cuenta que, en los 24 primeros meses, no se ha amortizado nada y que, por tanto, al principio del mes 25, el capital pendiente de amortizar será al capital inicial capitalizado 24 meses.

Para hallar las expresiones funcionales del resto de parámetros se ha de tener en cuenta la fecha de referencia porque es la con la que se inicia la numeración de los períodos y, por tanto, de los términos de sumatorios y productorios.

En este caso, se ha tomado como fecha de referencia la fecha de la firma del contrato del préstamo. Por consiguiente, para la determinación de las expresiones funcionales, éstas deben estar referidas a esta fecha.

CA0 100000; nA 12 12; meses ; J12 0.06;i12 J12 12; xx x . First NSolve CA0 j25 nA x k1 j 1 i12 1,x 1251.38

Recuérdese que, para la elección de la fecha de referencia, se deben contemplar la unidad temporal de los períodos y la variación o no de la tasa efectiva de interés.

Capital vivo al final del sexto año (72 meses)

Operación B

Se considera que es una continuación de la operación A, con períodos de distinta duración (trimestre) e idéntica fecha de finalización.

La cuota de amortización es constante.

Tabla de amortización de la operación B

Usufructo, Nuda propiedad y valor de mercado

El valor de estos parámetros al final del año posterior a los cambios (trimestre 4) es igual a la actualización, a tasa de mercado) de las cuotas de interés, de las cuotas de amortización y de los términos amortizativos, respectivamente.

aA h : xx; CpA h : jh 1 nA aA j k h1 j 1 i12 1; CpA 72 75 507.6 CB0 CpA 72 ;i4 0.015; nB nA 72 3 ; trimestres ; AB h : Which 1 h 4, 0, 5 h nB, CB0 nB 4 ; MB h : j1 h AB j ; CpB h : Which 0 h 4, CB0, 5 h nB, CB0 MB h ; IB h : Which 1 h 4, CB0i4, 5 h nB, CpB h 1 i4 ; aB h : IB h AB h ; TableForm Table h, aB h , IB h , AB h , CpB h , MB h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 24 , TableHeadings None, "Trimestre", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trimestre a h I h A h Cp h M h 1 1132.61 1132.61 0 75 507.6 0 2 1132.61 1132.61 0 75 507.6 0 3 1132.61 1132.61 0 75 507.6 0 4 1132.61 1132.61 0 75 507.6 0 5 4907.99 1132.61 3775.38 71 732.2 3775.38 6 4851.36 1075.98 3775.38 67 956.8 7550.76 23 3888.64 113.261 3775.38 3775.38 71 732.2 24 3832.01 56.6307 3775.38 1.45519 10 11 _{75 507.6} im1 0.04;im4 1 im1 1 4 _1; V h : jh1 nB aB j kh1 j 1 im4 1; V 4 79 309. U h : jh1 nB IB j kh 1 j 1 im4 1; U 4 11 079.6 Np h : jh1 nB AB j kh1 j 1 im4 1; Np 4 68 229.5

Se concede un préstamo de 300:000 euros en el cual durante los dos primeros años no se paga nada y en los diez siguientes se pagan mensualidades constantes, pactando un tanto de interés del 1,2% nominal.

Transcurridos siete años se pacta un tanto de interés cuatrimestral efectivo del 0,7% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectuarán pagos cuatrimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento se amortiza cuatrimestralmente con cuotas de amortización constantes. Se pide:

(a) Primera mensualidad resultante de las condiciones pactadas inicialmente, así como su descomposición en amortización e intereses.

(b) Capital pendiente al final del séptimo año.

(c) Ultima cuatrimestralidad una vez cambiadas las condiciones del préstamo, así como su descomposición en amortización e intereses.

(d) Nuda propiedad, usufructo y valor financiero del nuevo préstamo, en el momento del cambio, si el tanto de interés de mercado es del 4% anual efectivo.

Solución: a) 2:718; 687489 = 2:411; 404079+ 307; 2834104; b) C(7) = 158:247; 273; c) a12 = 13:279; 58361; d) N(7) = 139:907; 023

;

U(7) = 9:755; 893971; V(7) = 149:662; 917 𝐴 = { 𝐶0𝐴= 300000 12 𝑎ñ𝑜𝑠 → 144 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠} −→ { 1 − 2 𝑎ñ𝑜𝑠−→ 1 − 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠−→ 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎 3 − 12−→ 𝑎ñ𝑜𝑠−→ 25 − 144 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠−→ 𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒𝑠.} 𝐵 −→ { 𝐶0𝐵 = 𝐶𝑝𝐴[84] 7 𝑎ñ𝑜𝑠−→ 84 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠−→ 144 − 84 4 = 15 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 } −→ {1 − 3 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒−→ 𝑆𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 4 − 15−→ 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒𝑠 } 1 2 24 25 0 83 14 15 144 i12 a[h]=Cte A B C0(1+i12) 24 C0 A[h]=Cte Cp[84] Cp[84] meses 12 años 7 años 5 años cuatrimestres i3 Sólo intereses 1 2 Operación A

Para calcular el término amortizativo constante, debemos tener en cuenta que, al no satisfacer amortización alguna ni intereses durante los dos primeros años, el principal C0 debe capitalizarse al final de los mismos. El principal capitalizado se empleará para resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio del mes 25.

Calculado el término amortizativo constante (nulo para los 24 primeros meses), podemos determinar las expresiones funcionales del resto de parámetros que interesan:

CA0 300 000;JA12 0.012;iA12 JA12 12 ; nA 144; meses xx x . First NSolve CA0 j 25 nA x k 1 j 1 iA12 1,x 2718.69

Tabla de amortización para las fechas que interesan

Operación B

Duración: Del año 8 al 12, que son 5 años = 15 cuatrimestres

Tasa de interés: 0’7% cuatrimestral

Capital inicial = Capital pendiente de la operación A (fin año 7 = mes 84)

Sabiendo que la cuota de amortización es constante, las expresiones funcionales de los parámetros interesantes son inmediatas: aA h : Which 1 h 24, 0, 25 h nA, xx ; CpA h : Which 1 h 24, CA0 1 iA12 h, 25 h nA, jh1 nA aA j kh 1 j 1 iA12 1 ; IA h : Which 1 h 24, 0,

25 h nA, CpA h 1 iA12 ;

AA h : aA h IA h ;

MA h :

j1 h

AA j ;

TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h ,

h, 1, 2, 3, 23, 24, 25, 84, 143, 144 ,

TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 300 300. 0 2 0 0 0 300 600. 0 3 0 0 0 300 901. 0 23 0 0 0 306 976. 0 24 0 0 0 307 283. 0 25 2718.69 307.283 2411.4 304 872. 2411.4 84 2718.69 160.805 2557.88 158 247. 149 036. 143 2718.69 5.42923 2713.26 2715.97 304 567. 144 2718.69 2.71597 2715.97 0 307 283. CB0 CpA 84 ;i3 0.007; nB nA 84 4 ; cuatrimestres AB h : Which 1 h 3, 0, 4 h nB, CB0 nB 3 ; MB h : j1 h AB j ; CpB h : CB0 MB h ; IB h : CpB h 1 i3; aB h : IB h AB h ; TableForm Table h, aB h , IB h , AB h , CpB h , MB h , h, 1, 2, 3, 12, 13, 14, nB , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 1107.73 1107.73 0 158 247. 0 2 1107.73 1107.73 0 158 247. 0 3 1107.73 1107.73 0 158 247. 0 12 13 556.5 369.244 13 187.3 39 561.8 118 685. 13 13 464.2 276.933 13 187.3 26 374.5 131 873. 14 13 371.9 184.622 13 187.3 13 187.3 145 060. 15 13 279.6 92.3109 13 187.3 0. 158 247.

Usufructo, Nuda propiedad y Valor financiero V h : jh1 nB aB j kh1 j 1 im3 1; V 0 149 663. U h : jh1 nB IB j kh 1 j 1 im3 1; U 0 9755.89 Np h : jh1 nB AB j kh1 j 1 im3 1; Np 0 139 907.

Problema 4.1-5

El señor X concierta con una entidad financiera A un préstamo de 180.000 euros para amortizarlo en 10 años mediante mensualidades constantes a un tanto de interés efectivo anual del 5%. Transcurridos 5 años de esta operación, y de común acuerdo, deciden cambiar las condiciones pasando a ser las siguientes: durante el primer año no se abonará cantidad alguna, durante el segundo año se abonarán los intereses trimestrales y a partir de ese momento se amortizará la deuda pendiente mediante trimestralidades que serán cada una un 1% superior a la anterior y tanto de interés a partir del cambio del 4; 5% anual efectivo. Se pide:

(a) Primera y última mensualidad antes del cambio, descomponiéndolas en amortización e intereses. (b) Primera trimestralidad después del cambio, descomponiéndola en amortización e intereses.

(c) Valor, usufructo y nuda propiedad al finalizar octavo año, después del cambio de condiciones, si el tanto de mercado es del 5%.

(d) Al finalizar el octavo año, el señor X, ante la imposibilidad de hacer frente a los pagos, decide cancelar el préstamo con la entidad A, para lo cual debe pagar el saldo pendiente en ese momento más una penalización del 1% sobre dicho saldo. Por esta cantidad, pide un nuevo préstamo a una entidad financiera B que le ofrece un préstamo a 15 años para amortizarlo mediante semestralidades con cuotas de amortización constantes y a un tanto nominal del 5%. Obtener la primera semestralidad que paga en este caso el señor X y descomponerla en amortización e intereses Solución: a) A1 = 1.166; 081328; A60 = 1.482; 209394; b) A1=7760’642; c) V(8) = 72:927; 22543; U(8) = 3:592; 049241; N(8) = 69.335; 17619; d) A=2469’41 1 2 118 119 10 años meses 0 a[h]=Cte 60 1 4 5 8 9 20 A B iA12 iB4 C0

CpA[60] aB[h]=0 aB[h]=IB[h] aB[h]=a[h-8]*1'01 (h-8)-1

5 años 60 meses

5 años 60 meses 20 trimestres

El término amortizativo de la operación A se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la operación:

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros que interesan:

Elaboramos la tabla de amortización de las fechas que interesan:

CA0 180000; nA 120; meses ;iA1 0.05;iA12 1 iA1 1 12 _1; xx x . First NSolve CA0 j1 nA x k1 j 1 iA12 1,x 1899.42 aA h : xx; CpA h : jh 1 nA aA j k h1 j 1 iA12 1; IA h : CpA h 1 iA12; AA h : aA h IA h ; MA h : j 1 h AA j ;

Tabla de amortización según la operación A

Operación B

Comienza al finalizar el quinto año (mes 60). Por tanto, el capital inicial de esta operación es el capital pendiente de amortizar al final del mes 60.

1 4 5 8 9 20

B

iB4

CpA[60] _{60 meses}5 años

20 trimestres

aB[h]=a[1]*1'01 h-1 aB[h]=0 CpA[60](1+iB4) aB[h]=IB[h]

4 _CpA[60](1+i

B4) 4

Durante el primer año (4 trimestres, del 1 al 4), no se paga nada; por lo tanto, al finalizar el año, el capital pendiente será igual al capital inicial capitalizado.

Durante el segundo año (4 trimestres, del 5 al 8), se paga sólo intereses, no se amortiza nada; por lo tanto, al finalizar el año, el capital pendiente será igual al capital pendiente del año anterior.

Durante los tres años siguientes (12 trimestres, del 9 al 20), el término amortizativo sigue una progresión geométrica, cuyo primer término se ha de calcular.

El primer término de la progresión geométrica se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio de los 12 períodos de la progresión:

¡OJO! La unidad temporal de la operación B es el trimestre

Expresiones funcionales del resto de parámetros:

TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, 1, 2, 3, 59, 60 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 1899.42 733.342 1166.08 178 834. 1166.08 2 1899.42 728.592 1170.83 177 663. 2336.91 3 1899.42 723.821 1175.6 176 487. 3512.52 59 1899.42 423.228 1476.2 102 406. 77 594.1 60 1899.42 417.214 1482.21 100 924. 79 076.3 CB0 CpA 60 ;iB1 0.045;iB4 1 iB1 1 4 _1; q 1.01; ab h : y qh1 yy y . First NSolve CB0 1 iB4 4 j1 12 ab j k1 j 1 iB4 1,y 8937.61

Tabla de amortización de la operación B (20 trimestres)

El valor del préstamo en un momento dado es la actualización de los términos amortizativos pendientes de desembolsar, aplicando la tasa de mercado expresada en la unidad temporal del préstamo.

Nótese que el final del año tercero de la operación es el final del decimosegundo trimestre de dicha operación.

aB h : Which 1 h 4, 0, 5 h 8, CB0 1 iB4 4iB4, 9 h 20, yy qh9 ; IB h : Which 1 h 4, 0, 5 h 8, CB0 1 iB4 4iB4, 9 h 20, CpB h 1 iB4 ; CpB h : Which 0 h 4, CB0 1 iB4 h,

5 h 8, CB0, Se pagan los intereses

9 h 20, jh1 20 aB j kh1 j 1 iB4 1 ; AB h : Which 1 h 4, 0, 1 h 8, 0, 9 h 20, aB h IB h ; MB h : j1 h AB j ; TableForm Table h, aB h , IB h , AB h , CpB h , MB h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19, 20 , TableHeadings None, "Trimtre.", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trimtre. a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 102 040. 0 2 0 0 0 103 169. 0 3 0 0 0 104 311. 0 4 0 0 0 105 465. 0 5 1166.97 1166.97 0 100 924. 0 6 1166.97 1166.97 0 100 924. 0 7 1166.97 1166.97 0 100 924. 0 8 1166.97 1166.97 0 100 924. 0 19 9872.69 215.978 9656.71 9862.29 95 653.2 20 9971.41 109.126 9862.29 0 105 515. im1 0.05;im4 1 im1 1 4 _1; V h : jh1 20 aB j kh1 j 1 im4 1; V 12 72 927.2 U h : jh1 20 IB j kh 1 j 1 im4 1; U 12 3592.05 Np h : jh1 20 AB j kh1 j 1 im4 1; Np 12 69 335.2

Una empresa concierta con una entidad financiera un préstamo de 180.000 euros y 15 años de duración mediante mensualidades postpagables cuyas cuotas de amortización son constantes. El tanto nominal mensual pactado fue el 6%. Transcurridos treinta meses y habiendo hecho frente a todos los pagos, se solicita a la entidad financiera no realizar ningún pago durante los próximos seis meses y hacer frente sólo al pago de intereses durante los dos años siguientes. La entidad financiera acepta la solicitud cobrando a partir del cambio de condiciones un tanto de interés efectivo anual del 5;5%, exigiendo que los términos amortizativos sean trimestrales constantes. Se pide:

(a) Calcular el primer y último término amortizativo del préstamo inicial antes del cambio de condiciones, así como su descomposición en amortización e intereses.

(b) Calcular el capital pendiente al final de los treinta meses.

(c) Calcular, después del cambio de condiciones, los intereses trimestrales pagados durante los años cuarto y quinto y la primera trimestralidad del sexto año, así como su descomposición en amortización e intereses. (d) Calcular valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del décimo año una vez pagada la trimestralidad correspondiente, suponiendo un tanto de mercado del 6% anual efectivo.

Solución: a) a1=900+1000=1900; a30=1755; b) C30=150000; c) a=2076’11+2931’77; d) V10=11571’43+74684’26 30 1 31 36 37 48 49 180 180 A B C D 15 años 180 meses iA12 iB12 iC12 iD12 Mensualidades ctes. aA[h]=Cte. C0

CpA[30] No se paga nada aB[h]=0

CpA[30](1+iB12)6

Se paga sólo intereses aC[h]=IC[h]

CpA[30](1+iB12)6

Trimestralidades constantes Mensualidades constantes equivalentes

aD[h]=Cte

Fase A: 1<=h<=30 (meses)

CA0 180 000;nA 180;JA12 0.06;iA12 JA12 12 ; AA h : CA0 nA; MA h : j1 h AA j ; CpA h : CA0 MA h ; IA h : CpA h 1 iA12; aA h : IA h AA h ;

TableForm Table h,aA h ,IA h ,AA h ,CpA h ,MA h , h, 1, 2, 29, 30, 180 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Tabla resumida de amortización en la zona A

El capital pendiente a lo largo de la zona B es igual a CpA[30] proveniente de la zona A, capitalizado mensualmente. Tabla de amortización de la zona B

Mes a h I h A h Cp h M h 1 1900. 900. 1000 179 000 1000 2 1895. 895. 1000 178 000 2000 29 1760. 760. 1000 151 000 29 000 30 1755. 755. 1000 150 000 30 000 180 1005. 5. 1000 0 180 000

Fase B: 31<=h<=36 (meses)

CB0 CpA 30 ;iB12 iA12;nB 6; aB h : 0; CpB h : CB0 1 iB12 h; IB h : 0; AB h : 0; MB h : 0; TableForm Table h,aB h ,IB h ,AB h ,CpB h ,MB h , h, 6 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 150 750. 0 2 0 0 0 151 504. 0 3 0 0 0 152 261. 0 4 0 0 0 153 023. 0 5 0 0 0 153 788. 0 6 0 0 0 154 557. 0

Fase C: 37<=h<=48 (meses)

CC0 CpB 6 ;iC12 iB12;nC 12; IC h : CC0iC12; AC h : 0; aC h : IC h AC h ; CpC h : CC0; MC h : 0; TableForm Table h,aC h ,IC h ,AC h ,CpC h ,MC h , h, 12 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 772.783 772.783 0 154 557. 0 2 772.783 772.783 0 154 557. 0 3 772.783 772.783 0 154 557. 0 4 772.783 772.783 0 154 557. 0 5 772.783 772.783 0 154 557. 0 6 772.783 772.783 0 154 557. 0 7 772.783 772.783 0 154 557. 0 8 772.783 772.783 0 154 557. 0 9 772.783 772.783 0 154 557. 0 10 772.783 772.783 0 154 557. 0 11 772.783 772.783 0 154 557. 0 12 772.783 772.783 0 154 557. 0

Fase D: 49<=h<=180 (132 meses=44 trimestres)

CD0 CpC 12 ;iD1 0.055;iD4 1 iD1

1

4 _{1;iD12 1 iD1} 1 12 _1;

uu u . First NSolve CD0 j 1 44 u k1 j 1 iD4 1,u 4679.23 aD h : uu; CpD h : j h1 44 aD j kh1 j 1 iD4 1; ID h : CpD h 1 iD4; AD h : aD h ID h ; MD h : j1 h AD j ; TableForm Table h,aD h ,ID h ,AD h ,CpD h ,MD h , h, 1, 2, 3, 43, 44 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 4679.23 2082.68 2596.56 151 960. 2596.56 2 4679.23 2047.69 2631.54 149 329. 5228.1 3 4679.23 2012.23 2667.01 146 662. 7895.11 43 4679.23 123.603 4555.63 4617.02 149 940. 44 4679.23 62.2151 4617.02 0 154 557.

Problema 4.1-7

Un agricultor para paliar los efectos de las heladas ha solicitado un préstamo de 60.000 euros subvencionado en parte por la Junta de Andalucía y que tiene las siguientes características: duración 10 años, durante el primer año no se realiza ningún pago, en el segundo sólo se pagan los intereses y a partir del tercero anualidades constantes y postpagables, siendo el tanto de valoración el 1% los dos primeros años y el 5% los restantes. Una vez pagada la anualidad correspondiente al tercer año, el banco propone cambiar las condiciones, pasando a pagos trimestrales con cuotas de amortización de cuantía A los 4 primeros años y de cuantía 2A para las restantes, a cambio de rebajar en un punto porcentual el tanto de interés. Se pide:

(a) Primera anualidad antes del cambio de condiciones, así como su descomposición en amortización e intereses.

(b) Primera trimestralidad después del cambio de condiciones y capital pendiente dos años más tarde. (c) Valor financiero dos años después del cambio si el tanto de mercado es del 3% anual efectivo. Solución: a) a=3030+6346’1419; b) b=534’58+1356’34; c)V5=39751’58+4850’93 1 2 10 0 i1 =0'01 i1 =0'05 años C0 =60000 1 2 15 16 18 39 40 trimestres

Trimestralidad sencilla Trimestralidad doble

i1 =0'04 A _{B C} D 0 C0 =60000

A

iA1 C0(1+iA1) B iB1 =iA1 CB0 iA1 CB0=C0(1+iA1) CB0(1+iB1)

C

años aC[h]=Cte para 8 años

8 CC0=CB0(1+iB1) iC1

D

Fase A : h == 1

CA0 60000;iA1 0.01; aA h : 0; CpA h : CA0 1 iA1 ; IA h : 0; AA h : 0; MA h : 0;

Fase B : h == 2

CB0 CpA 1 ;iB1 iA1; IB h : CB0iB1; AB h : 0; aB h : IB h AB h ; MB h : 0;

Fase C :3<=h<=10

iC1 0.05; CC0 CB0 60 600. zz z . First NSolve CC0 j 1 8 z k1 j 1 iC1 1,z 9376.14

La tabla de amortización nos permite verificar la validez de las expresiones obtenidas

Formamos la lista de las cuotas de amortización:

Obtenemos el valor de la cuota simple de amortización:

Las expresiones funcionales de los parámetros son:

Tabla de amortización trimestral

aC h : zz; CpC h : j h1 8 aC j kh1 j 1 iC1 1; IC h : CpC h 1 iC1; AC h : aC h IC h ; MC h : j1 h AC j ; TableForm Table h, aC h , IC h , AC h , CpC h , MC h , h, 8 , TableHeadings None, "Años", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Años a h I h A h Cp h M h 1 9376.14 3030. 6346.14 54 253.9 6346.14 2 9376.14 2712.69 6663.45 47 590.4 13 009.6 3 9376.14 2379.52 6996.62 40 593.8 20 006.2 4 9376.14 2029.69 7346.45 33 247.3 27 352.7 5 9376.14 1662.37 7713.78 25 533.6 35 066.4 6 9376.14 1276.68 8099.46 17 434.1 43 165.9 7 9376.14 871.705 8504.44 8929.66 51 670.3 8 9376.14 446.483 8929.66 0 60 600.

Fase D : 4<=h<=10 (7 años = 28 trimestres)

iD1 0.04;iD4 1 iD1 1 4 _1; CD0 CpC 1 54 253.9 X Table If 1 h 16,x, 2x , h, 28 Trimestres x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x, 2 x

u x . First NSolve CD0 Total X ,x

1356.35 AD h : If 1 h 16,u, 2u ; Trimestres MD h : j 1 h AD j ; CpD h : CD0 MD h ; ID h : CpD h 1 iD4; aD h : ID h AD h ; TableForm Table h,aD h ,ID h ,AD h ,CpD h ,MD h , h, 1, 2, 15, 16, 17, 18, 27, 28 , TableHeadings None, "Trimtre.", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trimtre. a h I h A h Cp h M h 1 1890.93 534.585 1356.35 52 897.5 1356.35 2 1877.57 521.221 1356.35 51 541.2 2712.69 15 1703.83 347.48 1356.35 33 908.7 20 345.2 16 1690.46 334.116 1356.35 32 552.3 21 701.5 17 3033.44 320.751 2712.69 29 839.6 24 414.2 18 3006.71 294.022 2712.69 27 126.9 27 126.9 27 2766.15 53.4585 2712.69 2712.69 51 541.2 28 2739.42 26.7293 2712.69 1.45519 1011 _{54 253.9}

Valor del préstamo, usufructo y nuda propiedad al cabo de tres años (8 trimestres) a valor de mercado im1 0.03;im4 1 im1 1 4 ₁ 0.00741707 V h : jh1 28 aD j kh1 j 1 im4 1; V 8 44 602.5 U h : jh1 28 ID j kh 1 j 1 im4 1; U 8 4850.94 Np h : jh1 28 AD j kh1 j 1 im4 1; Np 8 39 751.6