Espacios Pseudométricos

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Cap´ıtulo 1

Espacios Pseudom´

etricos

Este primer cap´ıtulo se dedica a la exploración de una clase particular de espacios topológicos, cuya estructura está dada por una noción de “dis-tancia”. Se pretende que el lector alimente la teor´ıa a partir de los ejemplos provenientes del Análisis, haciendo necesario el tránsito hacia las nociones más generales de topolog´ıa y de espacio topológico.

Las propiedades que podemos carcaterizar como propias de la Topolog´ıa se asocian con los fenómenos de la convergencia y la continuidad. En esa perspectiva, está asociada desde la antigüedad con los puntos de contacto entre la filosof´ıa y las matemáticas. Continuando en esa l´ınea, la noción de infinito juega un papel fundamental en la exploración de los hechos topológicos.

Por su parte, la topolog´ıa de los espacios métricos tiene sus or´ıgenes en la geometr´ıa euclidiana, y constituye el eslabón que la conecta con la topolog´ıa general. Adquiere entonces sentido la expresión común que caracteriza a la topolog´ıa como una geometr´ıa dotada de elasticidad.

Los requisitos m´ınimos que debe satisfacer una noci´on de distancia es que un objeto dista cero de s´ı mismo, y que la distancia entre dos puntos nunca es mayor que la suma de sus distancias a un tercer punto. Estas propiedades nos permiten extraer la esencia de las propiedads topol´ogicas, hasta el punto en el que finalmente se prescinde de ellas. El concepto de

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distancia se hace un poco más elástica, cuando la noción de “cercan´ıa” permite la existencia de puntos distintos que distan cero. Cada versión es más general que la que le precede, y por tanto, más poderosa.

1.1. M´

etricas y Pseudom´

etricas

Sean X_!=_∅un cojunto, unapseudom´etricasobreX es una funci´on d:X_×X_−→_R

que satisface las siguentes propiedades:

1. (Simetr´ıa)d(x, y) =d(y, x) parax, y_∈X.

2. (Desigualdad del tri´angulo)d(x, z)_≤d(x, y) +d(y, x) parax, y, z_∈X.

3. (Regularidad)d(x, x) = 0 para x∈X.

Una pseudométrica es unamétricasi cumple además con: 4. (No degeneración) Sid(x, y) = 0 entoncesx=y. • • d(y,z) ! ! • d(x.y) " " d(x,z) # #

Un espacio pseudométrico1 _{es un par (X, d) donde} _X _{es conjunto no} vac´ıo yd es una pseudométrica. De la misma manera, un espacio métrico

1

Un espacio pseudométrico es también llamadoécarten francés, cuya traducción literal al castellano esdivergencia, de manera que una traducción con algo de sentido matemático ser´ıaespacio divergente.

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1.1. M ÉTRICAS Y PSEUDOM ÉTRICAS 5 es un espacio pseudométrico, dondedes una métrica. Si (X, d) es un espacio pseudométrico yx∈X, se dice que xes unpunto.

Proposición 1 Una pseudométrica es una función no negativa.

Demostración. Usando las propiedades de no degeneración, la simetr´ıa y la desigualdad del triángulo, parax, y∈X arbitrarios tenemos

0 =d(x, x)_≤d(x, y) +d(y, x) = 2d(x, y) de donded(x, y)_≥0.

Nota 1 La definición de una pseudométrica puede ser más concisa y ele-gante, basta que satisfaga la propiedad de regularidad y la desigualdad del triángulo en la formad(x, z)≤d(x, y) +d(z, y).

• d(z,y) $ $ • • d(x.y) " " d(x,z) # #

As´ı, la simetr´ıa se obtiene de d(x, y) ≤ d(x, x) +d(y, x) = d(y, x), y de

d(y, x)_≤d(y, y) +d(x, y) =d(x, y).!

Ejemplo 1.1 Sobre un conjunto no vac´ıo X definimos d : X ×X → R

mediante

d(x, y) = !

0 si x=y

1 si x_!=y

la cual es claramente una métrica sobreX. Esta métrica se conoce como la métrica discreta.!

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Ejemplo 1.2 Sobre un conjunto no vac´ıo X definimos d : X×X → R

mediante d(x, y) = 0 para todo par (x, y) ∈ X ×X. Esta es claramente una pseudométrica sobre X. Esta pseudométrica se conoce como la pseu-dométrica indiscreta.!

Ejemplo 1.3 La m´etrica euclidiana sobre_Rn_{se define por}_{d(x, y) =}_|_x₋_y_|_, determinada por la norma pitag´orica. !

Ejemplo 1.4 Toda m´etrica d : X×X → R induce una m´etrica acotada

D:X×X→[0,1) mediante

D(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y).

Para demostrar que se satisface la desigualdad del tri´angulo notemos que, paraa, b, c≥0conc≤a+bse tienec(1 +a+b)≤(1 +c)(a+b), de donde

c 1 +c≤ a+b 1 +a+b≤ a 1 +a+b+ b 1 +a+b.

Notemos adem´as que para s, t_≥0se satisface

s 1 +s+t ≤ s 1 +s. En consecuencia D(x, z)_≤ d(x, y) 1 +d(x, y) +d(y, z)+ d(y, z) 1 +d(x, y) +d(y, z) ≤D(x, y) +D(y, z).

Este ejemplo ser´a de utilidad.!

Ejemplo 1.5 Sobre_R[0,1]_{, la aplicaci´}_{on dada por} d(f, g) = ´ınf_{|f(x)₋g(x)_|:x_∈[0,1]_}

es una pseudométrica pero no es una métrica. No obstante, la aplicación dada por

δ(f, g) = sup_{|f(x)₋g(x)_|:x_∈[0,1]_}

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1.1. M ´ETRICAS Y PSEUDOM ´ETRICAS 7

Ejemplo 1.6 Sobre C([0,1],R), la aplicaci´on dada por

d(f, g) =

" 1

0 |

f(x)₋g(x)_|dx

es claramente una m´etrica.!

Ejemplo 1.7 La funci´on d:_R2_×_R2_→_R_{definida mediante} d(x, y) =

!

|x|+|y| si x!=y 0 si x=y,

es una m´etrica en el plano, conocida como la “distancia ferrocarrilera”.! Ejemplo 1.8 Definamosd:_R2_×_R2_→_R _por

d(x, y) =_|x1₋y1_|+_|x2₋y2_|

es una m´etrica conocida como la “m´etrica del taxista”.!

El subconjunto B!(x0) ={x∈X|d(x, x0)< ε}se conoce como la bola

abiertade radioεy centrox0.

x0 ε

Los espacios métricos son espacios topológicos, cuya topolog´ıa es gene-rada por las bolas abiertas, y el resto del cap´ıtulo se dedica a exporar este hecho. Las propiedades que comparten los espacios pseudométricos serán generalizadas, y revisadas en otros contextos más adelante. En lo sucesivo usaremos como sinónimos los términos “bola” y “bola abierta”.

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Sean (X, d) un espacio pseudom´etrico yx∈X un punto, se dice que el conjuntoA⊆X es unavecindaddexsi

B!(x)⊆A,

para alg´un ε > 0. El sistema de vecindades de x es el conjunto cuyos elementos son las vecindades dex, y se denota2 _por_N_(x).

1.2. Conjuntos abiertos

Un conjunto U en un espacio pseudom´etrico (X, d) se dice que es un

conjunto abierto si U _{∈ N}(x) para todo x _∈ U, es decir, si es vecindad de cada uno de sus puntos. La topolog´ıa sobre un espacio es la colección de sus conjuntos abiertos, de manera que una primera tarea consistirá en caracterizar la condición de ser abierto.

Proposici´on 2 Las bolas son conjuntos abiertos

Demostraci´on.Seany_∈Bε(x),δ= m´ın{d(x, y), ε−d(x, y)}yz∈Bδ(y).

Entonces, en todo casod(y, z)< ε−d(x.y), y en consecuencia d(x, z)_≤d(x, y) +d(x, z)< ε

con lo quez∈Bε(x).

Corolario 3 Un conjunto es abierto si y s´olo si es uni´on de bolas. 2_{La letra “}

N” se usa por ser la inicial del vocablo ingl´es “neigbourhood” que se traduce literalmente como vecindad, vecindario o entorno.

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1.2. CONJUNTOS ABIERTOS 9

Demostraci´on. Ejercicio.

Notemos que, el espacio total Xes un conjunto abierto, dado que con-tiene todas las bolas posibles, y adem´as el conjunto vac´ıo_∅_⊂Xes tambi´en abierto, en este caso, por vacuidad.

Proposición 4 La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Demostración. Basta observar que una unión de uniones de bolas es una unión de bolas.

Proposición 5 La intersección finita de bolas abiertas es una unión de bolas abiertas.

Demostraci´on. Es suficiente tratar con la intersecci´on de dos bolas. Su-pongamos quex_∈Bε0(x0)∩Bε1(x1), entonces si

εx=

1

2m´ın{ε0−d(x, x0), ε1−d(x, x1)} es claro queBεx(x)⊆Bε0(x0)∩Bε1(x1) y adem´as

Bε0(x0)∩Bε1(x1) =

# x∈Bε0(x0)∩Bε1(x1)

Bεx(x)

como se quer´ıa demostrar.

Corolario 6 La intersecci´on finita de abiertos es abierta. Demostraci´on. Ejercicio.

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1.3. Conjuntos cerrados

Un conjunto F ⊆ X es un conjunto cerrado si su complemento Fc ⊆ X es abierto. La sección se decida a caracterizar los conjuntos cerrados en un espacio pseudométrico. Por abuso de lenguaje, y por comodidad, llamaremos “puntos” a los conjuntos que constan de un único punto.

Proposici´on 7 En un espacio m´etrico(X, d)los puntos son cerrados.

Demostraci´on.Sean x, y_∈Xdos puntos distintos, y seaε=d(x, y)>0, entonces claramentex /_∈Bε(y), de manera que, entonces {x}c es uni´on de

bolas.

Esta propiedad no necesariamente se cumple en un espacio pseudom´etri-co (X, d), dado que pra dos puntos distintosx, y_∈X, no se tiene garant´ıa de qued(x, y)>0.

Proposici´on 8 Los conjuntos cerrados en un espacio pseudom´etrico satis-facen:

1. El vac´ıo y el espacio son cerrados.

2. La intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 3. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Demostración. Ejercicio.

1.4. Interior, cerradura y frontera

Se dice quex_∈X es un punto interiordeA si A _{∈ N}(x). El interior

deAes el conjunto de los puntos interiores de Ay se denota porA◦_. Proposici´on 9 Para todo conjuntoA se satisface A◦_⊆A.

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1.4. INTERIOR, CERRADURA Y FRONTERA 11

Demostraci´on. Six∈A◦, entonces existeε >0 tal queBε(x)⊆A, y en

particularx∈A.

SeaAun conjunto en un espacio pseudom´etrico (X, d) un puntox_∈X es un punto de adherencia de A si U _∩A _!= _∅ para toda U _{∈ N}(x). La cerradura3 _de _A _{es el conjunto de sus puntos de adherencia, y se denota} medianteA. ClaramenteA⊆Apara todoA⊆X.

Un puntox∈Xes unpunto de acumulaci´ondeAsi (U− {x})∩A!=∅ para toda U ∈ N(x). El conjunto derivado de A es el conjunto de sus puntos de acumulaci´on, y se denota porA$_{. De las definiciones se sigue de}

inmediato que todo punto de acumulaci´on es de adherencia, es decir, que A$_⊆A.

Proposici´on 10 Para todo conjunto A en un espacio pseudom´etrico se tieneA=A_∪A$.

Demostraci´on. La inclusi´onA_∪A$_⊆A es muy clara. Por otra parte, si x_∈A yx /_∈A$, seaU _{∈ N}(x) tal que (U_{− {}x_})_∩A=∅, entonces, como U∩A!=∅, necesariamente x∈A.

En general, es posible encontrar puntos de la cerradura de A que no son ni puntos interiores ni puntos de adherencia. La demostraci´on queda como ejercicio. LafronteradeAse denota por∂Ay se define comoA_∩Ac_.

Entonces, un punto frontera xes tal que U _∩A_!= _∅y U _∩Ac _!₌_∅ _para

toda U _{∈ N}(x). As´ı, los conjuntos A◦, ∂A y (Ac₎◦ _{son tres conjuntos}

mutuamente ajenos cuya uni´on es el espacio, y adem´as∂A=∂(Ac). Los espacios euclidianos tienen subespacios muy interesantes. El disco

de dimensi´onn+ 1 se define como un subespacio deRn+1 mediante Dn+1=_{x_∈_Rn+1:_|x_{| ≤}1_},

mientras que laesferade dimensi´onn es Sn={x∈Rn+1_:

|x|= 1}.

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Es claro que como subespacios del mismo espacio euclidiano se satisface Sn=∂Dn+1.

Exploraremos los conceptos de esta sección más adelante, en un contexto más general.

1.5. Continuidad

Consideremos dos espacios pseudom´etricos (X, dX) y (Y, dY). Sea adem´as

f : X → Y una aplicaci´on, decimos que f es continua en x∈ X si para todoε >0 existeδ >0 tal que siy=f(x), entonces

f(Bδ(x))⊆Bε(y).

Una aplicación es continua si es continua en cada uno de los puntos de su dominio. En términos coloquiales, una aplicación es continua, si y sólo si, las imágenes de puntos carcanos son también puntos. Observamos entonces, que la noción de continuidad descansa sobre la de cercan´ıa.

a1 b1 a2 b2 c

d

f−1₍_c,d₎₌₍_a

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1.5. CONTINUIDAD 13

Ejemplo 1.9 La funci´on f :R →R, cuya gr´afica se reproduce arriba, es continua. !

Ejemplo 1.10 La funci´on escal´on de Heaviside4 h:R→R, dada por

h(t) = !

0 si _−∞< t <0 1 si 0_≤t <_∞ ,

es continua en cada punto de la recta, excepto parat= 0.

Notemos que para0< ε <1se tiene f−1(1−ε,1 +ε) = [0,∞), que no es abierto en_R.!

Ejemplo 1.11 La funci´on de Dirichlet5 ∆ : I → {0,1}, que se define mediante

∆(x) = !

1 si x_∈_Q 0 si x /_∈Q,

no es continua en ning´un punto de su dominio. La preim´agenes posibles de abiertos no triviales sonQ∩I y Qc∩I, ninguno de los cuales es abierto. !

Dados un espacio pseudom´etrico (X, d), un subconjunto no vac´ıoA_⊆X y un puntox∈X, ladistanciadel puntoxal conjuntoAse define mediante

d(x, A) = ´ınf{d(x, y)|y∈A}.

4_{Oliver Heaviside (1850 - 1925), ingeniero y matem´}_{atico ingl´es autodidacta, que}

contri-buyó de forma importante en la construcción delcálculo operacional. Le son atribubidos una gran cantidad de descubrimientos matemáticos, aunque no parece haber proporcio-nado las demostraciones correspondientes.

5_{Peter Gustav Lejeune Dirchlet (1805 - 1859), matem´}_{atico alem´}_{an, a quien se atribuye}

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Teorema 11 La funci´ond(, A) :X→Res continua para todoA⊆X en un espacio pseudom´etrico(X, d).

Demostraci´on.Claramente, sia_∈A, entonces para cualesquierax, y_∈X: d(x, A)_≤d(x, a)_≤d(x, y) +d(y, a),

por la desigualdad del tri´angulo, y puesto que la desigualdad es v´alida para todoa∈A, entonces

d(x, A)≤d(x, y) +d(y, A), de manera que

|d(x, A)₋d(y, A)_{| ≤}d(x, y).

Consecuentemente, sid(x, y)< εentonces_|d(x, A)₋d(y, A)_|< ε, de donde se sigue la continuidad.

Teorema 12 Sean (X, d) un espacio pseudom´etrico yA_⊆X, entonces

A=_{x_∈X_|d(x, A) = 0_}.

Demostración.Por definición,x∈Asi y sólo siBε(x)∩A!=∅para todo

ε >0, es decir, si y s´olo sid(x, A) = 0.

Supongamos que f : X → Y es continua y sea U ⊆ Y un conjunto abierto, dadox ∈ f−1(U), sea y = f(x) ∈ U, y tomemos εx > 0 tal que

Bεx(y)⊆U, y sea δx >0 tal que f(Bδx(x))⊆Bεx(y). Tenemos entonces

queBδx(x)⊆f−1(U), de dondef−1(U) es vecindad de todos sus puntos y

es en consecuencia abierto.

Supongamos rec´ıprocamente que para todo abiertoU ⊆Y se tiene que f−1_(U₎_⊆_X _{es abierto, y sea}_x_∈_X _{un punto arbitrario. Tomemos}_B

ε(y)

para ε > 0 arbitrario, donde y = f(x), por hip´otesis f−1_B

ε(y) ⊆ X es

abierto y adem´as x _∈ f−1_B

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1.5. CONTINUIDAD 15 f−1Bε(y), es decir,f(Bδ(x))⊆Bε(y), de donde se sigue la continuidad de

f.

Se ha demostrado el resultado siguiente para aplicaciones sobre espacios pseudom´etricos.

Teorema 13 Una aplicaci´on es continua si y s´olo si la preimagen de todo abierto es abierta."

Una biyección continua que tiene inversa continua es un homeomorfis-mo, y claramente la inversa de un homeomorfismo es también un homeo-morfismo. Se dice que los espacios X y Y son homeomorfos si existe un homeomorfismof :X_→Y. La relación de homeomorfismo es una relación de equivalencia en la colección de los espacios topológicos, y en Topolog´ıa, dos espacios que son homeomorfos son considerados como “esencialmente” el mismo espacio.

Ejemplo 1.12 La funci´on exponencialexp :_R_→(0,_∞), dada porexp(t) = et _{es un homeomorfismo. La funci´}_{on tangente} _{tan : (}₋_{π, π)}_→_R_{es un} ho-meomorfismo, entonces, todo intervalo abierto es homeomorfo con la recta. !

Ejemplo 1.13 La proyección estereográfica es un esfera de dimensión n

es un homeomorfismo entreSn− {en}y Rn.!

Ejemplo 1.14 La esferaSn_{es homeomorfa con la frontera del}_(n+1)_-cubo

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1.6. Convergencia

Una sucesi´on en un conjunto X es una aplicaci´on s : _N _→ X donde

N=_{0,1,2, . . ._}. Denotamos usualmentes= (xn) ys(n) =xn.

Se dice que la sucesi´on (xn) est´a eventualmente en A ⊆ X si existe

N ∈ N tal que xn ∈ A para todo n > N. Se dice que la sucesi´on (xn) est´a frecuentemente en A ⊆X si para todoN ∈N existe n > N tal que xn∈A.

Sean (X, d) un espacio pseudom´etrico, y (xn) una sucesi´on enX. Se dice

que (xn) converge en X si existe x ∈ X tal que (xn) est´a eventualmente

en cada vecindad de x. Se dice en tal caso que (xn) converge a x ∈ X,

´o equivalentemente quexesun l´ımitepara la sucesi´on (xn).

Proposición 14 Sea (xn) una sucesión convergente en un espacio pseu-dométrico(X, d), entonces (xn)tiene un l´ımite único si y sólo si(X, d)es un espacio métrico.

Demostración.Que la pseudométricadsea una métrica es la única forma de garantizar que para dos puntos distintos existen bolas ajenas que con-tienen a cada uno de ellos. Equivalentemente, la distancia entre dos puntos distintos es estrictamente positiva si y sólo sides una métrica.

Una sucesi´on (xn) tiene una subsucesi´on convergente en X, si existe

x∈X tal que (xn) est´a frecuentemente en cada vecindad dex.

La convergencia es un fen´omeno ´ıntimamente ligado con la continuidad, y de hecho pueden considerarse dos manifestaciones distintas del mismo fen´omeno.

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1.7. EL CUBO DE HILBERT 17

Teorema 15 Dados dos espacios métricosX,Y, una aplicación f :X→ Y es continua en x∈X, si y sólo si para toda sucesión (xn) enX tal que

xn →xse tiene que f(xn)→f(x). Demostraci´on. Ejercicio.

Debido a propiedades que exploraremos pr´oximamente, las sucesiones constituyen un modelo suficiente para la convergencia en espacios m´etricos.

1.7. El cubo de Hilbert

El cubo de Hilbert6 _{es un ejemplo particularmente importante,} da-do que como veremos, es un modelo universal para los espacios métri-cos. Es claro que el producto de una cantidad finita de espacios métricos (X1, d1), . . . ,(Xn, dn), es de forma natural un espacio métrico mediante

d(x, y) = $ % % & n ' k=1 dk(xk, yk)2,

dondex= (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)∈X1×. . .×Xn. No obstante, no

es claro que un producto arbitrario tenga estructura métrica. Consideremos el producto H= ∞ ( k=1 ) 0, 1 2n * , y definamos sobre él la aplicación

d(x, y) = $ % % &'∞ k=1 |xk−yk|2.

Por el criterio de comparación es claro quedestá bien definida, y mediante paso al l´ımite, es claro también que es una métrica. El espacio métrico

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(H, d) se conoce como el cubo de Hilbert, su universalidad proviene del hecho de que es un espacio compacto debido al Teorema de Tychonoff7, cuyo enunciado es b´asicamente que un producto es compacto si y s´olo si cada factor es compacto.

El teorema de Tychonoff es un resultado muy profundo de la Matemáti-ca Cantoriana, pues como demostró Kelley8[3] en 1950, es equivalente con el axioma de elección. El cubo de Hilbert es un subespacio delespacio de Hilbertl2_{, cuyos elementos son las sucesiones reales de cuadrado} convergen-te.

1.8. Ejercicios

1. Demuestre queA=A◦_∪A$ o proporcione un contraejemplo. 2. Proporcione un ejemplo de un espacio pseudom´etrico (x, d) y una

sucesi´on convergente enX que tenga m´as de un punto l´ımite. 3. Caracterice las bolas en cada uno de los ejemplos de espacios

pseu-dom´etricos proporcionados en el texto.

4. Sea (X, δ) un espacio pseudométrico, y sobre él, considérese la relación de equivalencia dada porx _∼ y si y sólo si δ(x, y) = 0. Demuestre que la aplicación dada pord([x],[y])) =δ(x, y) sobreX/_∼está bien definida y es una métrica.

5. Demuestre que la colecci´on_{Xt|t∈R}, donde

Xt=

!_t

n|n∈N +

,

es una partici´on deX= (0,_∞)_×R. Denotemos por_∼la relaci´on de equivalencia tal queX/_∼=_{Xt|t∈R}.

7_{Andrey Nikolayevich Tychonoff (1906 - 1993), matem´}_{atico ruso.} 8_{John Leroy Kelley (1916 - 1999), matem´}_{atico norteamericano.}

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1.8. EJERCICIOS 19

a) Demuestre la aplicaci´on dada por d(Xt, Xr) = ´ınf{|x−y| :

(x, y)∈Xt×Xr}es una pseudométrica pero no es una métrica. b) Demuestre que la aplicación Φ :R_→X/_∼, dada por Φ(t) =Xt,

es una biyecci´on continua.

c) Demuestre que Φ no es un homeomorfismo.

6. Demuestre que el producto finito de espacios m´etricos es un espacio m´etrico.

7. Dos métricasdyδsobre un mismo conjuntoXsonequivalentessi toda d-bola es unión deδ-bolas y viceversa. Demuestre que toda métrica des equivalente con “su” métrica acotadaD=₁₊d_d.

8. Demuestre que sobre el plano, la métrica euclidiana, lamétrica de la sumad(x, y) =|x1−y1|+|x2−y2|y lamétrica del máximod(x, y) = máx{|x1−y1|,|x2−y2|}son todas equivalentes.

9. Demuestre que el producto numerable de espacios métricos es un es-pacio métrico, haciendo uso del hecho que toda métrica es equivalente con una métrica acotada.