cualesquiera que sean x, y ∈ gl(V)).
2.- Prueba que t(n, F),n(n, F) y d(n, F) son ´algebras de Lie. Encuentra una base para cada una de ellas. Demuestra las siguientes igualdades:
t(n, F) = n(n, F)⊕d(n, F), [d(n, F),n(n, F)] =n(n, F), [t(n, F),t(n, F)] =n(n, F). 3.- Determina el centro del ´algebra de Lie sl(2, F).
4.- Prueba que siϕ :L→T es un homorfismo de ´algebras de Lie, entoncesKer(ϕ) es un ideal de L mientras que Im(ϕ) es una sub´algebra de T. Da un ejemplo que pruebe que Im(ϕ) no tiene por qu´e ser un ideal deT.
5.- Sea V un F-espacio vectorial de dimensi´on n. Determina un isomorfismo entre las ´algebras de Lie gl(V) y gl(n, F).
6.- Sea (L,[ ,]) un ´algebra de Lie. Prueba que el corchete de Lie es asociativo (esto es, [x,[y, z]] = [[x, y], z]) si y s´olo si [a, b]∈Z(L), cualesquiera que sean a, b∈L.
7.- Demuestra que, cualquiera que sea la F-´algebra A, Der(A) tiene estructura de F -´algebra de Lie.
8.- Sean L y T ´algebras de Lie. Prueba que L es isomorfa a T si y s´olo si existen dos bases B y C, de L y T, respectivamente, tales que las constantes de estructura de L con respecto a B son las mismas que las constantes de estructura deT con respecto a
C.
9.- Encuentra las constantes de estructura de sl(2, F) con respecto a la base dada por las matrices e=e12, f =e21, h=e11−e22.
10.- Sea Lun ´algebra de Lie compleja de dimensi´on 3 con una base {x, y, z}y corchete de Lie dado por : [x, y] =z,[y, z] =x,[z, x] =y.
(i) Prueba que L es isomorfa a la sub´algebra de Lie de gl(3,C) formada por las matrices antisim´etricas.
(ii) Encuentra un isomorfismo expl´ıcito entre ambas.
11.- Sea V un espacio vectorial complejo, y sea L = gl(V). Supongamos que x ∈ L es diagonalizable, con autovalores λ1, . . . , λn. Prueba que adx ∈ gl(L) es tambi´en
diagonalizable y que sus autovalores son λi−λj, con 1≤i, j ≤n.
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ALGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 07/08 RELACI ´ON2
1.- Prueba que sl(2, F)! =sl(2, F).
2.- Sea Lun ´algebra de Lie. Prueba que si z ∈L!, entonces tr(ad x) = 0.
3.- Prueba que la suma directa de ´algebras de Lie puede dotarse, de manera natural, de estructura de ´algebra de Lie.
(i) Prueba que gl(2, F) es isomorfa a la suma directa de sl(2, F) con F.
(ii) Sean L1 y L2 ´algebras de Lie. Demuestra que si L =L1⊕L2, entonces Z(L) = Z(L1)⊕Z(L2) y L! =L!
1⊕L!2.
(iii) ¿Est´an los sumandos en una descomposici´on de un ´algebra de Lie en suma directa un´ıvocamente determinados?
4.- Supongamos que L=L1⊕L2 es la suma directa de dos ´algebras de Lie.
(i) Prueba que{(x1,0)|x1 ∈L1}es un ideal deLisomorfo aL1 (an´alogamente para L2). Demuestra que las proyecciones π1 y π2 son homomorfismos de ´algebras de Lie (π1 :L→L1 viene dada por: π1((x1, x2)) =x1, y an´alogamente se defineπ2). Ahora, supongamos que L1 y L2 no tienen ideales propios no triviales.
(ii) Sea J un ideal propio de L. Prueba que siJ∩L1 = 0 y J∩L2 = 0, entonces las proyecciones π1 :J →L1 y π2 :J →L2 son isomorfismos.
(iii) Deduce que si L1 y L2 son ´algebras de Lie no isomorfas, entonces L1 ⊕L2 no tiene m´as que dos ideales propios no triviales.
(iv) Supongamos que el cuerpo base es infinito. Prueba que si L1 y L2 son isomorfos y L1 tiene dimensi´on 1, entonces L1⊕L2 tiene infinitos ideales diferentes. 5.- Prueba que gl!(n, F) = sl(n, F)
6.- Sea I un ideal de un ´algebra de LieL, y llamemos B al centralizador deI en L, esto es:
B =CL(I) := {x∈L| [x, a] = 0 para todo a∈I}.
(i) Demuestra que B es un ideal de L.
Ahora supongamos que Z(I) = 0 y que toda derivaci´on de I es interna, esto es, que si δ:I →I es una derivaci´on, entonces δ =ad x para alg´unx∈I.
(ii) Prueba que L=I⊕B.
7.- El objetivo de este ejercicio es demostrar que el conjunto de los conmutadores de elementos de un ´algebra de Lie no tiene por qu´e ser un espacio vectorial y, por lo tanto, no es un ideal del ´algebra de Lie.
Consideremos el anillo de los polinomios con coeficientes reales en dos indetermi-nadas, esto es, R[x, y]. LlamemosL al conjunto de las matrices de la forma:
A(f(x), g(y), h(x, y)) =
00 f(x)0 h(x, y)g(y)
0 0 0
(i) Demuestra queLes un ´algebra de Lie con el corchete definido como el conmutador usual. ¿Es L de dimesi´on finita?
(ii) Prueba que [A(f1(x), g1(y), h1(x, y)), A(f2(x), g2(y), h2(x, y))] =A(0,0, f1(x)g2(y)− f2(x)g1(y)). Describe L!.
9.- SeaV un espacio vectorial sobre un cuerpoF, y seaf un endomorfismo deV. Consid-eremosLigual aV⊕<{x}>como espacio vectorial, y definamos sobreLel corchete de Lie como: [x, y] =f(y), [y, z] = 0, cualesquiera que sean y, z ∈V. Demuestra que (L,[,]) es un ´algebra de Lie y que la dimensi´on de L! es el rango de f (el rango es la dimensi´on de la imagen).
10.- Prueba que el ´algebra de Lie Lµ es isomorfa a Lν si y s´olo si µ=ν o µ=ν−1.
11.- Llamemos L al ´algebra de Lie de Heisenberg de dimensi´on 3 sobre un cuerpo F. Prueba que Der L es un ´algebra de Lie de dimensi´on 6. Determina las derivaciones internas y demuestra que el ´algebra de Lie cociente Der L/IDer L es isomorfa a gl(2, F).
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ALGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 07/08 RELACI ´ON3
1.- Sea ϕ:L→T un epimorfismo de ´algebras de Lie. Prueba que ϕ(L(k)) = T(k).
2.- Sea L=n(n, F), el ´algebra de Lie de las matrices triangulares superiores estrictas de tama˜no n×n sobre un cuerpo F. Determina una base de Lk. Utiliza esta base para
probar que Les nilpotente. ¿Cu´al es el ´ındice de nilpotencia de L?
3.- Llamemos Lal ´algebra de Lie de las matrices triangulares superiores de tama˜non×n sobre un cuerpo F.
(i) Prueba que L! =n(n, F).
(ii) Demuestra queL(k) tiene una base formada por las matricese
ij, con j−i≥2k−1.
(iii) Deduce que L es soluble.
(iv) Prueba que para n≥2 el ´algebra Lno es nilpotente.
4.- Prueba que un ´algebra de Lie es semisimple si y s´olo si no tiene ideales abelianos distintos de cero (´esta fue inicialmente la definici´on de ´algebra de Lie semisimple dada por Wilhelm Killing).
5.- Prueba directamente que sl(n,C) es un ´algebra de Lie simple para n≥2.
6.- Sea Lun ´algebra de Lie sobre un cuerpoF tal que [[a, b], b] = 0, cualesquiera que sean a, b∈L.
(i) Supongamos que la caracter´ıstica de F no es 3. Prueba que L3 = 0.
(ii) Prueba que si F tiene caracter´ıstica 3, entoncesL4 = 0. (Indicaci´on: demuestra en primer lugar que los corchetes de Lie [[x, y], z] son alternantes, esto es, que cualesquiera que sean x, y, z ∈L se tiene:
[[x, y], z] =−[[y, x], z], [[x, y], z] =−[[x, z], y].)
7.- Sea A una sub´algebra de gl(V), donde V es un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre un cuerpo F, y sea λ:A→F una funci´on peso. Se define
Vλ :={v ∈V |a(v) =λ(a)v para todo a∈A}.
(i) Prueba que Vλ es un subespacio vectorial de V.
(ii) Sea A el subespacio de las matrices diagonales de tama˜no n ×n. Definamos &i :A →F como: &i(diag(d1, . . . , dn)) =di. Demuestra queV#i =<{ei}> y que V se descompone como suma directa de los V#i, para 1≤i≤n.
8.- Sea A=b(n, F). Prueba que e1 es un autovector para A. Encuentra el correspondi-ente peso y determina su espacio peso.
9.- Sea Luna sub´algebra de Lie de gl(V)
(i) Supongamos que existe una base de V tal que todo elemento de L se puede representar, respecto de esa base, como una matriz triangular superior estricta. Prueba que L es isomorfa a una sub´algebra de Lie de n(n, F) y deduce que es nilpotente.
(ii) Demuestra un resultado an´alogo a (i) en el caso en que exista una base deV tal que todo elemento de Lsea representable, respecto de esa base, como una matriz triangular superior.
NL(A) ={x∈L tales que [x, a]∈A para todoa∈A}.
(i) Prueba que NL(A) es una sub´algebra de L que contiene a A. Demuestra que
NL(A) es la mayor sub´algebra de L en la queA es un ideal.
(ii) SeaL=gl(n,C) y seaAla sub´algebra deLformada por las matrices diagonales. Demuestra queNL(A) = A. (Indicaciones: se puede hacer directamente o usando
el Lema de invarianza).
11.- Consideremos un espacio vectorial V de dimensi´on n ≥ 1, y sea x : V → V una aplicaci´on lineal nilpotente.
(i) Prueba que existe un vector no nulo v ∈V tal que xv = 0.
(ii) Sea U =){u}*. Prueba que x induce una aplicaci´on lineal nilpotentex:V /U → V /U. Por inducci´on, sabemos que existe una base {v1. . . vn−1} de V /U tal que la matriz asociada a x respecto de esta base es una matriz triangular superior estricta. Prueba que {u, v1, . . . nn−1} es una base de V y que la matriz de x en esta base es una matriz triangular superior estricta.
12.- Consideremos un espacio vectorial complejo V de dimensi´onn ≥1, y sea x:V → V una aplicaci´on lineal nilpotente.
(i) Prueba que existe un autovector para x.
(ii) Sea U =){u}*. Prueba que x induce una aplicaci´on lineal nilpotentex:V /U →
V /U. Por inducci´on, sabemos que existe una base {v1. . . vn−1} de V /U tal que la matriz asociada a x respecto de esta base es una matriz triangular superior. Prueba que {u, v1, . . . nn−1} es una base deV y que la matriz de x en esta base es una matriz triangular superior.
13.- Sea Lun ´algebra de Lie soluble, sub´algebra degl(V), dondeV es un espacio vectorial complejo de dimensi´on finita. Sea A un subespacio vectorial de V tal que L! ⊆ A y dim(A) =dim(V)−1. Demuestra que A es un ideal de L.
14.- Prueba que si I es un ideal de un ´algebra de Lie Ltal que L/I es abeliano, entonces los ideales de L/I son los subespacios vectoriales.
15.- Seapun n´umero primo, yF un cuerpo de caracter´ısticap. Consideremos las siguientes matrices de tama˜no p×p: x= 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 1 0 0 . . . 0 y= 0 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 . . . p−2 0 0 0 . . . 0 p−1 .
Prueba que [x, y] =x. Deduce quexeygeneran una sub´algebra solubleLdegl(p, F). Prueba que xey no tienen autovectores comunes, luego las conclusiones del Teorema de Lie y de la proposici´on previa pueden no ser ciertos.
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ALGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 06/07 RELACI ´ON4
1.- Consideremos un cuerpo F, y sean L=b(n, F),V =Fn.
(i) Comprueba que V es un L-m´odulo, donde la estructura viene dada por la repre-sentaci´on natural, esto es, aplicando matrices a vectores columna.
(ii) Sea {e1, . . . , en} la base est´andar de Fn. Para 1 ≤ r ≤ n, sea W
r el subespacio
vectorial generado por losrprimeros vectores de la anterior base. Demuestra que Wr es un subm´odulo de V.
(iii) Prueba que todo subm´odulo de V es uno de los Wr definidos. Deduce que cada
Wres indescomponible, y que sin≥2 entoncesV no es unL-m´odulo semisimple.
2.- Sea L un ´algebra de Lie, y seaV unL-m´odulo de dimensi´on finita con un subm´odulo W de dimensi´on m. Considerando una base de V que contenga una base de W demu´estrese queV tiene una base con respecto a la cual la acci´on de cadax∈Lviene dada por una matriz de bloques de la forma:
'
X1 X2 0 X3
(
, donde X1 es una matriz cuadrada de tama˜nom×m. Prueba que X1 es la matriz de x restringida aW y que X3 representa la acci´on de x sobre el m´odulo cociente V /W.
3.- Sea L el ´algebra de Heisenberg con base {f, g, z}, donde [f, g] = z y z es central. Prueba que L no tiene representaciones irreducibles de dimensi´on finita.
4.- Sea L el ´algebra de Lie compleja no abeliana de dimensi´on 2. Sabemos que L tiene una base{x, y}tal que [x, y] =x. Comprueba que podemos definir una representaci´on de L sobre C2 mediante: ϕ(x) = ' 0 1 0 0 ( ,ϕ(y) = ' −1 1 0 0 ( .
Prueba que esta representaci´on es isomorfa a la representaci´on adjunta de L sobre ella misma.
5.- El objetivo de este ejercicio es intentar clasificar todas las representaciones complejas de dimensi´on 2 del ´algebra de Lie L no abelina de dimensi´on 2.
(i) Supongamos que V es una representaci´on de dimensi´on 2 de L, y que no es fiel. Prueba que entonces x act´ua como cero sobre V y que V queda descrita completamente por la acci´on dey. Deduce que hay tantas representaciones como clases de similaridad de matrices complejas 2×2.
(ii) Supongamos que V es una representaci´on fiel de dimensi’on 2 de L. Sabemos qe V tiene un un subm´odulo irreducible de dimensi´on 1 generado por, digamos, un vector v. Extendamos v a una base {v, w} deV.
(a) Prueba que la matriz dex con respecto a esta base es de la forma
'
0 b 0 0
(
, dondeb es no nulo. Reemplazando v por bv, podemos suponer de ahora en adelante que b= 1.
(b) Demuestra que la matriz de' y con respecto a la base{bv, w}es de la forma λ c
0 µ
(
, donde µ−λ= 1.
(c) Rec´ıprocamente, comprueba que haciendo actuar y como tal matriz, esto define realmente una representaci´on de dimensi´on 2 fiel de L.
quey no anula al sum´odulox(V) son isomorfas si y s´olo si las matrices que representan a y tienen la misma traza.
(e) Clasifica, salvo isomorfismos, todas las repesentaciones para las queyact´ua como cero sobre el subm´odulo x(V).
(iii) Si V es un m´odulo de dimensi´on 2 paraL, entonces tambi´en lo es su m´odulo dual V∗ (definido en el ejercicio siguiente). ¿D´onde aparece en la clasificaci´on? 6.- Vamos a construir nuevos m´odulos a partir de otros dados.
(i) Sea V un m´odulo para un ´algebra de Lie L. Prueba que podemos convertir el espacio vectorial dual V∗ en un L-m´odulo definiendo:
(x!θ)(v) :=−θ(x!v)) para x∈L, θ∈V∗ y v ∈V.
Prueba que la representaci´on adjunta de R3
∧ (v´ease el ejercicio siguiente) es au-todual. Demuestra, con car´acter m´as general, queV es isomorfo a V∗ si y s´olo si existe una base de V con respecto a la cual las matrices que representan la acci´on de Lson antisim´etricas.
(ii) SeanV yW dosL-m´odulos. Prueba queHom(V, W) puede dotarse de estructura de L-m´odulo definiendo:
(x!θ)(v) :=x!(θ(v)−θ(x!v)
para x ∈ L, θ ∈ Hom(V, W), y v ∈ V. Prueba que la aplicaci´on lineal θ es un homomorfismo de L-m´odulos si y s´olo sixθ˙= 0 para todo x∈L.
7.- Sea L el ´algebra de Lie compleja de dimensi´on 3 con base {x, y, z} y corchete de Lie dado por:
[x, y] =z, [y, z] =x, [z, x] =y (aqu´ıL es la “complexificaci´on” de R3
∧, el ´algebra de Lie real de dimensi´on 3). (i) Prueba que L es isomorfa a la sub´algebra de Lie de gl(3,C) formada por las
matrices 3×3 antisim´etricas con entradas en C. (ii) Encuentra un isomofismo expl´ıcito entre sl(2,C) yL.
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ALGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 06/07 RELACI ´ON5
1.- Sea V un espacio vectorial, y supongamos que la descomposici´on de Jordan de un elemento x ∈ gl(V) es: x = d+n. Demuestra que la descomposici´on de Jordan de ad x es ad d+ ad n.
2.- Sea V un espacio vectorial complejo, y seaL una sub´algebra de gl(V). Supongamos queL es soluble. Usa el Teorema de Lie para demostrar que existe una base deV con respecto a la cual todo elemento de L! queda representado por una matriz triangular superior estricta. Concluye que tr xy= 0, cualesquiera que sean x∈L, y∈L!. 3.- Sea Lun ´algebra de Lie de dimensi´on finita. Para cada ideal I deL definimos.
I⊥:={x∈L |k(x, I) = 0},
donde k es la forma Killing de L. Prueba que I⊥ es un ideal de L.
4.- En las condiciones del problema anterior, apl´ıquese el criterio de Cartan para de-mostrar que I∩I⊥ es un ideal soluble de L.
5.- Calcula la forma Killing del ´algebra de Lie L:=sl(2, F).
6.- Determina la descomposici´on de Jacobson-Chevalley de los siguientes endomorfismos de C3, C4 y C6, respectivamente: −31 −02 −01 −1 3 2 , 1 0 2 −6 0 1 −1 3 0 0 1 3 0 0 0 2 , 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 .
7.- Sea δ una derivaci´on de un ´algebra de Lie L. Prueba que si λ, µ ∈ C y x, y ∈ L, entonces: (δ−(λ+µ)1L)n[x, y] = n ) k=0 * n k + [(δ−λ1L)kx,(δ−µ1L)n−ky].
A partir de aqu´ı, probar que si la descomposici´on primaria de L con respecto a δ es L=⊕λLλ, entonces [Lλ, Lµ]⊆Lλ+µ.
8.- Sean L1 y L2 ´algebras de Lie complejas semisimples, y supongamos que ϕ:L1 →L2 es un homomorfismo sobreyectivo. Demuestra que si x∈ L1 tiene descomposici´on de Jordan abstracta x=d+n, entonces la descomposici´on de Jordan abstracta de ϕ(x) es: ϕ(d) +ϕ(n).
