Primera parte

1. f(x) = x 3 1 x2 2. f(x) =x

2 ₉

x2 ₄ 3. f(x) =x 3

x+ 2 4. f(x) = x

3 (x 1)2

5. f(x) = x+ 5 x2 ₉ 6. f(x) =x

2 ₃

x 2 7. f(x) = x

2 ₃

x 2

8. f(x) =x4 _18x2_{+ 20} 9. f(x) = x

2

p

x2 ₁ 10. f(x) =x

2 _{x+ 1}

x2_{+x+ 1} 11. f(x) = x

2 ₅

2x 4

12. f(x) = x 2 (x 2)2

13. f(x) =x3 _9x2_{+ 24x 20} 14. f(x) = 1

1. f(x) = x 3

1 x2 Función racional con asíntota oblícua.

Eliminamos los puntos que anulan en denominador1 x2= 0 =₎x= 1 Dominio R-{1,-1}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =₎f(0) = 0 3 1 02 = 0 y= 0 =₎ x

3

1 x2 = 0 =)x 3_{= 0 =}

)x= 0

(0;0)

signo x 3

1 x2 ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+ -1 -0 + 1

--5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!1

x3 1 x2 =1

C onsultando el signo =₎ 8 > < > : lim x!1+

x3

1 x2 = -1 lim

x!1 x3

1 x2 = +1

+ -1 -0 + 1 -lim x! 1

x3 1 x2 =1

C onsultando el signo =₎ 8 > < > : lim x! 1+

x3

1 x2 = -1 lim

x! 1 x3

1 x2 =+1

+ -1 -0 + 1

--5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Asíntotas verticalesx= 1; x= 1

Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador.

Recordemos que la asíntota oblícua era: y=mx+n; m= lim x! 1

f(x)

x ; n= limx! 1(f(x) mx)

m= lim x! 1

f(x) x = 8 > > > > > < > > > > > : lim x!+1

x3 1 x2

x = limx!+1 x3

x(1 x2₎= lim_x!+1 x3

x3_+x = 1

lim x! 1

x3 1 x2

x = limx! 1 x3

n= lim

x! 1(f(x) mx) =

8 > > > > > > < > > > > > > : lim x!+1

x3

1 x2 ( 1)x = lim_x!+1 x3

1 x2 +x = lim

x!+1

x3_{+x x}3

1 x2 = lim_x!+1 x

1 x2 = 0 lim

x! 1 x3

1 x2 ( 1)x = 0 Así quem= 1; n= 0

Asíntota oblícuay= x

Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba el signo(f(x) asíntota oblícua) signo x

3

1 x2 ( x) =signo x3

1 x2 +x =signo

x3_{+x x}3

1 x2 =signo x 1 x2

+ -1 -0 + 1

-El signo negativo del +₁, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota; el signo positivo del ₁, signi…ca que la función está por encima de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f0_{(x) =}3x2(1 x2) x3( 2x)

(1 x2₎2 =

x2_{(3 x}2₎ (1 x2₎2

signo x

2_{(3 x}2₎ (1 x2₎2

! -p 3 + 0 + p 3

-Mínimo en p3; f( p3) = p3;3 2

p

3

Máximo en p3; f(p3) = p3; 3 2

p

3

Creciente en p3; 1 _[( 1;1)_[(1;p3) Decreciente en ₁; p3 _[ p3;+₁

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

f00_{(x) =} 2x x 2_{+ 3} (x2 ₁₎3

signo 2x x 2_{+ 3} (x2 ₁₎3

!

+

-1

-0 +

1

2. f(x) = x

2 ₉

x2 ₄ Función racional con asíntota horizontal

Eliminamos los puntos que anulan en denominadorx2 4 = 0 =₎x= 2 Dominio R-{2,-2}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =₎f(0) = 0

2 ₉

02 ₄ = 9 4

y= 0 =₎ x

2 ₉

x2 ₄ = 0 =)x= 3; x= 3 0;9

4 ;(3;0);( 3;0)

signo x

2 ₉

x2 ₄ ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+ -3 --2 + 2 -3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!2

x2 ₉ x2 ₄ =1

C onsultando el signo =₎ 8 > < > : lim x!2+

x2 ₉

x2 ₄ = -1 lim

x!2

x2 ₉

x2 ₄ = +1

+ -3 --2 + 2 -3 + lim x! 2

x2 9 x2 ₄ =1

C onsultando el signo =₎ 8 > < > : lim x! 2+

x2 ₉

x2 ₄ =+1 lim

x! 2

x2 ₉

x2 ₄ = -1

+ -3 --2 + 2 -3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Asíntotas verticalesx= 2; x= 2 lim

x!+1 x2 ₉

x2 ₄ = lim_{x! 1} x2 ₉ x2 ₄ = 1 Asíntota horizontaly= 1

Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f(x) asíntota horizontal)

signo x

2 ₉

x2 ₄ 1 =signo

x2 9 x2+ 4

x2 ₄ =signo 5 x2 ₄

--2 +

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) =x

2 ₉

x2 ₄ f0_{(x) = 2} x

x2 ₄ 2 x (x2 ₄₎2 x

2 _{9 =} 10x

(x2 ₄₎2

signo 10x (x2 ₄₎2

!

--2

-0 +

2 +

Mínimo en 0;9 4

Creciente en(0;2)_[(2;+₁) Decreciente en( ₁; 2)_[( 2;0)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

x

y

Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: f00(x) = 10 3x

2_{+ 4} (x2 ₄₎3

signo 10 3x 2_{+ 4} (x2 ₄₎3

!

--2 +

2

-Convexa en( 2;2)

3. f(x) = x 3

x+ 2 Función racional con asíntota horizontal

Eliminamos los puntos que anulan en denominadorx+ 2 = 0 =₎x= 2 Dominio R-{-2}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =₎f(0) = 0 3 0 + 2 =

3 2 y= 0 =₎ x 3

x+ 2 = 0 =)x= 3

0; 3

2 ;(3;0)

signo x 3

x+ 2 ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+

-2

-3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x! 2

x 3 x+ 2 =1

C onsultando el signo =₎ 8 > < > : lim x! 2+

x 3

x+ 2 = -1 lim

x! 2 x 3

x+ 2 =+1

+

-2

-3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 x y lim x!+1

x 3

x+ 2 = limx! 1 x 3 x+ 2 = 1 Asíntota horizontaly= 1

Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f(x) asíntota horizontal)

signo x 3

x+ 2 1 =signo

x 3 x 2

x+ 2 =signo 5 x+ 2

+

-2

-El signo positivo del ₁, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del +₁, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) =x 3

x+ 2 f0_{(x) =} 5

(x+ 2)2;siempre es positiva, por tanto creciente en todo su dominio. Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión:

f00_{(x) =} 10 (x+ 2)3

signo 10

(x+ 2)3

!

+

-2

-Convexa en( ₁; 2) Concava en( 2;+₁)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

4. f(x) = x 3 (x 1)2

Eliminamos los puntos que anulan en denominador(x 1)2= 0 =₎x= 1 Dominio R-{1}

Corte con los ejes:

8 > > < > > :

x= 0 =₎f(0) = 0 3

(0x 1)2 = 0 y= 0 =₎ x

3

(x 1)2 = 0 =)x= 0 (0;0)

signo x

3

(x 1)2 =signo x 3

-0 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!1

x3

(x 1)2 =1

C onsultando el signo =₎ 8 > > < > > : lim x!1+

x3

(x 1)2 = +1 lim

x!1 x3

(x 1)2 = +1

-0

+

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador.

m= lim x! 1

f(x) x = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : lim x!+1

x3 (x 1)2

x = limx!+1 x2 (x 1)2 = 1

lim x! 1

x3 (x 1)2

x = limx! 1 x2 (x 1)2 = 1

n= lim

x! 1(f(x) mx) =

8 > > > < > > > : lim x!+1

x3

(x 1)2 x = lim_x!+1

2x2 _x (x 1)2

!

= 2

lim x! 1

x3

(x 1)2 x = 2 Así quem= 1; n= 2

Asíntota oblícuay=x+ 2

Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba el signo(f(x) asíntota obícua)

signo x

3

(x 1)2 (x+ 2) =signo

3x 2 (x 1)2

!

-2 3

+

El signo positivo del +₁, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del ₁, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) = x

3 (x 1)2

f0_{(x) = 3} x2 (x 1)2 2

x3 (x 1)3 =

x2_{(x 3)} (x 1)3

signo x

2_{(x 3)}

(x 1)3

!

+

0 +

1

-3 +

Mínimo en (3; f(3)) = 3;27 4 Creciente en( ₁;1)_[(3;₁) Decreciente en(1;3)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

x

y

Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: f00_{(x) =} 6x

(x 1)4

signo 6x (x 1)4

!

-0 +

1 +

Convexa en(0;1)_[(1;+₁) Concava en( ₁;0)

5. f(x) = x+ 5 x2 ₉

6. f(x) = x

2 ₃

x 2

7. f(x) = x

2 ₃

x 2

9. f(x) = x 2

p

x2 ₁

10. f(x) =x

2 _{x+ 1}

x2_{+x+ 1}

11. f(x) = x

2 ₅

2x 4

13 f(x) =x3 _9x2_{+ 24x 20}