Primera parte

Texto completo

(1)

1. f(x) = x 3 1 x2 2. f(x) =x

2 9

x2 4 3. f(x) =x 3

x+ 2 4. f(x) = x

3 (x 1)2

5. f(x) = x+ 5 x2 9 6. f(x) =x

2 3

x 2 7. f(x) = x

2 3

x 2

8. f(x) =x4 18x2+ 20 9. f(x) = x

2

p

x2 1 10. f(x) =x

2 x+ 1

x2+x+ 1 11. f(x) = x

2 5

2x 4

12. f(x) = x 2 (x 2)2

13. f(x) =x3 9x2+ 24x 20 14. f(x) = 1

(2)

1. f(x) = x 3

1 x2 Función racional con asíntota oblícua.

Eliminamos los puntos que anulan en denominador1 x2= 0 =)x= 1 Dominio R-{1,-1}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =)f(0) = 0 3 1 02 = 0 y= 0 =) x

3

1 x2 = 0 =)x 3= 0 =

)x= 0

(0;0)

signo x 3

1 x2 ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+ -1 -0 + 1

--5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!1

x3 1 x2 =1

C onsultando el signo =) 8 > < > : lim x!1+

x3

1 x2 = -1 lim

x!1 x3

1 x2 = +1

+ -1 -0 + 1 -lim x! 1

x3 1 x2 =1

C onsultando el signo =) 8 > < > : lim x! 1+

x3

1 x2 = -1 lim

x! 1 x3

1 x2 =+1

+ -1 -0 + 1

--5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Asíntotas verticalesx= 1; x= 1

Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador.

Recordemos que la asíntota oblícua era: y=mx+n; m= lim x! 1

f(x)

x ; n= limx! 1(f(x) mx)

m= lim x! 1

f(x) x = 8 > > > > > < > > > > > : lim x!+1

x3 1 x2

x = limx!+1 x3

x(1 x2)= limx!+1 x3

x3+x = 1

lim x! 1

x3 1 x2

x = limx! 1 x3

(3)

n= lim

x! 1(f(x) mx) =

8 > > > > > > < > > > > > > : lim x!+1

x3

1 x2 ( 1)x = limx!+1 x3

1 x2 +x = lim

x!+1

x3+x x3

1 x2 = limx!+1 x

1 x2 = 0 lim

x! 1 x3

1 x2 ( 1)x = 0 Así quem= 1; n= 0

Asíntota oblícuay= x

Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba el signo(f(x) asíntota oblícua) signo x

3

1 x2 ( x) =signo x3

1 x2 +x =signo

x3+x x3

1 x2 =signo x 1 x2

+ -1 -0 + 1

-El signo negativo del +1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota; el signo positivo del 1, signi…ca que la función está por encima de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f0(x) =3x2(1 x2) x3( 2x)

(1 x2)2 =

x2(3 x2) (1 x2)2

signo x

2(3 x2) (1 x2)2

! -p 3 + 0 + p 3

-Mínimo en p3; f( p3) = p3;3 2

p

3

Máximo en p3; f(p3) = p3; 3 2

p

3

Creciente en p3; 1 [( 1;1)[(1;p3) Decreciente en 1; p3 [ p3;+1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x

y

(4)

f00(x) = 2x x 2+ 3 (x2 1)3

signo 2x x 2+ 3 (x2 1)3

!

+

-1

-0 +

1

(5)

2. f(x) = x

2 9

x2 4 Función racional con asíntota horizontal

Eliminamos los puntos que anulan en denominadorx2 4 = 0 =)x= 2 Dominio R-{2,-2}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =)f(0) = 0

2 9

02 4 = 9 4

y= 0 =) x

2 9

x2 4 = 0 =)x= 3; x= 3 0;9

4 ;(3;0);( 3;0)

signo x

2 9

x2 4 ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+ -3 --2 + 2 -3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!2

x2 9 x2 4 =1

C onsultando el signo =) 8 > < > : lim x!2+

x2 9

x2 4 = -1 lim

x!2

x2 9

x2 4 = +1

+ -3 --2 + 2 -3 + lim x! 2

x2 9 x2 4 =1

C onsultando el signo =) 8 > < > : lim x! 2+

x2 9

x2 4 =+1 lim

x! 2

x2 9

x2 4 = -1

+ -3 --2 + 2 -3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Asíntotas verticalesx= 2; x= 2 lim

x!+1 x2 9

x2 4 = limx! 1 x2 9 x2 4 = 1 Asíntota horizontaly= 1

Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f(x) asíntota horizontal)

signo x

2 9

x2 4 1 =signo

x2 9 x2+ 4

x2 4 =signo 5 x2 4

--2 +

2

(6)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) =x

2 9

x2 4 f0(x) = 2 x

x2 4 2 x (x2 4)2 x

2 9 = 10x

(x2 4)2

signo 10x (x2 4)2

!

--2

-0 +

2 +

Mínimo en 0;9 4

Creciente en(0;2)[(2;+1) Decreciente en( 1; 2)[( 2;0)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

x

y

Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: f00(x) = 10 3x

2+ 4 (x2 4)3

signo 10 3x 2+ 4 (x2 4)3

!

--2 +

2

-Convexa en( 2;2)

(7)

3. f(x) = x 3

x+ 2 Función racional con asíntota horizontal

Eliminamos los puntos que anulan en denominadorx+ 2 = 0 =)x= 2 Dominio R-{-2}

Corte con los ejes:

8 > < > :

x= 0 =)f(0) = 0 3 0 + 2 =

3 2 y= 0 =) x 3

x+ 2 = 0 =)x= 3

0; 3

2 ;(3;0)

signo x 3

x+ 2 ;colocamos en la recta real las raíces del numerador y del denominador.

+

-2

-3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x! 2

x 3 x+ 2 =1

C onsultando el signo =) 8 > < > : lim x! 2+

x 3

x+ 2 = -1 lim

x! 2 x 3

x+ 2 =+1

+

-2

-3 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 x y lim x!+1

x 3

x+ 2 = limx! 1 x 3 x+ 2 = 1 Asíntota horizontaly= 1

Para situar la función respecto la asíntota horizontal se estudiaba el signo(f(x) asíntota horizontal)

signo x 3

x+ 2 1 =signo

x 3 x 2

x+ 2 =signo 5 x+ 2

+

-2

-El signo positivo del 1, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del +1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(8)

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) =x 3

x+ 2 f0(x) = 5

(x+ 2)2;siempre es positiva, por tanto creciente en todo su dominio. Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión:

f00(x) = 10 (x+ 2)3

signo 10

(x+ 2)3

!

+

-2

-Convexa en( 1; 2) Concava en( 2;+1)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

(9)

4. f(x) = x 3 (x 1)2

Eliminamos los puntos que anulan en denominador(x 1)2= 0 =)x= 1 Dominio R-{1}

Corte con los ejes:

8 > > < > > :

x= 0 =)f(0) = 0 3

(0x 1)2 = 0 y= 0 =) x

3

(x 1)2 = 0 =)x= 0 (0;0)

signo x

3

(x 1)2 =signo x 3

-0 +

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Los puntos que anulan en denominador, nos indican dónde están las asíntotas verticales

lim x!1

x3

(x 1)2 =1

C onsultando el signo =) 8 > > < > > : lim x!1+

x3

(x 1)2 = +1 lim

x!1 x3

(x 1)2 = +1

-0

+

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Sabemos que no hay asíntotas horizontales y si oblícua porque el grado del numerador supera en uno al grado del denominador.

m= lim x! 1

f(x) x = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : lim x!+1

x3 (x 1)2

x = limx!+1 x2 (x 1)2 = 1

lim x! 1

x3 (x 1)2

x = limx! 1 x2 (x 1)2 = 1

n= lim

x! 1(f(x) mx) =

8 > > > < > > > : lim x!+1

x3

(x 1)2 x = limx!+1

2x2 x (x 1)2

!

= 2

lim x! 1

x3

(x 1)2 x = 2 Así quem= 1; n= 2

Asíntota oblícuay=x+ 2

Para situar la función respecto la asíntota oblícua se estudiaba el signo(f(x) asíntota obícua)

signo x

3

(x 1)2 (x+ 2) =signo

3x 2 (x 1)2

!

(10)

-2 3

+

El signo positivo del +1, signi…ca que la función está por encima de la asíntota; el signo negativo del 1, signi…ca que la función está por debajo de la asíntota.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

Estudiemos la monotonía y los extremos relativos: f(x) = x

3 (x 1)2

f0(x) = 3 x2 (x 1)2 2

x3 (x 1)3 =

x2(x 3) (x 1)3

signo x

2(x 3)

(x 1)3

!

+

0 +

1

-3 +

Mínimo en (3; f(3)) = 3;27 4 Creciente en( 1;1)[(3;1) Decreciente en(1;3)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

x

y

Estudiemos la curvatura y los puntos de in‡exión: f00(x) = 6x

(x 1)4

signo 6x (x 1)4

!

-0 +

1 +

Convexa en(0;1)[(1;+1) Concava en( 1;0)

(11)

5. f(x) = x+ 5 x2 9

6. f(x) = x

2 3

x 2

7. f(x) = x

2 3

x 2

(12)

9. f(x) = x 2

p

x2 1

10. f(x) =x

2 x+ 1

x2+x+ 1

11. f(x) = x

2 5

2x 4

(13)

13 f(x) =x3 9x2+ 24x 20

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