MOVIMIENTO OSCILATORIO
MOVIMIENTO OSCILATORIO
1.1. Un bloque de 3,94 kg extiende Un bloque de 3,94 kg extiende 15,7 cm un resorte desde 15,7 cm un resorte desde su posición no estirada.su posición no estirada. Se quita el bloque y se cuelga del
Se quita el bloque y se cuelga del mismo resorte un objeto de 0,520 kg. Encuentremismo resorte un objeto de 0,520 kg. Encuentre el periodo de oscilación del objeto
el periodo de oscilación del objeto..
F = -K X F = -K X K= F/X……… (1) K= F/X……… (1) F= m.a……… (2) F= m.a……… (2) Reemplazamos 2 en 1 Reemplazamos 2 en 1 K= K=
..
K =K =..
..
.
.
= 246.19 N/m = 246.19 N/m Ahora el periodo (t) = 2 Ahora el periodo (t) = 2ππ
T= T= 22ππ
.
.
,
,
= = 0,29 s0,29 s 2.2. Un oscilador se compone de un bloque de Un oscilador se compone de un bloque de 512 g de masa, conectada a un resorte.512 g de masa, conectada a un resorte. Cuando hace que oscile con una amplitud de 34,7 cm, se observa que repite su Cuando hace que oscile con una amplitud de 34,7 cm, se observa que repite su movimiento cada 0,484 s. Calcul
movimiento cada 0,484 s. Calcul
Datos: Datos:
=512.
=512.
=0,512
=0,512
==34,7.
34,7.
==
0,347m0,347m a) a) El periodoEl periodo T = T = 0,484 s0,484 sb) b) La frecuenciaLa frecuencia T = T =
T =T =
.
.
= 2,07 Hz = 2,07 Hz c)c) La frecuencia angularLa frecuencia angular W =
W =
,
,
= 12,97 rad/s = 12,97 rad/s d)d) La constante de fuerzaLa constante de fuerza W =
W =
12,97 12,97 ==
,,
= 86,19 N/m = 86,19 N/m e)e) La fuerza máxima ejercida sobre el bloque.La fuerza máxima ejercida sobre el bloque. F
F = = -k.x -k.x F F = = 86,19 86,19 x x 0,347 0,347 = 29,91N= 29,91N
3.
3. Un objeto de 5,22 kg Un objeto de 5,22 kg se sujeta al extremo inferior de un resorte vertical y se hacese sujeta al extremo inferior de un resorte vertical y se hace que se vibre. Su rapidez máxima es 15,3 cm/s y
que se vibre. Su rapidez máxima es 15,3 cm/s y el periodo es de 645 el periodo es de 645 s .Calcule:s .Calcule:
Datos:
Datos:
==
,
,
..
=0,153/
=0,153/
a)
a) La constante de fuerza del resorteLa constante de fuerza del resorte T = 2
T = 2ππ
,
,
= 645 = 645,
,
√ √
= k= 4,95 x 10 = k= 4,95 x 10-4-4 N/m N/m b)b) La amplitud del movimientoLa amplitud del movimiento W
W ==
= 9,74 x 10 = 9,74 x 10-3-3V
Vmaxmax = W.A = W.A
0,153 = 9,74 X 10 0,153 = 9,74 X 1033.A.A 15,70 m 15,70 m T T=645s=645s
c) La frecuencia de oscilación F =
F =
= 1,55 x 103 Hz4. Una partícula de 12,3 kg se experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1,86 mm. Su aceleración máxima es 7,93 km/
.Datos:
=12,3
=1,86.
=1,8610
−
=
,
.
=7,9310
/
a) Encuentre el periodo del movimiento. A= w2.A
7,93 x 103 = w2.186x10-3
W= 2064, 81 rad/s
T =
T = 3,042 X 10-3sb) ¿Cuál es la velocidad máxima? Vmax= W.A
Vmax= 2064, 81 x 1, 86 x 10-3
Vmax= 3,84m/s
c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.
EMt =
K.A2 K= (W√
2 K= (2064, 81 x 12,3
2 K= 524,4x105N/m EM =
(524, 4 x105) (1, 86x10-3)2 EM=90,71 N/m5. Una masa de 2,0 kg se suspende de un resorte. Un cuerpo de 300g, suspendido debajo de la masa, estira el resorte 2,0 cm más de lo que estaba. Si se quita el cuerpo de 300g y se pon de a oscilar la masa, encontrar el periodo del movimiento.
∑=0
F = -k.x 2(9,81)= -kx………..(1) (2,3)(9,81)=-k(x1+0.02)….(2) Resolviendo (2) 22,56 =19,62 +0,02k Reemplazando (1) en (2) 22,56= 19,62+0,02 k K= 147N/m EL periodo T = 2π
/
= 0,67 s6. En una rasuradora eléctrica, la hoja se mueve hacia delante y hacia atrás una distancia de 2,00 mm. El movimiento es armónico simple, con una frecuencia de 120Hz. Datos:
=2.
=210
−
=120
2mm 2mm Datos:
=2
=300.
=0,3
=2.
=0,02
a) La amplitud A = 2x10-3m
b) La rapidez máxima de la hoja
F =
120 =
T =
= 8, 3 x 10-3 T =
w=π
,
= W = 757, 01 rad/s Vmax= W.A Vmax= 757, 01 x 1x10-3 Vmax=0,757m/sc) La aceleración máxima de la hoja Amax = W2x A
Amax = 757, 01 x 10
Amax = 573, 06 m/s2
7. Los átomos de un sólido están en vibración continua debido a la energía térmica. A la temperatura ambiente, la amplitud de la vibración atómica es aproximadamente de 1
0
−
cm, y la frecuencia de oscilación es aproximadamente de 10
Hz.(-A) 10-9cm 10-9cm(A)
Datos: A=10-9 cm x
= 10-11mf= 1012 Hz
a) ¿Cuál es el periodo aproximado de oscilación de un átomo?
T=?
b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad? T =
πw
W =
= W =6, 28 X 10-12 rad/s Vmax = W.A Vmax = 6, 28 x 1012x10-11
= 62, 8 m/s8. La ecuación de movimiento de una partícula en movimiento armónico simple está dado por y= 10 sen(0,50t) (en donde “y” está en centímetros). Hallar:
a) El periodo T =?
Hallamos la frecuencia angular en la función W= 0,50 rad /s T=
= T =.
= T = 12,57 s b) La velocidad Vmax= W.A Vmax = 0, 50 X 10 Vmax = 5cm/s c) La aceleración de la partícula en t= 1s T = 1s
= 10 sen 0.50 t
′
=
Vt= 10 cos (0, 5t) 0.5
′′
=
at= -10 Sen (0.5t) (0.5)2 at= -2.5 (Sen 0.5 t) En t = 1s A1= -2.5(Sen 0, 5) A1 = -2, 5 (0.48) A1= -1, 19 cm/s29. El movimiento armónico simple de una masa de 0,20 kg en un resorte es descrito por y= 20sen(2
t) (en donde y está en centímetros). En t=
s. Calcular :Datos: m=0,2kg -A A a) El desplazamiento t= 1/8 Y= 20 Sen(2π
) Y= 20(0,71) Y= 10√ 2
cm 14,14 cm b) La velocidad de la partícula Vt =20Cos(2πt)(2π) V1/8= 40π (
) V1/8 =88,86 cm/sc) ¿Cuál es la energía total del sistema? EM =?
K=?
W=
2π=
.
k = 7, 9 N/m EM =
K.A2EM =
(7, 9 x0, 2) 0,79J10. Un sistema oscilatorio de bloque – resorte tiene una energía mecánica de 1,18 J, una amplitud de 9,84 cm y una rapidez máxima de 1,22 m/ s. Calcule
Datos:
=1,18
=9,84. 1
100=0,0984
=1,22/
a) La constante de fuerza del resorte K=?
1,18 =
k. (0,0984)2 K= 243,74 N/mb) La masa del bloque M=? Vmax =W.A 1, 22= W.0, 0984 W= 12,398 rad/s Pero: W =
12,398 =
,
m= (√ ,
,
) 2 m= 1,585 Kg c) La frecuencia de la oscilación. F=?
=
= f
,
= f =
1,97 Hz11. Una partícula de 12,3 kg se experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1,86 mm. Su aceleración máxima es 7,93 km/
.a) Encuentre el periodo del movimiento b) ¿Cuál es su velocidad máxima?
c) Calcule la energía mecánica total de oscilador armónico simple.
Datos:
m= 12,3 Kg A= 1,86 x 10-3m
a
max= 7930 m/s
2SOLUCION:
Remplazamos en:
/
,
= ω ω= 2064,80 rad/sa)
T=
b)
= ω. A T=
, /
Vmax= (2064,80 rad/s )(1,86x 10-3) T= 3, 043x 10-3 s V max = 3,84 m/s Remplaza en la ecuacion. c) EM=
ω=
EM=
52440516,131,86x
10-3)2 k= ω2. M EM= 90,71 J k= 2064,80 rad /s x 12.3 Kg k= 52440516,13N/m12. Un objeto de 5,13 kg se desplaza por una superficie horizontal sin fricción bajo la influencia de un resorte por un constante de fuerza de 9,88 N/cm. El objeto se desplaza 53,5 cm y se le imprime una velocidad inicial de 11,2 m/s de regreso a la posición de equilibrio. Encuentre:
a) La frecuencia del movimiento
b) La energía potencial inicial del sistema c) La energía cinética total
d) La amplitud del movimiento
Datos:
a)
F =? ω=
ω=
/
,
= 13,88 rad/ s F=ω
F=, rad/
F= 2,21 Hzb)
Ep =
Ep =
988
53,5 10
−
Ep = 141,4 J c) Ek=
Ek=
5,13 11,2
Ek=321,75 J d) v=ω√
, /
ω
= A
,
,
53,5
= A A= 53,50 m13. Suspende un bloque de 4,00 kg de un resorte con una constante de fuerza de 5,00 N/cm. Una bala de 50,0 g dispara contra él, desde abajo, con una rapidez de 150 m/s se incrusta en el bloque.
a) Determine la amplitud del movimiento armónico simple resultante.
b) ¿Qué parte de la energía cinética original de la bala aparece como energía mecánica en el oscilador?
Datos:
m= 4 Kg k= 500N/m m= 50g V= 150 m /s SOLUCION
a) Por conservación de cantidad de movimiento: mv0b +v0b= mvf + MvFb (0,05 kg) (150 m/s) = Vmax (m+M) Vmax=
, /
,+
= 1,85 m/s Pero: Vmax =ω. A ω =
ω =
/
,+
= 11,11rad/s 1,85m/s = (11,11rad/s) (Am) A=, /
,
= 0,17m c) Em de la bala:
.
=
0,05
= 7,5 J EM oscilador :
.
=
0,05
0,17
= 4,25x10^(-3)J EM=
EM oscilador =,^−J
,
Ep =0,01314. Un orgulloso pescador de altamar cuelga un pez de 65,0 kg de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0,12m.
a) Calcule la constante de fuerza del resorte.
b) ¿Qué periodo de oscilación tiene el pez si se tira del hacia abajo y luego se suelta?
a) b) ∑ Fy = 0 T= 2π
F= m.a y F=k.x T= 2π
, /
K=.
T= 0,705 s k= , /
,
k= 5313,75 N/m15. Un ratón de 0,300kg ,nada contento , se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerzas k=2,50 N/m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora Fx=-b
a) Si b= 0.900 kg/s ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? b) ¿Con que valor de la b la amortiguación será crítica?
a)Si b = 0900 Kg/s ¿Qué frecuencia de oscilación tiene el ratón?
ω =
Pero: ω =
, /
,
,
,
f=ω
f= (2,47 rad/s) /2π ω = 2,47 rad/s f= 0,39 Hzb) Para que sea críticamente amortiguado la frecuencia amortiguada debe ser nula, entonces quedaría
=0 Despejando “b” b=
.
b= 2√ .
b= 2 2,5 /.0,3
b= 1,73 Kg/s16. Dos bloques (m= 1,22 k g y M = 8,73 kg) y un resorte (k= 344N/M) están dispuesto sobre una superficie horizontal y sin fricción, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática entre ellos es 0,42. Determine la máxima amplitud posible del movimiento armónico simple, si no ocurre resbalamiento entre los bloques.
Datos: m=1,22kg , M=8,73kg , k=344N/m , u=0.42 Hallamos la frecuencia angular:
w=
+
w=
,+,
/
w=5,88rad/sPero la aceleración debe ser máxima para que el bloque “m” no caiga. entonces: amax =
amax=
,
Analizamos y hacemos un D.C.L del bloque “m”
∑=0
∑=0
Nm - Wm=0 Nm= m.g Fm - m.a=0 Pero: Fm=
.
Remplazando queda: .=.
..=.
amax=g.uIgualamos las dos “amax”
.=
.
(9,81)(0.42)=(588
Despejando “A” y resolviendo queda: A=0,12m
m
Wm
Nm
17. Dos resortes están conectados a un bloque de masa m, que puede deslizarse por una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura.
Demuestre que la frecuencia de la oscilación del bloque es :
f=
Donde f 1 y f 2 son las frecuencias a que el bloque oscilaría si estuviera conectada
solo al resorte 1 o 2 (El equivalente electrónico de este sistema es una combinación en serio de dos capacitores.
F=?
Demostrando
F=
+
T= 2π
F=
F=
+
18. En la siguiente figura determinar la frecuencia de oscilación del bloque “m”.
=
=
19. Una masa m se conecta a dos resortes de constates fuerzas k1y k2 como en la
figura a, b, c. En cada caso, la masa se mueve sobre una superficie sin fricción al desplazarse del equilibrio y soltarse. Encuentre el periodo del movimiento en cada caso. a)
=
∗
=
∗
+
s b)
=
=
+
s c)
=
=
+
s20. Al suspender un cuerpo de masa m de un resorte de constante k1, y separarlo
ligeramente de su posición de equilibrio, el sistema oscila con una frecuencia f 1.
Si ahora este resorte se monta como indica la figura, junto con otros dos de constantes k2 =2k1y k3 =4k1, utilizando una barra de peso despreciable ¿Cuál será
la nueva frecuencia propia del sistema con relación al interior? A es el punto medio de la barra. Resorte 1:
= 2
=
∗
2
=
Resorte 2:= 2
=
∗
4
=
Resorte 3:=
=4
∗
4
=
Entonces:
Ʃ
=
2
2
Siendo:=
=2
4
2 4
=5
8
=85
La frecuencia seria:= 12 8
5 . . . 1
Pero además la frecuencia del resorte 1 es:
= 12
. . . 2
Ahora:
21. En el diagrama de la figura del resorte tiene masa despreciable y una longitud de 20 cm cuando está sin deformar. Un cuerpo de 2kg, unido al resorte puede moverse sobre una superficie plana horizontal lisa. A dicho cuerpo se le ata un hilo que pasa por una polea sin rozamiento y del cual pende un cuerpo de 4kg. El sistema se halla inicialmente en reposo en la posición representando y la longitud del resorte comprimido es de 15cm. Se corta entonces el hilo y el cuerpo de 2kg empieza a oscilar con movimiento armónico simple.
a) ¿ Cuál es el valor de k.
b) Hallar la ecuación diferencial
c) Hallar la amplitud de oscilación y la frecuencia natural del MAS. d) Halle la energía mecánica del sistema.
a) k = ?
∆=0.20.15=0.05
=∗
= => =
4 9.81
0.05 = => =784.8
b) Hallar la ecu. diferencialSabemos que F=m.a pero que también F=-k.x entonces: –K x = ma Pero sabemos que la:
=
Remplazamos “a” y ordenamos la ecuación:
Dividimos entre “m”
=0
Reemplazamos el valor de “k” en la ecuacion:
784.8 2=0
392.4 =0
c) A = 0.05 m= => 784.82 => 19.81
= 2 => =19.812=3.15
d)
=12 ∗
=12 784.8∗0.05
=0.98
22. Un pequeño proyectil de masa 10 g que vuela horizontalmente a velocidad 20 m/s impuesta plásticamente contra un bloque de madera de masa 190 g unido a un resorte ideal de constante 500 N/m que se halla en posición horizontal . Determine la amplitud y frecuencia de las oscilaciones producidas.
V0 = 20
Datos: M1= 140 g
Mp= 10 g
Por conservación de cantidad de movimi ento tenemos:
=(
)
=
=>
= 10 20
200 =1
Ahora por conservación dela energía:
120.21
= 12 ∗
120.21
= 12 500∗
0.2500=
=0.02
Ahora la fecuencia:= 12
= 12 5000.2
=7.96
23. Se cuelga un objeto de masa 0,2 kg de un resorte cuya constante es 80N/m. Se somete el objeto a una fuerza resistente dada por –bv, siendo v su velocidad en m/s.
a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones libres del sistema.
b) Si la frecuencia con amortiguamiento es
3/2
de la frecuencia sin amortiguamiento, ¿Cuál es el valor de la constante b?a)
Ʃ
=0
=
Fuerza resultante es:
=
1.96=
= 2
= 20.2 => = 0.4
=
4
Ecuación diferencial:
2∗
∗=0
5∗
4
∗=0
5∗4
4
∗=0
b)
=√ 32 => √ 32
=12 ∗4
∗4
4
34= 14
∗4
4
12
=4
=412
= 412
=> = 40.280120.2
=7.7
24. Un objeto de masa 0,2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 80 N/m. El cuerpo se somete a una fuerza resistente dado por –bv siendo v su velocidad (m/s) yb= 4N.s/m.
a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones libres del sistema y hallar su periodo.
b) Se somete el objeto a una fuerza impulsora sinusoidal dada f (t) = f 0senωt ,siendo
f 0 = 2N y ω = 30rad/s. En estado estacionario. ¿Cuál es la amplitud de la oscilación
forzada? a)
=
=
1.96=804
Periodo:=2
= 2
∗4
∗4
4
=> = 2
4
4
2
2
=
12
4
0.2
80
2
4∗
2
=0.91
Ecuación diferencial:= 2 => =4∗
20.2
=∗ ℮
−
∗cos∗
=∗ ℮
−
∗cos6.93∗
=∗ ℮
−
∗cos6.93∗
b)
=
sin
Donde:Fuerza impulsadora máxima:
=2
=30
=0
=
∗
∗
=
∗ [30
17.32
]
=> =
0.2∗30
2
17.32
25. Una placa plana P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f=1,5 Hz .Un bloque B descansa sobre la placa, como se muestra en la figura, y el coeficiente de fricción estática entre el bloque y la placa es µ=0,60. ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque s obre la placa?
Datos: mB , mP , f=1,5 Hz , u=0.6 Hallamos la frecuencia angular:
w=
+
w=2
w=2=3 /
Pero la aceleración debe ser máxima para que el bloque “B” no caiga. entonces: amax =
amax=3
Analizamos y hacemos un D.C.L del bloque “B”
∑=0
∑=0
NB - WB=0 NB= m.g FB - m.a=0 Pero: FB=
.
Remplazando queda: .=.
..=.
amax=g.uIgualamos las dos “amax”
.=
.
(9,81)(0.6)=3
Despejando “A” y resolviendo queda: A=0,066m
26. Se da una relación interesante entre el sistema de bloque – resorte y el péndulo simple. Supóngase que cuelga usted un objeto de masa M en el extremo de un resorte y que, cuando el objeto en equilibrio, estira el resorte una distancia h. Demuestre que la frecuencia de este sistema es la misma que la de un péndulo simple de masa m y de longitud h, aun cuando m = M (Ver figura).
B
WB
NB
Para el péndulo:
=
. . . (1) Para el resorte:=
. . . (2) Pero sabemos que F= k.xSiendo F= WM = Mg y x= h Por lo tanto:
=
=
. . . (3) Remplazando (3) en (2)= 12
.ℎ
resolviendo queda := 12 ℎ
Con esto se ha demostrado que para cualquier masa “M”o “m” en un resorte, la frecuencia es igual que para el péndulo de longitud “h”solo si el desplazamiento del resorte también es “h”.
27.Dos resortes de 0,2 m de longitud natural cada uno, pero constante de recuperación k1
y k2diferentes, están unidos a las caras opuestas de un bloque de masa m situado sobre
una superficie horizontal sin rozamiento. Los otros extremos de los resortes se fijan a dos clavos P1 y P2, situados a 10 cm de las posiciones iniciales de los resortes. El bloque
que oscila con una amplitud de 0,05 m. En el instante en que pasa por su posición de equilibrio, se deja caer verticalmente sobre el bloque una masa de barro de 0,1 kg que se adhiere a él. Determínese el nuevo periodo y la amplitud. Sean :
=4
=0.2
Nuevo Periodo:=2 => =2 0.24 => =1.404
Frecuencia:= 11.404 => =0.712
Aceleración máxima:
=
∗
= =>
= =>
= 40.1 =>
=40
=40∗0.05
=2
La nueva amplitud máxima:
