DEDICATORIA DEDICATORIA Este
Este trabajo trabajo esta esta dedicado dedicado a a todos aquellos que son deseosos todos aquellos que son deseosos de
PRESENTACION
PRESENTACION
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Este trabajo ha sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante
Este trabajo ha sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante
ejemplos a la resolución de problemas sobre “LA APLICACIÓN DE EDO’S”
ejemplos a la resolución de problemas sobre “LA APLICACIÓN DE EDO’S”
(ecuaciones diferenciales) al
(ecuaciones diferenciales) al ““DRENADO DE TANQUES
DRENADO DE TANQUES”” que pueden contener
que pueden contener
líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y ello requiere saber predecir el
líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y ello requiere saber predecir el
tiempo que demora en drenar todo o alguna parte del contenido, como también
tiempo que demora en drenar todo o alguna parte del contenido, como también
saber el volumen de líquido que desaloja en un determinado instante; así que bueno
saber el volumen de líquido que desaloja en un determinado instante; así que bueno
pues, aquí veremos como determinar cada variable que necesitemos, para lo cual
pues, aquí veremos como determinar cada variable que necesitemos, para lo cual
nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado, tema ya abarcado por
nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado, tema ya abarcado por
el docente
el docente de Análisis
de Análisis Matemático IV, que
Matemático IV, que estoy seguro
estoy seguro que muchos
que muchos de vosotros
de vosotros
conocéis a la perfección.
conocéis a la perfección.
En la primera parte, veremos una pequeña INTRODUCCIÓN al tema referido
En la primera parte, veremos una pequeña INTRODUCCIÓN al tema referido
anteriormente, donde los modelos de los planteamientos en muchos casos ya fue
anteriormente, donde los modelos de los planteamientos en muchos casos ya fue
establecida, como por ejemplo la ley de Torricelli que define la velocidad de un
establecida, como por ejemplo la ley de Torricelli que define la velocidad de un
líquido, obviamente que ella fluye a través de un agujero de bordes agudos en la
líquido, obviamente que ella fluye a través de un agujero de bordes agudos en la
parte inferior de un recipiente, tanque o algo similar que se pueda considerar como
parte inferior de un recipiente, tanque o algo similar que se pueda considerar como
ello, con una ecuación matemática v=
ello, con una ecuación matemática v=
principio de energía; seguido,
principio de energía; seguido, la forma de la cual podemos plantear un
la forma de la cual podemos plantear un
determinado caso de drenado de tanque
determinado caso de drenado de tanque, como veremos en diversos
, como veremos en diversos
recipientes, sean estas cilíndricas, prismáticas, cónicas, esféricas, etc. Y a partir de
recipientes, sean estas cilíndricas, prismáticas, cónicas, esféricas, etc. Y a partir de
planteamientos lógicos, obtener una ecuación diferencial que defina dicho
planteamientos lógicos, obtener una ecuación diferencial que defina dicho
fenómeno; para ello en este trabajo presentamos algunos casos de drenado de
fenómeno; para ello en este trabajo presentamos algunos casos de drenado de
tanques en donde
tanques en donde obtenemos la Ecuación General
obtenemos la Ecuación General, del cual podemos descubrir
, del cual podemos descubrir
y analizar el volumen de líquido que posee el recipiente en un determinado instante,
y analizar el volumen de líquido que posee el recipiente en un determinado instante,
la altura de líquido, el tiempo requerido para dejar vacío el recipiente, etc.
la altura de líquido, el tiempo requerido para dejar vacío el recipiente, etc.
Además,
Además, en
en la
la parte
parte final
final hacemos
hacemos la
la aplicación
aplicación de
de las
las ecuaciones
ecuaciones establecidas
establecidas
anteriormente, mediante una serie de
anteriormente, mediante una serie de Problemas Resueltos
Problemas Resueltos, aquí es necesario
, aquí es necesario
tener en cuenta los conceptos explicados anteriormente, aunque podemos prescindir
tener en cuenta los conceptos explicados anteriormente, aunque podemos prescindir
de ello, porque estos ejercicios están resueltos de la forma como se planteó la forma
de ello, porque estos ejercicios están resueltos de la forma como se planteó la forma
general, y bueno la cuestión para resolver una determinada ecuación diferencial de
general, y bueno la cuestión para resolver una determinada ecuación diferencial de
primer orden, se puede hacer mediante la separación de variables o cualquier
primer orden, se puede hacer mediante la separación de variables o cualquier
método que ustedes conozcáis, en fin, en este curso lo que se pretende es poder
método que ustedes conozcáis, en fin, en este curso lo que se pretende es poder
resolver una ecuación
resolver una ecuación con los métodos que nos imparte nuestro docente, y
con los métodos que nos imparte nuestro docente, y
también los adquiridos de diversos libros interesantes, consulten y encontraran
también los adquiridos de diversos libros interesantes, consulten y encontraran
mucho más de los limites (no me refiero a los limites matemáticos); espero, que este
mucho más de los limites (no me refiero a los limites matemáticos); espero, que este
pequeño aporte signifique algo de ayuda
pequeño aporte signifique algo de ayuda
..El ed
El editor y itor y el el Grupo Grupo 55 (porque somos cinco integrantes)(porque somos cinco integrantes)
(2gH), dicha ecuación fue obtenida gracias a
(2gH), dicha ecuación fue obtenida gracias a
la resolución del planteo de una ecuación diferencial, pero se puede obtener con el
la resolución del planteo de una ecuación diferencial, pero se puede obtener con el
OBJETIVOS OBJETIVOS
El estudio del tema y las
El estudio del tema y las consideraciones pertinenconsideraciones pertinentes a cada caso permitirán:tes a cada caso permitirán:
Plantear las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y obtener las fórmulas finalesPlantear las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y obtener las fórmulas finales
deseadas. deseadas.
Conocer las ecuaciones aplicables a los Conocer las ecuaciones aplicables a los casos más frecuentes presentados en la casos más frecuentes presentados en la prácticapráctica
industrial y sus limitaciones. industrial y sus limitaciones.
Calcular la influencia que ejercen las pérdidas de carga en el Calcular la influencia que ejercen las pérdidas de carga en el proceso de trasvase sobre losproceso de trasvase sobre los
tiempos de descarga. tiempos de descarga.
Aprender cómo af Aprender cómo afectan algunas variables al fenómectan algunas variables al fenómeno de descaeno de descarga.rga.
Conocer las desviaciones experimentales respecto de los datos Conocer las desviaciones experimentales respecto de los datos teóricosteóricos
Puede decirse que es de gran interés que el Puede decirse que es de gran interés que el modelo numérico incorpore utilidades (pantallamodelo numérico incorpore utilidades (pantalla
gráfica) que permitan una fácil introducción de las características geométricas de la red y gráfica) que permitan una fácil introducción de las características geométricas de la red y ayuden al análisis de resultados. Por otra parte, la
ayuden al análisis de resultados. Por otra parte, la selección de los parámetros a introducir en elselección de los parámetros a introducir en el modelo deben de se realizados por personas conocedoras de la red v d
modelo deben de se realizados por personas conocedoras de la red v de los fenómenose los fenómenos hidráulicos estudiados.
hidráulicos estudiados.
INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN
En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea con En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea con fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro aprovechando mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro aprovechando las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su
las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedaddisposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente. En ambos desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente. En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como ya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos empleo requiere. Como ya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los
y no agreguen valor a o los productos elaborados.productos elaborados.
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el
del recipiente determina el comportamiencomportamiento físico del to físico del agua.agua.
El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles, operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos. El importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratado en los textos clásicos de operaciones unitarias tema que presenta interés práctico, no es tratado en los textos clásicos de operaciones unitarias pero sí en publicaciones técnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de pero sí en publicaciones técnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de sus aplicaciones en la industria.
DRENADO, VACIADO DE TANQUES Y
DRENADO, VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTERECIPIENTESS
El VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTES es un proceso en régimen no estacionario dado que El VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTES es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente
energía del sistema de la siguiente forma:forma:
2 2 1 1 gh gh v= v= 2gh2gh 2 2mv mv m m
Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v =
una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = (2gh), donde g es la(2gh), donde g es la
aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, ½(mv aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, ½(mv22),), con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar
vaciar por por un un agujero, agujero, por por la la acción de acción de la la gravedad. gravedad. Queremos Queremos determinar determinar la la profundidad, profundidad, h, h, deldel agua que queda en el tanque (Fig. 1.
agua que queda en el tanque (Fig. 1. 1) en el 1) en el momento t.momento t.
figura1.1 figura1.1
Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del tanque es v =
tanque es v = (2gh), en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo,(2gh), en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo,
es Ao
es Ao(2gh), en pies cúbicos por segundo. Así, si V(t) representa al volumen del agua en el tanque(2gh), en pies cúbicos por segundo. Así, si V(t) representa al volumen del agua en el tanque
en cualquier momento t, en cualquier momento t,
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá:
orificio, por lo que se tendrá:
2g 2g v
v k k hh
donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Y k es el coeficiente de descarga donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Y k es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < k < 1).
comprendido entre 0 y 1 ( 0 < k < 1).
OBSERVACION: OBSERVACION: Cuando el
Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del
líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salidaorificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es:
por la velocidad v del agua drenada, esto es:
2g 2g dV dV av reemplazando av reemplazando dt dt dV dV ak ak hh dt dt
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se
método del volumen por secciones transversales se obtiene:obtiene:
0 0 0 0 ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) 22gg ( ( ) ) 22g g ... . . . . v. vaarr h h h h V V A A hh ddhh d dVV dd ddhh A h A h dh dh A hA h d dt t ddt t ddt t dh dh A h A h ak ak hh dt dt A h
A h dh dh ak ak hdhdt t Ec Ec Dif Dif de de iable iable separableseparable
Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área
Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del orificio de salida eldel orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, k el coeficiente de descarga y A(h) el área de cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, k el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es: tanque es: ( ( 22 g g )) ( ( ) ) 22 g g A h A hdh dh ak ak hdhdt t dh dh A h A h ak ak hh dt dt
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h
de conocer la altura inicial h00 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la alturapara el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo.
de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, hay aporte de líquido al
Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial estanque, la ecuación diferencial es
( ( ) ) dhdh 22gg A h A h P P ak ak hh dt dt
MODELO MATEMÁTICO DEL DRENADO DE TANQUES MODELO MATEMÁTICO DEL DRENADO DE TANQUES
Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura H Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura H00. . ElEl tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es
tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A mA m22. Se abre el orificio y el líquido cae libremente.. Se abre el orificio y el líquido cae libremente. Razonamiento:
Razonamiento:
La razón volumétrica de salida
La razón volumétrica de salida QQ dV dV dt dt
es proporcional a laes proporcional a la velocidad de salidavelocidad de salida y aly al área del orificioárea del orificio,,
es decir, es decir, dV dV kAv kAv dt dt
Aplicando la ecua
Aplicando la ecuación de energía:ción de energía: 11 22
gh
gh v= v= 2gh2gh 2
2mv mv m m , por lo tanto,, por lo tanto, 2gh 2gh dV dV kA kA dt
dt Ecuación diferencial de primer ordenEcuación diferencial de primer orden
Donde: g = 9.81m/s Donde: g = 9.81m/s22
A: área del orificio, por don
A: área del orificio, por donde se drena el líquido.de se drena el líquido.
“k” es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1
“k” es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0 < k < (0 < k < 1).1). La constante k depende de la forma del orificio:
La constante k depende de la forma del orificio:
Si el orificio es de Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.forma rectangular, la constante k = 0,8.
Si el orificio es de Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65forma triangular, la constante 0,65 kk0,75.0,75. Si el orificio es de Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.forma circular, la constante k = 0,6.
Y en algunos ca Y en algunos casos viene especificsos viene especificada.ada.
Caso 1.
Caso 1. Cilindro circular de altura HCilindro circular de altura H00 m y radio R m, m y radio R m, dispuesto en forma vertical y con un orificiodispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro D (en m) (Ver figura
circular de diámetro D (en m) (Ver figura 01).01).
2gh 2gh dV dV kA kA dt dt 2 2 2 2 0 0,,6 6 2 2 99..881 1 h h 00..66664 4 h h ((11)) 2 2 dV dV DD D D dt dt Pero Pero ddV V R R d2 2 dh h ddV V RR22dhdh (2))(2 d dt t ddt t Como (1)= (2): Como (1)= (2): 2 2 22 0 0..66664 4 hh dh dh R R DD dt dt y separando variables: y separando variables:
2 2 2 2 2 2 1/2 1/2 2 2 2 2 2 2 0.664 0.664 int
int grangrandodo h h 0.664 0.664 0.664 0.664 2 2 hh dh dh DD dt dt ee R R D D h h ddh h ddt t R R D D t t CC R R
Con las condiciones iniciales: t = 0, h =
Con las condiciones iniciales: t = 0, h = HH00, hallamos la constante C, veamos:, hallamos la constante C, veamos:
2 2 0 0 22 0 0 0.664 0.664 2 2 ((00)) 2 2 D D H H CC R R C C H H
Entonces, de la ecuación podemos despejar el
Entonces, de la ecuación podemos despejar el tiempo.tiempo.
2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0.664 0.664 2 2 h h 22 h h 0.332 0.332 D D t t H H R R H H RR t t D D El tiempo de vaciado (tEl tiempo de vaciado (t v v): se obtiene cuando h = 0.): se obtiene cuando h = 0.
22 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0.332 0.332 0.332 0.332 H H RR t t D D H H RR t t D D Esto es el tiempo que se demora en
Esto es el tiempo que se demora en el drenado del tanque cilíndrico.el drenado del tanque cilíndrico. Caso 2.
Caso 2. El mismo cilindro anterior pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el El mismo cilindro anterior pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.fondo.
2 2 2 2ggh h 22ggh h ...( ( )) 4 4 dV dV DD kA kA kk dt dt
pero de la Figura adyacente, tenemos: pero de la Figura adyacente, tenemos:
0 0 2 2 22 22 22 22 2 2 2 2 0 0 2 2 :: ( ( )) 22 00 2 2 :: 2 2 22 d
dV V xxH H ddh th tamambbiienen x
x h h r r r r x x h h hr hr x
x hr hr h h EntonEntoncesces d dV V hhr r h h H H ddhh Reemplazando en (*) Reemplazando en (*) 2 2 22 0 0 2 2 0 0 2 2 22 2gh 2gh 4 4 2g 2g 2 2 .. .. vvaarr 8 8 h hr r h H h H DD k k dt dt k k DD r
r hhddh h ddt t EEc c DDiif f dde e iiaabblle se seeppaarraabbllee H H Condiciones iniciales: en t0 = 0 h =
Condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallamos la constante de integración.2r, con ella hallamos la constante de integración. El tiempo de vaciado t
El tiempo de vaciado t v v se produce cuando h = 0.se produce cuando h = 0.
Caso 3.
Caso 3. Un cono circular recto de altura HUn cono circular recto de altura H00 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circulary radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro D. en el fondo de diámetro D. 2 2 2 2 2 2ggh h 22gghh 4 4 2gh 2gh 4 4 dV dV DD kA kA kk dt dt dV dV DD k k dt dt
Por semejanza de triángulos tenemos que: Por semejanza de triángulos tenemos que:
2 2 22 2 2 0 0 2 2 0 0 00 2 2 33/ 2/ 2 2 2 22 2 2 0 0 2 2 22 3/2 3/2 00 2 2 :: 2 2gghh 22gg 4 4 44 2g 2g 4 4 H H RhRh R R R R hh r r CCoommo o dd V V r r ddh h dd V V ddhh r r h h H H H H d dVV D D RR hh DD k k ddhh k k ddtt d dt t H H D D H H h h ddh h k k ddt t R R
Tiempo de descarga en tanques y recipientes
Tiempo de descarga en tanques y recipientes
El diseño de tanque más difundido en la industria es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical El diseño de tanque más difundido en la industria es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo pl
con fondo plano. Consideranano. Considerando este y otros diseñdo este y otros diseños, ya detallados, comos, ya detallados, como base y o base y calcularemos elcalcularemos el tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan en diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan en cada caso.
cada caso.
Influencia de la geometría del recipiente
Influencia de la geometría del recipiente
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del
recipiente determina el comportamiento físico del agua.agua. A
A medida que medida que se se produce la produce la descarga del descarga del líquido y líquido y según la según la forma geométrica forma geométrica del del tanque, tanque, puedenpueden presentarse dos situaciones:
presentarse dos situaciones: 1. que el área
1. que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, otransversal del recipiente sea constante en toda su altura, o 2. que el área
2. que el área transversal varíe en distintos nivelestransversal varíe en distintos niveles
En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en el caso En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en el caso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se mantiene constante en toda su altura. Si el analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se mantiene constante en toda su altura. Si el área transversal varía, el tema es más complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene área transversal varía, el tema es más complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocer la función que relaciona el área con la altura de
que conocer la función que relaciona el área con la altura de líquido, esto es, encontrar la rlíquido, esto es, encontrar la relación:elación: Esta cuestión es importante dado que es otro de
Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentes que se presentan en la los casos frecuentes que se presentan en la prácticapráctica industrial en los tanques y recipientes de diseño API o ASME tal
industrial en los tanques y recipientes de diseño API o ASME tales como:es como: • Recipientes esféricos
• Recipientes esféricos
• Recipientes cilíndricos horizontales de: • Recipientes cilíndricos horizontales de:
- cabezales semielípticos - cabezales semielípticos - cabezales semiesféricos - cabezales semiesféricos - cabezales toriesféricos - cabezales toriesféricos - cabezales planos - cabezales planos
• Recipientes cilíndricos verticales de: • Recipientes cilíndricos verticales de: - fondo semielíptico - fondo semielíptico - fondo semiesférico - fondo semiesférico - fondo toriesférico - fondo toriesférico
- fondo cónico - fondo cónico A = f (h)
A = f (h)
La tabla siguiente resume los tiempos de
La tabla siguiente resume los tiempos de descarga para recipientes de diferentes formas descarga para recipientes de diferentes formas geométricasgeométricas sin cañería de conexión.
EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA
PROBLEMA N°01N°01 Un depósito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de diámetro en laUn depósito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de diámetro en la base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá ser el diámetro del orificio para vaciar el deposito en 6 descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá ser el diámetro del orificio para vaciar el deposito en 6 minutos si la altura de carga i
minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m?nicial es de 3,0 m? Resolución
Resolución Sabemos que:
Sabemos que: A(h)dh A(h)dh kka a g22gh d t h d t
En el problema: En el problema: (3 (3 ))2 2 1122 00..6 6 22 22gg 25 25 44 h h dd h h ddh h dd t t Donde: Donde:
dd22 = diámetro del orificio.= diámetro del orificio.
Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene: Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene:
dd22 == 3 3 1 1// 2 2 11// 2 2 33// 22 0 0 4 4 ((99 66 )) 3 3660 25 00 25 0..6 6 22 g g h h h h h h ddhh
Operando tenemos: Operando tenemos: d = 0.0987m =9.87cm d = 0.0987m =9.87cm PROBLEMAPROBLEMA N°02N°02 Un embudo, en cuya salida se tiene un ángulo de 60Un embudo, en cuya salida se tiene un ángulo de 60ooy un área de la seccióny un área de la sección recta de 0.5 cm
recta de 0.5 cm22, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye afuera., contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10 cm.
agua es de 10 cm. Resolución Resolución Por Torricelli:
Por Torricelli: A(h)A(h)**d(h)d(h)CBCB 22ghgh**dt dt
A (h) = A (h) = 3 3 )) )) 30 30 (( * * (( 00 22 22 2 2 hh tg tg h h r r
Entonces reemplazando tenemos: Entonces reemplazando tenemos:
dt dt gh gh dh dh h h 00..66((00..55)) 22 3 3 2 2 2 2 c c t t h h 1212..77 5 5 2 2 2255 Para t = 0 => h = 10 Para t = 0 => h = 10 Luego: Luego: ((1010))5522 5 5 2 2 c c
Reemplazando tenemos: Reemplazando tenemos: 10105522 5522 )) 7 7 .. 12 12 (( 5 5 2 2 h h t t Para h = 0;
Para h = 0; t t 1010segseg
PROBLEMA
PROBLEMA N°03N°03 Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno conUn cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque?
el tanque? Resolución Resolución
La ecuación diferencial asociada a los problemas de
La ecuación diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques esVaciado de tanques es
2g2gh h ...(.(11))
A
A h h dh dh ak ak dt dt
El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es ½ pulgada. Como las
radio es ½ pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la equivalenciaequivalencia de 1 pulgada=1/12 pies y puesto que el área del orificio de salida es el área de una circunferencia de 1 pulgada=1/12 pies y puesto que el área del orificio de salida es el área de una circunferencia (((radio)(radio) 22), resulta que el área “a” del orificio de salida es), resulta que el área “a” del orificio de salida es::
2 2 2 2 1 1 2 24 4 557766 a a ppiiee
El coeficiente de descarga “k” no esta dado por l
El coeficiente de descarga “k” no esta dado por lo tanto se asume k=1 y la o tanto se asume k=1 y la gravedad esgravedad es g=32pies/seg
g=32pies/seg22..
Para determinar A(h), que es el
Para determinar A(h), que es el área de la sección transversal del tanque en área de la sección transversal del tanque en función de la altura “h”,función de la altura “h”, obsérvese en la Figura que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio obsérvese en la Figura que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal es la misma, constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal es la misma, independientemen
independientemente de la altura h te de la altura h a la cual se efectúe el a la cual se efectúe el corte. Así,corte. Así,
110 0 22 110000 22
A
A h h piespies
Sustituyendo a, k, g, y A(h) en
1 1000 0 6644 5 5776 6 7722 7 722000 0 iinnt t ggrraannddoo 7200 7200 1 14444000 0 ...((22)) d dh h hhddt t hhddt t dh dh dt dt ee h h dh dh dt dt h h h h t t CC
Para determinar el valor de la constante k de
Para determinar el valor de la constante k de integración, se usa la condición inicial, esto es, seintegración, se usa la condición inicial, esto es, se sustituye en la ecuación (4) t = 0
sustituye en la ecuación (4) t = 0 seg y h = seg y h = 20 pies, resultando20 pies, resultando
1 14444000 0 220 0 ((00)) 14 1440400 0 2020 C C C C
Este valor obtenido para C se sustituye en la
Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuación (2)ecuación (2)
2 2 1 14444000 0 114444000 0 2200 144 14400 00 2020 ( ( ) ) ...((33)) 14400 14400 h h t t t t h h h t h t
y obtenemos la ecuación (3) que es la ley
y obtenemos la ecuación (3) que es la ley de variación de la altura de lde variación de la altura de líquido en el tanque eníquido en el tanque en cualquier instante t.
cualquier instante t.
Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el
Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual dejatanque, es decir, el tiempo para el cual deja de haber líquido en el tanque, se
de haber líquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en debe sustituir h = 0 en la ecuación (3)la ecuación (3)
2 2 14 14400 400 2020 0 0 14400 14400 1 14444000 20 0 20 gg 64 6439398,78,758 58 gg t t t t sese t t sese
Es decir, 17 h 53 min 19 seg. Es decir, 17 h 53 min 19 seg. PROBLEMA
PROBLEMA N°04N°04 Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a unUn tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las
escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine:tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de
a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad?su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacío?
b) ¿Cuándo estará vacío? Resolución
a)
a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es:vaciado de tanques es:
2g2gh h ...(.(11))
A
A h h dh dh ak ak dt dt
Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1pulg = 1/12 pies, entonces Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1pulg = 1/12 pies, entonces haciendo la conversión, el área orificio de salida será:
haciendo la conversión, el área orificio de salida será: a = 2 pulg
a = 2 pulg22= 2 (1/144) pies= 2 (1/144) pies22 = 1/72 pies= 1/72 pies22 El coeficiente de descarga es k = 1
El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad g = y la gravedad g = 32 pies/seg32 pies/seg22..
Como puede observarse en la Fig,1 las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de Como puede observarse en la Fig,1 las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes e iguales a 12 pies, i
lados constantes e iguales a 12 pies, independientemenndependientemente de la altura te de la altura a la cual se efectúa el a la cual se efectúa el corte,corte, por lo tanto, el área
por lo tanto, el área de las sección transversal será A(h) = 144 de las sección transversal será A(h) = 144 piespies22 Ya que las seccion
Ya que las secciones transversales son de es transversales son de área constante y párea constante y puesto que el tanque está inicialmentuesto que el tanque está inicialmentee lleno hasta 3/4 de su capacidad, resulta que la
lleno hasta 3/4 de su capacidad, resulta que la altura inicial será igual a 3/4 altura inicial será igual a 3/4 de la altura total. Así,de la altura total. Así, como la altura total del tanque es
como la altura total del tanque es hhtt = 12 pies, entonces la altura inicial = 12 pies, entonces la altura inicial eses hh00 = 3/4 h= 3/4 htt = 9 pies.= 9 pies.
Sustituyendo A(h), a, k y g en la
Sustituyendo A(h), a, k y g en la ecuación (1)ecuación (1)
1 1 hh 1 1444 4 6644hh 72 72 99 1 122996 6 ...((22)) h h d dh h ddt t ddt t dh dh dt dt
La ecuación (2) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanque planteado y La ecuación (2) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanque planteado y debe resolverse sujeta a la condición h(0) = 9 pies.
debe resolverse sujeta a la condición h(0) = 9 pies.
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Así que integremos: La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Así que integremos:
1296 1296 h h 25 2592 92 h h ...(.(33)) dh dh dt dt t t CC
Para determinar el valor de la constante C
Para determinar el valor de la constante C de integración se usa la condición inicial h(0) = de integración se usa la condición inicial h(0) = 9, esto9, esto es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 9 pies, resultando
es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 9 pies, resultando
2 255992 2 9 9 00 7776 7776 C C C C
C=7776. Este valor obtenido para C se sustituye en l
C=7776. Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuación (3)a ecuación (3)
2 2 22 25 2592 h 92 h 77777676 7776 7776 ( ( ) ) 3 3 ...((44)) 2 255992 2 22559922 t t t t t t h t h t
La ecuación (4) es la ley
La ecuación (4) es la ley de variación de la altura del líquido en de variación de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t. el tanque en cualquier instante t. SeSe quiere determinar el tiempo para el cual el volumen de líquido en el tanque es igual a
quiere determinar el tiempo para el cual el volumen de líquido en el tanque es igual a la mitad de sula mitad de su capacidad; es decir, cuando la altura de líquido en el tanque es igual a 6 pies. Para ello, se sustituye capacidad; es decir, cuando la altura de líquido en el tanque es igual a 6 pies. Para ello, se sustituye h = 6 pies en la ecuación (4) h = 6 pies en la ecuación (4)
2 2 25 2592 h 92 h 77777676 6 6 33 2592 2592 6 6 33 2592 2592 25 2592 92 3 3 6 6 14142626.9.92323sesegg t t t t t t t t De aquí que, debe transcurrir un tiempo t = 1426,923 seg = 23 min 47 seg, para que el tanque se De aquí que, debe transcurrir un tiempo t = 1426,923 seg = 23 min 47 seg, para que el tanque se vacíe hasta la mitad
vacíe hasta la mitad de su capacidade su capacidad.d.
Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir,
Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para que lel tiempo para que la alturaa altura de líquido en el tanque sea cero, se
de líquido en el tanque sea cero, se sustituye h = 0 en la esustituye h = 0 en la ecuación (5) y se busca t.cuación (5) y se busca t.
2 2 0 0 33 2592 2592 3 3 2255992 2 7777776 6 gg t t t t sese
Luego, deben transcurrir 7776 seg, es decir, 2 horas 9
Luego, deben transcurrir 7776 seg, es decir, 2 horas 9 min 36 seg, para que min 36 seg, para que el tanque se vacíeel tanque se vacíe totalmente.
totalmente.
PROBLEMA
PROBLEMA N°05N°05 Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H, radio R, vértice porUn tanque en forma de cono circular recto, de altura H, radio R, vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si H = 12 debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1 pulg
pies, R = 5 pies, a = 1 pulg22 y k = 0,6y k = 0,6 Resolución
Resolución
La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es: La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es:
2g2gh h ...(.(11))
A
A h h dh dh ak ak dt dt
El área de orificio de salida es a = 1 pulg
El área de orificio de salida es a = 1 pulg22 pero como las dimensiones del tanque están dadas enpero como las dimensiones del tanque están dadas en dh dh rr hh H=12 H=12 dV dV gg aa
Puesto que 1 pulg = 1/12
Puesto que 1 pulg = 1/12 pies, entonces:pies, entonces:
2 2 2 2 1 1 11 22 1 1 gg 1 12 2 114444 a
a p puul l piiepes s piiepess
El coeficiente de descarga es k = 0,6 y la gravedad es g = 32 pies/seg El coeficiente de descarga es k = 0,6 y la gravedad es g = 32 pies/seg22
Según puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son
Según puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son circunferencias cucircunferencias cuyoyo radio varía dependiendo de la altura a cual se efectúe la sección
radio varía dependiendo de la altura a cual se efectúe la sección transversal. Sea h la altura a transversal. Sea h la altura a la cualla cual se efectúa el corte y r el radio de
se efectúa el corte y r el radio de la circunferencia. El área de la sección transversal es variable y estála circunferencia. El área de la sección transversal es variable y está dada por: dada por: 2 2 ( ( ) ) ...((22)) A h A h r r
Para expresar r en función de h, debe
Para expresar r en función de h, debe hacerse una abstracciónhacerse una abstracción, en el sentido de , en el sentido de visualizar el tanque,visualizar el tanque, no como un sólido, sino como una figura plana. Observando el tanque de frente como una figura no como un sólido, sino como una figura plana. Observando el tanque de frente como una figura plana se ve tal y como se
plana se ve tal y como se muestra Fig. 2muestra Fig. 2
Si se ubican los ejes coordenados de tal
Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vértice del cono coincida con el forma que el vértice del cono coincida con el origen delorigen del sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simétrica respecto del eje y,
sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simétrica respecto del eje y, tal y como setal y como se muestra en la Fig. 2
muestra en la Fig. 2
Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanza de triángulos (ver Fig. Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanza de triángulos (ver Fig. 3) se tiene entonces la siguiente rel
3) se tiene entonces la siguiente relación de proporción:ación de proporción:
5 5 55 1 12 2 1122 r r hh r r h
h Sustituyendo la ecuación en la ecuación (2)Sustituyendo la ecuación en la ecuación (2)
2 2 2 2 5 5 2525 ( ( )) 1 12 2 114444 A h A h h h hh Sustituyendo A(h), a, k y g en l
25 25 144 144 22 11 144 144 h h dhdh 3/2 3/2 3/2 3/2 5/ 5/ 22 0 0..6 6 6644hh 2 25 5 44..8 i8 innt t ggrraannddoo 2 25 5 44..88 1 10 0 44..8 8 ...((33)) dt dt h h ddh h ddt t ee h h ddh h ddt t h h t t CC
Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial h(0) = 12, esto Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial h(0) = 12, esto es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 12 pies, resultando:
es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 12 pies, resultando:
5/2 5/2 5/2 5/2 1 10 0 ((1122) ) 44..88((00)) 25 25 ((1212)) 12 12 C C C C 5/ 5/ 22 5/ 5/ 22 2/5 2/5 5/ 5/ 22 25 25 ((12)12) 1 100 44..88 12 12 12 12 ( ( ) ) ((1122) ) ...((44)) 25 25 h h t t h t h t t t La ecuación (4) es la ley de
La ecuación (4) es la ley de variación de la altura del líquido en variación de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t.el tanque en cualquier instante t. El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de líquido en el tanque es h = 0 pies. El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de líquido en el tanque es h = 0 pies. Sustituyendo este valor en la ecuación (4)
Sustituyendo este valor en la ecuación (4)
2/5 2/5 5/ 5/ 22 5/2 5/2 5/ 5/ 22 12 12 0 0 ((1122)) 25 25 12 12 ((1122) ) 00 25 25 25 25 ((1212)) 32 326464.8.83 3 gg 12 12 t t t t t t sese
De aquí que, el tanque demora en vaciarse 3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg. De aquí que, el tanque demora en vaciarse 3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg.
PROBLEMA
PROBLEMA N°06N°06 Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificioUna taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio r en el
de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.
Resolución Resolución
La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es:
2g2gh h ...(.(11))
A
A h h dh dh ak ak dt dt
Como el radio de la taza hemisférica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de Como el radio de la taza hemisférica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de líquido en el tanque es R,
líquido en el tanque es R, tal y como puede observarse en la Figura, tal y como puede observarse en la Figura, es decir, h(0) = R.es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene radio r, por lo tanto, el área del orificio de salida es a =
El orificio de salida tiene radio r, por lo tanto, el área del orificio de salida es a = rr22 Sea k el coeficiente de descarga y g la gravedad.
Sea k el coeficiente de descarga y g la gravedad.
Las secciones transversales del tanque hemisférico, son circunferencias de radio variable, según la Las secciones transversales del tanque hemisférico, son circunferencias de radio variable, según la altura donde se realice la sección transversal. Sea x el radio variable de la sección transversal. Por altura donde se realice la sección transversal. Sea x el radio variable de la sección transversal. Por ser circunferencia, el área es: A(h)=
ser circunferencia, el área es: A(h)= xx22………..(2)………..(2)
Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura h, de tal forma que el área de la sección Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura h, de tal forma que el área de la sección transversal quede expresada en función de la altura h.
transversal quede expresada en función de la altura h. Observando el tanque de frente como
Observando el tanque de frente como una figura plana y una figura plana y ubicándolo en un sistema de ubicándolo en un sistema de coordenadascoordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Fig. 2. Puesto que la Fig.2 resultante es simétrica cartesianas rectangulares como se muestra en la Fig. 2. Puesto que la Fig.2 resultante es simétrica respecto del eje y, será suficiente trabajar con la mitad
respecto del eje y, será suficiente trabajar con la mitad de la figura.de la figura.
El triángulo que se forma, tiene como base e
El triángulo que se forma, tiene como base el radio=x, altura=(Rl radio=x, altura=(R –– h) e hipotenusa=R.h) e hipotenusa=R.
Aplicando el Teorema
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Fde Pitágoras al triángulo de la Fig. 3ig. 3
22 2 2 22 2 2 22 22 22 2 2 22 2 2 2 2 R R x x R R hh R R x x R R Rh Rh hh x x Rh Rh hh Sustituyendo en la ecuación (2) Sustituyendo en la ecuación (2)
22
( ( ) ) 22 A h A h Rh Rh hh Ahora se sustituyenAhora se sustituyen A(h) y a en la ecuaA(h) y a en la ecuación (1)ción (1)
2 2 Rh h Rh h dh 2 2
dh r r k 22k 22ggh h dt dt ...((33))
La ecuación (3) es
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables.una ecuación diferencial de variables separables.
2 2 22 2 2 2 2 22gghh 2 2 2g 2g h h Rh Rh h h dh dh r r k k dt dt Rh Rh hh d dh h k k ddt t AA partir partir de de la la ecuación diferencial ecuación diferencial (5) (5) y y sabiendo sabiendo que que para para el el tiempo tiempo t t = = 0 0 la la altura altura es es h h = = R, R, sese debe determinar el tiempo de vaciado tv, esto es el tiempo para el cual la altura de líquido en el debe determinar el tiempo de vaciado tv, esto es el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque es cero.
tanque es cero.
Se plantea así, el problema de valor
22 22
2g 2g h h (0) (0) ( ( ) vv) 00 Rh Rh hh d dh h k k ddt t h h RR h t h t Integrando la ecuación diferencial (6) de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 y t = tv (tv Integrando la ecuación diferencial (6) de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 y t = tv (tv tiempo a determinar) la altura varía entre h
tiempo a determinar) la altura varía entre h = R y h = = R y h = 00
22
00 2 2 22 0 0 00 1 1//2 2 33//2 2 22 0 0 0 0 00 5 5//2 2 55//22 2 2 5/ 5/ 22 2 2 5 5//2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2g g 22gg h h 2 2 2g2g 4 4 22 2g 2g 3 3 55 14 14 2g 2g 15 15 1 14 4 1144 2g 2g 15 15 1 15 5 22gg v v v v v v R R t t t t R R RR t t v v v v v v Rh Rh hh d dh h kkr r ddt t kkr r ddt t R R h h dh dh h h dh dh kr kr t t R R RR kr kr t t R R kr kr t t R R R R RR t t kr kr kr kr
PROBLEMAPROBLEMA N°07N°07 Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = xUn tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = x4/34/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo y en ese alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la profundidad del momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine:
agua ha descendido a la mitad. Determine: a) ¿A qué hora estará vacío el
a) ¿A qué hora estará vacío el tanque?tanque? b) ¿A qué hora quedara en el
b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido inicial?tanque 25% del volumen de líquido inicial?
Resolución Resolución a) La curva y = x
a) La curva y = x4/34/3que se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vértice enque se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vértice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la máxima profundidad de líquido en el tanque, el origen. Cuando la variable y toma el valor de la máxima profundidad de líquido en el tanque, esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x = (12)
esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x = (12)3/43/4 = 6,45. En la= 6,45. En la Fig. 1 se muestra la forma aproximada del tanque La ecuación diferencial asociada a un problema Fig. 1 se muestra la forma aproximada del tanque La ecuación diferencial asociada a un problema de vaciado de tanque es:
El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg
El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg22. El área a del orificio de salida. El área a del orificio de salida debe determinarse.
debe determinarse.
Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el área de las Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el área de las secciones transversales es: A(h) =
secciones transversales es: A(h) = rr22 ……….(2)……….(2)
El radio r debe expresarse en función de la altura h. Para ello debe observarse el tanque como una El radio r debe expresarse en función de la altura h. Para ello debe observarse el tanque como una figura plana, vista desde el frente. La Fig.
figura plana, vista desde el frente. La Fig. 2 muestra la curva plana y 2 muestra la curva plana y = x= x4/34/3
Observe en la Fig. 2 que el punto P(r, h) pertenece a la curva
Observe en la Fig. 2 que el punto P(r, h) pertenece a la curva y y = = x x 4/3 4/3; esto quiere decir que las; esto quiere decir que las
coordenadas del punto P satisfacen la
coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la curva.ecuación de la curva. Sustituyendo x= r, y = h
Sustituyendo x= r, y = h
h = r
h = r 4/3 4/3 r= hr= h 3/4 3/4 ………..(3)………..(3)
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) A(h) =
A(h) = hh3/23/2
Una vez que el área de la sección transversal del tanque ha quedado expresada en función de la Una vez que el área de la sección transversal del tanque ha quedado expresada en función de la altura, se sustituyen A(h), k y g
altura, se sustituyen A(h), k y g en la ecuación (1)en la ecuación (1)
3/2 3/2 64h64h 8 8 ...(.(4)4) h h ddh h a a ddt t h hddh h aaddt t
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t = 0 seg, la altura resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda condición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es es h = 12 pies; la segunda condición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t = 3600 seg, la altura de líquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6 decir, para t = 3600 seg, la altura de líquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6 pies.
pies.
Por lo tanto, lo que debe resolverse
Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de fes el problema de valor de fronterarontera
8 8 ((0) 0) 1212 (3 (3600600) ) 66 h hddh h aaddt t h h h h
La ecuación (4) es una ecuación diferencial de variables separables. Integrando definidamente; el La ecuación (4) es una ecuación diferencial de variables separables. Integrando definidamente; el tiempo varía entre t = 0 seg y t = 3600 seg; la altura varía entre h = 12 pies y h = 6 pies
tiempo varía entre t = 0 seg y t = 3600 seg; la altura varía entre h = 12 pies y h = 6 pies
12 12 00 6 6 33660000 12 12 00 2 2 3600 3600 6 6 8 8 2 2 5 54 4 2288880000 3 3 1600 1600 h hddh h dd t t h h a at t a a a a
3 3 33 ...(5) ...(5) 2 2000 0 220000 h hddh h ddt t hhddh h ddt t
Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el
Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual lacual la altura de líquido en el tanque se hace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor de altura de líquido en el tanque se hace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor de frontera: frontera: 3 3 200 200 ((0) 0) 1212 ( ( ) vv) 00 h hddh h ddt t h h h t h t
La ecuación diferencial (5) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t La ecuación diferencial (5) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t v v; la; la altura varía entre h = 12 pies y h = 0 pies
altura varía entre h = 12 pies y h = 0 pies
12 12 00 0 0 12 12 00 2 2 0 0 3 3 200 200 3 3 2 2 220000 72 72 v v v v t t t t h hddh h ddt t h h t t
3 3 4 488000 0 gg 200 200 v v v v t t t t sese De aquí se tiene que, el tanque demora en vaciarse t = 4800 seg, lo que equivale a 1 hora y 20 De aquí se tiene que, el tanque demora en vaciarse t = 4800 seg, lo que equivale a 1 hora y 20 min. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, entonces para saber a qué hora el tanque min. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, entonces para saber a qué hora el tanque estará vacío, debe sumarse el tiempo de vaciado t
estará vacío, debe sumarse el tiempo de vaciado t v v a las 11:27. Luego, el tanque estará vacío a lasa las 11:27. Luego, el tanque estará vacío a las 12:47 pm.
12:47 pm.
b) Para saber a qué hora queda en el tanque el 25% de su capacidad, se debe comenzar por b) Para saber a qué hora queda en el tanque el 25% de su capacidad, se debe comenzar por establecer cuál es la altura de l
establecer cuál es la altura de líquido en el tanque cuando resta el 25% de íquido en el tanque cuando resta el 25% de su capacidad.su capacidad.
Como se conoce la altura inicial de líquido en el tanque, el volumen total se determina por el Como se conoce la altura inicial de líquido en el tanque, el volumen total se determina por el método del volumen por secciones transversales
método del volumen por secciones transversales
0 0 1212 5/25/2 1212 5/25/2 3/2 3/2 0 0 0 0 00 2 2 ((12)12) 2 2 ( ( )) 5 5 55 h h h h V V
A A hh ddh h
h dh dhh luego el 25% del volumen total es: luego el 25% del volumen total es:
5 5//2 2 55//22 2 25 5 2 2 ((1122) ) ((1122)) 25% 25% 1 1000 0 5 5 1100 V V
Conocido el volumen cuando resta el 25% de líquido en el tanque, utilizando el mismo método por Conocido el volumen cuando resta el 25% de líquido en el tanque, utilizando el mismo método por secciones transversales, se podrá determinar cuál es la altura de líquido en
secciones transversales, se podrá determinar cuál es la altura de líquido en el tanque en este casoel tanque en este caso
1 1 1 1 0 0 5/ 5/ 22 3/2 3/2 0 0 5/ 5/ 22 5/2 5/2 1 1 1 1 2/52/5 2 255% % ( ( )) (12) (12) 10 10 2 2 ((1122) ) 1122 6.89 6.89 10 10 55 44 h h h h V V A A h h ddhh h h dhdh h h h h
Una vez conseguida la altura de líquido en el tanque cuando queda el 25% del volumen total, se Una vez conseguida la altura de líquido en el tanque cuando queda el 25% del volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en
procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. Para ellllegar a esa altura. Para ello debe resolverse el o debe resolverse el problemaproblema de valor de frontera de valor de frontera 1 1 2/52/5 3 3 200 200 ((0) 0) 1212 12 12 ( ( )) 4 4 h hddh h ddt t h h h t h t
La ecuación diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t La ecuación diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t11; la; la altura varía entre h = 12 pies y h =
altura varía entre h = 12 pies y h = 12122/52/5
4 4 h h piespies 1 1 2/5 2/5 2/5 2/5 12 12 00 12 12 4 4 12 12 2 2 1 1 11 12 12 4 4 3 3 200 200 3 3 32 321616.6.66 6 gg 2 2 220000 t t h hddh h ddt t h h t t tt ssee
De aquí se tiene que, el tanque demora t
De aquí se tiene que, el tanque demora t11 = 3216,66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad= 3216,66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36 seg. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, inicial, lo que equivale a 53 min y 36 seg. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, entonces para saber a qué hora el tanque tendrá sólo el 25% de su capacidad, hay que agregar a entonces para saber a qué hora el tanque tendrá sólo el 25% de su capacidad, hay que agregar a las 11:27 los 53 min y 36 seg. Luego tendrá el 25% de su capacidad a las 12:20:36 pm.
las 11:27 los 53 min y 36 seg. Luego tendrá el 25% de su capacidad a las 12:20:36 pm.
PROBLEMA
PROBLEMA N°08N°08 El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se iniciaEl tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación circular de área 1 cm
el proceso de vaciado, por una perforación circular de área 1 cm22 ubicada en la base inferior delubicada en la base inferior del depósito. Si se ha establecido el coeficiente de desc
depósito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga k = 0,447 y la arga k = 0,447 y la gravedad es g = 10 m/seggravedad es g = 10 m/seg22.. Determine:
Determine:
a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% de su capacidad.
de su capacidad.
b) Tiempo de vaciado total del tanque. b) Tiempo de vaciado total del tanque.
Resolución Resolución
La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es:
2g2gh h ...(.(11))
A
A h h dh dh ak ak dt dt
El área del orificio de salida es a = 1 cm
El área del orificio de salida es a = 1 cm22, pero como las dimensiones del tanque están en metros, pero como las dimensiones del tanque están en metros debe efectuarse la conversión. Puesto que 1 cm = 0,01 m
debe efectuarse la conversión. Puesto que 1 cm = 0,01 m = 10= 10 –– 22 m, entonces a = 1 cmm, entonces a = 1 cm22 = (1 cm)= (1 cm)22 = (10
