El campo eléctrico y la materia. Tema 9 Curso

El campo eléctrico y la

materia

Tema 9

Curso 2004-2005

z

Electrostática y dieléctricos

z

El átomo como un dipolo eléctrico

z

Los dieléctricos como distribución de dipolos. El

vector polarización P. Susceptibilidad dieléctrica.

Permitividad dieléctrica

z

Campo creado por un medio dieléctrico polarizado

El vector desplazamiento D

z

Condiciones de frontera entre dieléctricos

z

Algunos efectos eléctricos y mecánicos entre

dieléctricos

Electrostática y dieléctricos

z

Faraday acuñó la palabra dieléctrico para describir

el efecto de un aislante en un condensador

z

Faraday observó que al situar un aislante entre las

placas de un condensador, la capacidad del

sistema, la energía almacenada y la carga

aumentan un factor κ

z

κ es una característica del medio

z

En un dieléctrico las cargas no son libres como en

un metal, están ligadas a los átomos o moléculas

z

Cuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o

molécula se polariza (se desplaza la carga negativa

respecto de la positiva y se forma un dipolo)

Dipolo atómico inducido

~

p

Átomo sin polarizar

Átomo polarizado

núcleo nube electrónica

~

p = αε

E

~

_loc

~

E

₀

MODELO

α = 4πε

a

59.6

Cs

4.04

Xe

47.3

Rb

2.48

Kr

43.4

K

1.64

Ar

23.6

Na

0.396

Ne

24.3

Li

0.205

He

0.667

H

en unidades de 10

_m

α/4πε

Polarizabilidades atómicas

Teoría cuántica

−

~

2m

∇

ψ

₋

e

4πε

r

ψ + eE

zψ =

Eψ

~

p =

_{hψ| − e~r|ψi =}

9

2

(4πε

a

)E

~

u

α

4πε

=

9

2

a

= 0.667

× 10

m

Ecuación de Schrödinger:

Momento dipolar:

Polarizabilidad atómica:

Moléculas polares

z

Hay moléculas con momento dipolar

permanente

z

La unidad que caracteriza el momento

dipolar es el debye: 1 D=3.34 10

C m.

z

Moléculas grandes, mayor momento dipolar

z

Materiales compuestos por moléculas

polares: campos internos cuya magnitud

depende de T

2.5

ea

1.48

NH

1.83

H

O

0.83

HI

0.80

HBr

1.04

HCl

1.75

HF

Molécula m. dip. (D)

Momentos dipolares

moleculares

Si tomamos el eje z como la dirección de

pR₋₁+1 e−(pE0/kT ) cos θ cos θd cos θ

R +1 −1 e−(pE0 /kT ) cos θ_{d cos θ} = p ∙ coth µ pE0 kT ¶ − kT pE0 ¸ coth z _≈ 1 z + z 3

llegamos a la fórmula de

Langevin-Debye

Dipolo en un campo

eléctrico

Momento dipolar promedio

0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 <p z >/ p pE/kT pE/3kT

Esta es la fórmula de Langevin.

Si se hace la aproximación

α = α

+

p

2

Polarización y carga de

polarización

z

Para incluir el efecto de la polarizabilidad

atómica es necesario introducir un nuevo

campo, el campo de polarización

z

La polarización es una vectorial de la

posición en el dieléctrico

z

se define como la densidad media de

momentos dipolares

~

P (~

r)

~

P (~

r)

~

P (~

r)d

~

r =

X

~

p

V (~r) = 1 4πε0 ∙I σbdS0 |~r − ~r0_| + Z ρbd3~r0 |~r − ~r0_| ¸

Potencial de un dipolo

La contribución al potencial de un conjunto de dipolos

Potencial de un medio polarizado

V (~

r) =

1

4πε

~

r

_{· ~p}

r

V (~

r) =

1

4πε

(~

r

_{− ~r}

)

_{· ~p}

|~r − ~r

|

dV (~

r) =

1

4πε

X

(~

r

_{− ~r}

)

_{· ~p}

|~r − ~r

|

'

1

4πε

(~

r

_{− ~r}

)

_{· ~}

P (~

r

)d

~

r

|~r − ~r

_|

Potencial en términos de las cargas de polarización

σ

= ~

P

_{· ~n}

ρ

=

_−~

_{∇ · ~}

P

σ

= ~

P

_{· ~n}

ρ

=

−~

∇ · ~

P

Densidades de carga de

El vector desplazamiento

z

Las ecuaciones fundamentales de la electrostática

son y

z

Estas ecuaciones son correctas en el vacío y en un

medio dieléctrico

z

Al analizar un medio dieléctrico es conveniente

separar

z

Pero

z

La combinación es un nuevo vector

denominado campo desplazamiento

z

Se cumple la ley de Gauss con las cargas libres

~

∇ × ~

E = 0

_{∇ · ~}

~

E = ρ/ε

ρ(~

r) = ρ

(~

r) + ρ

(~

r)

ρ(~

r) = ε

_{∇ · ~}

~

E = ρ

(~

r)

_{− ~}

_{∇ · ~}

P

~

D = ε

E + ~

~

P

~

∇ · ~

D = ρ

I

~

D

_{· d~}

S = (q

_)enc

Dieléctricos lineales

z

Un aislante con P proporcional a E es un medio

lineal dieléctrico

z

Se utilizan diversos parámetros que relacionan

E, P y D:

Constante

dieléctrica

Permitividad

Susceptibilidad

Ecuación constitutiva

símbolo

Parámetro

χ

_e

ε

κ

~

P = χ

ε

E

~

~

D = ε ~

E

κ = ε/ε

₀

Dos relaciones adicionales de interés son:

es siempre positivo ya que los dipolos

atómicos se alinean con E de forma que P apunta

en la dirección de E. Así, y para

cualquier material dieléctrico.

En el vacío,

En la materia, los parámetros macroscópicos

están determinados finalmente por las

propiedades atómicas.

χ

_e

ε = ε

₀

(1 + χ

_e

)

κ = 1 + χ

e

ε > ε

_{κ > 1}

z

Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo

eléctrico en la superficie del cristal (turmalina, el “iman Ceylon”,

1703)

z

Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontánea

puede alterarse mediante un campo eléctrico aplicado

z

Ferroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteran

la polarización espontánea

z

Piezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensión

genera cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctrico

directo, Pierre Currie, 1880)

z

Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión es

proporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentemente

implica un “efecto piezoeléctrico inverso” (energía eléctrica se

convierte en mecánica; Lippman, a partir de principios

termodinámicos, Currie experimentalmente en 1881)

¿Qué es la ferroelectricidad?

¿Qué es la ferroelectricidad?

Los ferroeléctricos presentan dos estados estables, base de aplicaciones de memoria

Los ferroeléctricos presentan dos estados estables, base de aplicaciones de memoria “0” “1” Polarización Voltaje Energía Z Campo eléctrico

Los materiales ferroeléctricos muestran una polarización espontánea con el campo eléctrico aplicado debido al desplazamiento atómico del átomo “centrado en cuerpo” en la estructura de la perovskita (ABO₃). El estado de polarización se mantiene al desaparecer el campo aplicado. A O B Estructura ABO₃

Fotografía de una memoria FRAM de 64Mb

z

En un gas diluido (moléculas sin interacción),

z

de donde la susceptibilidad adquiere la

expresión (fórmula de Langevin-Debye):

Moléculas polares

~

P = nα ~

E, χ

_e

= nα/ε

₀

y κ = 1 + nα/ε

₀

χ

=

np

3kT ε

Moléculas no polares

z

A partir de un modelo de oscilador clásico

z

La susceptibilidad es

z

Para el hidrógeno, en condiciones normales

de presión y temperatura

ω

= 1.8

× 10

s

(λ

' 100 nm) y n = 2.69 × 10

m

χ

= 2.64

_{× 10}

χ

=

nq

ε

mω

~

p = ~

qδ~

r =

q

_E

~

mω

Materia condensada

z

El campo responsable de la polarización de una

molécula en un medio denso no es el campo

macroscópico aplicado

z

A este campo se le denomina campo local o

campo molecular

z

La forma de calcular es dividir el dieléctrico

en dos regiones: una esfera de radio alrededor

del punto donde queremos calcular el campo y el

resto del dieléctrico (que puede tratarse como un

continuo). Finalmente se aplica el principio de

superposición.

~

E

~

E

_loc

~

E

_loc

El campo local puede descomponerse en las siguientes

contribuciones (figura):

E

= V /d

E

~

=

_{− ~}

P /ε

~

E = ~

E

+ ~

E

~

E

(0) =

1

4πε

Z

σ

~

rd

~

r

r

=

1

4πε

2πa

P

~

a

Z

cos

θd cos θ =

1

3ε

P

~

Campo macroscópico

_{Campo local de Lorentz}

~

E

= ~

E

+ ~

E

+ ~

E

+ ~

E

~

E

= ~

E +

1

3ε

~

P

El campo de polarización en un medio polarizado

vale

De la relación entre P y E podemos deducir el valor

de la susceptibilidad macroscópica

Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función

de la susceptibilidad:

~

P = n~

p = nα

Ã

~

E +

P

~

3ε

!

χ

=

nα/ε

1

_{− nα/3ε}

α =

ε

n

χ

1 + χ

/3

=

3ε

n

κ

_{− 1}

κ + 2

Ecuación de Clausius-Mossotti

El condensador con un

dieléctrico

condensadores

el condensador “plano”

El campo en el dieléctrico

Tensión o carga constante

D = σf = Q A V = Qd εA C = Q V = κε0A d

8 332 Titanato de estroncio 80 Agua 14 4 a 6 Pyrex 3.8 a 4.1 Cuarzo fundido 16 3.7 Papel 3.1 Mylar 60 2.1 Teflón 40 3.4 Plexiglás 20 2.8 Lucita 20 2.5 Poliestireno 3 1.00059 Aire Tensión dieléctrica Constante dieléctrica Material E_max 106 V/m

κ

Propiedades dieléctricas de

algunos aislantes

Condiciones de contorno

A

A

ε

ε

_ε

ε

~

D

~

E

ε

ε

ε

ε

Un condensador plano de área ab y separación d se conecta a una batería y se carga con una ddp V. Posteriormente, lo desconectamos de la batería e introducimos un dieléctrico de constante dieléctrica κ (ver figura). Determinar:

a) La energía almacenada en el condensador antes y después de insertar el dieléctrico

b) ¿Cuál es la energía almacenada si solamente hay una proporción de dieléctrico (x sobre a) entre las placas?

a) Al conectar el condensador a la batería, éste se carga con una carga Q=CV, siendo C la capacidad del condensador y V la ddp. Dado que la capacidad del condensador plano es ,

Obviamente el campo eléctrico es igual a la densidad superficial de carga dividida por . La energía electrostática es

y puede definirse una densidad de energía almacenada en términos del campo eléctrico:

que puede generalizarse a cualquier volumen en el que exista un campo eléctrico. Si el condensador contiene un dieléctrico, como sabemos, su capacidad aumenta. En nuestro caso, y puesto que el condensador está aislado de la batería, i.e. la carga se conserva, la tensión ahora es:

y la energía potencial es κ veces más pequeña:

ε

Q = C

V

= ε

abV

/d = ε

abE

U

=

1

2

C

V

=

1

2

QV

=

1

2

ε

abdE

u

=

1

2

ε

E

b) Si solo hay una parte del dieléctrico dentro del condensador, el campo eléctrico sería distinto en la región del dieléctrico y fuera del dieléctrico. Pero esto no es posible, ya que una superficie metálica es equipotencial. El vector desplazamiento (densidad de cargas reales) será por tanto distinto:

D1 = Q1 xb C = ε0 [a + (κ _{− 1)x]b} d

La carga total sobre el dieléctrico es Q, luego

Entre 0 y x, D

= κε

E = ε

E + P , mientras que entre x y a D

= ε

E.

La capacidad del dieléctrico será por tanto

La energía almacenada, Q = Q1+Q2 = D1xb+D2(a−x)b = [xκ + (a − x)] bε0E = [a + (κ − 1)x] ε0bV /d D2 = Q2 (a _{− x)b} U = 1 2QV = 1 2 Q2 C = 1 2 Q2d ε0[a + (κ − 1)x]b

Si tomamos como densidad de energía eléctrica, en presencia de un dieléctrico,

la energía potencial será

U = 1 2 Z uEd3~r = 1 2Ebd ∙Z x 0 D1dx + Z a x D2dx ¸ uE = 1 2κε0E 2 = 1 2D~ · ~E

Integrando, obtenemos la misma expresión que antes:

Hemos visto que al introducir el dieléctrico, la energía almacenada disminuye en un factor κ. Esto implica que el condensador hace un trabajo en polarizar el dieléctrico. ¿Cómo podemos calcular ese trabajo? La forma trivial es a través de la diferencia de energía potencial. Una forma más académica sería calcular la fuerza sobre el dieléctrico e integrar entre x=0 y x=a. Hemos de poner U en términos de Q, que es constante, ¡el potencial V depende de x!

U = 1 2ε0E 2 bd[xκ + (a _{− x)] =} 1 2 Q2d ε0[a + (κ − 1)x]b

La fuerza vale:

El trabajo que cuesta introducir el dieléctrico en el condensador es: F = ₋dU dx = Q2d 2ε0b κ _{− 1} [a + (κ _{− 1)x]}2 > 0 U = 1 2CV 2 = 1 2ε0 [a + (κ _{− 1)x]b} d V 2 F = ₋dU dx = − ε0(κ − 1)bV 2 2d < 0 W = Z a 0 F (x)dx = ₋ Z a 0 dU = U (0)_{−U (a) =} ε0V 2_b 2d [a − κa] = − 1 2C0V 2 (κ₋₁₎ W = Z a 0 F (x)dx = ₋ Z a 0 dU = U (0) _{− U(a) =} Q 2_d 2ε0b ∙ 1 a − 1 κa ¸ = 1 2 Q2 C0 κ _{− 1} κ La fuerza es positiva (no nos cuesta trabajo introducir el dieléctrico) y por tanto el trabajo es positivo.

c) Si la batería permanece conectada, dado que la capacidad varía y V permanece constante, Q irá variando. Luego conviene expresar U en función de V:

En este caso la fuerza es: