Diagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

(1)

CLASIFICASION DE CUERPOS GEOMETRICOS

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras planas poligonales.

En una primera clasificación distinguiremos entre poliedros cóncavos y convexos.

Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro.

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. También: en un poliedro convexo todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano y en un poliedro cóncavo no.

Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

Poliedro convexo Poliedro cóncavo

2.1 Elementos de un poliedro

Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.

Aristas: son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una arista.

Vértices: puntos donde concurren tres o más caras.

Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras del poliedro. El ángulo formado por tres o más caras que concurren en un vértice, se denomina ángulo poliedro.

Diagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

2.2 Poliedros regulares

Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales en forma y tamaño, y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Solo hay cinco y se nombran por el número de caras que tienen:

tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

2.3 Prismas

Un prisma es un poliedro que tiene:

* dos bases, que son polígonos iguales y paralelos entre sí. Si son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc., el prisma se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., respectivamente

* Tantas caras laterales, que son paralelogramos, como lados tienen las bases.

La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si las caras laterales son perpendiculares a las bases, se dice que el prisma es recto y, en ese caso, son rectángulos. En caso contrario el prisma es oblicuo.

Nosotros estudiaremos los primas regulares, que son rectos; sus bases son polígonos regulares y sus caras laterales son rectángulos. Abajo se muestran los prismas regulares de base triangular, cuadrada, pentagonal y hexagonal.

Un prisma recto de caras rectangulares se denomina ortoedro:

Cuerpos Geométrico

s

Poliedros

Sólidos limitados por caras poligonales

Regulares

Irregulares:

Prima, Piramide

Cuerpo s Redondos

Sólidos limitados por caras curvas o caras curvas y planas

Cilindro Cono Efera

1 2

1

3

(2)

INSTEC – PENSAMIENTO GEOMÉTRICO - METRICO– GUIA 1 - GRADO 11 ÁREA DE UN PRISMA

Teniendo en cuenta el desarrollo plano de un prisma, resulta fácil calcular el área lateral (suma del área de las caras laterales) y el área de las bases. El área total es la suma de todas ellas:

A Latera = P Base . h ==> A L = P B . h

A _Total = A _L + 2A area de la base ==> A _T = A _L + 2A _B Área de la base

Diagonal de un ortoedro

Para hallar la diagonal, d de un octaedro, comenzamos calculando la diagonal l, de una cara: l ² = a ² + b ²

VOLUMEN DE UN PRISMA

El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura:

V PRISMA = A BASE . h 2.4 Pirámides

Una pirámide es un poliedro que tiene:

* Una única base, que es un polígono. Al igual que en los prismas, si la base es un triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc., la pirámide se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

Cuando la base es un polígono regular, la pirámide se considera igualmente regular.

* Tantas caras laterales triangulares como lados tienen las bases.

Las caras laterales tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia de la base al vértice.

Si la pirámide es recta y la base es regular, las caras laterales son triángulos isósceles y la altura de éstos se llama apotema de la pirámide. Igual que en el caso de los prismas, solo trabajaremos con pirámides regulares y rectas.

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

PIRÁMIDE

El área de la base es el área del polígono de que se trate. El área lateral (suma del área de las caras laterales) se obtiene a partir de su desarrollo plano:

A T = A B + A L A L =

TRONCO DE PIRÁMIDE

El área lateral es la suma de n trapecios:

A L =n( )

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

V= A _B *h

El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies y, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

V= ( √ ) 3. Cuerpos de revolución

Existen cuerpos geométricos que no tienen caras no aristas como los poliedros y que pueden obtenerse mediante el giro de una figura plana alrededor de un eje: por eso se les llama cuerpos de revolución. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.

2.1 Cilindro

Un cilindro recto es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

a

P

5 6

(3)

ÁREA DEL CILINDRO

Observando el desarrollo de un cilindro, se aprecia que su superficie lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro de círculo, 2 , y cuya altura, h, es la del cilindro. Por tanto,

A T = A L + 2A B = 2 .h + 2 ² A T = 2 (h + r)

VOLUMEN DEL CILINDRO

El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura:

V = ² .h

3.2 Cono

Un cono recto es un cuerpo engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

Si se corta un cono recto por un plano paralelo a la base se obtiene un nuevo cuerpo que se llama tronco de cono.

ÁREA DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO

El área de un cono es la suma del área lateral (sector circular de radio) y del área de la base:

A T = A L + A B = .g + ²

A T = (g + r) donde, g=√

Observa el desarrollo plano del tronco de cono:

El área lateral se obtiene como si fuera un trapecio:

A _L =

=

= A T = A B1 + A B2 + A L = + + A T = + +

VOLUMEN DE UN CONO Y DE UN TRONCO DE CONO

El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura:

V= A _B h = h

El volumen de un tronco de cono se puede obtener restando el volumen del cono completo menos el de cono superior que se ha suprimido

V= A - a V= A - a)

3.3 Esfera

Una esfera es un sólido de revolución que se puede obtener al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera queda determinada por su centro y por su radio. No tiene desarrollo plano.

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA A=

V=

Taller de Poliedros

9 8

7

(4)

1. Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura.

R/ 86, 59 cm ²

2. Averigua la cantidad de chapa

que se necesita para

fabricar un depósito, como

el de la figura adjunta, si su

capacidad es de 500. El

volumen de esta figura es la

suma de los volúmenes de un

cilindro de altura 15 m y un

cono de la misma altura.

R/ 425.98 m ² 3. Calcula la capacidad del

embudo de la figura. El diámetro del cilindro es de 1 cm.

R/ 501.05 cm ³

4. Un depósito de propano está formado por un cuerpo cilíndrico y dos semiesferas iguales. La longitud total del depósito es de 2 m y su diámetro de 1 m.

Calcula su volumen.

R/ 1,3090 m ³

5. Calcula la longitud del mayor listón que cabe en cada una de estas cajas:

R/ a. 5.66 cm b. 6.7 cm c. 8.7 cm

6. Determina si la longitud de la circunferencia que se plantea e correcta.

a. b. c.

7. Hallar la longitud de arco que ha recorrido el horario en cada reloj si el r=20 cms.

a. b.

c. d.

8. Hallar el área de cada región sombreada

a. b.

c. d.

e. f. g.

DATOS Y FORMULAS QUE TE SERVIRAN PARA HALLAS ALGUNAS AREAS

11 12

10

(5)

9. Un Jardinero ofreció en su catálogo lo siguientes diseños de jardín:

Si cada m ² del diseño del jardín cuesta $49.650, ¿Cuál e el diseño más económico?

10. Determina cual de la figuras tiene el área dada

11. Hallar el área lateral, total y el volumen de los siguientes prismas

12. Hallar el área lateral, total y el volumen de cada pirámide.

13. Determina cual de los cilindros dibujados puede albergar una mayor cantidad de líquido. 1 dm ³ = 1 litro

15 14

13

(6)

14. Hallar el área lateral, total y el volumen de cada cono.

15. Hallar el radio, el área y el Volumen de los siguiente objetos, dada la longitud de u circunferencia máxima.

16. Hallar el volumen de cada esfera dada u área.

a. b.

17. Determinar cuantos litros de agua puede contener el tanque de la figura

18. La pelota de la figura está dentro de una caja cúbica y toca apenas cada una de sus caras. Hallar el volumen de la caja.

19. ¿Cuántos baldes de agua como el que se muestra en la figura, e deben sacar de un pozo con 100 dm ³ de capacidad para vaciarlo completamente?

20. Hallar el área lateral, total y el volumen de cada cono.

21. Cual de los volúmenes señalados es mayor.

18 17

16

Diagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

CLASIFICASION DE CUERPOS GEOMETRICOS

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras planas poligonales.

En una primera clasificación distinguiremos entre poliedros cóncavos y convexos.

Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro.

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. También: en un poliedro convexo todas sus caras se pueden apoyar sobre un plano y en un poliedro cóncavo no.

Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos.

Poliedro convexo Poliedro cóncavo

2.1 Elementos de un poliedro

Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.

Aristas: son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas comparten una arista.

Vértices: puntos donde concurren tres o más caras.

Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras del poliedro. El ángulo formado por tres o más caras que concurren en un vértice, se denomina ángulo poliedro.

Diagonal: es un segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

2.2 Poliedros regulares

Los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales en forma y tamaño, y en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Solo hay cinco y se nombran por el número de caras que tienen:

tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

2.3 Prismas

Un prisma es un poliedro que tiene:

* dos bases, que son polígonos iguales y paralelos entre sí. Si son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc., el prisma se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., respectivamente

* Tantas caras laterales, que son paralelogramos, como lados tienen las bases.

La altura del prisma es la distancia entre las bases. Si las caras laterales son perpendiculares a las bases, se dice que el prisma es recto y, en ese caso, son rectángulos. En caso contrario el prisma es oblicuo.

Nosotros estudiaremos los primas regulares, que son rectos; sus bases son polígonos regulares y sus caras laterales son rectángulos. Abajo se muestran los prismas regulares de base triangular, cuadrada, pentagonal y hexagonal.

Un prisma recto de caras rectangulares se denomina ortoedro:

Cuerpos Geométrico

s

Poliedros

Sólidos limitados por caras poligonales

Regulares

Irregulares:

Prima, Piramide

Cuerpo s Redondos

Sólidos limitados por caras curvas o caras curvas y planas

Cilindro Cono Efera

1 2

1

3

INSTEC – PENSAMIENTO GEOMÉTRICO - METRICO– GUIA 1 - GRADO 11 ÁREA DE UN PRISMA

Teniendo en cuenta el desarrollo plano de un prisma, resulta fácil calcular el área lateral (suma del área de las caras laterales) y el área de las bases. El área total es la suma de todas ellas:

A Latera = P Base . h ==> A L = P B . h

A Total = A L + 2A area de la base ==> A T = A L + 2A B Área de la base

Diagonal de un ortoedro

Para hallar la diagonal, d de un octaedro, comenzamos calculando la diagonal l, de una cara: l 2 = a 2 + b 2

VOLUMEN DE UN PRISMA

El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura:

V PRISMA = A BASE . h 2.4 Pirámides

Una pirámide es un poliedro que tiene:

* Una única base, que es un polígono. Al igual que en los prismas, si la base es un triángulo, cuadrilátero, pentágono, etc., la pirámide se dice triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

Cuando la base es un polígono regular, la pirámide se considera igualmente regular.

* Tantas caras laterales triangulares como lados tienen las bases.

Las caras laterales tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. La altura de la pirámide es la distancia de la base al vértice.

Si la pirámide es recta y la base es regular, las caras laterales son triángulos isósceles y la altura de éstos se llama apotema de la pirámide. Igual que en el caso de los prismas, solo trabajaremos con pirámides regulares y rectas.

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

PIRÁMIDE

El área de la base es el área del polígono de que se trate. El área lateral (suma del área de las caras laterales) se obtiene a partir de su desarrollo plano:

A T = A B + A L A L =

TRONCO DE PIRÁMIDE

El área lateral es la suma de n trapecios:

A L =n( )

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

V= A B *h

El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies y, y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

V= ( √ ) 3. Cuerpos de revolución

Existen cuerpos geométricos que no tienen caras no aristas como los poliedros y que pueden obtenerse mediante el giro de una figura plana alrededor de un eje: por eso se les llama cuerpos de revolución. Los principales son el cilindro, el cono y la esfera.

2.1 Cilindro

Un cilindro recto es un cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

a

P

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ÁREA DEL CILINDRO

Observando el desarrollo de un cilindro, se aprecia que su superficie lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro de círculo, 2 , y cuya altura, h, es la del cilindro. Por tanto,

A T = A L + 2A B = 2 .h + 2 2 A T = 2 (h + r)

VOLUMEN DEL CILINDRO

El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura:

V = 2 .h

3.2 Cono

Un cono recto es un cuerpo engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.

A _Total = A _L + 2A area de la base ==> A _T = A _L + 2A _B Área de la base

Para hallar la diagonal, d de un octaedro, comenzamos calculando la diagonal l, de una cara: l ² = a ² + b ²

V= A _B *h

A T = A L + 2A B = 2 .h + 2 ² A T = 2 (h + r)

V = ² .h

A T = A L + A B = .g + ²

A _L =

V= A _B h = h

V= A - a V= A - a)

R/ 86, 59 cm ²

R/ 425.98 m ² 3. Calcula la capacidad del

R/ 501.05 cm ³

R/ 1,3090 m ³

Si cada m ² del diseño del jardín cuesta $49.650, ¿Cuál e el diseño más económico?

13. Determina cual de los cilindros dibujados puede albergar una mayor cantidad de líquido. 1 dm ³ = 1 litro

19. ¿Cuántos baldes de agua como el que se muestra en la figura, e deben sacar de un pozo con 100 dm ³ de capacidad para vaciarlo completamente?