Variación Multipoder Bajo Efectos de Microestructura de Mercado

Banco de M´ exico

Documentos de Investigaci´ on

Banco de M´ exico Working Papers

N

2007-13

Variaci´ on Multipoder Bajo Efectos de Microestructura de Mercado

Carla Ysusi

Banco de M´exico

Octubre 2007

La serie de Documentos de Investigaci´on del Banco de M´exico divulga resultados preliminares de trabajos de investigaci´on econ´omica realizados en el Banco de M´exico con la finalidad de propiciar el intercambio y debate de ideas. El contenido de los Documentos de Investigaci´on, as´ı como las conclusiones que de ellos se derivan, son responsabilidad exclusiva de los autores y no reflejan necesariamente las del Banco de M´exico.

The Working Papers series of Banco de M´exico disseminates preliminary results of economic

research conducted at Banco de M´exico in order to promote the exchange and debate of ideas. The

views and conclusions presented in the Working Papers are exclusively the responsibility of the

Documento de Investigaci´ on Working Paper

2007-13 2007-13

Variaci´ on Multipoder Bajo Efectos de Microestructura de Mercado

Carla Ysusi

Banco de M´exico

Resumen

La teor´ıa asint´otica necesaria para estimar la varianza integrada utilizando la varian- za realizada o la variaci´on multipoder implica que los retornos deben ser muestreados a la m´axima frecuencia posible. Esto conlleva a un problema de sesgo, debido a los efectos de microestructura, que pueden invalidar la teor´ıa. Dependiendo de la frecuencia seleccionada, existen problemas de sesgo o de varianza, por lo que son necesarios estimadores que sean insesgados y eficientes bajo estos efectos. En este documento se estudia desde esta pers- pectiva la variaci´on multipoder y se proponen otros estimadores basados en el m´etodo de submuestreo y promedio.

Palabras Clave: Variaci´on multipoder, Ruido de microestructura, Modelos de volatilidad estoc´astica, Semimartingala, Datos en alta frecuencia.

Abstract

The asymptotic theories used to estimate the integrated variance using realised vari- ance or multipower variation suggest that returns should be sampled at the highest possible frequency. This leads to a bias problem due to market microstructure effects that can com- pletely invalidate the theory. There is a trade-off between bias and variance when choosing the sample frequency. There is an urgent need for estimators of integrated variance that are unbiased and efficient under these effects. In this paper, multipower variation is studied under this perspective and alternative estimators are defined using the subsampling and av- eraging method.

Keywords: Multipower variation, Microstructure noise, Stochastic volatility models, Semi- martingale, High-frequency data.

JEL Classification: C13, C51, G19.

1 Introducción

La varianza realizada y la variación multipoder pueden enfrentar un problema de sesgo debido a la autocorrelación en los retornos intra-día. Existen muchas fuentes referidas como efectos de microestructura. Estos efectos inducen una correlación serial en los retornos en alta frecuencia, utilizados para calcular la varianza realizada o la variación multipoder; por lo tanto, tienen un impacto en la estimación de la varianza integrada. Para reducir este sesgo, se pueden elegir valores bajos de M (número de observaciones intra-día), pero en bajas frecuencias, no se incorpora toda la información en los datos, y los estimadores en el presente documento de la varianza integrada serán ine…ciente/inconsistente. La varianza realizada genera una estimación perfecta de la varianza integrada cuando los precios se observan en tiempo continuo, por lo tanto, su cálculo debería basarse en los retornos en la frecuencia más alta posible. Por lo tanto, existe un dilema entre el sesgo y la varianza; el sesgo debido a fricciones en los mercados cuando la muestra está en frecuencias altas y la varianza debido a los supuestos asintóticos que no se mantienen cuando la muestra está en bajas frecuencias. Los resultados asintóticos se basan en la idea de muestras de frecuencias crecientemente mayores, por lo tanto, la presencia de efectos de microestructura potencialmente puede invalidarlos.

Los verdaderos precios posiblemente no son iguales a los precios observados debido al método de interpolación o fricciones en los mercados. Los datos de precios equidistantes se tienen que interpolar de los precios observados y un error puede aparecer del método econométrico utilizado para construir esta serie arti…cial de precios (métodos de cotización instantánea previa (tick) o interpolación). El ruido de microestructura puede tener muchas fuentes diferentes. Para los índices bursátiles, la correlación serial se debe posiblemente a operaciones bursátiles no sincrónicas (Lo y MacKinlay (1990). Cuando los valores individuales no están negociados simultáneamente, incorporan choques no sincrónicamente en el factor común que determina sus precios. Eso resulta en cambios en los precios correlacionados a nivel de índice. Para los activos líquidos, el diferencial compra/venta (Roll (1984)) induce una correlación serial negativa. Cuando no llega nueva información en un punto de tiempo, el precio rebota entre los precios de compra (bid) y de venta (ask). Este efecto puede ser fuerte en datos en alta frecuencia. Para los activos menos líquidos, operaciones bursátiles inactivas causan una correlación serial positiva. Los costos de transacción, precios mal registrados y la naturaleza discreta de los datos que implica errores de redondeo también pueden contribuir a este efecto. Véase Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (1999), Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (2000), Bai, Russell y Tiao (2001) y Oomen (2002) para una descripción más completa del sesgo causado por los efectos de microestructura.

Dado que los efectos de microestructura están presentes virtualmente en todas las series de precios, se tiene que encontrar una manera para que estos efectos tengan un impacto insigni…cante en la estimación de la verdadera varianza cuando se utilizan los datos en alta frecuencia.

Un primer enfoque es la selección de una frecuencia de muestreo óptima que minimiza el sesgo.

Bandi y Russell (2003), Hansen y Lunde (2006) y Aït-Sahalia, Mykland y Zhang (2005) estudian distintos métodos para obtener tal frecuencia. Esta frecuencia tiene que ser bastante alta para producir una estimación de volatilidad con una variación muestral insigni…cante, y bastante baja para evitar un sesgo de microestructura. En Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (1999) se introdujo el grá…co de tono de volatilidad (signature plot) para proporcionar una guía inicial. Este grá…co presenta la varianza realizada promedio contra la frecuencia de muestra; se espera que el sesgo aumenta en niveles de alta frecuencia.

Un segundo enfoque es el uso de estimadores alternativos para la varianza integrada, los cuales están insesgados en la presencia de efectos de microestructura. Zhang, Mykland y Aït-Sahalia

(2005) desarrollaron una clase de estos estimadores, con base en la varianza realizada y los métodos de submuestreo y promedio. Se proponen y comparan distintos métodos de estimación: 1) calcular la varianza realizada en la frecuencia más alta posible e ignorar completamente el ruido, 2) tomar muestras escasamente en una frecuencia más baja, 3) utilizar la frecuencia muestral óptima, 4) utilizar el método de submuestreo y promedio, 5) corrección del sesgo del método de submuestreo y promedio. Andersen, Bollerslev, Diebold y Ebens (2001), Hansen y Lunde (2006), Oomen (2004) y Barndor¤-Nielsen, Hansen, Lunde y Shephard (2006) presentan otros enfoques para corregir el sesgo para la varianza realizada. Estos enfoques lograron exitosamente reducir el sesgo, pero ninguno de ellos resolvió el problema por completo. En el presente documento, se estudiarán estimadores al- ternativos basados en la variación realizada multipoder, dado que observaciones adyacentes pueden reducir el sesgo sin perder demasiada información. También, se utilizará la técnica de submuestreo y promedio con la variación multipoder, dado que puede mejorar los resultados previos y los esti- madores pueden ser más robustos al ruido.

En este artículo, primero se de…ne el Modelo de Volatilidad Estocástica y se describe cómo se incorpora el efecto de microestructura. La contaminación debido a los efectos de microestructura se considerará como la contaminación debido al error de observación. Después, se evaluará la variación realizada bipoder, tripoder y cuadripoder en la presencia de estos efectos. En lo siguiente, se introducirán y estudiarán nuevos estimadores basados en la variación multipoder y el método de submuestreo y promedio.

1.1 Modelo de Volatilidad Estocástica y variación multipoder

Un modelo estándar en la economía …nanciera es el modelo de volatilidad estocástica (SV, por sus siglas en inglés) para los log-precios Y_t que sigue la ecuación

Yt= Z t

0

audu + Z t

0

sdWs; t 0; (1)

donde A_t =Rt

0a_udu. Se asume que los procesos _t y A_t son estocásticamente independientes del movimiento Browniano estándar W . _t se denota como la volatilidad instantánea o spot, ²_t la varianza spot correspondiente y A_t el proceso de la media.

Más generalmente, se asume que A_t tiene una variación localmente acotada, y se de…ne que M_t=Rt

0 sdW_s; con la condición adicional de queRt 0

2sds < 1 para todos t. Lo anterior garantiza que M_t es una martingala local. Por lo tanto, la ecuación original (1) se puede descomponer como Yt = At+ Mt: Bajo estos supuestos, Yt es una semimartingala (véase Protter (1990)). Si, adicionalmente, At es continuo, entonces Yt pertenece a la clase de semimartingala continua de volatilidad estocástica (SV SM^c):

En este modelo, un papel clave desempeña la varianza integrada

2

t =

Z t 0

2 sds;

y la variación cuadrática

[Y ]t= p lim

n!1

Xn j=1

(Ytj Ytj 1)²

para cualquier secuencia de particiones t⁽ⁿ⁾₀ = 0 < t⁽ⁿ⁾₁ < ::: < t⁽ⁿ⁾n = t con sup_jft⁽ⁿ⁾j t⁽ⁿ⁾_{j 1}g para n ! 1: Dado que se asume que A^tes continuo y de variación …nita, se obtiene que

[Y ]t= [A]t+ 2[A; M ]t+ [M ]t= [M ]t= Z t

0 2 udu donde

[X; Y ]t= p lim

n!1

Xn j=1

(Xtj Xtj 1)(Ytj Ytj 1):

Esta ecuación se mantiene, dado que la variación cuadrática de cualquier proceso continuo con variación localmente acotada es cero (véase Hull y White (1987)). Si datos …nancieros en alta frecuencia están disponibles, se puede de…nir el proceso de varianza realizada [Y ]^[2]_t =

bt= cP

j=1

y_j²; donde yj = Yj Y_{(j 1)} para j = 1; 2; 3; :::; bt= c son los retornos, dado que se obtienen observaciones cada > 0 periodos del tiempo.

La relación entre la varianza realizada y la variación cuadrática es [Y ]^[2]_t p

![Y ]_t= Z t

0 2 sds si Y 2 SV SM^c:

La varianza realizada ha sido utilizada en la econometría …nanciera desde hace muchos años, por ejemplo, Rosenberg (1972), Merton (1980), Poterba y Summers (1986), Schwert (1989), Hsieh (1991), Zhou (1996), Taylor y Xu (1997), Christensen y Prabhala (1998), Andersen, Bollerslev, Diebold y Ebens (2001), Andersen, Bollerslev, Diebold y Labys (2001). La literatura reciente, utilizando la variación cuadrática para semimartingalas, ha sido el desarrollo independiente y con- currente de Andersen y Bollerslev (1998a), Comte y Renault (1998) y Barndor¤-Nielsen y Shephard (2001). En Barndor¤-Nielsen y Shephard (2002), Barndor¤-Nielsen y Shephard (2005) y Barndor¤- Nielsen y Shephard (2004b), la teoría previa se ha extendido a un Teorema del Límite Central (CLT, por sus siglas en inglés). En estos documentos, el CLT se presenta bajo supuestos relativamente restrictivos. Recientemente, Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod, Podolskij y Shephard (2005) y Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod y Shephard (2006) presentan condiciones más débiles para el proceso de log-precios, asegurando que se mantiene el CLT. Existen muchos otros documentos so- bre la varianza realizada, los cuales se discuten en Dacorogna et al. (2001) y en las revisiones de Andersen, Bollerslev y Diebold (2005) y Barndor¤-Nielsen y Shephard (2007).

1.2 Modelar el ruido de microestructura

Empíricamente, es bien sabido que el proceso de precios está contaminado por los efectos de mi- croestructura. Lo que explica porque, cuando se utilizan los resultados asintóticos, sus implementa- ciones usando valores altos de M pueden dar malas respuestas debido a la acumulación del ruido.

Mientras mayor sea el valor de M; más cercano se llegará a los resultados asintóticos, pero también los efectos de microestructura interrumpirán más en el verdadero proceso.

En el presente documento, se intentará combatir el problema de efectos de microestuctura al utilizar una versión salteada de la variación bipoder realizada y considerar observaciones más adyacentes, es decir, la variación realizada tripoder y cuadripoder. También, se de…nirán nuevos estimadores basados en el método de submuestreo y promedio. Para evaluar la efectividad de los estimadores en la presencia del ruido de microestructura se requiere la modelación del proceso contaminado.

El modelo aditivo es popular, asumiendo que el ruido es i.i.d. a través del tiempo y también independiente del verdadero proceso de precios. Este modelo ha sido analizado por Bandi y Russell (2003), Corsi, Zumbach, Müller y Dacorogna (2001), Hansen y Lunde (2006) y Zhang, Mykland y Aït-Sahalia (2005). Este modelo se utilizará en este artículo debido a su simplicidad, aunque modelos más generales ya han sido propuestos por Aït-Sahalia, Mykland y Zhang (2005), Hansen y Lunde (2004) y Oomen (2002).

El proceso contaminado de log-precios se de…ne como Yet= Yt+ _t

donde Ytes el verdadero log-precio, _tes el ruido de microestructura y eYtlos log-precios observados.

Los retornos se de…nen como e

Y_j Ye_{(j 1)} = fYj Y_{(j 1)} g + f j (j 1) g e

y_j= y_j+ "_j para j = 1; 2; :::; bt= c :

Dado un periodo de tiempo …jo h > 0 (h denota el periodo de un día) con bt= c = M retornos intra-h; se de…ne

e

yj;i= eY_{(i 1)h+j} Ye_{(i 1)h+(j 1)}

para j = 1; 2; :::; M: Entonces, eyj;i es el j-ésimo retorno intra-día observado para el i-ésimo día y también se puede representar como

e

y_j;i= y_j;i+ "_j;i:

Se impondrán los siguientes supuestos para el modelo previo

1. Los choques aleatorios _j son Gaussianos i.i.d. con media cero y varianza ²: 2. yj;i? "^j;i 8i; j:

3. El verdadero proceso de log-precios Y_tsigue un modelo SV (ecuación (1)).

En lo siguiente, se simula un proceso contaminado de log-precios para mil días. El verdadero proceso para ² se basará en el proceso CEV (especialmente un proceso de raíz cuadrada de Feller (1951) o Cox, Ingersoll y Ross (1985)) donde A = 0 y se descarta el efecto de apalancamiento.

Los verdaderos retornos y los retornos contaminados de los primeros cinco días de la serie simulada se muestran en las Grá…cas 1 y 2 con ² = 0:0001 y ² = 0:001; respectivamente.

En ambas grá…cas, los retornos se muestran para M=12, M=72 y M=288. Se puede observar fácilmente que, cuando M aumenta, las series están sustancialmente más afectadas por el ruido de microestructura, es decir, mayores frecuencias están más afectadas que frecuencias más bajas.

Obviamente, la diferencia entre los retornos verdaderos y observados también depende de la varianza del ruido. En la Grá…ca 2, donde la varianza del ruido es bastante alta, el ruido cubre completamente el proceso verdadero cuando M=288.

Los problemas causados por el ruido de microestructura dependerán de ², por lo tanto, es importante conocer algunos valores empíricos. Se puede usar el cociente empírico ruido-señal, el cociente entre la varianza de ruido y la varianza integrada promedio estimada. En Bandi y Russell (2003), este cociente es 0.0002829 para los precios de acciones IBM; en Hansen y Lunde (2006) es 0.000177 para los precios de acciones Alcoa Inc. Para ser coherente con estos cocientes, en las simulaciones del presente documento se requiere que ² esté alrededor de 0.0001.

Por lo tanto, se estudiará el caso donde ²= 0.00001, ² = 0.0001 y ² = 0.001.

observada verdadera

Varianza del ruido de microestructura = 0.0001

Gráfica 1. Diagrama del proceso de retornos verdaderos y observados, con σ²η= 0.0001

observada verdadera

Gráfica 2. Diagrama del proceso de retornos verdaderos y observados, con σ²η= 0.001

Varianza del ruido de microestructura = 0.001

2 Variación bipoder, tripoder y cuadripoder en la presencia del ruido de la microestructura

Recientemente, se ha utilizado la variación bipoder realizada para dividir los componentes de la variación cuadrática en un componente continuo y un componente de los brincos de los procesos de log-precios. Eso permite probar la presencia de brincos (véase Barndor¤-Nielsen y Shephard (2004a y 2006)). En Ysusi (2006) se estudiaron la variación realizada tripoder, cuadripoder y la versión salteada de la variación bipoder como estimadores alternativos, los cuales se pueden utilizar como prueba para detectar brincos en el proceso de precios.

Un aspecto importante para investigar es si estos estimadores todavía generan resultados ade- cuados cuando existe ruido de la microestructura. El hecho de observaciones salteadas (versión salteada de variación bipoder) o utilizar un número de observaciones adyacentes para computar los estimadores (variación tripoder y cuadripoder) puede ayudar a reducir el sesgo causado por los efectos de microestructura. Al usar datos simulados contaminados, se debe computar la variación realizada bipoder, tripoder y cuadripoder y la versión salteada de la variación bipoder, y así intentar evaluar la precisión de estas estimaciones contaminadas.

2.1 Grá…cos de tono de volatilidad (signature plots)

Como primer enfoque, se utilizarán los grá…cos de tono de volatilidad (signature plots), donde se muestran los valores medios de los estimadores para diferentes frecuencias de la muestra. Las frecuencias muestrales medidas en minutos se mostrarán en una escala logarítmica en los grá…cos de tono de volatilidad. Si los estimadores están afectados por los efectos de microestructura, el sesgo aumentará con la frecuencia de la muestra porque estos efectos inducen una correlación serial en los retornos en alta frecuencia.

Varianza del Ruido de Microestructura = 0.0001

Varianza del Ruido de Microestructura = 0.001

Gráfica 3. ‘Signature plot’cuando el ruido de microestructura está presente para datos simulados.

Este problema es evidente en la Grá…ca 3. El tamaño del sesgo dependerá de la varianza del ruido. Cuando la varianza es alta (grá…ca inferior), todos los estimadores están sesgados para las muestras más frecuentes que treinta minutos. Al parecer, no existe una diferencia evidente entre los estimadores utilizados. Solamente la versión salteada de la variación bipoder realizada da un ligero mejoramiento en las frecuencias más altas, pero incluso para este estimador, el sesgo es bastante grave y no generará resultados con…ables.

En las frecuencias más altas (por arriba de diez minutos) todavía está presente un sesgo cuando se utiliza una menor varianza para el ruido (grá…ca superior), aunque parece ser bastante menor.

En este caso, no parece haber mucha diferencia entre los estimadores en cualquier frecuencia de muestras.

2.2 Comportamiento de muestra …nita

Dado que los grá…cos de tono de volatilidad ya proporcionaron cierta información preliminar sobre el problema de autocorrelación de los estimadores cuando existe ruido de microestructura, en lo siguiente, se evaluará la precisión de la aproximación asintótica normal mixta a su distribución en el caso de las observaciones contaminadas.

En Ysusi (2006) se estudió el comportamiento de muestras …nitas de la variación bipoder, tripoder y cuadripoder, calculadas con datos reales. En esta sección se enfoca de nuevo en el comportamiento de muestras …nitas, pero en este caso utilizando datos contaminados.

Si el ruido de microestructura no tuviera ningún efecto en los estimadores, resultaría la siguiente distribución límite para el error de la variación bipoder realizada

1

1=2qRt 0 4

sds 8<

:

2 1

bt= c 1X

j=1

jeyjj jeyj+1j Z t

0 2 sds

9=

;

! N(0;L ^{V B})

donde V B' 2:60907;

para el error de variación tripoder realizada 1

1=2qRt 0 4

sds 8<

:

3 2=3

bt= c 2X

j=1

jeyjj²⁼³jeyj+1j²⁼³jeyj+2j²⁼³ Z t

0 2 sds

9=

;

! N(0;L ^{V T})

donde _{V T} ' 3:0613;

para el error de variación cuadripoder realizada

1

1=2qRt 0 4

sds 8<

:

4 1=2

bt= c 3X

j=1

q

jey_jj jey_j+1j jey_j+2j jey_j+3j Z t

0 2 sds

9=

;

! N(0;L V C)

donde V C ' 3:37702;

y para el error de la versión salteada de la variación bipoder realizada 1

1=2qRt 0 4

sds 8<

:

2 1

bt= c 2X

j=1

jeyjj jeyj+2j Z t

0 2 sds

9=

;

! N(0;L ^{V BS})

donde V BS ' 2:60907:

M Sesgo VB DE Cob Sesgo VT DE Cob Sesgo CV DE Cob Sesgo VBS Cob 10 ⁵

24 -.11 1.01 95.4 -.11 1.01 95.0 -.11 1.02 95.5 -.13 1.01 95.6

72 -.06 1.02 94.8 -.06 1.04 94.4 -.05 1.04 94.3 -.07 1.05 94.0

144 -.03 .97 96.3 -.03 .97 96.0 -.02 .98 95.5 -.01 1.01 95.0

288 .01 .98 94.6 .10 1.00 94.4 .09 1.02 95.0 .11 1.02 94.3

720 .51 1.02 91.0 .47 1.03 91.7 .45 1.03 92.4 .52 1.01 92.3

1440 1.50 1.11 67.0 1.37 1.10 70.7 1.29 1.09 72.4 1.49 1.12 67.3

10 ⁴

24 -.08 1.00 95.1 -.09 1.01 95.2 -.09 1.01 95.7 -.09 1.01 95.3

72 .08 1.05 94.3 .08 1.05 93.7 .07 1.06 93.9 .08 1.06 93.6

144 .41 1.04 91.6 .39 1.03 91.4 .38 1.05 90.9 .43 1.06 91.0

288 1.32 1.13 72.5 1.23 1.14 74.3 1.17 1.15 77.0 1.31 1.17 71.5

720 5.39 1.89 1.7 4.95 1.81 2.8 4.69 1.77 4.6 5.22 1.80 1.5

1440 15.6 4.05 0 14.3 3.78 0 13.5 3.62 0 14.8 3.81 0

10 ³

24 .19 1.08 93.1 .15 1.08 93.3 .12 1.09 93.5 .18 1.09 92.5

72 1.59 1.41 63.3 1.45 1.39 66.4 1.39 1.38 69.5 1.54 1.38 65.1

144 4.86 2.11 6.1 4.48 2.03 8.3 4.25 1.99 11.3 4.66 1.99 7.3

288 14.2 4.04 0 13.1 3.82 0 12.2 3.66 0 13.3 3.78 0

720 57.6 14.5 0 52.5 13.3 0 49.4 12.6 0 52.5 12.9 0

1440 164 38.9 0 150 35.4 0 141 33.3 0 148 34.5 0

Cuadro 1. Sesgo, desviación estándar, tasa de cobertura de error de variación bipoder, tripoder cuadripoder estandaridaza no factible y error de variación bipoder salteada en la presencia de ruido de

microestructura.

En el Cuadro 1 se registran el sesgo, la desviación estándar y la tasa de cobertura de los errores previos no factibles para ²= 0.00001, ²= 0.0001 y ²= 0.001. Se puede observar que la variación tripoder y cuadripoder parecen ser las menos afectadas por el ruido de la microestructura. Sin embargo, cuando la varianza del ruido es demasiado alta, el ruido cubre completamente el verdadero proceso y con frecuencias muestrales altas, ninguno de los estimadores genera resultados adecuados.

Cuando el ruido no es tan grande, todavía existen algunos problemas para los retornos por arriba de 5 minutos. En todos los casos, las frecuencias de muestras bajas no parecen estar muy afectadas por el ruido, pero la teoría del presente documento se basa en los supuestos asintóticos, por lo tanto, bajas frecuencias llevan a estimaciones ine…cientes. Entonces, hasta el momento, ninguno de los estimadores parece solucionar el problema del ruido de la microestructura si la varianza del ruido es su…cientemente alta.

2.3 Prueba para detectar brincos en la presencia del ruido

El interés principal de la variación bipoder es que se puede establecer una prueba para detectar brincos en el proceso de precios mediante la sustracción del a varianza realizada de la variación bipoder realizada. También, se puede realizar la prueba con la variación tripoder y cuadripoder.

Cuando las fricciones de los mercados están presentes, no se conoce el verdadero poder de esta prueba, dado que ambas, la varianza realizada y la variación bipoder (tripoder y cuadripoder)

realizada están afectadas. Se estudiará el efecto del ruido de microestuctura en la prueba al aplicarla a los datos simulados contaminados.

Si la prueba no está afectada por los efectos de la microestructura, entonces los teoremas de convergencia de Ysusi (2006) se deberían mantener. Una prueba de cociente factible para detectar brincos se puede basar en los resultados, utilizando cada uno de los estimadores.

M Sesgo 24 DE Cob Sesgo 144 DE Cob Sesgo 1440 DE Cob

10 ⁵

CVB -0.308 1.06 89.6 -0.099 0.99 93.3 0.982 1.15 97.8

CVT -0.258 1.02 91.1 -0.070 0.98 93.9 0.663 1.16 97.8

CVC -0.256 1.03 91.3 -0.073 0.99 94.3 0.499 1.14 97.5

CVBS -0.327 1.06 87.9 -0.084 0.99 93.8 -0.004 0.96 95.6 10 ⁴

CVB -0.283 1.05 89.2 0.179 1.02 95.8 3.72 1.65 99.9

CVT -0.238 1.03 91.4 0.101 1.01 96.3 2.45 1.32 99.9

CVC 0.230 1.04 92.7 0.055 1.02 96.3 1.84 1.21 99.7

CVBS 0.317 1.08 88.4 -0.112 1.01 94.2 0.014 0.969 95.8

10 ³

CVB -0.101 1.04 92.4 1.03 1.02 99.1 5.71 0.89 100

CVT -0.098 1.05 93.3 0.627 1.04 98.7 3.69 0.98 100

CVC -0.103 1.06 93.6 0.445 1.04 98.1 2.77 1.01 100

CVBS -0.292 1.09 88.8 -0.152 0.996 93.5 0.014 0.96 96.1

Cuadro 2. Sesgo, desviación estándar, tasa de cobertura de la prueba de cociente no factible para brincos en la presencia de ruido de microestructura.

M Sesgo 24 DE Cob Sesgo 144 DE Cob Sesgo 1440 DE Cob

2= 10 ⁴

50%

CVB -0.426 1.14 85.0 -0.327 1.36 85.5 3.18 1.74 99.7

CVT -0.371 1.09 87.3 -0.344 1.26 85.7 1.97 1.41 99.3

CVC -0.350 1.08 87.6 -0.342 1.21 86.8 1.40 1.28 98.9

CVBS -0.479 1.16 84.2 -0.578 1.38 83.6 -0.501 1.25 83.4 20%

CVB -0.291 1.07 89.5 0.096 1.06 94.4 3.65 1.64 100

CVT -0.237 1.04 91.5 0.023 1.02 94.4 2.36 1.31 100

CVC -0.223 1.05 91.9 -0.004 1.02 94.6 1.75 1.19 99.7

CVBS -0.317 1.09 87.8 -0.179 1.01 92.6 -0.081 0.998 94.3

2= 10 ³

50%

CVB -0.211 1.08 90.5 0.915 1.04 98.5 5.63 0.909 100

CVT -0.212 1.09 90.5 0.573 1.05 98.1 3.61 1.01 100

CVC -0.207 1.10 90.8 0.413 1.06 98.2 2.69 1.03 100

CVBS -0.384 1.14 85.6 -0.174 1.01 93.3 -0.055 0.993 94.0 20%

CVB -0.161 1.07 91.5 0.995 1.02 99.2 5.67 0.91 100

CVT -0.162 1.07 91.5 0.642 1.05 98.4 3.64 1.01 100

CVC -0.160 1.09 91.6 0.477 1.05 98.7 2.72 1.03 100

CVBS -0.332 1.13 86.5 -0.109 0.984 94.4 -0.029 0.99 94.6

Cuadro 3. Sesgo, desviación estándar, tasa de cobertura de la prueba de cociente no factible para brincos en la presencia de ruido de microestructura cuando los precios incluyen un componente de brincos.

El Cuadro 2 muestra el sesgo y la desviación estándar de los estadísticos de la prueba, así como la tasa de cobertura de la prueba cuando no existen brincos en el proceso real para distintos valores de la varianza del ruido de la microestructura. El Cuadro 3 muestra el sesgo, la desviación estándar y la tasa de cobertura de la prueba, pero en este caso los brincos de tamaño dado están incluidos. Se puede observar que la presencia de los brincos está subestimada cuando los precios están contaminados por el ruido de microestructura. Incluso cuando los brincos son altos, el ruido puede dominar el proceso y cubrirlo completamente.

Cuando el ruido de la microestructura está afectando el proceso de precios, la prueba para detectar brincos puede ser ine…ciente y brindar respuestas falsas. Para las bajas frecuencias, es difícil detectar los brincos y para las frecuencias altas, los brincos están cubiertos por el ruido de la microestructura. En la presencia de los brincos, la versión salteada de la variación bipoder realizada genera resultados ligeramente mejores, aunque el mejoramiento es insigni…cante. Si la varianza del ruido es demasiado alta o si los brincos son demasiado pequeños, entonces ninguno de los estimadores será con…able. Por lo tanto, se debería recurrir a un estimador alternativo.

3 Estimadores basados en el método de submuestreo y prome- dio

3.1 Estimador general de la verdadera varianza

La varianza realizada, calculada con datos en frecuencia más alta posible, debería proporcionar la mejor estimación posible para la verdadera varianza, pero los efectos de la microestructura pueden invalidar los resultados asintóticos. Aunque las variaciones realizadas bipoder, tripoder y cuadripoder parecen ser adecuadas cuando la varianza del ruido de la microestructura es baja, no son con…ables cuando la varianza del ruido es alta. Zhang, Mykland y Aït-Sahalia (2005) han introducido un nuevo estimador para la verdadera varianza, basado en la varianza realizada, que produce mejores resultados. Estos autores explican que, aunque el muestreo en bajas frecuencias meramente reduce el impacto de los efectos de la microestructura, en lugar de corregirlos para las estimaciones de la volatilidad, el método de submuestreo y promedio parece ser la única manera de manejarlos. Por lo tanto, para bene…ciar de las propiedades de datos en baja frecuencia, se propone la selección de un número de subdivisiones de la división original de observaciones. Entonces, se cal- cula el promedio de los estimadores derivados de las subdivisiones para obtener un nuevo estimador que está menos sesgado que la varianza realizada en la presencia de los efectos de microestructura.

El supuesto necesario es, como en el caso de la varianza realizada, que los log-precios Y_t siguen un modelo de volatilidad estocástica descrito previamente (ecuación (1)).

Se supone que la división total de observaciones G = ft^0;:::;tng se divide en K subdivisiones no traslapadas G^(k) para k = 1; :::; K: Eso también se puede observar porque G = [^Kk=1G^(k) donde G^(k)\ G^(l) = ; cuando k 6= l:

Para seleccionar la k esima subdivisión G^(k), se empieza con tk 1 y después se elige cada K-ésimo punto muestral después hasta el …nal de la muestra, T: Es decir,

G^(k)= (tk 1; tk 1+K; tk 1+2K; :::; tk 1+nkK)

para k = 1; :::; K; donde n_k es el número entero, haciendo t_{k 1+nkK} el último elemento en la subdivisión correspondiente.

El número de elementos en la división total es n + 1; mientras que cada subdivisión tiene n_k+ 1 elementos. n_k no es necesariamente el mismo para todos k:

Después se calcula la varianza realizada para cada subdivisión, es decir, [Y_K^(k)]t= X

tj;tj+2G^(k)

Ytj+ Ytj

2

donde, si t_j 2 G^(k); entonces, t_j+ denota el siguiente elemento en G^(k): Al calcular el promedio para todas las subdivisiones

[Y ]^(prom)_t = 1 K

XK k=1

hY_K^(k)i

t

se obtiene el nuevo estimador de la verdadera varianza. Dada una constante K; cuando n ! 1 y entonces, # 0

[Y ]^(prom)_t ! [Y ]^p t= Z t

0 2 sds:

3.2 Nuevos estimadores basados en la varianza realizada y la variación bipoder, tripoder y cuadripoder

Primero, se de…ne

2 2 ;j =

Z 2 (j+1) 2 j

2 udu;

2 2 ;j =

Z (2j+3) (2j+1)

2 udu;

2

;j=

Z (j+1) j

2 udu:

Al seguir la idea de Zhang, Mykland y Aït-Sahalia (2005) y al enfocar, como primer enfoque, el caso cuando K = 2; se puede de…nir para la varianza realizada

[Y ]^(prom)_t = 1 2

h Y₂⁽¹⁾i

t+h Y₂⁽²⁾i

t

donde

[Y₂⁽¹⁾]t=

bt=2 c 1X

j=0

Y_(2j+2) Y_(2j) ²=

bt=2 c 1X

j=0

y_{2 ;j}^{(1) 2}

ley=

bt=2 c 1X

j=0

( _{2 ;j 2 ;j})²=

bt=2 c 1X

j=0

( _{;2j ;2j}+ _{;2j+1 ;2j+1})²

dado que (y_{2 ;j}⁽¹⁾ )²= (y2j+ y2j+1)² y

[Y₂⁽²⁾]t=

bt=2 c 2X

j=0

Y_(2j+3) Y_(2j+1) ²=

bt=2 c 1X

j=0

y⁽²⁾_{2 ;j} ²

ley=

bt=2 c 2X

j=0

( _{2 ;j}&_{2 ;j})²=

bt=2 c 2X

j=0

( _{;2j+1 ;2j+1}+ _{;2j+2 ;2j+2})²

dado que (y_{2 ;j}⁽²⁾ )²= (y2j+1+ y2j+2)²:

Nótese que

2

2 ;j = ²_;2j+ ²_;2j+1:

Dado que las variaciones realizadas bipoder, tripoder y cuadripoder se construyeron para obtener estimaciones mejores que la varianza realizada cuando existen efectos de microestructura, se puede esperar que los nuevos estimadores, utilizando el método de submuestreo y promedio para las variaciones bipoder, tripoder y cuadripoder, están menos sesgados que el estimador basado en la varianza realizada. En lo siguiente, se de…nen estos estimadores alternativos.

3.2.1 Variación Bipoder

Se de…ne el nuevo estimador basado en la variación bipoder, [Y ][1;1](prom)

t = 1

2 h

Y₂⁽¹⁾i[1;1]

t +h

Y₂⁽²⁾i[1;1]

t

donde

[Y₂⁽¹⁾]^[1;1]_t =

bt=2 c 2X

j=0

Y(2j+2) Y(2j) Y(2j+4) Y(2j+2)

=

bt=2 c 2X

j=0

y_{2 ;j}⁽¹⁾ y_{2 ;j+1}⁽¹⁾

ley=

bt=2 c 2X

j=0

j 2 ;j 2 ;jj j 2 ;j+1 2 ;j+1j

=

bt=2 c 2X

j=0

j ^{;2j ;2j}+ ;2j+1 ;2j+1j j ^{;2j+2 ;2j+2}+ ;2j+3 ;2j+3j y

[Y₂⁽²⁾]^[1;1]_t =

bt=2 c 3X

j=0

Y(2j+3) Y(2j+1) Y(2j+5) Y(2j+3)

=

bt=2 c 3X

j=0

y_{2 ;j}⁽²⁾ y_{2 ;j+1}⁽²⁾

ley=

bt=2 c 3X

j=0

j 2 ;j&_{2 ;j}j j 2 ;j+1&_{2 ;j+1}j

=

bt=2 c 3X

j=0

j ^{;2j+1 ;2j+1}+ ;2j+2 ;2j+2j j ^{;2j+3 ;2j+3}+ ;2j+4 ;2j+4j : En este caso, nótese que

2 ;j 2 ;j+1= ²_;2j+ ²_;2j+1 ^{1=2 2}_;2j+2+ ²_;2j+3 ¹⁼²: 3.2.2 Variación Tripoder

El caso de la variación tripoder se puede de…nir como [Y ][2=3;2=3;2=3](prom)

t = 1

2 h

Y₂⁽¹⁾i[2=3;2=3;2=3]

t +h

Y₂⁽²⁾i[2=3;2=3;2=3]

t

donde

[Y₂⁽¹⁾][2=3;2=3;2=3]

t =

bt=2 c 3X

j=0

Y(2j+2) Y(2j)

2=3 Y(2j+4) Y(2j+2)

2=3 Y(2j+6) Y(2j+4) 2=3

=

bt=2 c 3X

j=0

y⁽¹⁾_{2 ;j} ²⁼³ y⁽¹⁾_{2 ;j+1} ²⁼³ y_{2 ;j+2}^{(1) 2=3}

ley=

bt=2 c 3X

j=0

j 2 ;j 2 ;jj²⁼³j 2 ;j+1 2 ;j+1j²⁼³j 2 ;j+2 2 ;j+2j²⁼³

=

bt=2 c 3X

j=0

j ^{;2j ;2j}+ ;2j+1 ;2j+1j²⁼³j ^{;2j+2 ;2j+2}+ ;2j+3 ;2j+3j²⁼³

j ;2j+4 ;2j+4+ _{;2j+5 ;2j+5}j²⁼³ y

[Y₂⁽²⁾][2=3;2=3;2=3]

t =

bt=2 c 4X

j=0

Y_(2j+3) Y_(2j+1) ²⁼³ Y_(2j+5) Y_(2j+3) ²⁼³ Y_(2j+7) Y_(2j+5) ²⁼³

=

bt=2 c 4X

j=0

y⁽²⁾_{2 ;j} ²⁼³ y⁽²⁾_{2 ;j+1} ²⁼³ y_{2 ;j+2}^{(2) 2=3}

ley=

bt=2 c 4X

j=0

j ^{2 ;j}&2 ;jj²⁼³j ^{2 ;j+1}&2 ;j+1j²⁼³j ^{2 ;j+2}&2 ;j+2j²⁼³

=

bt=2 c 4X

j=0

j ^{;2j+1 ;2j+1}+ ;2j+2 ;2j+2j²⁼³j ^{;2j+3 ;2j+3}+ ;2j+4 ;2j+4j²⁼³

j ;2j+5 ;2j+5+ _{;2j+6 ;2j+6}j²⁼³: En este caso, nótese que

2=3 2 ;j

2=3 2 ;j+1

2=3

2 ;j+2= ²_;2j+ ²_;2j+1 ^{1=3 2}_;2j+2+ ²_;2j+3 ^{1=3 2}_;2j+4+ ²_;2j+5 ¹⁼³: 3.2.3 Variación Cuadripoder

Finalmente, se de…ne el siguiente estimador basado en la variación cuadripoder,

[Y ][1=2;1=2;1=2;1=2](prom)

t =1

2 [Y₂⁽¹⁾][1=2;1=2;1=2;1=2]

t + [Y₂⁽²⁾][1=2;1=2;1=2;1=2]

t

donde

[Y₂⁽¹⁾][1=2;1=2;1=2;1=2]

t =

bt=2 c 4X

j=0

Y_(2j+2) Y_(2j) ¹⁼² Y_(2j+4) Y_(2j+2) ¹⁼²

Y_(2j+6) Y_(2j+4) ¹⁼² Y_(2j+8) Y_(2j+6) ¹⁼²

=

bt=2 c 4X

j=0

y_{2 ;j}⁽¹⁾

1=2

y_{2 ;j+1}⁽¹⁾

1=2

y_{2 ;j+2}⁽¹⁾

1=2

y⁽¹⁾_{2 ;j+3}

1=2

ley=

bt=2 c 4X

j=0

j 2 ;j 2 ;jj¹⁼²j 2 ;j+1 2 ;j+1j¹⁼²j 2 ;j+2 2 ;j+2j¹⁼²j 2 ;j+3 2 ;j+3j¹⁼²

=

bt=2 c 4X

j=0

j ;2j ;2j+ _{;2j+1 ;2j+1}j¹⁼²j ;2j+2 ;2j+2+ _{;2j+3 ;2j+3}j¹⁼²

j ^{;2j+4 ;2j+4}+ ;2j+5 ;2j+5j¹⁼²j ^{;2j+6 ;2j+6}+ ;2j+7 ;2j+7j¹⁼² y

[Y₂⁽²⁾][1=2;1=2;1=2;1=2]

t =

bt=2 c 5X

j=0

Y_(2j+3) Y_(2j+1) ¹⁼² Y_(2j+5) Y_(2j+3) ¹⁼²

Y_(2j+7) Y_(2j+5) ¹⁼² Y_(2j+9) Y_(2j+7) ¹⁼²

=

bt=2 c 5X

j=0

y_{2 ;j}^{(2) 1=2} y_{2 ;j+1}^{(2) 1=2} y_{2 ;j+2}^{(2) 1=2} y⁽²⁾_{2 ;j+3}¹⁼²

ley=

bt=2 c 4X

j=0

j ^{2 ;j}&2 ;jj¹⁼²j ^{2 ;j+1}&2 ;j+1j¹⁼²j ^{2 ;j+2}&2 ;j+2j¹⁼²j ^{2 ;j+3}&2 ;j+3j¹⁼²

=

bt=2 c 4X

j=0

j ;2j+1 ;2j+1+ _{;2j+2 ;2j+2}j¹⁼²j ;2j+3 ;2j+3+ _{;2j+4 ;2j+4}j¹⁼²

j ^{;2j+5 ;2j+5}+ ;2j+6 ;2j+6j¹⁼²j ^{;2j+7 ;2j+7}+ ;2j+8 ;2j+8j En este caso, nótese que

1=2 2 ;j

1=2 2 ;j+1

1=2 2 ;j+2

1=2

2 ;j+3 = ²_;2j+ ²_;2j+1 ^{1=4 2}_;2j+2+ ²_;2j+3 ¹⁼⁴

2

;2j+4+ ²_;2j+5 ^{1=4 2}_;2j+6+ ²_;2j+7 ¹⁼⁴:

3.3 Series de tiempo diarias

Para producir series de tiempo diarias, se tiene que considerar un periodo de tiempo …jo h (co- rrespondiente al periodo de un día) con bt= c = M retornos intra-h observados (y contaminados), durante cada día, de…nidos como

e

yj;i= eY(i 1)h+(j+1) Ye_{(i 1)h+j} para el j-ésimo retorno intra-día en i-ésimo periodo.

Se destaca que un sesgo está introducido mediante el uso de valores …nitos de M; porque cada estimador tendrá un número diferente de los componentes en la suma. Para evitar eso, se utilizarán los siguientes estimadores modi…cados

[YM][1;1](prom)

i = 1

2

M=2

M=2 1

h

Y_M=2⁽¹⁾ i[1;1]

i +M=2 1

M=2 2

h

Y_M=2⁽²⁾ i[1;1]

i ;

[YM][2=3;2=3;2=3](prom)

i = 1

2

M=2

M=2 2

hY_M=2⁽¹⁾ i[2=3;2=3;2=3]

i +M=2 1

M=2 3

hY_M=2⁽²⁾ i[2=3;2=3;2=3]

i ;

[YM][1=2;1=2;1=2;1=2](prom)

i =1

2

M=2

M=2 3

h

Y_M=2⁽¹⁾ i[1=2;1=2;1=2]

i +M=2 1

M=2 4

h

Y_M=2⁽²⁾ i[1=2;1=2;1=2]

i ;

[Y_M][1;0;1](prom)

i = 1

2

M=2

M=2 2

hY_M=2⁽¹⁾ i[1;0;1]

i +M=2 1

M=2 3

hY_M=2⁽²⁾ i[1;0;1]

i :

3.4 Distribuciones asintóticas

Para evaluar el comportamiento de los nuevos estimadores bajo el ruido de microestructura, tienen que converger en distribución.

Dados los supuestos en Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod, Podolskij y Shephard (2005) y Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod y Shephard (2006), se pueden obtener las distribuciones asin- tóticas de abajo al …jar A = 0:

Resultado 1

Si Y 2 SV SM^c; entonces, cuando # 0

r1 2

0

@ h

Y₂⁽¹⁾i

t

Rt 0

2 sds hY₂⁽²⁾i

t

Rt 0

2sds 1

A! MN 0;^L 2 1 1 2

Z t 0

4 sds : Por lo tanto, se obtiene

1

1=2qRt 0 4

sds

[Y ]^(prom)_t Z t

0 2

sds ! N (0; 3) :^L

Resultado 2

Si Y 2 SV SM^c; entonces, cuando # 0 r1

2 0 B@

hY₂⁽¹⁾i[1;1]

t

21

Rt 0

2sds hY₂⁽²⁾i[1;1]

t

21

Rt 0

2sds 1

CA! MN 0;^L k_1;2 k_2;2 k_2;2 k_1;2

Z t 0

4sds :

' MN 0; 2:592 0:988 0:988 2:592

Z t 0

4 sds : Por lo tanto, se obtiene

1

1=2qRt 0 4

sds

[Y ][1;1](prom)

t 2

1

Z t 0

2sds ! N (0; #^{L BV S})

donde #BV S = (2k1;2+ 2k2;2)=2 ' 3:581:

Resultado 3

Si Y 2 SV SM^c; entonces, cuando # 0

r1 2

0 B@ h

Y₂⁽¹⁾i[2=3;2=3;2=3]

t

3 2=3

Rt 0

2sds hY₂⁽²⁾i[2=3;2=3;2=3]

t

3 2=3

Rt 0

2sds 1

CA! MN 0;^L k1;3 k2;3

k2;3 k1;3

Z t 0

4 sds

' MN 0; 3:049 1:018 1:018 3:049

Z t 0

4 sds : Por lo tanto, se obtiene

1

1=2qRt 0 4

sds

[Y ][2=3;2=3;2=3](prom) t

3 2=3

Z t 0

2

sds ! N (0; #^L BT S)

donde #BT S= (2k1;3+ 2k2;3)=2 ' 4:067:

Resultado 4

Si Y 2 SV SM^c; entonces, cuando # 0

r 1 2

0 B@

hY₂⁽¹⁾i[1=2;1=2;1=2;1=2]

t

4 1=2

Rt 0

2sds hY₂⁽²⁾i[1=2;1=2;1=2;1=2]

t

4 1=2

Rt 0

2sds 1

CA! MN 0;^L k_1;4 k_2;4 k_2;4 k_1;4

Z t 0

4sds

' MN 0; 3:377 1:013 1:013 3:377

Z t 0

4 sds : Por lo tanto, se obtiene

1

1=2qRt 0 4

sds

[Y ][1=2;1=2;1=2;1=2](prom) t

4 1=2

Z t 0

2

sds ! N (0; #^L BQS) donde #BQS= (2k1;4+ 2k2;4)=2 ' 4:389:

Las derivaciones de estos resultados se presentan en el apéndice.

3.5 Grá…cos de tono de volatilidad

En esta sección, se utilizarán las series simuladas para evaluar la precisión de los estimadores.

Primero, se prueba si el uso de método de subdivisiones y promedio en los cálculos reduce el sesgo causado por los efectos de microestructura.

Los grá…cos de tono de volatilidad en la escala logarítmica (Grá…ca 4) muestran que el sesgo sigue siendo un problema cuando se usan frecuencias muy altas para calcular los estimadores. Sin embargo, parece que el uso del método de subdivisiones y promedio reduce el sesgo. Al comparar la grá…ca superior en la Grá…ca 4 con la grá…ca superior en la Grá…ca 3, se puede observar que todos los estimadores parecen ser robustos ante el ruido de la microestructura cuando se usan los retornos de cinco minutos. Todavía existe cierto sesgo para las frecuencias mayores a dos minutos, pero no tanto como en el caso de los estimadores estándar. En la grá…ca inferior, donde la varianza del ruido de la microestructura es alta, se puede observar que el sesgo todavía es bastante importante para las frecuencias altas, pero en este caso solamente para las frecuencias por arriba de quince minutos. Como en la Grá…ca 3, también en la presente grá…ca no hay una diferencia evidente entre los estimadores. Aunque el método de subdivisiones y promedio reduce el sesgo debido a la autocorrelación en los datos en alta frecuencia, pero aumenta el sesgo debido a la discretización del submuestreo. Con noventa minutos retornos, se puede observar un sesgo, ciertamente debido al submuestreo.

Gráfica 4. ‘Signature plot’ para las subdivisiones y estimadores promedio cuando el ruido de microestructura está presente.

Varianza del Ruido de Microestructura = 0.0001

Varianza del Ruido de Microestructura = 0.001

3.6 Comportamiento de muestra …nita

Para reforzar los resultados, los Cuadros 4, 5 y 6 presentan una perspectiva alternativa y más completa del análisis.

Al utilizar las distribuciones asintóticas de los estimadores calculados usando el método de subdivisiones y promedio (Resultados 1, 2, 3 y 4), se pueden comparar más precisamente estos nuevos estimadores con los estimadores estándar. Estos cuadros reportan el sesgo, la desviación estándar y la tasa de cobertura para los estadísticos-t estandarizados no factibles.

Como revelado por las distribuciones asintóticas, los nuevos estimadores son menos e…cientes que los estimadores estándar. Los cuadros corroboran este hecho. Cuando no existe ruido de la microestructura, los estimadores estándar generan mejores resultados que los estimadores nuevos, es decir, están menos sesgados y su desviación estándar está cercana a uno. Cuando se agrega el ruido de la microestructura a las series de precios, los nuevos estimadores parecen ser más robustos para las frecuencias altas. Cuando la varianza del ruido es 0.0001, el sesgo, la desviación estándar y la tasa de cobertura de los nuevos estimadores exhiben un mejoramiento signi…cativo en las frecuencias por arriba de M=144. Sin embargo, para M=720, incluso cuando los nuevos estimadores se comportan mejor que los estándar, el sesgo es demasiado grande. En el caso cuando la varianza del ruido es 0.001, se preferirán los nuevos estimadores para valores de M mayores a 24, pero el ruido cubrirá completamente el proceso para las frecuencias mayores a M=144. Independientemente del tamaño del ruido de la microestructura, los estimadores basados en la variación realizada tripoder y cuadripoder producen los mejores resultados, aunque las diferencias entre todos los estimadores son muy sutiles.

M Sesgo EV Cob Sesgo EV_SM Cob Sesgo EVB Cob Sesgo EVB_SM Cob

DE DE DE DE

0

12 -0.018 1.01 95.3 -0.155 0.995 96.4 -0.172 0.999 96.8 -0.422 0.953 97.2 72 -0.047 1.03 94.5 -0.082 0.995 95.4 -0.081 1.02 94.9 -0.109 1.03 93.9 144 -0.033 1.00 95.2 -0.081 1.01 95.7 -0.080 0.962 96.4 -0.086 1.02 94.5 288 -0.013 0.984 95.5 -0.043 0.999 96.2 -0.027 0.976 95.5 -0.067 0.996 95.8 720 -0.004 0.955 95.7 -0.014 0.982 95.7 -0.015 0.983 94.8 -0.040 0.974 95.5 1440 0.041 0.988 95.3 0.017 0.960 96.1 0.008 0.978 95.3 0.013 0.981 95.6 10 ⁴

12 0.040 1.04 65.1 -0.147 0.999 96.3 -0.150 1.01 96.3 -0.418 0.952 97.3 72 0.141 1.06 93.6 -0.007 1.00 95.2 0.082 1.05 94.3 -0.046 1.03 93.6 144 0.508 1.07 90.6 0.145 1.03 94.6 0.406 1.04 91.6 0.123 1.05 94.2

288 1.53 1.15 63.5 0.580 1.04 89.2 1.33 1.13 72.5 0.512 1.05 90.1

720 5.99 1.91 0.2 2.42 1.21 35.8 5.39 1.88 1.7 2.23 1.21 42.3

1440 17.0 4.23 0 6.94 1.98 0 15.6 4.05 0 6.55 1.96 0.1

10 ³

12 0.176 1.09 93.4 -0.097 1.02 95.5 -0.031 1.07 95.0 -0.386 0.966 97.1

72 1.85 1.41 57.1 0.683 1.12 86.1 1.59 1.41 63.3 0.571 1.14 88.5

144 5.36 2.11 2.8 2.13 1.34 47.14 4.85 2.10 6.1 1.98 1.36 52.4

288 15.3 4.11 0 6.16 2.05 0.6 14.2 4.04 0 5.87 2.11 1.5

720 60.1 14.6 0 24.4 6.05 0 57.5 14.5 0 24.1 6.22 0

1440 169 39.4 0 69.3 16.2 0 164 38.9 0 69.4 16.8 0

Cuadro 4. Sesgo, desviación estándar y tasa de cobertura del error de varianza y variación bipoder realizada estandarizada no factible y de correspondientes de las submuestras

en ausencia y presencia de ruido de microestructura.

M Sesgo EVT Cob Sesgo EVT_SM Cob Sesgo EVC Cob Sesgo EVC_SM Cob

DE DE DE DE

0

12 -0.194 0.998 96.4 -0.518 0.877 97.7 -0.217 0.997 96.9 -0.707 0.706 99.2 72 -0.072 1.03 94.2 -0.095 1.04 94.3 -0.069 1.04 94.6 -0.089 1.05 93.9 144 -0.075 0.963 96.2 -0.073 1.05 94.5 -0.070 0.974 95.8 -0.072 1.05 94.8 288 -0.024 0.990 95.1 -0.057 1.00 95.3 -0.026 1.01 94.6 -0.052 1.02 94.7 720 -0.003 0.991 94.7 -0.032 0.964 95.9 0.006 0.993 94.9 -0.023 0.960 96.1 1440 0.010 0.982 95.5 0.022 0.980 95.8 0.006 0.980 95.5 0.028 0.985 95.3 10 ⁴

12 -0.169 1.02 96.4 -0.513 0.875 97.7 -0.193 1.02 96.4 -0.699 0.705 99.3

72 0.078 1.06 93.7 -0.037 1.04 94.2 0.074 1.06 93.9 -0.033 1.04 94.1

144 0.391 1.04 91.4 0.122 1.07 93.6 0.384 1.05 90.9 0.118 1.08 93.5

288 1.23 1.14 74.3 0.497 1.05 90.8 1.17 1.15 77.0 0.489 1.07 89.9

720 4.96 1.81 2.8 2.09 1.19 46.7 4.69 1.77 4.6 2.02 1.19 49.0

1440 14.3 3.78 0 6.13 1.89 0.1 13.55 3.62 0 5.87 1.83 0.4

10 ³

12 -0.053 1.08 94.7 -0.486 0.889 97.6 -0.080 1.09 95.1 -0.682 0.710 99.0

72 1.45 1.39 66.4 0.524 1.15 89.1 1.39 1.38 69.5 0.497 1.14 88.7

144 4.48 2.03 8.3 1.85 1.37 56.5 4.25 1.99 11.3 1.77 1.37 58.3

288 13.2 3.82 0 5.49 2.06 2.3 12.2 3.66 0 5.25 2.03 3.4

720 52.5 13.3 0 22.4 5.86 0 49.4 12.6 0 21.3 5.64 0

1440 150 35.5 0 64.3 15.6 0 141 33.3 0 61.3 14.9 0

Cuadro 5. Sesgo, desviación estándar y tasa de cobertura de errores de la varianción tripoder y cuadripoder estandarizada no factible y correspondientes

de las submuestras en ausencia y presencia de ruido de microestructura.

M Sesgo EVBS DE Cob Sesgo EVBS_{M S} DE Cob 0

12 -0.230 0.968 97.1 -0.551 0.848 98.5

72 -0.093 1.05 94.3 -0.113 1.04 94.6

144 -0.068 0.994 94.9 -0.095 1.07 94.3

288 -0.023 1.01 94.6 -0.057 1.03 93.5

720 0.001 0.970 95.2 -0.010 0.974 95.2

1440 0.022 0.991 95.2 0.022 0.975 95.2

10 ⁴

12 -0.208 0.981 97.0 -0.546 0.848 98.3

72 0.075 1.06 93.6 -0.048 1.05 94.7

144 0.429 1.06 91.0 0.115 1.09 92.9

288 1.31 1.68 71.5 0.526 1.07 89.7

720 5.22 1.80 1.5 2.22 1.21 43.0

1440 14.8 3.81 0 6.34 1.88 0.1

10 ³

12 -0.095 1.05 96.1 -0.512 0.863 98.1

72 1.54 1.38 65.1 0.552 1.15 88.5

144 4.66 1.99 7.3 1.92 1.38 54.2

288 13.3 3.78 0 5.61 1.99 1.5

720 52.5 12.9 0 22.3 5.68 0

1440 148 34.5 0 63.3 15.0 0

Cuadro 6. Sesgo, desviación estándar y tasa de cobertura de errores de versión salteada de variación bipoder estandarizada no factible

y correspondientes de la submuestra en ausencia y presencia de ruido de microestructura.

4 Conclusiones

El objetivo del presente documento fue estudiar los efectos de la microestructura y determinar cómo afectan la estimación de la verdadera varianza cuando se usan datos en alta frecuencia.

Es bien sabido que los estimadores de la verdadera varianza se vuelven sesgados en la presencia de fricciones en los mercados cuando se aumenta la frecuencia de las muestras, sin embargo, sus propiedades asintóticas obligan a usar muestras en la frecuencia más alta posible. Se requieren enfoques alternativos para superar el dilema de sesgo vs. varianza.

Cuando datos en alta frecuencia están disponibles, la práctica …nanciera usual es tomar mues- tras escasamente para reducir el sesgo causado por el efecto de la microestructura en la varianza realizada. En el presente documento se a…rmó que el uso de observaciones adyacentes, es decir, la variación realizada bipoder, tripoder y cuadripoder, reduce este sesgo sin perder demasiada in- formación. Aunque estos estimadores mejoraron los resultados dados por la varianza realizada, el ruido de microestructura puede cubrir completamente el verdadero proceso si su varianza es bastante alta. Por lo tanto, se construyeron estimadores alternativos basados en la técnica de sub- muestreo y promedio, introducido por Zhang, Mykland y Aït-Sahalia (2005). Estos estimadores son considerablemente más robustos ante el ruido, aunque el sesgo todavía existe cuando se utilizan frecuencias muy altas.

La investigación reciente se ha enfocado en el ruido de la microestructura, sus efectos, su cuan- ti…cación y su corrección. En el presente artículo se mostraron solamente algunos estimadores alternativos que mejoran el uso de la varianza realizada, aunque no resultaron completamente ro- bustos ante el ruido. Se deben notar los relevantes mejoramientos logrados cuando se utilizaron dos subdivisiones para de…nir los estimadores. Sería interesante determinar cómo se mejoran los resultados al aumentar el número de subdivisiones.

Se debe destacar que se asumió el ruido como i.i.d. a través del tiempo e independiente del verdadero proceso de los precios. Una investigación similar se podría realizar bajo una especi…cación más general donde el ruido puede estar autocorrelacionado y no necesita ser independiente del latente proceso de los precios.

En la actualidad, muchos esfuerzos se concentran en la estimación correcta de la varianza in- tegrada utilizando datos en alta frecuencia. Hasta el momento, todas las di…cultades encontradas en el presente análisis han sido consideradas con base en la varianza realizada. Eso ha sido el enfoque principal de la investigación reciente. Sin embargo, como se muestra en el presente documento, otros estimadores basados en la variación multipoder podrían ser tan efectivos como la varianza realizada, pero con ventajas adicionales, tales como la robustez ante brincos y ante los efectos de microestructura.

5 Apéndice: Derivaciones

Derivación de las distribuciones asintóticas para los estimadores basados en el método de submuestreo y promedio

Para la derivación de las distribuciones asintóticas, se de…ne que se mantienen los supuestos en Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod, Podolskij y Shephard (2005) y Barndor¤-Nielsen, Graversen, Jacod y Shephard (2006). También se …ja A = 0:

Derivación de la Varianza Realizada

Se tiene que encontrar la matriz de covarianza de r1

2 0 B@

hY₂⁽¹⁾i[2]

t

Rt 0

2sds hY₂⁽²⁾i[2]

t

Rt 0

2sds 1 CA :

Nótese los siguientes resultados cuando # 0;

r1 2

h Y₂⁽¹⁾i[2]

t

Z t 0

2sds

ley= r 1

2 0

@^{bt=2 c 2}X

j=0

( ;2j ;2j+ ;2j+1 ;2j+1)^{2 2}_;2j+ ²_;2j+1 1 A

= r1

2 0

@

bt=2 c 2X

j=0 2

;2j 2

;2j 1 + ²_;2j+1 ²_;2j+1 1 + 2 ;2j ;2j+1 ;2j ;2j+1

1 A