CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
CONJUNTO NUMÉRICOS: N, Z, Q Recordando a los números naturales (N)
N = 0; 1; 2; 3; 4; ...
Recordando a los números enteros (Z) Z = ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...
Recordando a los números racionales (Q) Citemos algunos elementos del conjunto Q:
Q = 7; -8;
3 2;
5
6;
4 5;
6 1;
11
7 ; 0,63;
1,68; 1,3; 2,16; 0; ....
En diagramas
Los números racionales tienen 2 formas de representarse:
División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)
Ejemplos:
a) 1
7 = 7 es natural, entero y racional
b) 1
8 = - 8 es entero y racional
c) 3
2 es racional
d) 4
5 es racional
Expresión decimal de los números racionales:
Ejemplos:
a) 7 = 7,00 b) – 8 = - 8,00 c) 4
5 = 1,25
d) 3
2 = 0, 666... = 0, 6 Número decimal
con período puro
e) 5
6 = -1,2 Número decimal terminante
f) 11
7 = - 0, 6363... = - 0,63 Número decimal con período puro
g) 6
1= 0,1666... = 0,16 Número decimal
con período mixto
NOTAS:
I. Dado el siguiente número decimal:
12 , 316
Presenta: * 2 cifras en la parte entera * 3 cifras en la parte decimal
II. Si a la derecha de la parte decimal de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera.
Así:
i) 3,4 = 3,40 = 3,400 = 3,4000
III. Si a la izquierda de la parte entera de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera.
Así:
i) 0, 58 = 00,58 = 000, 58 N
Z Q
N Z Q
parte
entera Coma
decimal
parte decimal
IV. Si a un número decimal lo multiplicamos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la derecha tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10).
Ejemplos:
i) 2 , 73 . 10 = 27,3
ii) 13, 612 . 100 = 1361,2
iii) 0,75123 . 1000 = 751,23
V. Si a un número decimal lo dividimos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la izquierda tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10)
Ejemplos:
i) 11, 7 : 10 = 1,17
ii) 1256,25 : 100 = 12,5625
iii) 110,23 : 1000 = 0,11023
Expresión decimal terminante
Aquella que genera un número finito de cifras en la parte decimal, cuando se divide el numerador y el denominador. (Resto igual a cero)
Ejemplos:
i) 5
3 = 0,6 30 5
0
ii) 16
5 = 0,3125 50 16
40
80 0
Expresión decimal con período puro
Aquella que genera un conjunto de cifras repetitivas (período), inmediatamente después de la coma decimal cuando se divide el numerador y el denominador.
Ejemplos:
i) 3
2 = 0,666.... = 0,6 20 3
2 0,6
.
.
ii) 11
3 = 0,2727.... = 0, 27 30 11
30
.
.
.
Expresión decimal con período mixto
Aquella que genera un conjunto de una o más cifras que nunca se repite (parte no periódica), luego de la coma decimal. Después de la parte no periódica hay un conjunto de cifras que se repite periódicamente.
Ejemplos:
i) 12
5 = 0,41666... = 0,4 1 6
50 12 20 0,4166...
80 8 . . . ii)
187 = 0,3888... = 0, 3 8
70 18 54 0,388...
160 144 16 . . . 0,6
20
0,3125
Período
0,666....
Período 0,2727
Período Parte
no periódica
Período Parte
no periódica
A. Completar los espacios en blanco con las palabras:
natural entero, racional según sea el caso:
1) 7 es ...
2) – 4 es ...
3) 5
2 es ...
4) 7
1 es ...
5) 0,36 es ...
6) 2,75 es ...
7) 0 es ...
8) 4
7 es ...
9) – 8 es ...
10) 1,3 es ...
11) 0,1333... es ...
12) 100
3 es ...
13) 3,001 es ...
14) 1,27 es ...
B. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
1) 6 = 06,00 ( )
2) –2 = -2,000 ( )
3) 5
1 = 0,205 ( )
4) 3
2= -0,666... ( )
5) 25
2 = 0,08 ( )
6) 02,4 = 2,40 ( )
7) 4
3 =
32
24 ( )
8) 3
4 3 =
4
6 ( )
9) 14,15 = 1,415 . 10 ( ) 10) 0,25 : 100 = 0,0250 ( ) 11) 0,1717... = 0,17 ( )
12) 2
5 1 =
5
11 ( )
13) 5,182 : 1000 = 0,05182 ( ) 14) 2,23 = 2,2333... ( ) 15) 7
2 =
57
16 ( )
16) 0,7272... 0,7222... ( ) 17) –1,41 -1,414 ( ) 18) 1,421 . 10 = 0,1421 ( ) 19) 2,15 : 10 = 0,215 ( ) 20) 42,132 = 42,13200 ( ) 21) 2,11411 2,11414 ( ) 22) 005,3 = 05,30 ( )
C. Divide las siguientes fracciones y clasifícalas en:
Decimales terminantes, Decimales con período puro o Decimales con período mixto.
1) 5
3 = 0,6 Decimal terminante 30 5
0,6
2) 3
1 = 0,333... = 0,3 Decimal con período puro
10 3 10 0,33...
1 3) 6
5 = 0,8333... = 0,83 Decimal con período mixto
50 6 20 0,833...
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 A
4) 11
2=
5) 4 7 =
6) 9 1 =
7) 27 17=
8) 15 8 =
9) 30 7 =
También sabemos que expresiones decimales como:
0,25; 0,63; 0,16 pueden ser expresadas como números racionales de la forma
ba así:
0,25 =
10025 =
41
0,63 =
9963 =
117
0,16 =
901 16 =
9015 =
61
NOTAS:
I. Fracción generatriz de un decimal terminante:
Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,125 =
1000125 =
81
Descripción:
En el numerador se coloca el entero, que resulta de suprimir la coma decimal.
En el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el numerador dado.
Luego se simplifica.
ii) 2,25 = 2 + 0,25 = 2 +
10025 = 2 +
41 =
49
Fracción generatriz
II. Fracción generatriz de un decimal con período puro:
Ejemplos:
Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,234234... = 0,234 =
999234 =
33378 =
11126
Fracción generatriz Descripción:
En el numerador se coloca el período
En el denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el período.
Luego se simplifica.
ii) 2,36 = 2 + 0,36 = 2 +
9936 = 2 +
114=
2611
Fracción generatriz
III. Fracción generatriz de un decimal con período mixto:
Ejemplos:
Hallar la fracción generatriz de:
i) 0,83 =
908 83 =
9075 =
65
Fracción generatriz Descripción:
En el numerador se coloca la parte no periódica seguida del período menos la parte no periódica.
En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
ii) 2, 1590 = 2 + 0,1590 = 2 +
990015 1590 = 2 +
99001575
= 2 +
447 =
4495 Fracción generatriz
A. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,012 5) 0,175
2) 2,05 6) 6,12 3) 0,35 7) 10,1
4) 0,105 8) 12,25
B) Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,63 6) 0,72
2) 0,711 7) 2,2
3) 5,6 8) 9,333...
4) 2,54 9) 1,1818...
5) 0,018 10) 0,756756....
C) Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,17 6) 2,7666...
2) 0,56 7) 0,6343434...
3) 0,125 8) 2,15666...
4) 1,23 9) 0,0532
5) 3,165 10) 1,22363636...
OBSERVACIÓN:
Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno.
Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números , “Los Números Irracionales”.
¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?
Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno.
Estos números constituyen un conjunto numérico
denominado CONJUNTO DE NÚMEROS
IRRACIONALES y se le representa por
I
Ejemplos:
i) 2,2360679...
ii) 3,14159265... no presentan iii) 1,4142135... Período iv) 2,71828128...
v) 1,73231...
NOTAS:
I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.
II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo:
2 = 1,4142135...
3 = 1,73231...
5 = 2,2360679...
III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper).
= 3,14159265...e
= 2,71828128...IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí Q I =
V. Al conjunto I también se le simboliza por Q
’ EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 B
Pero, no todo número decimal puede ser expresado como número racional.
A. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
1) 3 N ( )
2) 7/5 Z ( )
3) –7 I ( )
4) 4 I ( )
5) 0,3 I ( )
6) 0 Q ( )
7) 2,2360679... I ( ) 8) 1,414141... Q ( ) 9) 2,71828128... I ( )
10) 5 N ( )
11) 36 Z ( )
12) 1,4142135... I ( ) 13) 2,333... Q ( )
14) – 8 N ( )
15) 0 I ( ) 16) 1 I ( )
17) 3 Q ( )
18) I ( ) 19) 1,7320508 I ( )
20) 81 Z ( )
21) 3 8 Z ( ) 22) 5 32 Q ( )
1. Calcular la fracción generatriz del número decimal:
1,405 dando como respuesta la suma de los términos de dicha fracción.
2. Luego de obtener la fracción generatriz del número decimal: 0,363636...
Indicar la diferencia de los términos de la fracción generatriz.
3. Calcule Ud. la fracción generatriz del decimal que resulta al efectuar: 1,245 + 2,534 – 3
Dar como respuesta el numerador.
4. Al calcular Ud. la fracción generatriz del número decimal: 0,4484848
...
se observa que el denominador excede al numerador en:5. Luego de obtener la fracción generatriz del número decimal:1,5625 se nota que el numerador excede al denominador en:
6. Después de efectuar las operaciones indicadas a continuación:
0,2121... – 0,1212... + 0,5666...
Indicar el numerador de la fracción generatriz.
7. Luego de efectuar : (6,21 – 2,43 + 5,82) : 2 Calcular el cuadrado de la suma de los términos de la fracción generatriz.
8. Después de efectuar operaciones en la expresión:
(2,12 + 3,13 + 4,14) : 3 – 2,33
Calcule la suma de cuadrados de los términos de la fracción generatriz.
9. Indicar el decimal que origina el resultado de
efectuar:
43 61 23
10. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar
operaciones en:
41 3 21 : 31
41 ?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 3C TAREA DOMICILIARIA N° 3
11. Después de efectuar las operaciones indicadas en
la expresión: 2
121 61 41 4 : 3
32
Indique el decimal que se obtiene
12. Efectuar operaciones en:
(2-1 + 3-1) (3-1+ 4-1) (4-1 + 5-1) Indique luego el número decimal que se obtiene.
13. Señalar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
I. Si 2 1; entonces: 22
12 II. Como 5 -7; entonces: 52 (-7)2 III. Como –1 2; entonces: (-1)3 (2)3
14. 3 es un:
a) Un número racional d)Un decimal exacto b) Un número no racional
c) Un periódico puro e)Un periódico mixto
15. Al efectuar 0,666... –
72 el resultado tiene un período de:
a) 3 cifras b) 2 cifras c) 4 cifras d) 6 cifras e) No tiene período
16. Señalar la afirmación correcta:
I. Todo número racional se puede expresar como
b
a (b 0).
II. 0,555... es un número irracional.
III. 0,777 0,77
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III
17. Si sumamos un número entero con un número decimal periódico mixto, el resultado es:
a) Un número natural d) Un número entero b) Un número racional
c) Un número irracional e) Indefinido
18. ¿A qué es igual la cuarta parte de E?
E = 0,25+ 30,001
a) Un décimo b) Un cuarto c) 4 décimos d) 2 décimos e) 1 centésimo
19. Para cambiar de grados Fahrenheit a grados centígrados se utiliza la fórmula : C =
95 ( F – 32 ) Expresar en grados centígrados las siguientes temperaturas:
a) – 13 ºF b) 0ºF c) 23ºF d) 100ºF Dar cada una de las respuestas con dos cifras decimales.
20. Para cambiar de grados Centígrados a grados Farenheit se utiliza la fórmula : F =
59 C + 32 Expresar en grados Farenheit las siguientes temperaturas:
a) 15ºC b) 0ºC c) – 7 ºC d) 31ºC Dar cada una de las respuestas con dos cifras decimales.
.
