Análisis de Fluidos Mediante una Formulación Lagrangiana

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(1)INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. ANÁLISIS DE FLUIDOS MEDIANTE UNA FORMULACIÓN LAGRANGIANA TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE. MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DE MANUFACTURA POR:. IVÁN ALBERTO PULIDO BANDA. DICIEMBRE 2004.

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Iván Alberto Pulido Banda sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de: Maestro en Ciencias en Sistemas de Manufactura Especialidad en Diseño e Innovación de Productos Comité de Tesis: _____________________________ Sergio Gallegos Cázares, Ph. D. Asesor ___________________________. _______________________________. Carlos Iván Rivera Solorio, Ph. D.. Miguel Xicoténcatl Rodríguez Paz, Ph. D.. Sinodal. Sinodal _______________________________ Federico Ángel Viramontes Brown, Ph. D. Director del Programa de Graduados en Ingeniería. Diciembre, 2004.

(3) Dedicatoria. A mi familia por educarme con sus principios, instruirme en mi mente y mi corazón con sus valores, y por ser un ejemplo de dedicación y entrega.. En especial dedicación a mis padres Hilario Pulido y Sara Banda, y a mis queridos familiares María de Jesús López y Norma Pulido.. A mis hermanos Ricardo y César, cuyo ejemplo me ha ayudado a tener la fortaleza para seguir adelante.. A Dulce con amor y cariño, por todos esos momentos de apoyo y confianza durante todos estos años..

(4) Agradecimientos A Dios primeramente por brindarme la oportunidad de alcanzar todo aquello que me he propuesto. A mi asesor, el Dr. Sergio Gallegos Cázares por su dedicación y cooperación para la realización de este trabajo. Especialmente le agradezco la paciencia y el interés en el desarrollo y cumplimiento de los objetivos. Al Dr. Carlos Rivera por su valiosa aportación y comentarios sobre el área de fluidos comprendida en esta tesis. Al Dr. Miguel Rivera por su interés en formar parte del comité de tesis y por sus comentarios en el área de métodos numéricos aplicados a fluidos. Al Ing. Pedro Orta por brindarme la oportunidad de trabajar y aprender en sus proyectos. Su amistad, confianza y ayuda son invaluables. Al Centro de Diseño e Innovación de Productos y al ITESM/CONACYT por el apoyo que me brindaron para realizar los estudios de maestría. A mis profesores Dr. Salvador García, Dr. Noel León, Dr. Sergio Gallegos, Dr. Arturo Molina, Dr. José Luis Gonzáles, por sus valiosas enseñanzas, sobre todo por mostrar con su propio ejemplo de vida su entrega al desarrollo e investigación. A mis compañeros y amigos con mucho aprecio, Alejandro Rodríguez, Andrés Valverde, Carlos Castillo, José Luis Mendoza, José Martínez, Gerardo Trejo, Leopoldo Villarreal, Pablo Vargas, Raúl Velásquez, Ricardo Camacho, Roberto Rosas, Rogelio De la Garza, y en especial reconocimiento por su esfuerzo a Sara De la Cerda y Livier Serna, por mostrar que se puede alcanzar cualquier meta..

(5) Siempre en las estrellas… Orión.

(6) Resumen Se presenta una investigación, un desarrollo y un código de elementos finitos con la intención de empezar una línea de investigación basados en el uso de los procedimientos y métodos de varios autores para solucionar problemas en los cuales existen fluidos con superficie libre e interacción con sólidos. El énfasis que se pone en este trabajo consiste en comparar los distintos métodos de solución así como proponer y mostrar los algoritmos de diferentes casos, además de presentar casos resueltos con el código propio. En este trabajo se muestra el desarrollo para llegar a la formulación y realización del código de elementos finitos. Este desarrollo comienza desde el tipo de formulación empleada, en este caso, el método del Cálculo Finito; la representación de las ecuaciones generales para un flujo incompresible viscoso; la adhesión de ecuaciones para lograr su estabilización; la representación del sistema de ecuaciones en su forma de residuos ponderados; y por último, la discretización de las variables y matrices que conforman el sistema con elementos triangulares. Como parte final, se expone de manera detallada el algoritmo empleado, tanto en su forma esquemática como en la programación; se muestran y comparan resultados de ejemplos generales por medio del código y de referencias en la literatura; y como parte final de este complemento se presentan casos de referencias para próximas investigaciones y también ejemplos sencillos de las diferentes matrices y vectores utilizados.. i.

(7) Índice Capítulo 1. Introducción. 1.1 Introducción. 1. 1.2 Antecedentes. 2. 1.3 Objetivo de la investigación. 3. 1.4 Organización de la tesis. 4. Capítulo 2. Ecuaciones generales y Método de Formulación. 2.1 Objetivo. 5. 2.2 Ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos. 5. 2.2.1 Esfuerzos. 5. 2.2.2 Conservación de masa. 8. 2.2.3 Conservación de momentum o equilibrio dinámico. 9. 2.2.4 Conservación de energía y ecuación de estado. 9. 2.2.5 Ecuaciones de Navier-Stokes. 11. 2.3 Tipos de fluidos. 13. 2.3.1 Fluido incompresible. 14. 2.4 Método de Cálculo Finito. 16. 2.4.1 Ejemplo: El problema convectivo-difusivo en una dimensión 16 2.5 Ecuaciones generales para un flujo viscoso incompresible por el Método de Cálculo Finito. 23. 2.6 Formas integrales estabilizadas. 26. 2.7 Formato de residuos pesados. 27. 2.8 Proyecciones de gradiente convectivo y de presión. 29. ii.

(8) Capitulo 3 Discretización de formato débil a matricial 3.1 Objetivo. 31. 3.2 Ecuaciones integro-diferenciales gobernantes. 31. 3.3 Flujo tipo Stokes. 34. 3.4 Selección de tipo de elemento. 35. 3.5 Funciones de interpolación particulares. 36. 3.5.1 Velocidad y proyecciones de gradiente de presión. 36. 3.5.2 Presión. 37. 3.6 Resumen de funciones de interpolación. 37. 3.7 Ecuación de momentum. 38. 3.8 Ecuación de balance de masa, con términos estabilizadores. 52. 3.9 Ecuación adicional para estabilización. 57. Capítulo 4 Algoritmos de solución 4.1 Objetivo. 61. 4.2 Aproximaciones de las variables en el tiempo. 62. 4.3 Esquema de solución transitoria. 63. 4.4 Esquema de paso fraccional. 65. 4.5 Explicación de variables. 66. 4.6 Caso 7. 68. 4.7 Caso 3. 70. 4.8 Caso 1. 73. 4.9 Caso extra. 76. Capitulo 5 Explicación de código y formulación de casos especiales 5.1 Objetivo. 79. 5.2 Ejercicio de prueba. 79. 5.2.1 Geometría y malla. 79. iii.

(9) 5.2.2 Matriz de incidencias. 81. 5.2.3 Condiciones iniciales y propiedades de material. 81. 5.2.4 Velocidades. 82. 5.2.5 Presiones. 83. 5.2.6 Proyección de gradiente de presión. 83. 5.2.7 Condiciones iniciales para velocidad. 84. 5.2.8 Condiciones de presión en la superficie libre. 84. 5.2.9 Fuerzas de cuerpo. 85. 5.2.10 Matriz M. 86. 5.3 Explicación de Código. 87. 5.3.1 Código para lectura. 88. 5.3.2 Código de solución. 90. 5.4 Ejemplos base para verificación de resultados. 103. 5.4.1 Distribución de presión para tracción cero (presión atmosférica). 103. 5.4.1.1 Resultados de distribución de presión. 104. 5.4.2 Distribución de presión para tracción diferente de cero. 105. 5.4.2.1 Resultados de distribución de presión. 105. 5.4.3 Columna de Agua. 106. 5.4.3.1 Resultados de código con respecto a este problema 111 5.4.3.2 Distribución de presión para una corrida esperada de 3.5 segundos. 112. 5.4.3.3 Representación gráfica de vectores de velocidad en nodos. 114. 5.4.3.4 Comparación del comportamiento de pérdida de volumen. 116. 5.4.3.5 Observación sobre elemento no deformado 5.4.4 Problema de Oscilación. 116 117. 5.4.4.1 Resultados de código con respecto a este problema 118 5.4.4.2 Distribución de presión para una corrida esperada de 10 segundos. iv. 119.

(10) 5.4.4.3 Representación gráfica de vectores de velocidad en nodos. 120. 5.4.4.4. Comparación del comportamiento. 121. Conclusiones y trabajo futuro 6.1 Objetivo. 123. 6.2 Investigación. 123. 6.3 Desarrollo. 124. 6.4 Continuación de la investigación. 125. 6.4.1 Remalleo. 125. 6.4.2 Parámetros de estabilización. 125. 6.4.3 Interacción fluido-sólido. 126. 6.4.4 Elementos libre de malla. 126. 6.4.5 Extensión de conocimientos a sólidos. 126. 6.4.6 Formulación euleriana a partir de una lagrangiana. 127. 6.4.7 Programación en un código eficiente. 127. 6.4.8 Solución del problema en tres dimensiones. 127. 6.4.9 Desarrollo y elaboración de los diferentes algoritmos de solución. 127. Referencias. 129. v.

(11) Apéndice A Programas en MatLab A 1 Código de lectura de datos.. 135. A 2 Código de solución de problema.. 137. Apéndice B Temas adicionales Apéndice B 3.1. 153. Apéndice B 3.2. 154. Apéndice B 3.3. 155. Apéndice B 3.4. 159. Apéndice B 3.5. 161. Apéndice B 3.6. 163. Apéndice B 4.1. 166. Apéndice B 5.1. 167. Apéndice B 5.2. 168. Apéndice C Ejemplos para futuras investigaciones C 1 Oscilación en recipiente trapezoidal, aplicación a tres dimensiones. 169. C 2 Problema de oscilación con restricciones en la parte inferior. 170. C 3 Propagación de onda. 171. C 3.1 Velocidad en eje x. 171. C 3.2 Velocidad en eje y. 171. C 3.3 Altura. 172. C 4 Cambio de dimensiones de contenedor. 173. C 5 Llenado de un contenedor con un fluido viscoso. 174. C 6 Impacto de ola en superficie. 175. C 7 Oleaje seguido hacia una superficie sumergida y una terrestre. 176. vi.

(12) Índice de Figuras Figura 2.1 Tipos de fluidos según su formato general.. 13. Figura 2.2 Tipos de fluidos según su formato general.. 13. Figura 2.3 Dominio real del problema.. 17. Figura 2.4 Dominio discretizado del problema.. 17. Figura 2.5 Equilibrio de flujos en un dominio finito de balance con una fuente externa lineal.. 21. Figura 3.1 Áreas coordenadas.. 35. Figura 4.1 Esquema de ciclos iterativos para algoritmo implícito.. 72. Figura 5.1 Nodos ejemplo prueba 1.. 80. Figura 5.2 Elementos para ejemplo prueba 1.. 80. Figura 5.3 Valores en archivo de prueba.. 81. Figura 5.4 Velocidades iniciales para ejemplo1.. 82. Figura 5.5 Presiones iniciales.. 83. Figura 5.6 Proyecciones de gradiente de presión.. 83. Figura 5.7 Proceso para realizar solución del problema.. 87. Figura 5.8 Código de lectura 1.. 88. Figura 5.9 Código de lectura 2.. 88. Figura 5.10 Código de lectura 3.. 89. Figura 5.11 Código de lectura 4.. 89. Figura 5.12 Código de lectura 5.. 89. Figura 5.13 Código de solución 1. 90. Figura 5.14 Distribución de presión hidrostática y presión cero en cara superior y lateral derecha. Figura 5.15 Corrección de presión sobre eje x.. 90 90. Figura 5.16 Distribución de presión hidrostática y presión cero en cara superior y lateral derecha, y distribución con respecto al eje x.. 91. Figura 5.17 Distribución de presión hidrostática.. 91. Figura 5.18 Presión n.. 91 vii.

(13) Figura 5.19 Datos de corrida a Excel.. 92. Figura 5.20 Variables iji y contj.. 92. Figura 5.21 Valores para el tamaño de ventana que muestra resultados.. 93. Figura 5.22 Banderas y valores de convergencia.. 93. Figura 5.23 Variable para forzar salida de ciclo interno.. 94. Figura 5.24 Variable contabilizar el tiempo total de la solución.. 94. Figura 5.25 Vector y contador para tiempos a investigar.. 94. Figura 5.26 Ciclo interno y externo, valores de convergencia.. 95. Figura 5.27 Ciclo para llenado de matrices por elemento.. 95. Figura 5.28 Obtención de arreglos.. 96. Figura 5.29 Obtención de arreglos.. 96. Figura 5.30 Tracciones.. 97. Figura 5.31 Alta de matrices para ensamble.. 97. Figura 5.32 Velocidad para primer calculo. 98. Figura 5.33 Cálculo de primera velocidad.. 98. Figura 5.34 Cálculo de cambio de presión.. 99. Figura 5.35 Cálculo de nueva presión.. 100. Figura 5.36 Corrección de velocidad.. 100. Figura 5.37 Cálculo de nueva proyección del gradiente de presión.. 100. Figura 5.38. Actualización de posiciones y velocidad, cálculo de variable de estabilización hm. Figura 5.39 Criterios de convergencia.. 101 101. Figura 5.40 Actualización de valores convergidos. Reiniciar valores para ciclo interior.. 102. Figura 5.41 Escritura de valores deseados a archivos.. 102. Figura 5.42 Esquema de problema para presión cero.. 103. Figura 5.43 Malla inicial del problema de referencia.. 104. Figura 5.44 Resultados de presión cero.. 104. Figura 5.45 Esquema de problema para presión diferente de cero.. 105. Figura 5.46 Resultado para presión diferente de cero.. 106. Figura 5.47 Dimensiones, condiciones iniciales, y condiciones de frontera.. 107. viii.

(14) Figura 5.48 Malla inicial.. 107. Figura 5.49 Resultados t = 1.. 108. Figura 5.50 Resultados t = 2.. 108. Figura 5.51 Resultados t = 2.. 108. Figura 5.52 Dimensiones iniciales.. 109. Figura 5.53 Resultados t = 0.05. 110. Figura 5.54 Resultados t = 0.10.. 110. Figura 5.55 Resultados t = 0.15.. 110. Figura 5.56 Resultados.. 111. Figura 5.57 Esquema de columna de agua.. 112. Figura 5.58 Malla inicial del problema de referencia.. 112. Figura 5.59 Contorno de presión tiempo 0.35 s.. 112. Figura 5.60 Contorno de presión tiempo 0.7 s.. 112. Figura 5.61 Contorno de presión tiempo 1.05 s.. 113. Figura 5.62 Contorno de presión tiempo 1.4 s.. 113. Figura 5.63 Contorno de presión tiempo 1.75 s.. 113. Figura 5.64 Contorno de presión tiempo 2.1 s.. 113. Figura 5.65 Contorno de presión tiempo 2.45 s.. 113. Figura 5.66 Contorno de presión tiempo 2.8 s.. 113. Figura 5.67 Contorno de presión tiempo 3.15 s.. 114. Figura 5.68 Contorno de presión tiempo 3.5 s.. 114. Figura 5.69 Vectores de velocidad tiempo 0.35s.. 114. Figura 5.70 Vectores de velocidad tiempo 0.7 s.. 114. Figura 5.71 Vectores de velocidad tiempo 1.05s.. 115. Figura 5.72 Vectores de velocidad tiempo 1.4 s.. 115. Figura 5.73 Vectores de velocidad tiempo 1.75s.. 115. Figura 5.74 Vectores de velocidad tiempo 2.1s.. 115. Figura 5.75 Vectores de velocidad tiempo 2.45s.. 115. Figura 5.76 Vectores de velocidad tiempo 2.8s.. 115. Figura 5.77 Vectores de velocidad tiempo 3.15s.. 115. Figura 5.78 Vectores de velocidad tiempo 3.5s.. 115. ix.

(15) Figura 5.79 Comportamiento de pérdida de volumen.. 116. Figura 5.80 Comparativo de códigos.. 116. Figura 5.81 Observación sobre elemento.. 116. Figura 5.82 Observación sobre elemento.. 116. Figura 5.83 Variables del problema.. 117. Figura 5.84 Esquema de oscilación.. 118. Figura 5.85 Contorno de presión tiempo 1s.. 119. Figura 5.86 Contorno de presión tiempo 2s.. 119. Figura 5.87 Contorno de presión tiempo 3s.. 119. Figura 5.88 Contorno de presión tiempo 4s.. 119. Figura 5.89 Contorno de presión tiempo 5s.. 119. Figura 5.90 Contorno de presión tiempo 6s.. 119. Figura 5.91 Contorno de presión tiempo 7s.. 120. Figura 5.92 Contorno de presión tiempo 8s.. 120. Figura 5.93 Vectores de velocidad tiempo 2s.. 120. Figura 5.94 Vectores de velocidad tiempo 3s.. 120. Figura 5.95 Vectores de velocidad tiempo 4s.. 120. Figura 5.96 Vectores de velocidad tiempo 5s.. 120. Figura 5.97 Vectores de velocidad tiempo 6s.. 121. Figura 5.98 Vectores de velocidad tiempo 7s.. 121. Figura 5.99 Vectores de velocidad tiempo 8s.. 121. Figura 5.100 Vectores de velocidad tiempo 9s.. 121. Figura 5.101 Comportamiento de extremos.. 121. Figura 6.1 Variables para el algoritmo relacionadas con la estabilización. 124. Figura B 3.1 Representación de control de volumen.. 154. Figura B 3.2 Representación de control de masa.. 154. Figura C 1 Movimientos oscilatorios en contenedor trapezoidal.. 169. Figura C 2 Esquema de problema oscilatorio con restricciones inferiores.. 170. Figura C 3 Esquema de onda solitaria.. 171. Figura C 4 Movimientos por cambio en la pared.. 173. Figura C 5 Esquema de simulación de esparcimiento.. 174. x.

(16) Figura C 6 Esquema de comportamiento de ola al impactarse contra una superficie. Figura C 7 Representación de modelo para olas continuas.. xi. 175 176.

(17) Índice de Tablas Tabla 4.1 Variables de procedimientos.. 65. Tabla 4.2 Posibles valores para las diferentes variables.. 67. Tabla 5.1 Nodos y coordenadas para ejemplo.. 80. Tabla 5.2 Matriz de incidencias de ejemplo 1.. 81. Tabla 5.3 Componentes de velocidad.. 82. Tabla 5.4 Presiones iniciales.. 83. Tabla 5.5 Proyecciones de gradiente de presión.. 84. Tabla 5.6 Condiciones de frontera para velocidad.. 84. Tabla 5.7 Condiciones de presión atmosférica (este caso).. 84. Tabla 5.8 Elemento y caras con tracción.. 85. Tabla 5.9 Fuerzas de cuerpo.. 85. Tabla 5.10 Matriz M para elemento 1.. 86. Tabla 5.11 Matriz M para elemento 2.. 86. Tabla 5.12 Matriz M para elemento 3.. 86. Tabla 5.13 Matriz M para elemento 4.. 86. Tabla 5.14 Ensamble de Matriz M.. 87. xii.

(18) Simbología A, Kˆ =. Arreglos relacionados a términos convectivos. c=. Velocidad de onda acústica. ci =. Proyección de gradiente de término convectivo. D=. Gradiente de deformación. δ ij =. Delta de Kronecker. δ ui =. Campo virtual de velocidad. q=. Campo virtual de presión. δ ci =. Campo virtual de proyección de gradiente de término convectivo. δπ i =. Campo virtual de proyección de gradiente de presión. e=. Energía interna por unidad de masa. E=. Energía total por unidad de masa. εij =. Rapidez de deformación. ξ ,η , ζ =. Coordenadas triangulares. G=. Matriz asociada a la velocidad. h=. Longitud característica. he =. Entalpía específica. He =. Entalpía. κ=. Viscosidad volumétrica. K=. Matriz de rigidez del elemento. λ=. Constante de Lamé. µ=. Viscosidad cortante o viscosidad. nj =. Dirección normal. Γ=. Frontera. nd =. Número de dimensiones. Nk =. Funciones de interpolación. L=. Matriz asociada a la presión. xiii.

(19) L̂ =. Matriz asociada a la velocidad. M=. Matriz asociada a la rigidez del elemento. M̂ =. Matriz asociada a la proyección del gradiente de presión. Ω=. Dominio. πi =. Proyección de gradiente de presión. p=. Presión. p0 =. Presión hidrostática inicial. qi =. Flujo de calor conductivo. Q=. Matriz asociada a la proyección del gradiente de presión. rmi =. Residuo de ecuación de momentum. rd =. Residuo de ecuación de balance de masa. R=. Constante de los gases ideales. ρ=. Densidad. S=. Operador de deformación. s=. Esfuerzos desviadores. σ ij =. Esfuerzos. τ ij =. Esfuerzos desviadores. τi =. Parámetro de tiempo intrínseco. ti( n̂ ) =. Tracción. θ , β ,α =. Parámetros para indicar tipos de algoritmo de solución. ui = vi =. Velocidad formato indicial. u=v=. Velocidad formato arreglo. Xj =. Coordenadas configuración de referencia. xiv.

(20) Capítulo 1 Introducción. 1.1. Introducción En la actualidad se cuenta con una gran cantidad de programas o paquetes de. ingeniería para la solución de problemas por medio del método de elementos finitos, tanto como para sólidos, por ejemplo, Patran, Nastran, Cosmos/M, Ansys, Algor, y para fluidos, Cosmos/Flow, Dytran, Fluent, (este último basado en el método de volúmenes finitos). Y dichos paquetes, conforme se van especializando, van adquiriendo nuevas capacidades de resolver problemas de ingeniería. Con esto no se quiere decir que el avance tecnológico esté regido por el alcance de la compra, adquisición o uso de tecnología en alguna parte del mundo, sino más bien el entendimiento de desarrollo de la tecnología misma. Esta investigación nace como la inquietud de poder desarrollar dentro del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey, un código que pueda obtener la mayor cantidad de beneficios posibles de los trabajos presentados en la conferencia “Posibilidades del Cálculo Finitesimal en Mecánica Computacional” expuesta por Eugenio Oñate [1]. En el presente trabajo se muestra la investigación, análisis y aplicación de la rama del método de elementos finitos aplicada a fluidos. La investigación sigue, en su mayoría, los pasos del procedimiento presentado por Eugenio Oñate y sus colaboradores [2, 6, 12, 13, 14], con la más fiel intención de poder adquirir en nuestro instituto el conocimiento logrado hasta entonces en esta área en particular, siempre tomando en cuenta el punto de vista de varias investigaciones y procedimientos aplicados, para confrontar los procedimientos y poder tener una visión más amplia del área de estudio..

(21) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Tomando en cuenta las diferentes investigaciones y procedimientos utilizados en cada paso del desarrollo, se planea presentar más de una manera de proponer los métodos utilizados y así darle un valor didáctico a la tesis.. 1.2. Antecedentes El planteamiento de solucionar el problema de fluidos nace como la continuación. de una investigación para resolver problemas de tipo advectivo-difusivo, [2]. Una de las características del sistema de ecuaciones para fluidos es que la solución no puede ser alcanzada sin incluir términos necesarios para la estabilización. Para esto, varios autores han propuesto diferentes tipos de formulaciones para resolver el problema, tanto aquellos autores que están más orientados al desarrollo matemático, como lo son Hauke [3] o Codina, [4], como autores concentrados en resolver algún problema en específico basándose más en la discretización y desarrollo de algún código como lo son Feng et al [5] u Oñate [6]. Partiendo de ciertas condiciones investigadas, por ejemplo la condición de Babuska-Brezzi [7], para solucionar este tipo de problemas, se indagaron y desarrollaron métodos para poder cumplir con las condiciones y poder formular problemas con interpolaciones de mismo orden para velocidad y presión, pero haciendo un pequeño cambio en la forma de solución. Uno de lo métodos planteados para solucionar este problema es el trabajo realizado por Hughes et al [8], basado en subescalas, donde se trata de plantear la obtención de términos estabilizadores dentro de las variables ya utilizadas. Es necesario resaltar que este trabajo está sustentado en una base matemática más estricta. Un enfoque más específico es el que realiza Codina, [9], en el cual se muestra la aplicación de subescalas ortogonales a fluidos incompresibles. El presente trabajo realiza un estudio del trabajo hecho por Codina, y la formulación presentada resulta muy similar a sus investigaciones.. 2.

(22) Introducción. La forma de estabilizar las ecuaciones para representar el fluido es por medio de la adición de nuevos términos, basados en valores inherentes de la formulación, cuando esta se expande a más términos de la serie de Taylor. [2] Los resultados presentados en la conferencia “Posibilidades del Cálculo Finitesimal en Mecánica Computacional” expuesta por Eugenio Oñate [1] han sido la referencia para darnos una idea del desarrollo que ha tenido esta investigación, y las posibilidades de continuar con ella y poder crear cogidos basados en estas propuestas. 1.3. Objetivo de la Investigación El objetivo de la tesis consiste en desarrollar un código basado en un algoritmo. que funcione, implementando un elemento triangular de tres nodos, para resolver problemas de fluidos con superficie libre y con capacidades para entrar en contacto con un elemento sólido. El alcance de la tesis es obtener un código que pueda resolver desde problemas sencillos para el cálculo de presiones hidrostáticas hasta ejemplos dinámicos. Para cumplir con este objetivo se pretende explicar de manera detallada y didáctica los diferentes pasos a seguir, desde su formulación de la mecánica del medio continuo, pasando por la expansión de series de Taylor propuestas para lograr otro enfoque de aproximación, [1.1], el método de residuos pesados, la discretización y por último la demostración del uso del código a través de ejemplos. Un objetivo particular es el poder realizar un trabajo que pueda ser utilizado por las siguientes generaciones interesadas tanto en la materia de elemento finito, como mecánica del continuo y fluidos. La explicación de los conceptos será por medio de ejemplos numéricos para lograr una mejor compresión del tema. Finalmente en los anexos se presentarán desarrollos de forma detallada de aquellos conceptos que así lo requieran.. 3.

(23) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 1.4. Organización de la Tesis La tesis está distribuida en cinco capítulos, organizados de tal manera que se. pueden ir leyendo, a manera de material didáctico, en el cual los capítulos predecesores contienen información previamente explicada. El capítulo primero presenta un panorama general del tema abarcado en la tesis, explica conceptos básicos y delimita los temas de estudio cubiertos. En el segundo, tenemos la parte introductoria a los problemas de fluidos, presentando algunas características de los mismos, así como el planteamiento de las ecuaciones generales de Navier-Stokes. Asimismo, se presenta de manera resumida el procedimiento empleado por el Método de Cálculo Finito para encontrar aquellos parámetros de estabilización para ser utilizados en la formulación. En el capítulo tres, se muestra primeramente, las diferentes maneras de representar el sistema de ecuaciones por los diferentes autores y posteriormente la discretización del elemento, en este caso el elemento triangular de tres nodos. En el capítulo siguiente se muestran los diferentes tipos de algoritmos de solución, así como la presentación del algoritmo empleado. En el capítulo cinco se muestran los resultados obtenidos con el código así como posibles problemas que a futuro pueden servir para validar y orientar el desarrollo de esta formulación. Por último, un listado de códigos programados en MATLAB®, para la comprobación de los casos, se encuentra en el Apéndice A. En el apéndice B se encuentran temas y conceptos explicados con más detalle. Y en el Apéndice C se presentan los problemas ejemplo para futuras investigaciones basados en la literatura.. 4.

(24) Capítulo 2 Ecuaciones generales y Método de Formulación. 2.1. Objetivo El presente capítulo tiene como finalidad mostrar conceptos básicos para el. manejo de los fluidos en su formato de ecuaciones generales. Asimismo se presentará el inicio de la formulación y el cumplimiento de las leyes principales que rigen el comportamiento del medio.. 2.2. Ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos Primeramente se presentará un resumen de la información acerca de fluidos. encontrada en la literatura [10]. 2.2.1. Esfuerzos Las características para los esfuerzos en los fluidos son que poseen una. inhabilidad para resistir los esfuerzos de corte en reposo y solamente esfuerzos hidrostáticos son posibles. Dadas estas condiciones, el análisis se concentra en adoptar la velocidad ui como la variable independiente. Partiendo de este punto tenemos que la rapidez de deformación es la causa principal de los esfuerzos generales, que se pueden establecer de manera análoga a la mecánica de sólidos como:. εij =. ∂ui ∂X j + ∂u j ∂X i 2. ≡ Su. (2.1).

(25) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Las. relaciones. esfuerzo-deformación. para. fluidos. isotrópicos. lineales. (newtonianos) requieren de dos constantes. La primer relación se encuentra en los esfuerzos desviadores τ ij y la rapidez de deformación desviadora εij dada por:. τ ij ≡ σ ij − δ ij.  εij − δ ij εkk  = 2µ   3 3  . σ kk. (2.2). Donde µ es conocido como viscosidad cortante o simplemente viscosidad, que es análoga al módulo G en elasticidad lineal para sólidos. La segunda relación es entre los esfuerzos promedio y la rapidez de deformación volumétrica. Esto define la presión como:. p=. σ ii 3. = −κεii + p0. (2.3). Donde κ es la viscosidad volumétrica, análoga al módulo volumétrico K en elasticidad lineal, y p0 es la presión hidrostática inicial independiente de la rapidez de deformación. (p y p0 se definen positivas en compresión). Si de las relaciones despejamos el término σ ij , e igualamos tenemos:. . σ ij = 2 µ  εij − . δ ij εkk .  + δ ijκεkk − δ ij p0 = τ ij − δ ij p 3 . Desarrollando los términos podemos llegar a la siguiente ecuación:. 6. (2.4).

(26) Ecuaciones generales y método de formulación.  . (2.5). 2  . σ ij = 2µεij + δ ij  κ − µ  εkk − δ ij p0 3 Donde podemos utilizar el término de Lamé κ −. 2 µ ≡ λ , comúnmente empleado. 3. Dado que existe poca evidencia de la existencia de la viscosidad volumétrica [10], se toma:. κεii = 0. ⇒. p = p0. de (2.3). Obteniendo como resultado lo siguiente: . σ ij = 2µ  εij − . δ ij εkk .  − δ ij p0 ≡ τ ij − δ ij p0 3 .  ∂u ∂u  δ ε   2 ∂ui  τ ij = 2µ  εij − ij kk  = µ  i + j  − δ ij    3  3 ∂xi    ∂x j ∂xi . (2.6). (2.7). Una alternativa para describir el esfuerzo es la siguiente: el vector de esfuerzos en un elemento arbitrario de la superficie en cualquier punto de un fluido en reposo es proporcional a la normal ni de ese elemento, pero independiente de su dirección: ti( n ) = σ ij n j = − p0 ni ˆ. (2.8). Donde la constante p0 es la mencionada presión hidrostática o termoestática.. σ ij = − p0δ ij. 1 p0 = − σ ii 3. 7. (2.9).

(27) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Para un fluido en movimiento los esfuerzos cortantes usualmente no son cero, esto es:. σ ij = − pδ ij + τ ij. (2.10). Donde τ ij es llamado el tensor de esfuerzo de viscosidad. Ahora, si la relación. τ ij = fij ( D ) es no lineal, se trata de un fluido no newtoniano, y si el fluido es newtoniano la relación es lineal, τ ij = K ijpq D pq .. 2.2.2 Conservación de Masa. Si ρ es la densidad del fluido entonces el balance de flujo de masa ρ ui entrando y saliendo de un control de volumen infinitesimal es igual a la razón de cambio de la densidad [20]:. ∂ρ ∂ ∂ρ + ( ρ ui ) ≡ + ∇T ( ρ u ) = 0 ∂t ∂xi ∂t. (2.11). O en coordenadas cartesianas: ∂ρ ∂ ∂ ∂ + ( ρu ) + ( ρ v ) + ( ρ w) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z. 8. (2.12).

(28) Ecuaciones generales y método de formulación. 2.2.3. Conservación de momentum o equilibrio dinámico. El balance de momentum en la dirección j-ésima, esto es ( ρ u j ) ui saliendo y entrando el volumen de control, tiene que estar en equilibrio con los esfuerzos σ ij y las fuerzas de cuerpo ρ f j [20]. ∂ ( ρu j ) ∂t. +. ∂  ∂ ρ u j ) ui  − ( (σ ij ) − ρ f j = 0  ∂xi ∂xi. (2.13). Utilizando (2.6) tenemos: ∂ ( ρu j ) ∂t. +. ∂ (τ ij ) ∂p ∂  − ρ u u + − ρ fj = 0 ( ) j i  ∂xi  ∂xi ∂xi. (2.14). Y una vez más referenciado a las coordenadas cartesianas, en la dirección x: ∂ ∂ ∂ ∂ ( ρ u ) + ρ u 2 + ( ρ uv ) + ( ρ uw ) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂τ xz ∂p ∂τ − xx − − + − ρ fj = 0 ∂x ∂y ∂z ∂xi. (. 2.2.4. ). (2.15). Conservación de energía y ecuación de estado. Se definen como las variables principales la velocidad ui, la presión p y la densidad ρ . Aunque en general la presión, la densidad y la temperatura absoluta están relacionados con la ecuación de estado:. ρ = ρ ( p, T ). 9. (2.16).

(29) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Y para un gas ideal, por ejemplo, esta es:. ρ=. (2.17). p RT. Donde R es la constante de los gases ideales y T es la temperatura absoluta. Para la derivación de la ecuación de conservación de energía se definen unas nuevas cantidades: la energía interna por unidad de masa, e, la cual es dependiente de la ecuación de estado del fluido, esto es: e = e (T , p ). (2.18). La energía total por unidad de masa, E, incluye la energía cinética por unidad de masa, (sin considerar la energía potencial), esto es:. E =e+. (2.19). ui ui 2. La entalpía específica he y la entalpía H e se definen como:. he = e +. p. ρ. H e = he +. ui ui p =E+ 2 ρ. (2.20). La energía puede ser transferida por convección y por conducción, siendo el flujo de calor conductivo, qi, definido como:. qi = −k. ∂ T ∂xi. 10. (2.21).

(30) Ecuaciones generales y método de formulación. Para completar la relación es necesario determinar los términos de fuente de calor. Estos pueden ser especificados por unidad de volumen qH debido a que puede haber reacciones químicas y deben incluir energía de disipación debida a esfuerzos internos, así utilizando (2.7): ∂ ∂ ∂ σ ij u j ) = τ ij u j ) − ( ( ( pu j ) ∂xi ∂xi ∂xi. (2.22). El balance de energía por unidad de volumen puede ser escrito como: ∂(ρE). ∂ ∂  ∂T  ( ρ ui E ) −  k  ∂t ∂xi ∂xi  ∂xi  ∂ ∂ + ( pui ) − (τ ij u j ) − ρ fiui − qH = 0 ∂xi ∂xi +. (2.23). O en forma alternativa: ∂(ρE) ∂t −. 2.2.5. +. ∂ ∂ ( ρ ui H ) − ∂xi ∂xi.  ∂T  k   ∂xi . (2.24). ∂ (τ ij u j ) − ρ fi ui − qH = 0 ∂xi. Ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones gobernantes anteriormente descritas generan un formato general conservativo como: ∂Φ + ∇F + ∇G + Q = 0 ∂t ∂Φ ∂Fi ∂Gi + + +Q = 0 ∂t ∂xi ∂xi. 11. (2.25).

(31) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Para los cuales los vectores que lo conforman son los siguientes, en su formato indicial ( Φ ) y cartesiano ( U ):  ρ   ρu   1  Φ =  ρ u2  ρu   3  ρ E . ρ ui    ρ u u + pδ  1i   1 i  Fi =  ρ u2 ui + pδ 2i   ρ u u + pδ  3i  3 i   ρ Hui  0     −τ 1i     −τ 2i Gi =   −τ 3i    ∂T   − (τ ij u j ) − k  ∂xi   0    −ρ f  1   Q =  −ρ f2   −ρ f  3    − ρ f i ui − qH .  ρ   ρu    U =  ρv   ρ w    ρ E   ρu  ρu2 + p   Fx =  ρ uv   ρ uw     ρ Hu . (2.26a). (2.26b). 0     −τ xx     −τ yx Gx =   −τ zx    ∂T  − (τ xx u + τ xy v + τ xz w ) − k  ∂x  . (2.26c). 0     −ρ fx     ρ f − Q= y    −ρ fz   − ρ ( f x u + f y v + f z w ) − qH . (2.26d). Con la ecuación constitutiva desviadora, ec. (2.7), se conforma el conjunto de ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación de la energía.. 12.

(32) Ecuaciones generales y método de formulación. 2.3. Tipos de fluidos. Las ecuaciones gobernantes de fluidos y de transferencia de calor en general pueden ser una mezcla de los tipos: ecuaciones diferenciales parciales elípticas, parabólicas e hiperbólicas [11]. La siguientes Figura 2.1 y 2.2 muestra los tipos de fluidos según sus características y tipos de problemas a resolver.. Figura 2.1 Tipos de fluidos según su formato general.[11]. Figura 2.2 Tipos de fluidos según su formato general.[11]. 13.

(33) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 2.3.1 Fluido incompresible. Las características para este tipo de fluido son: el problema es isotérmico, la variación de la densidad a la presión es muy pequeña y en casos extremos o particulares pueden llegar a permitir pequeñas compresiones. Dado que estas suposiciones permiten un pequeño cambio en la compresibilidad, los cambios de densidad son relacionados al cambio de presión como consecuencia de la deformación elástica, esto se expresa como:. dρ =. ρ K. dp. (2.27). Donde K es el módulo elástico volumétrico. Esto también se puede escribir como:. dρ =. 1 dp c2. dρ 1 dp = 2 dt c dt. (2.28). Con c = K / ρ siendo la velocidad de onda acústica.. Las ecuaciones (2.25) y (2.26) pueden escribirse ahora omitiendo los términos de transporte de energía como: ∂u 1 dp +ρ i =0 2 ∂xi c dt. ∂u j ∂t. +. ∂ 1 ∂p 1 ∂ τ − fi = 0 u j ui ) + − ( ρ ∂x j ρ ∂xi ij ∂xi. 14. (2.29a). (2.29b).

(34) Ecuaciones generales y método de formulación. O escrita en coordenadas cartesianas: 1 dp ∂u ∂v ∂w +ρ +ρ +ρ =0 2 ∂x ∂y ∂z c dt. (2.30). Donde el primer término se puede eliminar para formular incompresibilidad completa ( c = ∞ ) : ∂u ∂ 2 ∂ ∂ + u + ( uv ) + ( uw ) ∂t ∂x ∂y ∂z. (2.31). ( ). +.  1 ∂p 1  ∂ ∂ ∂ −  τ xx + τ xy + τ xz  − f x = 0 ρ ∂x ρ  ∂x ∂y ∂z . Con formas similares para y y z. En ambas formas:. 1. ρ.  ∂ui ∂u j 2 ∂uk + − δ ij  ∂x j ∂xi 3 ∂xk . τ ij = v . Donde v = µ ρ es la viscosidad cinemática.. 15.   . (2.32).

(35) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 2.4. Método de Cálculo Finito. Este método se plantea como la necesidad de estabilizar las soluciones de transporte advectivo-difusivo, [2]. En el método se propone la utilización de más miembros de la expansión de Taylor en las ecuaciones, de aquí se crea una nueva variable que se llamará la longitud característica y, en base a estas suposiciones, se pueden adicionar otras ecuaciones para estabilizar el sistema. La necesidad de manejar términos convectivos y la condición de incompresibilidad para los problemas de fluidos, puede ser manejada por este método. Se escoge este método para solucionar el problema de estabilización de las ecuaciones dado que los términos estabilizadores resultan de la expansión original de la serie de Taylor de los términos empleados dentro del balance, y que se ha empleado exitosamente con anterioridad [2, 6] En un principio se escoge este método, pero después se puede investigar y proponer algún otro procedimiento que presente la utilización de miembros adicionales para la estabilización de una manera alterna. A continuación se presentará un pequeño ejemplo de cómo encontrar estos términos para el caso del problema convectivo-difusivo en una dimensión, y posteriormente se realizará una combinación del método y de las ecuaciones generales para los fluidos. 2.4.1. Ejemplo: El problema convectivo-difusivo en una dimensión. Primeramente se introducirán las ecuaciones derivadas del desarrollo normal del balance de flujos y posteriormente se presenta el mismo procedimiento pero ahora incluyendo más términos en la serie de Taylor para obtener la longitud característica. Y por último se muestra la forma del proceso de estabilización general tomando en cuenta todos los miembros. [2]. 16.

(36) Ecuaciones generales y método de formulación. Considere el problema de convección difusión estándar para una dimensión en el dominio de tamaño l.. En la Figura 2.2 se observa el esquema del problema de. convección-difusión en el dominio real del problema. En la Figura 2.3 se muestra el dominio discretizado del problema donde el segmento AB de tamaño AB = h donde el balance (equilibrio) de los flujos debe satisfacerse.. Figura 2.3 Dominio real del problema.. Figura 2.4 Dominio discretizado del problema. Los valores de la razón de flujo q y la razón de transporte advectivo uΦ en el punto A con coordenada x A = xB − h puede ser aproximada en términos de los valores en el punto B usando una expansión de Taylor de segundo orden en la manera estándar como sigue:. q A = q ( x A ) = q ( xB − h ) = q ( x B ) − h. 17. dq + O h2 dx B. ( ). (2.33a).

(37) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. [ u Φ ] A = [ u Φ ] ( x A ) = [ u Φ ] ( xB − h ) = [ u Φ ] ( xB ) − h. d [ uΦ ] dx. + O ( h2 ). (2.33b). B. Y para el punto B tenemos: q B = q ( xB ). (2.33c). [ u Φ ]B = [ u Φ ] ( xB ). (2.33d). El balance entre los puntos A y B descrito es:. ∑ Flujos = [ Flujo ] + [ Flujo ] + Qh = 0. (2.34a).  q ( xB − h ) + v [uΦ ] ( xB − h )  −  q ( xB ) + v [uΦ ] ( xB )  + Qh = 0. (2.34b). A. B. En las ecuaciones (2.33) a (2.34) Φ es la variable desconocida de transporte; u es el campo de velocidad conocido el cual es tomado como positivo si actúa en la dirección del eje x; v es el parámetro advectivo del material el cual se supone constante y Q es la fuente distribuida, la cual es supuesta aquí actuando uniformemente sobre el dominio AB. Substituyendo (2.33) en (2.34b) tenemos:. q ( xB ) − h. d [ uΦ ] dq + O h 2 + v [uΦ ] ( xB ) − vh + vO h2 − q ( xB ) − v [uΦ ] ( xB ) + Qh = 0 dx B dx B. ( ). −h. ( ). d [ uΦ ] dq + O h 2 − vh + vO h 2 + Qh = 0 dx B dx B. ( ). ( ). 18. (2.35a) (2.35b).

(38) Ecuaciones generales y método de formulación. Dividiendo entre h,. −. d [ uΦ ] dq + O (h) − v + vO ( h ) + Q = 0 dx B dx B. (2.35c). En el punto B, xB = x,. −. d [ uΦ ] dq −v +Q = 0 dx dx. (2.36). La razón de flujo difusivo q está relacionada con el cambio de la variable desconocida Φ por la Ley de Fourier como q = −k. dΦ . Substituyendo esto en la dx. ecuación (2.36) tenemos: dq d  d Φ  = −k dx dx  dx . (2.37). d [ uΦ ] d  dΦ  k − v +Q = 0 dx  dx  dx. (2.38a). −v. d [ uΦ ] dx. +. d  dΦ  k +Q = 0 dx  dx . (2.38b). Si u es constante esto resulta en:. −vu. dΦ d  dΦ  + k +Q = 0 dx dx  dx . (2.39). Hasta este momento se ha presentado cómo sería el desarrollo normal para el problema; a continuación se muestra la variante en la expansión de Taylor y la obtención de la longitud característica.. 19.

(39) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Se supone ahora que el término de transporte advectivo tiene una importante variación sobre el segmento AB. La manera para incluir esta variación se toma de expandir la serie de Taylor hasta un tercer orden:. [ u Φ ] A = [ u Φ ] ( x A ) = [ u Φ ] ( xB − h ) = [ u Φ ] ( xB ) − h. d [ uΦ ] dx. 2 h 2 d [ uΦ ] + − O h3 2 2 dx B B. ( ). (2.40). En conjunto con la ecuación (2.24b) tenemos el nuevo balance de flujos:. q ( xB ) − h. 2   d [ uΦ ] dq h 2 d [ uΦ ] + O h 2 + v [uΦ ] ( xB ) − h + − O h3  − q ( xB ) − v [uΦ ] ( xB ) + Qh = 0 2 dx B dx B 2 dx   B. (2.41a). q ( xB ) − h. 2 d [uΦ ] dq h 2 d [uΦ ] + O h 2 + v [uΦ ] ( xB ) − vh +v − vO h3 − q ( xB ) − v [uΦ ] ( xB ) + Qh = 0 2 dx 2 B dx B dx B. (2.41b). ( ). −h. ( ). ( ). ( ). 2 d [uΦ ] dq h 2 d [ uΦ ] + O h 2 − vh +v − vO h3 + Qh = 0 2 dx B dx B 2 dx B. ( ). −. ( ). (2.41c). 2 d [uΦ ] dq h d [ uΦ ] + O ( h) − v +v − vO h 2 + Q = 0 2 dx B dx B 2 dx B. (2.41d). 2 d [ uΦ ] dq h d [ uΦ ] −v +v +Q = 0 dx dx 2 dx 2. (2.41e). ( ). −. Suponiendo una constante equivalente h1 = vh , tenemos:. −v. d [ uΦ ] dx. 2 h1 d [uΦ ] dq + − +Q = 0 2 dx 2 dx. (2.42). Utilizando nuevamente la Ley de Fourier,. −v. d [ uΦ ] dx. 2 h1 d [uΦ ] d  d Φ  + + k +Q = 0 2 dx 2 dx  dx . 20. (2.43).

(40) Ecuaciones generales y método de formulación. Suponiendo u constante,. −vu. h d 2Φ d  d Φ  dΦ +u 1 + +Q = 0 k dx 2 dx 2 dx  dx . (2.44a). −vu. d Φ d  h1 d Φ dΦ  + u +k +Q = 0 dx dx  2 dx dx . (2.44b). −vu. d Φ d  h1   d Φ  +  u + k    + Q = 0 dx dx  2   dx  . (2.44c). Como se puede apreciar, en este caso empiezan a aparecer los términos que contienen a la longitud característica h. A continuación presentamos el desarrollo en el cual los cambios en los términos advectivos y difusivos sobre el segmento de balance son tan importantes que una expansión de orden superior es requerido para todos los términos. Véase en la Figura 2.4.. Figura 2.5 Equilibrio de flujos en un dominio finito de balance con una fuente externa lineal.. Ahora la ecuación (2.34b) se lee como: 1 q ( x ) + v [uΦ ] ( x ) − q ( x − h ) − v [uΦ ] ( x − h ) − Q ( x ) + Q ( x − h )  h = 0 2. 21. (2.45).

(41) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Las aproximaciones en este caso son, en conjunto con la ecuación (2.40):. q ( x − h) = q ( x) − h. dq h 2 d 2 q + + O ( h3 ) dx 2 dx 2. (2.46a). dQ + O h2 dx. (2.46b). Q ( x − h) = Q ( x) − h. ( ). [ u Φ ] A = [ u Φ ] ( x A ) = [ u Φ ] ( xB − h ) = [ u Φ ] ( xB ) − h. d [ uΦ ] dx. 2 h 2 d [ uΦ ] + − O h3 2 2 dx B B. ( ). (2.40). Sustituyendo (2.46a), (2.46b) y (2.40) en (2.45) tenemos, dq h 2 d 2 q − −O dx 2 dx 2  d [ uΦ ] h 2 d 2 [u Φ ] −v [uΦ ] ( x ) − h + − O h3 2 dx dx 2 . q ( x ) + v [ uΦ ] ( x ) − q ( x ) + h. (h ) 3. (2.47a). . ( ) . dQ 1  − Q ( x ) + Q ( x ) − h + O h2  h = 0 dx 2 . ( ). dq h 2 d 2 q − − O h3 dx 2 dx 2 2 d [ uΦ ] h 2 d [ uΦ ] −v [uΦ ] ( x ) + vh −v + vO h3 2 dx 2 dx 2 h dQ h −Q ( x ) h + + O h2 = 0 2 dx 2. ( ). q ( x ) + v [ uΦ ] ( x ) − q ( x ) + h. (2.47b). ( ). ( ). 2 d [ uΦ ] dq h d 2 q h d [ uΦ ] h dQ − + h − v − Q ( x) + =0 2 2 dx 2 dx dx 2 dx 2 dx. −v. d [uΦ ]. −v. dx. +. d [ uΦ ] dx. (2.47c). dq h d  dq  vh d  d [uΦ ]  h d + Q ( x) + (Q ) = 0  −  + 2 dx  dx  2 dx  dx  2 dx dx. (2.47d).  d  dΦ  h d  d [uΦ ] dΦ +k +Q = 0  −v k  + Q ( x) − 2 dx  dx  dx  dx dx . (2.48). +. 22.

(42) Ecuaciones generales y método de formulación. La ecuación (2.42) puede escribirse de manera compacta como:. r−. h dr =0, 2 dx. 0< x<l. (2.49). Con:. r = −v. d [uΦ ] dx. +k. dΦ +Q dx. (2.50). Siguiendo el procedimiento anteriormente explicado también se puede llegar a obtener la condición de frontera modificada de Neumann por medio del Método de Cálculo Finito como [12]:. k. dΦ h + q p − r = 0 en Γ q dx 2. (2.51). La definición del problema es completada con la condición estándar de Dirichlet prescribiendo el valor de Φ en la frontera Γ Φ . 2.5. Ecuaciones generales para un flujo viscoso incompresible por el Método de Cálculo Finito. Tomando en cuenta las ecuaciones gobernantes anteriormente descritas, ecuaciones (2.11) y (2.13), así como utilizando la forma general del formato del Método de Cálculo Finito, tenemos dichas ecuaciones escritas en un marco de referencia euleriano [12]:. 23.

(43) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Momentum 1 ∂rm rmi − h j i = 0 2 ∂x j. (2.52).  ∂u ∂u  ∂p ∂sij rmi = ρ  i + u j i  + − − bi  ∂t ∂x j  ∂xi ∂x j . (2.53). 1 ∂r rd − h j d = 0 2 ∂x j. (2.54). Balance de masa. rd =. ∂ui ∂xi. i, j = 1, nd. (2.55). Donde nd es el número de dimensiones, ui es la velocidad a lo largo del eje iésimo, ρ es la densidad del fluido (constante), p es la presión absoluta (definida positiva en compresión), bi son las fuerzas de cuerpo y sij son los esfuerzos desviadores viscosos relacionados a la viscosidad por la expresión estándar:  1 ∂uk  sij = 2 µ  εij − δ ij  3 ∂xk  . (2.56). Donde δ ij es la delta de Kronecker y las razones de deformación εij están dadas por: 1  ∂ui ∂u j  +  2  ∂x j ∂xi . εij =  . 24. (2.57).

(44) Ecuaciones generales y método de formulación. Las condiciones de frontera para el Método de Cálculo Finito son [12]: 1 n jσ ij − ti + h j n j rmi = 0 en Γt 2. (2.58). u j − u jp = 0 en Γu. (2.59). Y las condiciones iniciales son u j = u 0j y t = t0 .. La convención de sumatorias para índices repetidos en los productos y derivadas es utilizada a menos que se especifique lo contrario. En las ecuaciones (2.50) y (2.51), ti y u jp son las tracciones de superficie y los desplazamientos prescritos en las fronteras Γt y Γu respectivamente, n j son los componentes del vector normal unitario en la frontera y σ ij son los esfuerzos totales dados por σ ij = sij − δ ij p . El signo del término de estabilización en la ecuación (2.50) es positivo debido a la definición de rmi en la ecuación (2.46b). Las ecuaciones (2.46a) a (2.51) son el punto de inicio para derivar métodos de elemento finito estabilizados para las ecuaciones Navier-Stokes incompresibles usando interpolaciones de mismo orden para las velocidades y las presiones.. 25.

(45) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 2.6. Formas integrales estabilizadas. De las ecuaciones de momentum (2.46), y siguiendo el procedimiento del Método de Cálculo Finito tenemos que: h ∂rmi ∂rd j , sin sumatoria en i ∂xi 2ai ∂x j. (2.60). Donde. ai =. 2µ ρ ui hi + , sin sumatoria en i 3 2. (2.61). Substituyendo la ecuación (2.53) y (2.55) y reteniendo solamente los términos que involucran las derivadas de rmi con respecto a xi , resulta en la siguiente expresión para la ecuación de balance de masa estabilizada [12]: nd. ∂rmi. i =1. ∂xi. rd − ∑τ i. = 0 , sin sumatoria en i. (2.62). Con −1.  8µ 2 ρ ui  τi =  2 +  , sin sumatoria en i hi   3hi. (2.63). Cuando τ i se encuentra escalada por la densidad se denomina en la literatura de estabilización como el parámetro de tiempo intrínseco. Para más ejemplos de cómo obtener el valor del parámetro se puede consultar [6], [13], y para un caso de sólidos [14].. 26.

(46) Ecuaciones generales y método de formulación. 2.7 Formato de residuos pesados. Hasta ahora se han presentado las ecuaciones en su formato fuerte, sin embargo para poder obtener procedimientos por el método de elemento finito, se requiere poner las ecuaciones diferenciales en su formato integral-diferencial, para una vez así integrar por partes y “debilitar” ciertos términos de las ecuaciones para disminuir la complejidad de la solución. A continuación se presenta el formato de las ecuaciones de momentum y balance de masa: 1 ∂rm rmi − h j i = 0 2 ∂x j. (2.64). 1 n jσ ij − ti + h j n j rmi = 0 en Γt 2. (2.65). nd. ∂rmi. i =1. ∂xi. rd − ∑τ i. =0. (2.66). Unidas en formato de residuos pesados como: . 1 2. ∫ δ ui  rm − h j . Ω. i. ∂rmi  1   d Ω + ∫ δ ui  n jσ ij − ti + h j n j rmi  d Γ = 0 ∂x j  2   Γt nd ∂rm   q r − τ i i d Ω = 0 ∫Ω  d ∑ ∂xi  i =1. (2.67). (2.68). Donde δ ui y q son las funciones de peso arbitrarias representando campos de velocidad y presiones virtuales. Integrando por partes el término rmi conlleva a:. ∫δu r. i mi. Ω. h j ∂δ ui rm d Ω = 0 2 ∂x j i Ω. d Ω + ∫ δ ui ( n jσ ij − ti ) d Γ + ∫ Γt. nd. ∫ qrd d Ω + ∫ ∑τ i. Ω. Ω i =1.  nd  ∂q rmi d Ω − ∫  ∑ qτ i ni rmi  d Γ = 0 ∂xi  Γt  i =1. 27. (2.69). (2.70).

(47) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Se elimina el tercer término de la integral (2.70) dado que se supone rmi despreciable en la frontera. Los esfuerzos desviadores y los términos de presión en la primera integral de la ecuación (2.57a) son integrados por partes de la misma manera. El resultado de las ecuaciones de momentum y de balance de masa es:   ∂ui ∂ui  ∂δ ui δ u ρ u +   ∫ i  ∂t j ∂x j  + ∂x j Ω   .  ∂ui  − δ ij p   d Ω − ∫ δ ui bi d Ω − ∫ δ ui ti d Γ  µ  Ω Γt  ∂x j . (2.71). h j ∂δ ui rmi d Ω = 0 ∂ 2 x j Ω. +∫. (2.72).  nd ∂q  ∂ui rm  d Ω = 0 τi ∫ q ∂xi d Ω + Ω∫ ∑ ∂xi i  i =1 Ω. En la derivación del término viscoso en la ecuación (2.71) se utilizó la siguiente identidad (antes de realizar la integración por partes): ∂sij ∂x j. = 2µ. ∂ε ij ∂x j. =2. ∂ 1  ∂ui ∂u j  ∂ +   = µ ∂x j 2  ∂x j ∂x j  ∂x j ∂ 2ui ∂  ∂ui  ≈µ   = µ ∂x j  ∂x j  ∂x j ∂x j. = 2µ. (2.73). ∂ ε ij ∂x j  ∂ui   ∂x j.  ∂  + µ ∂x j .  ∂u j   ∂x j.   . La ecuación (2.73) es idénticamente en su tiempo al límite exacto de  ∂u j  = 0  . La forma de la ecuación (2.71) permite descomponer la incompresibilidad   ∂x j    ecuación de momento en ecuaciones (dependiendo de las dimensiones utilizadas, para 2D, en dos ecuaciones, para 3D, tres) cada una involucrando una sola componente de la velocidad como una variable desconocida básica.. 28.

(48) Ecuaciones generales y método de formulación. 2.8. Proyecciones de gradientes convectivo y de presión.. Hasta el punto anterior tenemos las ecuaciones generales en su formato integrodiferencial, con los residuos pesados y con las definiciones de las ecuaciones de momentum y balance de masa basadas en el Método de Cálculo Finito. Ahora hay que encontrar el complemento para estas ecuaciones para estabilizar los resultados. Esto se logra a través de introducir dos ecuaciones: una para los términos convectivos y una para los términos de presión. Esta propuesta de estabilización de las ecuaciones ha sido investigada y utilizada por varios autores, [15], [9], [16], basados en métodos de elementos finitos a través de subescalas. Estas ecuaciones provienen de la definición de la proyección de los gradientes en cada caso como:. ci = rmi − ρ u j. π i = rm − i. ∂ui ∂x j. ∂p ∂xi. (2.74) (2.75). Ahora, expresando rmi en términos de ci y π i respectivamente, se introducen nuevas variables. Al sistema de ecuaciones integro-diferenciales se le adicionan el número necesario de ecuaciones para imponer que el residuo rmi se desvanezca (en un sentido aproximado) para ambas formas dadas por la ecuación (2.60). Lo anterior da como resultado el sistema gobernante de ecuaciones como sigue:   ∂ui  ∂ui  ∂δ ui  ∂ui δ u ρ u µ δ p + + −     ∫ i  ∂t j ∂x j  ∂x j  ∂x j ij  d Ω − Ω∫ δ uibi d Ω − Γ∫ δ uiti d Γ + Ω     t . (2.76).  h j ∂δ ui  ∂u  ρ u j i + ci  d Ω = 0 2 ∂x j  ∂x j Ω . +∫. ∫q. Ω.  nd ∂q  ∂p  ∂ui d Ω + ∫  ∑τ i + π i  d Ω = 0  ∂xi ∂xi  ∂xi  Ω  i =1. 29. (2.77).

(49) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana.   . ∫ δ ci ρ  ρ u j. Ω.  ∂ui + ci  d Ω = 0 , sin sumatoria en i  ∂x j .  ∂p  + π i  d Ω = 0 , sin sumatoria en i  ∂xi . ∫ δπ iτ i . Ω. (2.78). (2.79). Con i, j , k = 1...nd . En las ecuaciones (2.63) y (2.64) δ ci y δπ i se consideran como unas funciones de peso apropiadas y ρ y τ i son pesos introducidos por conveniencia. Se puede apreciar que incluyendo las proyecciones de los gradientes convectivo y para presión se asegura que los términos de estabilización en las ecuaciones (2.61) a (2.64) contienen un residuo que se desvanece para la solución “exacta”. El hecho de no incluir estos términos puede llevar a soluciones numéricas menos exactas y hace que la formulación sea más sensible al valor de los parámetros de estabilización; para referencias consulte [14].. 30.

(50) Capítulo 3 Discretización de formato débil a matricial 3.1. Objetivo En el capítulo anterior se llega a la formulación del sistema de ecuaciones. generales en su formato integral-diferencial, por pesos ponderados y con los elementos de estabilización, entonces se puede proceder a intentar resolver el problema con el enfoque del método de elementos finitos. El enfoque utilizado en esta formulación es del tipo lagrangiano actualizado. Ver apéndice B 3.1 De aquí se procede a utilizar el método de residuos pesados y proponer funciones de interpolación para la solución del sistema de ecuaciones. Una vez obtenidas las formas particulares de un elemento, en este caso triangular, procederemos a programar dichos resultados.. 3.2. Ecuaciones integro-diferenciales gobernantes Dando continuidad a lo visto en el capítulo anterior se tiene que el sistema de. ecuaciones queda así:   ∂ui  ∂ui  ∂δ ui  ∂ui δ u ρ u µ δ p + + −       d Ω − ∫ δ ui bi d Ω − ∫ δ ui ti d Γ + i j ij ∫   ∂t ∂x j  ∂x j  ∂x j Ω Ω Γt   . (2.61).  h j ∂δ ui  ∂u  ρ u j i + ci  d Ω = 0 2 ∂x j  ∂x j Ω . +∫. ∫q. Ω.  nd ∂q  ∂p  ∂ui d Ω + ∫  ∑τ i + π i  d Ω = 0  ∂xi ∂xi  ∂xi  Ω  i =1.   . ∫ δ ci ρ  ρ u j. Ω.  ∂ui + ci  d Ω , sin sumatoria en i  ∂x j . (2.62). (2.63).

(51) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana.  ∂p  + π i  d Ω , sin sumatoria en i  ∂xi . ∫ δπ iτ i . Ω. (2.64). Si se propone una interpolación lineal continua tipo C 0 para las velocidades, presión, proyecciones de convección ci y la proyección del gradiente de presión π i sobre tres nodos (para el caso de triángulos), las interpolaciones lineales se escriben como:. ui = N k uik. p = N k pk. ci = N k cik. π i = N k π ik. (3.1). Donde la sumatoria va con el número de nodos por cada elemento (n = 3 para triángulos), ( i ) , denotan los valores nodales de las variables, y N k son las funciones de k. interpolación. [10] Substituyendo las aproximaciones (3.1) en (2.61) a (2.64) y escogiendo la forma de Galerkin con δ ui = q = δ ci = δπ i = N i esto lleva al siguiente sistema de ecuaciones discretizadas [12]:. Mu + Hu − Gp + Cc = f. (3.2a). ˆ + Qπ = 0 G T u + Lp. (3.2b). ˆ + Mc = 0 Cu. (3.2c). QT p + Mˆ π = 0. (3.2d). H = A + K + Kˆ. (3.3). Con. 32.

(52) Discretización de formato débil a matricial. Donde los arreglos A y K̂ están relacionados a los términos convectivos y el arreglo K es la matriz de rigidez de los elementos. Si se denotan los índices de nodos con las letras a, b y los índices de dimensiones con i, j,. las contribuciones de los elementos a los componentes de los arreglos. involucrados en estas ecuaciones son:   M ijab =  ∫ ρ N a N b d Ω  δ ij ,  e  Ω  K. ab ij.   Aijab =  ∫ ρ N a ( uT ∇N b ) d Ω  δ ij  e  Ω .   =  ∫ µ∇N a ∇N b d Ω  δ ij ,  e  Ω .  ∂ ∂ ∂  ∇= , ,   ∂x1 ∂x2 ∂x3 . 1  Kˆ ijab =  ∫ ( hT ∇N a )( ρ u T ∇N b ) d Ω  δ ij , 2 e   Ω   C1  C = C2  ,  C3 . Lˆ = ab. ∫ (∇. Ω. T. C1ab = C2ab = C3ab =. N. a. ) [τ ] ( ∇N ) d Ω ,. ∂N a b Q = ∫ τi N dΩ ∂xi Ωe ab i. Cˆ1ab = Cˆ 2ab = Cˆ 3ab =.   Mˆ ijab =  ∫ τ i N a N b d Ω  δ ij ,  e  Ω . ∂N a b ∫ ∂xi N d Ω Ωe. τ 1 0 0  [τ ] =  0 τ 2 0   0 0 τ 3 . e. Cˆ = Cˆ1 , Cˆ 2 , Cˆ3  ,. T. 1  hT ∇N a  N b d Ω ∫ 2 Ωe. b. Q = [Q1 , Q2 , Q3 ] ,. Giab =. (3.4). ∫ρ. 2. N a ( u T ∇N b ) d Ω. Ωe. fi a =. ∫N. Ωe. a. fi d Ω + ∫ N a ti d Γ Γe. Todos los arreglos anteriores son matrices, excepto f, el cual es un vector, cuyos componentes se obtienen agrupando los índices izquierdos, en las expresiones previas (a y su posible i) y los índices derechos (b y su posible j).. 33.

(53) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 3.3. Flujo tipo Stokes. Para el presente desarrollo se propone solucionar el tipo de problemas de flujo de Stokes, eliminando los términos convectivos de la formulación general de Navier-Stokes. Ver apéndice B 3.2 Esto implica también eliminar el término de estabilización. convectivo en la ecuación de momentum, y consecuentemente la variable de proyección convectiva ya no es necesaria. También el parámetro de tiempo intrínseco se simplifica a:. τi =. (3.5). 3hi2 8µ. El sistema discretizado resultante de ecuaciones se muestra como: Mu + Ku − Gp = f. (3.6a). ˆ + Qπ = 0 G T u + Lp. (3.6b). QT p + Mˆ π = 0. (3.6c). Una forma en estado estable de las ecuaciones (3.6) puede ser expresado en forma matricial como:  K  T  −G   0. −G − Lˆ −QT. 0  u   f      −Q   p  =  0      − Mˆ  π   0 . (3.7). El sistema es simétrico y siempre positivo definido y por lo tanto conlleva a una solución no singular. Esta propiedad se mantiene para cualquier función escogida para u , p y π ; por lo tanto cumple con las restricciones de la condición de Babuska-Brezzi.. 34.

(54) Discretización de formato débil a matricial. 3.4. Selección de tipo de elemento. Primeramente se debe establecer el número de dimensiones que se pretenden analizar. Por razones de facilidad de uso, se propone comenzar el estudio de un elemento en dos dimensiones y una vez que se logre obtener un código funcional, extender, en la medida de lo posible el análisis a tres dimensiones. El elemento propuesto para realizar la discretización en dos dimensiones es el triangular de tres nodos, en donde las funciones de interpolación se proponen utilizando las áreas coordenadas se dan como a continuación. [17]. Figura 3.1 Áreas coordenadas.. N1 =. A1 A. N2 =. A2 A. N3 =. A3 A. (3.8a). Ó N1 = r = ξ. N2 = s = η. N3 = t = ζ = 1 − r − s = 1 − ξ − η. Con r + s + t = 1 ó ξ + η + ζ = 1 .. 35. (3.8b).

(55) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. 3.5. Funciones de interpolación particulares. Para la forma de Galerkin se estableció que δ ui = q = δ ci = δπ i = N i . A continuación se presentan estas interpolaciones para el triángulo. Las funciones de interpolación para la velocidad y para la proyección del gradiente está en dos dimensiones, (eje x y eje y), y para las presiones solamente esta en una dimensión. Para mostrar un poco más a detalle presentamos estas similitudes. 3.5.1. Velocidad y proyecciones de gradiente de presión. Estas interpolaciones son las mismas al igual que su similar de las componentes de peso virtuales, ejemplo:. δ ui = N iδ ui y ui = N i ui , utilizan el mismo tipo de interpolación, esto es: N Nu =  1 0. 0 N1. N2 0. 0 N2. N3 0. 0 N 3 . (3.9a). δπ i = Niδπ i y π i = Niπ i , también utilizan el mismo tipo de interpolación, esto es: N Nπ =  1 0. 0. N2. 0. N3. N1. 0. N2. 0. 0 N 3 . (3.9b). De aquí se puede observar que Nu = Nπ ; aunque no necesariamente para todos los casos.. 36.

(56) Discretización de formato débil a matricial. 3.5.2. Presión. La interpolación en este caso es de una dimensión, dado que tanto para el eje x como para el eje y, el valor del nodo es el mismo, así: q = N i q y p = Ni p , tienen el mismo tipo de interpolación entre ellas dado que. uno es el valor real y el otro el virtual dado por: N p = [ N1. N2. N3 ]. (3.9c). Ahora se procederá a mostrar el formato matricial de los arreglos aplicando este tipo de interpolaciones. El desarrollo se hace de manera directa, para evitar una explicación escrita de cómo se obtienen los arreglos. Se presentarán las ecuaciones conforme se muestra en la forma de la ecuación (3.6). Nota: de ahora en adelante se manejará la variable u y v para la velocidad, para que el procedimiento pueda ser comparado con el de las referencias [18] y [16], así:. {u} = [ Nu ]{u } = [ N v ]{v } = {v } 3.6. y. {δ u} = [ Nu ]{δ u } = [ N v ]{δ v } = {δ v }. (3.10). Resumen de funciones de interpolación (Ver apéndice B 3.3). Prueba. {v} = [ N v ]{v }. {π } = [ Nπ ]{π }. p =  N p  { p}. {b} = [ Nb ]{b }. (3.11). {t} = [ Nt ]{t }. Peso. {δ v} = [ N v ]{δ v } {δπ } = [ Nπ ]{δπ }. q =  N q  {q }. {δε } = [ Bv ]{δ v }. 37. (3.12).

(57) Análisis de fluidos mediante una formulación lagrangiana. Con N. [ N v ] = [ Nπ ] = [ Nb ] =  01 .  N p  =  N q  = [ N1. N2. N3 ]. 0 N1. N2 0. 0 N2.  N1. [ Nt ] = . 0. N3 0. 0 N 3 . 0 N1. N2 0. (3.13). 0  N2 . Aquí los segundos valores del lado derecho de las funciones son los valores nodales de cada variable.. 3.7. Ecuación de momentum. Formato indicial, con términos convectivos:   ∂ui  ∂ui  ∂δ ui  ∂ui + + − δ ρ µ δ u u p       d Ω − ∫ δ ui bi d Ω − ∫ δ ui ti d Γ + i j ij ∫   ∂t ∂x j  ∂x j  ∂x j Ω Ω Γt   . (2.61).  h j ∂δ ui  ∂u  ρ u j i + ci  d Ω = 0 2 ∂x j  ∂x j Ω . +∫. Eliminando los términos convectivos para nuestro caso, [18]: . ∫ δ v ρ i. Ω. ∂vi  + δε ij ( sij − δ ij p )  d Ω − ∫ δ vi bi d Ω − ∫ δ vi ti d Γ = 0 ∂t  Ω Γ. (3.14). Donde 1  ∂δ vi ∂δ v j + 2  ∂x j ∂xi. δε ij =  .   , Ver apéndice B 3.4 . 38. (3.15).

(58) Discretización de formato débil a matricial.  1 ∂vk sij = 2 µ  ε ij + δ ij 3 ∂xk .   , Ver apéndice B 3.5 . (3.16). Para llegar al formato matricial se procede de la siguiente manera. Nota: para seguir un formato más desglosado se divide la ecuación en varios términos, y después se junta para hacer las referencias necesarias. Al primer término de la ecuación (3.14). δ vi ρ. ∂vi ∂t. Si se substituye {v} = [ N v ]{v } y {δ v} = [ N v ]{δ v } , se tiene. δ vi ρ. ∂vi ∂ T T = {δ v} [ N v ] ρ [ N v ]{v } ∂t ∂t. [ A]. ***. = [ Nv ] ρ T. δ vi ρ. ∂ [ N v ]{v } ∂t. ∂vi *** T = {δ v } [ A] ∂t. Para el segundo término de la ecuación δε ij ( sij − δ ij p ) , se tiene:. {δε } = [ Bv ]{δ v } . {s} = 2µ  [ Bv ]{v } + . 1 1 0   ∂ 3 0 1   ∂x. 39.  ∂ [ N v ]{v }   ∂y  . (3.15a).