Treballs de Fi de Grau Titulaci´ o de Matem` atiques
Curs 2018-2019
1 Tipus A. Propostes del professorat
1. Ramon Antoine. [[email protected]] Anells de divisi´o: M´es enll`a dels quaternions. . 2. Pere Ara. [[email protected]] La Paradoxa de Banach-Tarski.
3. Jordi Bar´o. [[email protected]] Solucions de camp mig en fractura de materials: Pot un model senzill preveure el desastre?.
4. Jordi Bar´o. [[email protected]] Efectes de mida finita i condicions de contorn en din´amica d’allaus: de ferroel`ectrics a neurones.
5. Francesc Bars. [[email protected]] Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.
6. Francesc Bars. [[email protected]] An`aleg de la funci’o zeta en caracteristica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss.
7. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.
8. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes.
9. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions ciclotmiques.
10. Francesc Bars. [[email protected]] Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.
11. Francesc Bars. [[email protected]] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I 12. Francesc Bars. [[email protected]] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II 13. Francesc Bars. [[email protected]] Aritm`etica de corbes planes no singulars.
14. Francesc Bars. [[email protected]] Forats negres i grups de classes.
15. Josep Maria Burg´es i Joan Mateu. [[email protected], [email protected]] Algunes aplicacions de l’an`alisi complexa a la f´ısica.
1
16. ´Alvaro Corral. [[email protected]] Processos de ramificaci´o a f´ıisica, biologia i als desastres naturals.
17. ´Alvaro Corral. [[email protected]] Huracans: caos o criticitat, i influ`encia del canvi clim`atic.
18. ´Alvaro Corral i Joan Serr`a. [[email protected]] Modelitzaci´o de sistemes complexos per a les composicions musicals.
19. Juli`a Cuf´ı [[email protected]] Prolongaci´o anal´ıtica i superf´ıcies de Riemann
20. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] El Teorema Central del L´ımit per a s`eries lacunars.
21. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] Funcions univalents al disc unitat.
22. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] Iteraci´o de funcions racionals al pla. Els conjunts de Julia i de Fatou.
23. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] Aproximaci´o a la F´ormula de Stirling.
24. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] La constant d’Apery.
25. Eduard Gallego. [[email protected]] Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geom`etriques.
26. Eduard Gallego. [[email protected]] La formula de Gauss-Bonnet en varietats.
27. Armengol Gasull. [[email protected]] Equacions en diferencies.
28. Armengol Gasull. [[email protected]] Equacions diferencials holomorfes.
29. Armengol Gasull. [[email protected]] Equacions diferencials de Riccati i d’Abel.
30. Armengol Gasull. [[email protected]] Els p`endols i la funci´o de per´ıode.
31. Armengol Gasull. [[email protected]] El Teorema de Poincar´e-Miranda amb aplicacions 32. Armengol Gasull. [[email protected]] El m`etode del balan¸c harm`onic.
33. Armengol Gasull. [[email protected]] `Orbites peri`odiques per EDO no aut`onomas.
34. Dolors Herbera. [[email protected]] Matem`atiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzaci´o matem`atica.
35. Dolors Herbera. [[email protected]] Matem`atiques associades als diagrames de Dynkin.
36. Dolors Herbera. [[email protected]] Teoria de les representacions d’`algebres de dimensi´o finita: el tipus finit.
37. Dolors Herbera. [[email protected]] Cluster algebras.
38. Maria Jolis. [[email protected]] Estudi del moviment Browni`a i la seva obtenci´o com a l´ımit de processos m´es senzills.
39. Maria Jolis. [[email protected]] Relacions entre la probabilitat i lan`alisi..
40. Andrei Korobeinikov. [[email protected]] Mathematical modelling of viral evolution, or/and Mathematical modelling of cancer evolution.
41. David Mar´ın. [[email protected]] Geod`esiques sobre superf´ıcies.
42. David Mar´ın. [[email protected]] Webs.
43. Mart´ı Prats. [[email protected]] Teoremes d’extensi´o: .
44. Marc Masdeu. [[email protected]] Teoria dels m`oduls singulars (singular moduli).
45. Marc Masdeu. [[email protected]] Construcci´o de funcions-L p-`adiques.
46. Joan Mateu. [[email protected]] Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids.
47. Joan Mateu. [[email protected]] La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.
48. Tim Myers. [[email protected]] Viewing nanoparticles with visible light.
49. Artur Nicolau. [[email protected]] Teorema de M¨untz Szasz . 50. Artur Nicolau. [[email protected]] TEOREMES DE PICARD.
51. Artur Nicolau. [[email protected]] TEOREMES DE WEIERSTRASS I MITTAG-LEFFLER . 52. Artur Nicolau. [[email protected]] CONJUNTS DE JULIA I CONJUNT DE MANDELBROT . 53. Marcel Nicolau. [[email protected]] Geod`esiques de les superf´ıcies amb curvatura negativa.
54. Marcel Nicolau. [[email protected]] Geod`esiques de les superf´ıcies amb curvatura negativa.
55. Joan Orobitg. [[email protected]] Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.
56. Joan Orobitg. [[email protected]] Zeros de polinomis al pla complex.
57. Francesc Perera. [[email protected]] Anells noetherians i anells de polinomis.
58. Francesc Perera. [[email protected]] Monoides commutatius i condicions de refinament.
59. Francesc Perera. [[email protected]] M`oduls projectius.
60. Francesc Perera. [[email protected]] Categories Abelianes.
61. Francesc Perera. [[email protected]] El semigrup de Cuntz I.
62. Francesc Perera. [[email protected]] El semigrup de Cuntz II (NO ´es una continuaci´o, ni necessita, la part I):
63. Mart´ı Prats. [[email protected]] Teoremes d’extensi´o.
64. Joan Porti. [[email protected]] Teoria de nusos i polinomi de Jones.
65. Joan Porti. [[email protected]] Teoria de Nusos i l’ADN.
66. Joan Porti. [[email protected]] Geometria hiperb`olica plana.
67. Joan Porti. [[email protected]] Geometria hiperb`olica plana.
68. Joaquim Ro´e. [[email protected]] Corbes algebraiques.
69. Joaquim Ro´e. [[email protected]] Valoracions algebraiques.
70. Roberto Rubio [[email protected]] The theory of spinors.
71. Roberto Rubio [[email protected]] Symplectic structures.
72. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Convergence/ equiconvergence of numeric series.
73. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Hardy’s inequality.
74. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Convergence of the Fourier series.
75. Merc´e Villanueva. [[email protected]] Desenvolupament de software matem´atic en teoria de codis.
2 Tipus B. L´ınies tem` atiques dels tutors
1. Agust´ı Revent´os. [[email protected]] Hist`oria de la geometria diferencial 2. Artur Nicolau. [[email protected]] An`alisi matem`atic.
3. David Mar´ın. [[email protected]] Geometria diferencial. Sistemes din`amics.
4. Mart´ı Prats. [[email protected]] Problemes inversos: Regularitzaci´o de Tikhonov An´alisi harm`onica: Operadors pseudodiferencials EDP’s: Aplicacions quasiconformes EDP’s: Superf´ıcies m´ınimes i altres problemes de frontera lliure.
5. Francesc Perera. [[email protected]] `Algebra No Commutativa, `Algebres d’Operadors, Semigrups ordenats.
6. Juan Jes´us Donaire. [[email protected]] Teoria Geom`etrica de funcions. An`alisi Complexa.
7. Llu´ı Quer. [[email protected]] Probabilitat i processos estoc`astics.
8. Marcel Nicolau. [[email protected]] Geometria Diferencial.
9. Sergey Tikhonov. [[email protected]] Fourier analysis, Approximation theory, Real Functions. Topics: Convergence problem of number series, Inequalities for sums, Convergence of Fourier transforms. Maximum number of students: 3
10. Susana Serna. [[email protected]] An´alisis Num´erico.
11. Eduardo Gallego. [[email protected]]
(a) Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperb`olica (Gil Solanes, Eduard Gallego) (b) Hist`oria de la Geometria Diferencial (Agust´ı Revent´os)
12. Gil Solanes. [[email protected]] Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperb`olica.
13. Agust´ın Revent´os [[email protected]] Hist`oria de la Geometria Diferencial.
14. Josep Burgues [[email protected]] Per a un enfoc i tractment rigorosos de la Mec´anica Qu´antica. An´alisi complexa, funcional i real.
15. Ramon Antoine. [[email protected]] Semigrups ordenats, Teoria d’anells i m`oduls.
16. Wolfgang Pitsch. [[email protected]] Topolog´ıa, Topolog´ıa algebraica, `Algebra Homol´ogica, Teor´ıa de nudos.
17. Alejandra Caba˜na [[email protected]] An`alisi de dades funcionals.
18. Natalia Castellana [[email protected] Topologia. Topologia Algebraica
19. Andrei Korobeinikov. [[email protected]] Mathematical modelling cancer evolution, Mathematical modelling viral evolution.
20. Carles Broto. [[email protected]]
(a) Grups de Lie i `algebres de Lie. Cohomologia. Quantificaci´o.
(b) Fibrats. Fibrats principals. Classificaci´o. Teoria K topol`ogica. Temes relacionats.
(c) Funcions reals sobre varietats diferenciables. Punts singulars. Teoria de Morse. Estructura cel·lular.
(d) Extensi´o al cas discret: Funcions de Morse discretes i camps vectorials discrets sobre complexos simplicials. Aquesta versi´o ha rebut molta atenci´o per les seves aplicacions potencials a diferents `ambits incloent-hi Big-Data.
(e) Grups finits. Estructura local: teoremes de Sylow, teorema de fusi´o dAlperin, sistemes de fusi´o i axiomes de saturaci´o. El sistema de fusi´o ex`otic de Solomon.
21. `Angel Calsina. [[email protected]] Equacions en derivades parcials de la din`amica de poblacions. Condicions de frontera no lineals
22. Alvaro Gonzalez. [[email protected]] Fractales, multifractales y procesos puntuales aplicados a fen´omenos naturales. (En colabo- raci´on con ´Alvaro Corral).
23. Joaquim Mart´ın. [[email protected]]
(a) Interpolaci´o i extrepolaci´o d’operadors.
(b) Espais Sobolev. Espais de Besov
3 Resums dels treballs tipus A
Processos de ramificaci´o a f´ıisica, biologia i als desastres naturals.
Tutor: ´Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matem`atica.
Objectius: Donar a con`eixer a l’alumne les aplicacions interdisciplin`aries d’aquests models estoc`astics.
Breu descripci´o: Estudi bibliogr`afic i simulaci´o de Monte Carlo de variacions del model de Galton-Watson.
Huracans: caos o criticitat, i influ`encia del canvi clim`atic.
Tutor: ´Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matem`atica
Objectius: Explorar comportaments b`asics de la teoria del caos i la criticitat auto-organitzada i verificar la seva ocurr`encia als ciclons tropicals.
Breu descripci´o: An`alisi de models simplificats d’aquests fen`omens i veure els possibles efectes de pertorbacions clim`atiques.
Modelitzaci´o de sistemes complexos per a les composicions musicals.
Tutors: `Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matem`atica.
Joan Serr`a, Institut d’Investigaci´o en Intel·lig`encia Artificial (IIIA-CSIC)
Objectius: Entendre eines b`asiques de l’estudi de la complexitat i aplicar−les a enregistraments de can¸cons o partitures musicals.
Breu descripci´o: Programaci´o algor´ımica de diverses t`ecniques d’an`alisi seq¨uncial i estudi dels resultats a la m´usica.
Mathematical modelling of viral evolution, or/and Mathematical modelling of cancer evolution.
Tutor: Andrei Korobeinikov
Short project description: Viral and cancer evolution is the most important single factor accountable for appearance of new pathogens and making treatment of infectious diseases and cancer difficult. Despite its apparent practical relevance, very little of mathematical job was done so far in this direction. Students will work in mathematical modelling of cancer cell and viral evolution. Also see:
http://www.crm.cat/en/Research/ResearchGroups/MathematicalEpidemiology/Pages/default.aspx http://www.crm.cat/en/Research/ResearchGroups/MathematicalEpidemiology/Pages/default.aspx The group can allocate Up to five students.
Teorema de M¨untz Szasz . Tutor: Artur Nicolau
El Teorema de M¨untz-Szasz ´es una extensi´o natural del Teorema de Weierstrass d’aproximaci´o a un interval tancat de funcions continues per polinomis. El treball s’organitzar´a en dues parts. En primer lloc es tractar´a d’adquirir els elements d’an´alisi complexa i d’an´alisi
funcional que es necesiten per entendre la demostraci´o del Teorema. La segona part del treball consistir´a en explorar versions del resultat en diverses variables.
TEOREMES DE PICARD.
Tutor: Artur Nicolau
Aquest projecte ´es una continuaci´o natural d’alguns temes de l’assignatura d’An´alisi Complexa. Es tracta de demostrar els Teoremes petit i gran de Picard sobre el comportament d’una funci´o holomorfa a la vora d’una singularitat essencial. Tamb´e es construir´a la funci´o modular i depenent de l’interes, es podria continuar amb els Teoremes d’Schottky i Bloch.
TEOREMES DE WEIERSTRASS I MITTAG-LEFFLER . Tutor: Artur Nicolau
S’estudiar´a la converg`encia de productes infinits i s’entendr´a la seva relevancia en l’an´alisi complexa cl´asica, considerant desenvolupaments de funcions habituals en productes infinits. S’estudiar´a la f´ormula de Jensen i es demostraran els Teoremes de Weierstrass i Mittag-Leffler.
Tamb´e s’estudiaran els zeros de les funcions holomorfes i acotades al disc unitat.
CONJUNTS DE JULIA I CONJUNT DE MANDELBROT . Tutor: Artur Nicolau
Aquest ´es un projecte que involucra nocions d’an`alisi complexa i de sistemes din`amics. Es tracta d’estudiar la noci´o de fam´ılia normal de funcions holomorfes i la definici´o de conjunt de Julia i de Fatou. Es veuran exemples que mostraran l’estructura fractal d’aquests conjunts. Es veuran propietats elementals dels conjunts de Julia i s’introduir`a el conjunt de Mandelbrot.
Geod`esiques sobre superf´ıcies.
Tutor: David Mar´ın
Recordar el teorema de Clairaut sobre les geod`esiques a les superf´ıcies de revoluci´o a l’espai i estudiar el primer exemple que no ´es de revoluci´o, l’el.lipsoide de tres di´ametres diferents, amb l’ajut d’un sistema de qu´adriques triplement ortogonal.
Webs.
Tutor: David Mar´ın
Interpretar geom`etricament una equaci´o diferencial ordinaria impl´ıcita des del punt de vista local i estudiar alguns dels seus invariants com la curvatura de Blaschke i les relacions abelianes.
Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.
Tutor: Francesc Bars
La funci exponencial de Carlitz ´es un analeg en caracteristica positiva de la funci exponencial. Els nombres complexos s´on substituits per un altre cos i que t´e una propietat peculiar, hi ha xarxes de rang tan gran com volem. Un com hem entengut l’anlisi involucrat i definir la exponencial de Carlitz, els nombres de Bernouilli-Carlitz apareixen de manera anloga com surten per la exponencial complexa, aqu el desenvolupament en series via el factorial es canvia per un factorial convenient. s un problema obert estudi de congru`encies entre aquests nombres, el problema clssic va ser resolt per Kummer, congru`encies de Kummer.
Referncies:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009.To appear
An`aleg de la funci’o zeta en caracteristica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss.
Tutor: Francesc Bars
Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit Fq i considera la suma ζ(n) = X
amonic
1 an
Donem un sentit anal´alitic a l’expressi´o donant un valor. Estudiareu si aquests valors s´on algebraics o no, si es pot escriure un an`aleg de funci´o zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equaci´o funcional. El treball ha de centrar-se en definir i treballar una modificaci´o de la funci´o zeta de Carlitz proposada pel professor Federico Pellarin (2010) i el valor d’aquesta funci´o en el 1, fent una introducci´o a la funci´o zeta de Carlitz i l’analogia amb la funcio zeta de Riemann.
Refer`encies:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009.To appear
Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.
Tutor: Francesc Bars
s demostrar el teorema de Weber que afirma que tota extensi´o finita K/Q Galois amb grup de Galois abeli`a est`a que K ⊆ Q(e2πi/m) per cert m.
Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes.
Tutor:
Francesc Bars
El treball vol demostrar que tota extensi´o finita L/Fq(t) Galois amb grup de Galois abeli`a compleix que L ⊆ Fq(t)[CL] on CL ´es certa torsi´o del m`odul de Carlitz (o de Drinfeld). s pot fer el cas general de Drinfeld en un dels papers clau qu van fer concedir-li la medalla Fields.
Bibliografia:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer, 1996.
Dinesh Thakur: Function Field Arithmetic. Academic Press.
Extensions ciclotmiques.
Tutor: Francesc Bars
Ja heu vist que el primer lloc on apareixen les extensions ciclot`omiques en l’estudi de la resolubilitat de les equacions per radicals. Aquest tema consisteix en un estudi profund d’extensions ciclot`omiques.
Referncies:
D. Washington: Cyclotomic Fields, GTM, Springer.
S. Lang: Cyclotomic Fields I, II. GTM, Springer.
Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.
Tutor: Francesc Bars
Un dels resultats matem`atics m´es importants en els ´ultims anys ´es la demostraci´o de Andrew Wiles de l’´ultim teorema de Fermat, ´es a dir que l’equaci´o Xn+ Yn= Zn amb n ≥ 3 no t´e cap soluci´o amb XY Z 6= 0 amb X, Y, Z ∈ Z.
Fixeu-vos que podem escriure l’equaci´o en l’anell Z[e2πi/n] mitjan¸cant:
n
Y
j=1
(X + e2πij/nY ) = Zn
i per tant una primera idea per atacar l’´ultim Teorema de Fermat ´es estudiar factoritzacions d’elements en l’anell Z[e2πi/n].
Lamm´e en l’any 1847 va presentar una demostraci´o en l’Acad`emia de les Ci`encies de Paris. Kummer ja sabia que era err`onea la demostraci´o. Perqu`e? Doncs la demostraci´o de Lamm´e suposava que l’anell Z[e2πi/n] era un DFU (domini de factoritzaci´o ´unica) i Kummer ja havia demostrat en l’any 1844 que per tan sols un nombre finit de n l’anell Z[e2πi/n] ´es un DFU.
El treball consisteix en treballar propietats dels anells Z[e2πi/n] o m´es en general del que es coneixen actualment dels anells anomenats dominis de Dedekind, un cas concret s´on els anells Z[e2πi/n]. En particular el treball consisteix en demostrar que aquests anells tenen factoritzaci´o ´unica amb ideals. Si l’alumne t´e m´es inter´es i vol aprofundir m´es, podr`a intentar donar unes traces de la prova del teorema de Fermat per a primers regulars obtinguda per Kummer (resultat m´es important del teorema de Fermat fins que el 1995 Wiles enunciava una demostraci´o modular seguint la idea de Frey que traslladava el teorema de Fermat al camp modular de corbes el.l´ıptiques).
Algunes referncies:
Dino Lorenzini: “An invitation to Arithmetic Geometry”. Chapter I and III§1 − 4. SGM volum 9, American Mathematical Society.
M.F.Atiyah-I.G.Macdonald: “Introducci´on al ´Algebra conmutativa”. Ed. Revert´e. Cap´ıtol 9.
Z.I.Borevich-I.R.Shafarevich:“Number Theory”, Academic Press. Chapter III.
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 4.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I Tutor: Francesc Bars
Considerem la funci´o zeta de Riemann
ζ(s) :=
∞
X
n=1
1
ns (1)
per s ∈ C amb Re(s) > 1, on Re(s) denota la part real del nombre complex s.
Euler als 28 anys va aconseguir sumar ζ(2k)π−2k ∈ Q amb k ≥ 1 un natural. Primer misteri de la funci´o zeta: en els enters positius 2k existeix un nombre transcendent Ω2k sobre Q (anomenat un per´ıode) on ζ(2k)/Ω2k ´es un nombre racional!! conjecturalment aquesta propietat passar`a per ζ(2k + 1) amb k ≥ 1.
Euler als 30 anys va demostrar que la funci´o zeta t´e un producte d’Euler, ´es a dir:
ζ(s) = Y
p primer
(1 − p−s)−1, Re(s) > 1
Euler als 32 anys va avaluar els valors ζ(1 − d) amb d ≥ 1 natural, per`o us preguntar´ıeu: com? Fins ara ζ(s) sol est`a definida per a Re(s) > 1!!! Us recomano llegir la primera refer`encia.
Riemann uns anys m´es tard, va formalitzar ζ(s) per a Re(s) ≤ 1, on tan sols per Re(s) > 1 ´es de la forma anterior (1). Per exemple Euler afirmava:
ζ(0) = −1
2, ζ(−1)−1
12, ζ(−11) = 691 2332· 5 · 7 · 13,
Amb la definici´o formal de Riemann per a ζ(s) amb Re(s) ≤ 1, els valors que va donar Euler s´on els correctes !!!!!
Igualment Euler comparant els valors entre d i 1 − d va obtenir una equaci´o que relacionava la funci´o zeta de Riemann avaluada en s amb la funci´o zeta de Riemann avaluada en 1 − s amb s enter. Amb el anys, va ser Riemann qui demostra formalment aquesta equaci´o:
escrivim Z(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) on la funci´o Γ ´es relacionada amb la funci´o apareguda a probabilitat, tenim una equaci´o que relaciona ζ(s) amb ζ(1 − s), mitjan¸cant (segon fet sorprenent)
Z(s) = Z(1 − s).
Quan Z(s) = 0? Riemann va conjecturar (i tamb´e ja ho havia afirmat Euler abans!!!) que aix`o succeir`a tan sols quan Re(s) = 1/2, aquest ´es un altre dels problemes que l’Institut Clay premia amb un mil.li´o de d`olars.
B´e fixem-nos en els seg¨uents fets sorprenents de la funci´o zeta de Riemann: t´e un producte d’Euler, s’est´en a una funci´o anal´ıtica a tots els nombres complexos, admet una equaci´o funcional i misteriosament avaluada als enters apareixen certs valors racionals. Anem a aprofundir en aquesta ´ultima propietat.
T´e alg´un significat aritm`etic ζ(0) = −1/2? S´ı! El resultat 1/2 per ζ(0) ´es el cas concret de la famosa f´ormula de nombre de classes aplicada al cos Q, per exemple el 2 apareix perqu`e ´es el nombre d’arrels de l’unitat que t´e el cos Q, que s´on {1, −1}.
Anem tot seguit a buscar resultats aritm`etics als altres valors de la funci´o zeta avaluada als enters.
De l’equaci´o funcional podem relacionar ζ(r) amb ζ(1 − r) per tant centrem-nos amb r estrictament negatius per a buscar el significat aritm`etic del valor racional que surt. Es demostra que ζ(r) ∈ Q per un enter r negatiu i tan sols ens interessa el significat per r senars ja que en els parells ζ(r) s’anul.la (recordeu la dificultat per ζ(1 + r) si r ´es parell!!). Kummer va donar quins denominadors han de sortir i congru`encies modul primer p per a diversos d’aquests r. Anem per`o a preguntar-nos sobre el significat que aporta que un nombre que surt al numerador de ζ(−2` − 1) amb ` ∈ N . Recordeu per exemple que ζ(−11) = 2332691·5·7·13, hi ha un significat aritm`etic en el fet que surti 691, i que aquest surti en avaluant-ho al n´umero -11?
Doncs la resposta ´es SI!!!! Per a justificar que surt el 691 ´es gr`acies al que s’anomena el criteri de Kummer, que afirma p divideix el numerador de ζ(r) per algun r negatiu senar si i nom´es si aquest primer apareix en l’ordre d’un grup associat al cos Q(e2πi/p) (aquest grup s’escriu Cl(Q(e2πi/p)), m`agic no? Per`o l’anterior criteri de Kummer no ens explica quin paper hi juga el 11. Perqu`e el 691 surt en avaluar al -11? B´e per aix`o s’usa la teoria Iwasawa, teoria molt t`ecnica per`o molt interessant, i resulta que -11 apareix en un factor de fer la descomposici´o del grup Cl(Q(e2πi/691) via l’acci´o del grup Gal(Q(e2πi/691)/Q), aquests resultats en teoria Iwasawa corresponen ja a l’any 1976!!
El treball consisteix en l’estudi aritm`etic dels valor enters de la funci´o zeta, les congruncies de Kummer (congruncies entre nombres de Bernouilli) el teorema de van Staudt i si hi ha molta energia el criteri de Kummer.
Referencies:
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 3.
J. Neukirch:“Algebraische Zahlentheroie”, Springer. Tamb´e tradu¨ıt a l’angl`es. Kapitel VII-§1.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II Tutor: Francesc Bars
Intentar plantejar la hip`otesi de Riemann i els diversos punts de vista per tal que els zeros es trobin tots a 1/2.
Aritm`etica de corbes planes no singulars.
Tutor: Francesc Bars
La tesis del meu estudiant Eslam Badr aportem un estudi general de corbes planes no singulars majorit`ariament en caracter´ıstica zero amb automorfismes, respecte el loci dins l’espai de moduli. (Veieu papers de la tesis de l’Eslam Badr a la meva web). Un exemple de corba plana ´es l’equaci´o de Fermat Xn+ Yn = Zn., en general una corba plana no singular es certa expressi´o polinomial de grau d homogeni amb les variables X,Y,Z sota certes condicions.
El treball pot estudiar preguntes que queden obertes de la tesis, sobre cossos finits de caracter´ıstica positiva petita, un estudi dels punts de certes corbes que no siguin la de Fermat ni la de Klein,... i per tant podria ser un treball original.
Forats negres i grups de classes.
Tutor: Francesc Bars
Entendre els resultats del treball: BLACK HOLES AND CLASS GROUPS, NATHAN BENJAMIN1, SHAMIT KACHRU1, KEN ONO2, AND LARRY ROLEN. arXiv:1807.00797v1
Anells noetherians i anells de polinomis.
Tutor: Francesc Perera
Els anells noetherians formen una classe ´amplia danells. S’estudiar´a aquesta noci´o en el cas no commutatiu, amb la qual cosa cal distingir entre anell noetheri´a dreta o esquerra. Una segona part del treball consisteix en analitzar la classe dexemples anomenats anells de polinomis skew (dels quals els anells de polinomis de tota la vida en s´on un cas particular). Un dels objectius es provar el teorema de la base de Hilbert: si R ´es un anell noetheri`a (dreta), llavors l’anell de polinomis R[x] tamb´e. (Es provar`a la versi´o m´es general utilitzant polinomis skew). Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent: 1) M`oduls sobre un anell. Definicions, exemples. 2) Anells noetherians. Exemples. 3) Condici´o de cadena ascendent: M´oduls noetherians 4) Anells de polinomis skew. El teorema de la base.
Monoides commutatius i condicions de refinament.
Tutor: Francesc Perera
Un monoide commutatiu ´es un conjunt amb una operaci´o aditiva, associativa i commutativa i un element neutre. Un exemple obvi ´es el conjunt dels naturals (juntament amb el zero). L’objectiu del treball ´es analitzar les propietats b´asiques daquests objectes, i estudiar la classe dels monoides que satisfan la condici´o anomenada refinament. S’estudiaran tamb´e condicions de cancel·laci´o en aquests objectes, amb aplicacions a problemes de cancel·laci´o dels anomenats m`oduls Noetherians.
M`oduls projectius.
Tutor: Francesc Perera
Els m`oduls projectius juguen un paper important en diversos aspectes de l’ ´Algebra Moderna. En particular, en aspectes de la Teoria K.
En aquest treball es proposa estudiar les propietats b´asiques d’aquesta noci´o (i de la seva dual, els m`oduls injectius). Un dels objectius es provar el teorema de Kaplansky, del 1958, sobre l’estructura de m`oduls projectius. Si el temps ho permet, es pot analitzar una caracteritzaci´o de m`oduls projectius comptablement generats, deguda a Puninski el 2007.
Categories Abelianes.
Tutor: Francesc Perera
El llenguatge de categories ha aparegut en diversos aspectes del grau, sense ser explicitat (la majoria de vegades). Per exemple, els conjunts, juntament amb les aplicacions de conjunts, formen una categoria; tamb´e ho s´on els grups, amb els morfismes de grups, o b´e els espais vectorials, juntament amb les aplicacions lineals; i els m`oduls sobre un anell, amb els morfismes de m`oduls. En aquest treball es proposa una introducci´o a aquest llenguatge, amb `emfasi en el cas particular de categories abelianes; d’una manera informal, s´on aquelles que es comporten de manera similar a la categoria dels espais vectorials o, m´es precisament, a la categoria dels m`oduls sobre un anell.
Un dels objectius del treball ´es provar el Teorema de Freyd-Mitchell, que permet veure una categoria abeliana abstracta com a categoria de m`oduls sobre un anell.
El semigrup de Cuntz I.
Tutor: Francesc Perera
El semigrup de Cuntz ´es un invariant (algebraic i topol`ogic) associat a una C*-`algebra qualsevol, i est´a modelat a partir de l’anomenat semigrup de Murray-von Neumann.
Es doncs, un invariant de naturalesa K-teor`´ etica que, de fet, codifica aspectes de teoria K, aix´ı com l’estructura d’ideals de l’´algebra de la qual prov´e. L’objectiu del treball ´es estudiar aquesta associaci´o, i determinar alguns exemples.
El semigrup de Cuntz II (NO ´es una continuaci´o, ni necessita, la part I):
Tutor: Francesc Perera
Els semigrups de Cuntz abstractes s´on una classe de semigrups definida a trav´es de quatre axiomes, que els converteixen en objectes algebraics i topol`ogics al mateix temps (amb l’anomenada topologia d’Scott, que ´es t´ıpicament no Hausdorff). L’objectiu del treball ´es
estudiar alguns teoremes estructurals d’aquests objectes, com ara l’estructura dels anmenats ideals, aix´ı com construccions naturals que proporcionen una font d’exemples.
Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids.
Tutors: Joan Mateu
En din`amica de fluids, les equacions d’Euler s´on les que descriuen el moviment d’un fluid compressible no visc´os. La seva expressi’´o correspon a les equacions de Navier-Stokes quan les components dissipatives s´on menyspreables enfront de les convectives. En aquest treball ens proposem estudiar els conceptes de vorticitat i fluids incompressibles a m´es de revisar alguns conceptes de equacions en derivades parcials que ens poden ser d’utilitat.
La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.
Tutor: Joan Mateu
Aquest treball es pot considerar una introducci´o a la teoria d’integrals singulars, que ´es un dels camps de la matem´atica en els quals s’ha estat treballant m´es durant els darrers 50 anys, obtenint-se molt bons resultats. La transformada de Hilbert que sorgeix de l’estudi de les propietats de la funci´o harm`onica conjugada ´es el primer exemple de integral singular. En aquest treball es tractaria d’entendre les propietats de la tansformada de Hilbert i la seva acotaci sobre els espais Lp.
Algunes aplicacions de l’an`alisi complexa a la f´ısica.
Tutors: Josep Maria Burg´es i Joan Mateu
L’objectiu d’aquest treball fi de grau ´es utilitzar eines d’an`alisi complexa en certs problemes de la f´ısica i de la t`ecnica en dos dimensions.
Les aplicacions proposades tenen relaci´o amb Hidrodin`amica, Din`amica de gasos, Electricitat i Elasticitat.
Teoria de nusos i polinomi de Jones.
Tutor: Joan Porti.
Es comen¸ca veient les definicions de teoria de nusos, ´es a dir subvarietats a l’espai homeomorfes al cercle. Treballarem amb projeccions de nusos al pla i el primer resultat important ´es el teorema d’Alexander, que ens diu que dues projeccions s´on equivalents si i nom´es si es pot passar d’una a l’altra mitjan¸cant una seq¨u`encia de moviments de Reidemeister. A partir d’aquest teorema, es poden construir invariants de nusos, com ara el polinomi de Jones, pel qual obtingu´e la medalla Fields l’any 1990.
El llibre per treballar ´es: Murasugi, Kunio: Knot theory and its applications. Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. viii+341 pp.
ISBN: 0-8176-3817-2
Teoria de Nusos i l’ADN.
Tutor: Joan Porti.
La teoria de nusos proposa models per entendre certs processos de recombinaci´o de les cadenes d’ADN. En aquest treball es descriur´a el model que s’utilitza per l’acci´o d’un enzim determinat. Aix`o porta a treballa la noci´o de ”tangle” i de nus racional.
Es seguir´a el cap´ıtol 13 del llibre de Murasugi: Murasugi, Kunio: Knot theory and its applications. Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. viii+341 pp. ISBN: 0-8176-3817-2.
Geometria hiperb`olica plana.
Tutor: Joan Porti.
Es comen¸ca introduint els diferents models del pla hiperb`olic. Se n’estudia la geometria hiperb`olica plana, en particular les nocions cl´assiques: geod`esiques, volum, angles, pol´ıgons, etc. Tamb´e es pren el punt de vista d’accions de grups discrets d’isometries i es construeixen m`etriques hiperb`oliques en superf´ıcies compactes.
Refer`encia principal: Anderson, James W. Hyperbolic geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London, 1999. x+230 pp. ISBN: 1-85233-156-9.
Topologia computacional.
Tutor: Joan Porti.
Es tractaran alguns temes de topologia des del punt de vista computacional i algor´ıtmic. Els temes s´on els grafs, el teorema de la corba de Jordan i els nusos i enlla¸cos. No es demanar`a la demostraci´o dels resultats per`o si la implementaci´o d’alguns dels d’algorismes.
El contingut ´es el cap´ıtol 1 de: Edelsbrunner, Herbert; Harer, John L. Computational topology. An introduction. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xii+241 pp. ISBN: 978-0-8218-4925-5.
Teoria dels m`oduls singulars (singular moduli).
Tutor: Marc Masdeu.
Es molt famosa la seg¨´ uent “coincid`encia num`erica”:
eπ
√163' 262537412640768743.99999999999925 . . .
Sembla que una combinaci´o de quantitats transcendents (e i π) amb nombres algebraics (√
163) resulti en un nombre enter. De fet, el valor exacte del membre de l’esquerra no ´es enter (ni tan sols racional) per`o s’hi apropa molt!
L’objectiu del treball ´es el d’entendre d’on surt aquesta “coincid`encia”. Aix`o ens dur`a a estudiar funcions modulars i els seus valors en punts quadr`atics, que ´es el comen¸cament d’una teoria d’una enorme bellesa.
Bibliografia:
* Cox, D.A. “Primes of the form x2+ ny2”.
Construcci´o de funcions-L p-`adiques.
Tutor: Marc Masdeu.
Considerem la funci´o zeta de Riemann, que es defineix com ζ(s) =P
n≥1n−s per s > 1. Fixem tamb´e un primer p. El treball consistir`a en entendre qu`e vol dir que aquesta funci´o (que pren valors complexos, en general) es pugui “interpolar p-`adicament”. Aquest proc´es d´ona lloc a una “versi´o p-`adica”, posem ζp(s), on ara tant la variable s com els valors que pr`en la funci´o s´on nombres p-`adics. De l’exist`encia d’aquesta versi´o p-`adica se’n poden extreure propietats importants de la funci´o complexa ζ(s) original
Bibliografia:
* Koblitz, N. “p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions”.
* Iwasawa, K. “Lectures on p-adic L-functions”.
Geod`esiques de les superf´ıcies amb curvatura negativa.
Tutor: Marcel Nicolau.
La curvatura d’una superf´ıcie condiciona el comportament din´amic del flux geod`esic, ´es a dir del sistema din´amic continu determinat per les geod`esiques. El flux geod`esic de les superf´ıcies amb curvatura negativa t´e propietats especialment remarcables. En aquest cas el flux geod`esic ´es ca`otic en el sentit de Devaney (teorema d’Anosov) i est´a topol`ogicament determinat pel grup fonamental de la superf´ıcie, ´es a dir que superf´ıcies amb el mateix grup fonamental tenen fluxos geod`esics topol`ogicament conjugats (teorema de Gromov).
L’objectiu del treball ´es descriure el flux geod`esic de les superf´ıcies compactes hiperb`oliques, ´es a dir amb curvatura constant negativa, i estudiar alguna de les propietats de la seva din´amica.
Bibliografia:
Ghys, Etienne G´eod´esiques sur les surfaces ´a courbure negative. http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/geodesiquessurfaces.pdf
Manning, Anthony Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature. Ergodic theory, symbolic dynamics, and hyperbolic spaces (Trieste, 1989), 71−91, Oxford Univ. Press, New York, 1991
Geod`esiques de les superf´ıcies amb curvatura negativa.
Tutor: Marcel Nicolau
Els grups de Lie, com per exemple el grup ortogonal O(n) o els grups unitaris U(n) i SU(n), apareixen de forma natural com grups de simetries cont´ınues de determinades estructures geom`etriques i s´on centrals en moltes branques de les matem´atiques i de la f´ısica.
En el seu estudi, les ´algebres de Lie (que es poden entendre com l’aproximaci´o lineal dels grups de Lie) i les seves representacions s´on fonamentals.
L’objectiu del treball ´es descriure les representacions irreductibles dels grups de Lie compactes com representacions en espais de funcions (teorema de Peter i Weyl) especiacialitzant-lo en algun grup de particular inter`es en la f´ısica o la geometria.
Bibliografia:
Br¨ocker, Theodor - tom Dieck, Tammo Representations of Compact Lie groups Springer, 1985 Viewing nanoparticles with visible light.
Tutor: Tim Myers
Visible light ranges from 390 - 700nm, and so it is commonly thought that it cannot be used to view nanoparticles. However, although the particle cannot be seen, the light it emits interferes with the incoming rays, leading to a diffraction pattern. From this pattern the position of a particle can be inferred. The ability to find particles is important when making materials with embedded nanoparticles, where the distribution affects the properties. Using visible light to find the particles is orders of magnitude cheaper and faster than using any form of electron microscope.
The project involves simple mathematics: calculating an interference pattern and then comparing to experimental data to finally determine the position of the invisble nanoparticle!
Equacions en diferencies.
Tutor: Armengol Gasull
Tot i que durant els estudis de Matem`atiques les equacions en diferencies han pogut anar apareixent a diferents assignatures: Successi´o de Fibonacci estudiant `algebra lineal, per a estudiar la converg`encia dels m`etodes num`erics de resoluci´o d’equacions diferencials, com exemples de sistemes din`amics discrets, . . . , no s’ha fet cap estudi sistem`atic de les mateixes. L’objectiu d’aquest Treball Dirigit ser`a aprofundir en l’estudi d’aquestes equacions, tant en el cas lineal (prestant especial atenci´o en els models de poblacions estructurats per edats, anomenats models de Leslie), com en el cas no lineal. En particular veurem com aquestes apareixen en la modelitzaci´o de problemes en Ecologia, Economia,....
Equacions diferencials holomorfes.
Tutor: Armengol Gasull
Les equacions diferencials de la forma z0 = f (z), on z ´es un nombre complex i f ´es una funci´o holomorfa tenen moltes propietats interessants quan es pensen com equacions diferencials al pla (x, y), on z = x + iy. Per exemple: els punts cr´ıtics no tenen sectors parab`olics ni el.liptics, tots el centres son is`ocrons, no tenen cicles l´ımit,... En aquest treball s’estudiaran totes aquestes propietats i moltes d’altres, posant un especial `emfasi en els casos en que f ´es o be un polinomi o una funci´o racional. En particular es demostraran resultats de conjugaci´o holomorfa entre z0 = f (z) en un entorn del punt cr´ıtic amb altres equacions diferencials molts m´es senzilles.
Aquest resultats es poden interpretar com un Teorema de Hartman millorat en aquest context. L’eina principal ser`a el conegut com m`etode homot`opic. Finalment s’estendran els resultats a les equacions z0 = f (z)g(z), les quals tenen el mateix retrat de fase que les holomorfes, per`o no mantenen la isocronia dels centres.
Equacions diferencials de Riccati i d’Abel.
Tutor: Armengol Gasull
Les equacions diferencials no lineals m´es senzilles s´on les ED de Riccati i les d’Abel. Aquestes equacions son casos particulars (n = 2 i n = 3, respectivament) de la familia d’ED polinomials en x,
dx
d t = an(t)xn+ an−1(t)xn−1+ · · · + a1(t)x + a0(t).
En aquest treball es proposa estudiar, tant propietats de aquesta familia d’ED com la seva relaci´o amb temes cl`assics i actuals de recerca. Per exemple: el problema XVI de Hilbert, el seu n´umero de solucions peri`odiques, el conegut com problema dels moments, la caracteritzaci´o dels “centres”, la seva integrabilitat, les seves pertorbacions i les funcions de Melnikov associades, l’estudi de la exist`encia i n´umero de solucions polinomials o racionals, . . . Com a motivaci´o addicional, s’estudiaran problemes de modelitzaci´o on aquestes equacions juguen un paper fonamental. Aix´ı, per exemple, es veur`a com l’estudi d’una equaci´o de Riccati va ser fonamental en l’implantaci´o de la vacunaci´o com a m`etode per a controlar la verola.
Els p`endols i la funci´o de per´ıode.
Tutor: Armengol Gasull
L’estudi del p`endol cl`assic i altres extensions es remonta als temps de Galileu. En general el seu moviment ve modelat per un sistema Hamiltoni`a de tipus potencial, que ´es integrable i amb un retrat de fase senzill. En aquest treball estudiarem la anomenada “funci´o de per´ıode” associada a aquest sistema. Aquesta funci´o associa a cada `orbita peri`odica el seu per´ıode en termes de l’energia de la corresponent
`
orbita. Ens centrarem en buscar propietats d’aquesta funci´o. Aix´ı, caracteritz`arem quan ´es constant (isocronia), mon`otona, o quantes oscil.lacions presenta. S’estudiaran tamb´e treballs recents que tracten aquest tipus de questions.
El Teorema de Poincar´e-Miranda amb aplicacions Tutor: Armengol Gasull
El teorema de Poincar´e-Miranda ´es una extensi´o del teorema de Bolzano a dimensi´o n. Va ser usat per primer cop per Poincar´e el 1883. M´es endavant, Miranda a 1940 va provar que ´es equivalent al teorema del punt fix de Brouwer. Es proposa estudiar la seva demostraci´o i aplicar-lo a diversos problemes. En particular es veur`a la seva utilitat en diverses q¨uestions relacionades en l’exist`encia d’`orbites peri`odiques, tant d’equacions diferencials, com de sistemes din`amics discrets. Finalment s’aplicar`a a donar fites inferiors del n´umero de solucions (amb components positives) de sistemes d’equacions polinomials en termes del seu n´umero de monomis, en la l´ınia del que ens assegura la regla de Descartes per polinomis en una variable.
El m`etode del balan¸c harm`onic.
Tutor: Armengol Gasull
Les solucions peri`odiques d’una equaci´o diferencial es poden aproximar per les seves corresponents series de Fourier. El m`etode del balan¸c harm`onic (MBH) ´es un m`etode heur´ıstic per a trobar aquestes aproximacions que es utilitzat sovint en treballs de f´ısica i enginyeria.
L’objectiu d’aquest treball ser`a aplicar el MBH a certes fam´ılies d’equacions diferencials, tant per aproximar les seves solucions peri`odiques com els seus corresponents per´ıodes, aix´ı com estudiar resultats te`orics que permeten assegurar que prop de les solucions aproximades obtingudes hi ha veritables solucions peri`odiques de l’equaci´o diferencial. Tamb´e es plantejaran m`etodes alternatius al MBH que intenten donar aproximacions m´es acurades de les series de Fourier de les `orbites peri`odiques.
Orbites peri`` odiques per EDO no aut`onomas.
Tutor: Armengol Gasull
En aquest treball s’estudiar`a com controlar el n´umero d’`orbites peri`odiques que bifurquen d’una EDO no aut`onoma a Rn, que presenta continus d’`orbites peri`odiques, a partir de les seves equacions variacionals d’ordre k associades. Es veur`a com, usant aquest m`etode, la q¨uesti´o es redueix a un problema de buscar solucions d’un sistema d’equacions. S’aplicaran les t`ecniques desenvolupades a diversos situacions. En particular, a l’estudi del n´umero de cicles l´ımit de certes EDO aut´onomas al pla.
Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geom`etriques.
Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego
En poques paraules una valoraci´o ´es un funcional additiu sobre el conjunt de convexos. La caracter´ınstica d’Euler i el volum s´on valoracions. El teorema de Hadwiger diu que les valoracions cont´ınnues i invariants per isometries a l’espai euclidi`a s´on un espai vectorial generat per la caracter´ıntica d’Euler, el volum i els volums intr´ınnsecs. En aquest treball es s’hauria d’estudiar la demostarci´o de Klain d’aquest teorema i veure les implicacions que te en geometria integral i probabilitats geom`etriques.
La formula de Gauss-Bonnet en varietats.
Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego
Un dels teoremes m´es importants en geometria diferencial ´es el teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la geometria m`etrica de la varietat amb la seva topologia.
En aquest treball s’haur`a d’enunciar la versi´o que Chern va donar de la formula de Gauss-Bonnet. Per arribar a a aquest punt caldr`a passar pels fibrats, les connexions i les classes caracter´ınstiques.
Estudi del moviment Browni`a i la seva obtenci´o com a l´ımit de processos m´es senzills.
Tutor: Maria Jolis
El moviment Browni´a o proc´es de Wiener ´es un proc´es estoc`a stic (un proc´es estoc`astic ´es una fam´ılia de variables aleat`ories que van variant en el temps) que interv´e en la modelitzaci´o matem`atica de sistemes que apareixen a la f´ısica, la enginyeria , les finances,.. i que
es caracteritzen per una forta impredictibilitat degut a la pres`encia de pertorbacions aleat`ories molt intenses. Lobjectiu del treball seria estudiar les propietats m´es importants daquest proc´es i veure com es pot obtenir com a l´ımit (en llei) daltres processos m´es senzills com el passeig aleatori i daltres de caracter´ıstiques semblants.
Relacions entre la probabilitat i lan`alisi..
Tutor: Maria Jolis
Es ben conegut que lan`´ alisi, sobretot la teoria de la mesura, ´es una de les eines principals utilitzades en el desenvolupament de la teoria de la probabilitat. No ´es tan conegut, per`o, que les eines probabil´ıstiques tamb´e ajuden a resoldre problemes de lan`alisi (incloent-hi lan`alisi num`erica i les equacions en derivades parcials). Lobjectiu daquest treball ´es veure algunes daquestes aplicacions de la probabilitat, amb
`emfasi especial en laplicaci´o de les Lleis dels Grans Nombres, el Teorema Central del L´ımit i la Llei del Logaritme Iterat.
Desenvolupament de software matem´atic en teoria de codis.
Tutor: Merc´e Villanueva. Departament d’Enginyeria de la Informaci´o i de les Comunicacions.
Descripci´o: En aquest projecte es pret´en dissenyar i implementar algunes funcions per a ser afegides en un llibreria de MAGMA sobre codis no lineals ja existent i en proc´es de desenvolupament amb la finalitat final de ser incorporada en la distribuci´o oficial de MAGMA.
Els codis q-aris no lineals no han estan tant estudiats com els codis lineals degut a la seva dificultat de representaci´o. Darrerament s’ha proposat una representaci´o basada en el kernel del codi que, en alguns casos, permet una bona representaci´o i manipulaci´o. L’objectiu del projecte ´es, aprofitant aquesta representaci´o, desenvolupar una llibreria de funcions en els sistema MAGMA per tal de manipular aquests codis de forma eficient.
MAGMA is a large, well-supported software package designed to solve computationally hard problems in algebra, number theory, geometry and combinatorics. It provides a mathematically rigorous environment for computing with algebraic, number-theoretic, combinatoric and geometric objects http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/.
Actualment, les llibreries de MAGMA ofereixen els algorismes m´es eficients per treballar amb problemes de teoria de codificaci´o. Aquest software permet crear paquets d’usuari i bases de dades per a poder ser inclosos localment. MAGMA est´a escrit amb C i utilitza les funcionalitats d’altres llibreries de C. Tamb´e mencionar que MAGMA proporciona una gran quantitat de llibreries per teor´ıa de codis, per`o ´unicament considerant codis lineals. Des de fa uns anys, utilitzant algunes de les llibreries ja implementades en MAGMA, sest´a desenvolupant una nova llibreria que permeti treballar amb codis no lineals i estigui totalment integrada amb la llibreria per a codis lineals. L’objectiu principal del projecte ´es desenvolupar algunes noves funcions en aquesta llibreria per augmentar la seva funcionalitat.
Les funcions a implementar shan de desenvolupar seguint l’estil i requeriments de la llibreria on seran incloses. A m´es, sha de seguir la metodologia, realitzant test de proves i test d’integraci´o amb la llibreria actual. El projecte es desenvolupar´a dintre del Dept. d’Enginyeria de la Informaci´o i de les Comunicacions i utilitzar´a la infraestructura que disposa aquest departament. A l’alumne se li proporcionar´a les eines necess´aries (bibliografia, infraestructura b´asica i eines de desenvolupament) per poder completar el projecte dintre d’un semestre.
El
Teoremes d’extensi´o.
Tutor: Mart´ın Prats
Prerrequisit: pels continguts a tractar, ´es important que l’alumne hagi cursat l’assignatura *que cont´e teoria de la mesura*.
L’objectiu del curs ´es estudiar operadors d’extensi´o, ´es a dir, formes d’estendre una funci´o definida en un cert domini a l’espai ambient de manera que la norma resultant estigui controlada per la inicial. Els continguts seran: - Espais de Sobolev - Extensi´o per a dominis regulars - Extensions per a dominis menys regulars (Lipschitz i uniformes) Evans, Lawrence C. ”Partial di?erential equations.” Graduate Studies in Mathematics 19 (1998). Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions (PMS-30). Vol. 30.
Princeton university press, 1970
Jones, Peter W. ”Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces.” Acta Mathematica 147.1 (1981): 71-88.
Prolongaci´o anal´ıtica i superf´ıcies de Riemann Tutor: Juli`a Cuf´ı
Resum: Si una funci´o ´es holomorfa en un domini del pla pot ser que tots els punts de la frontera siguin singulars o b´e que n’hi hagi algun que no ho sigui. En el primer cas la frontera del domini ´es la frontera natural de la funci´o, la qual no es pot estendre a cap regi´o m´es gran que la inicial. El teorema de Hadamard d´ona condicions per tal que el cercle unitat sigui la frontera natural d’una funci´o definida per una s`erie de pot`encies de radi 1. En el segon cas, la funci´o es pot estendre m´es enll´a de la frontera y una qesti´o natural ´es buscar el domini m´es gran al qual la funci´o es pot prolongar anal´ıticament. Aquest problema no t´e soluci´o sense sortir del pla complex.
Hi intervenen, aleshores, la idea de prolongaci´o d’un element anal´ıtic al llarg d’una corba i de funci´o anal´ıtica global i el teorema de monodromia hi juga un paper central .A partir d’un element anal´ıtic d’una funci´o es pot construir la superf´ıcie de Riemann de la funci´o que ´es el seu domini m´axim de prolongaci´o anal´ıtica. Sense entrar a fons en la teoria es pot donar una idea intutiva de les superf´ıcies de Riemann de funcions elementals coma ara (z)1/2, log(z),....
The theory of spinors. Tutor: Roberto Rubio
Spinors can be understood by means of the Clifford algebra Cl(V ) of a quadratic vector space V . Indeed, by seeing how reflections by a hyperplane are expressed in terms of the Clifford algebra, we find the Spin group Spin(V ) ⊂ Cl(V )×, which is a double cover of SO(V ). The representation of the Clifford algebra on itself, by its algebra product, restricts to Spin(V ) and decomposes into irreducible representations, whose elements are called spinors.
The student is expected to expose her/his personal understanding of the definition of spinors and then focus on one or two aspects of the theory. Some, but not all, possibilities are: classification of Clifford algebras; pure spinors and maximally isotropic subspaces; Majorana, Dirac and Weyl spinors; spin geometry. The recommended references are:
- J. Figueroa-O’Farrill, Spin notes, available online on https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/. Chapters 1-3.
- D. Garling, Clifford Algebras: An Introduction. LMS Student Texts, 78. Cambridge University Press, 2011. Part Two.
- F.R. Harvey, Spinors and calibrations. Perspectives in Mathematics, 9. Academic Press Boston, 1990. Part Two.
- H. B. Lawson Jr. and M.-L. Michelsohn. Spin geometry. Princeton Mathematical Series, 38. Princeton University Press, 1989.
Section IV.9.
Symplectic structures. Tutor: Roberto Rubio
Linear algebra and differential geometry are taught by focusing on positive-definite symmetric bilinear forms. But what happens if we have a skew-symmetric form? There is a lot of linear algebra and differential geometry one can do and it is equally important, as it constitutes, for instance, the basic language for Mechanics.
The student is expected to compare the skew-symmetric and positive-definite symmetric bilinear forms, describe the basics of symplectic linear algebra and the symplectic group, and focus on one or two more aspects of her/his choice. Some, but not all, possibilities are: the affine nonsqueezing theorem, the Maslov index, linear K¨ahler structures, symplectic geometry. The recommended references are:
- D. McDuff, S. Salamon. Introduction to symplectic topology, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2017. Chapter 2. Available online at http://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/mschap.pdf
- S. Roman, Advanced linear algebra, Graduate Texts in Mathematics 135, Springer, 2008. Chapter 9.
Solucions de camp mig en fractura de materials: Pot un model senzill preveure el desastre?. Tutor: Jordi Bar´o
La majoria dels materials que podem descriure com a s`olids exhibeixen algun tipus de fallida mec´anica sobtada sota variacions lentes en les condicions externes. Processos tan diversos com la fractura de materials fr´agils, els lliscaments amb fricci´o, desembossaments en medis granulars, implosions, liqefacci´o del s`ol, etc., obeeixen un seguit de lleis universals que s’observen en un rang immens d’escales.
Trobem lleis, per exemple, que descriuen tant les dislocacions nano-cristallines com la tect`onica de plaques. La f´ısica estad´ıstica ens permet entendre l’origen d’aquesta universalitat i gracies a ella podem dissenyar mecanismes rudimentaris de predicci´o basats en el seguiment de l’activitat precursora. Aquest treball te`oric consisteix en resoldre les propietats d’un nou model estoc´astic que simplifica tota una fam´ılia de models de fractura en l’aproximaci´o de camp mig i permet preveuren les propietats de l’activitat pr`evia a la fallida mec´anica. S’intentar´a comparar els resultats amb marcs te`orics alternatius i altres models de camp mig, per tal de de con`eixer l’abast real del nou paradigma. A part de certa familiaritat amb la resoluci´o de models estoc´astics, aquest treball requereix saber programar amb agilitat i implementar algunes t`ecniques num`eriques. Animo als interessats a contactar amb mi abans de prendre cap decisi´o:
jordi.barourbea(a)ucalgary(punt)ca.
Efectes de mida finita i condicions de contorn en din´amica d’allaus: de ferroel`ectrics a neurones. Tutor: Jordi Bar´o
La f´ısica estad´ıstica ens permet modelar les anomenades din´amiques d’allaus com a transicions fora del equilibri en sistemes interactius i desordenats. Dins d’aquest marc te`oric podem estudiar un gran nombre de fen`omens complexos: des de la magnetitzaci´o de materials ferroel`ectrics, els terratr`emols o les flamarades solars fins a la propagaci´o de senyals sin´aptiques en el cervell, les epid`emies i fen`omens v´ırics al web, o incl´u s l’evoluci´o dels valors borsaris i cracks financers. Per tal de interpretar els resultats obtinguts a trav´es de simulacions
num`eriques i experiments de laboratori cal con`eixer els efectes de la mida del sistema i com escalar-los als fen`omens que es pretenen emular. Aquests efectes de mida finita depenen del model, la topologia de les interaccions i les condicions de contorn imposades. Aquest
´es un treball a mig cam´ı entre te`oric i num`eric que consisteix en estudiar els diferents efectes de mida finita que es troben imposant diferents condicions de contorn o topologies a algun(s) dels models m´es coneguts de din´amica d’allaus. L’objectiu final ´es poder comparar els resultats te`orics i num`erics amb fen`omens interdisciplinaris, com ara l’estudi de senyals de calci en cultius neuronals in-vitro. Aquest treball requereix un alt nivell de programaci´o, uns m´ınims coneixements previs i fort inter`es en les ´arees de la f´ısica estad´ıstica de sistemes interactius i xarxes complexes, i estar preparat per a una intensa cerca bibliogr´afica. Animo als interessats a contactar amb mi abans de prendre cap decisi´o: jordi.barourbea(a)ucalgary(punt)ca.
Teoremes d’extensi´o: . Tutor: Mart´ı Prats
La funci´o caracter´ıstica d’un disc t´e norma L1 donada per l’`area del disc. Considerada en l’espai ambient, aquesta funci´o no ´es suau al creuar la frontera del disc. Si estenem la funci´o de manera constant a tot el pla, la funci´o resultant ´es infinitament diferenciable, per`o no
´es integrable.
L’objectiu del curs ´es estudiar operadors d’extensi´o en espais de Sobolev, ´es a dir, formes d’estendre una funci´o definida en un cert domini a tot l’espai ambient, de manera que la norma de la funci´o resultant (i de les seves derivades) estigui controlada per la norma inicial.
Continguts: Espais de Sobolev Extensi´o per a dominis regulars Operadors d’extensi´o per a dominis amb v`ertexs (frontera Lipschitz) i fractals (uniformes).
Requisits: ´Es important que l’alumne hagi cursat l’optativa d’an´alisi real i funcional.
La Paradoxa de Banach-Tarski. Tutor: Pere Ara
El Teorema de Banach-Tarski ens d`ona un dels resultats m´es sorprenents de les matem´a tiques: podem trencar una taronja en un nombre finit de peces de forma que, aplicant moviments r´ıgids a aquestes peces, podem reorganitzar-les per tal d’obtenir dues taronges id`entiques a la inicial. El treball consistir´a, en primer lloc, en estudiar la demostraci´o d’aquest teorema, que es pot trobar en les primeres p´agines del llibre [1]. Von Neumann va ser el primer en recon´eixer que la fallida d’una certa propietat, anomenada amenabilitat, en el grup de les rotacions de l’espai, era la responsable de l’exist`encia de descomposicions parad`ooxiques com les exhibides en el Teorema de Banach-Tarski. Els grups amenables s´on aquells que act´uen sempre de forma no-parad`oxica. En la segona part del treball, s’estudiaran aquests grups, seguint [1].
References [1] G. Tomkowicz, S. Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press, 2016.
Convergence/ equiconvergence of numeric series. Tutor: Sergei Tikhonov n various well-known tests for convergence/divergence of number series
∞
X
k=1
ak, (2)
with positive ak, monotonicity of the sequence of {ak} is the basic assumption. Such series are frequently called monotone series. As examples, we mention tests by Abel, Cauchy, de la Vallee Poussin, Dedekind, Dirichlet, du Bois Reymond, Ermakov, Leibniz, Maclaurin, Olivier, Sapogov, Schl¨omilch; several such tests were named after Abel and Cauchy.
Typical result: the Maclaurin-Cauchy integral test. Consider a non-negative monotone decreasing function f defined on [1, ∞). Then the series
∞
X
k=1
f (k) (3)
converges if and only if the integral
Z ∞ 1
f (t) dt (4)
is finite. In particular, if the integral diverges, then the series diverges as well.
Questions : how to relax monotonicity assumption in the Maclaurin-Cauchy test and similar problems?
Hardy’s inequality. Tutor: Sergei Tikhonov 1. Let ak≥ 0, bk≥ 0,
n
P
k=1
ak = anγn. If 1 ≤ p < ∞, then
(∗)
∞
X
k=1
ak
X∞
n=k
bn
p
≤ C
∞
X
k=1
ak(bkγk)p.
If 0 < p ≤ 1, then
(∗∗)
∞
X
k=1
akX∞
n=k
bnp
≥ C
∞
X
k=1
ak(bkγk)p.
2. Let ak≥ 0, bk≥ 0,
∞
P
k=n
ak= anβn. If 1 ≤ p < ∞, then
(∗)
∞
X
k=1
akXk
n=1
bnp
≤ C
∞
X
k=1
ak(bkβk)p.
If 0 < p ≤ 1, then
(∗∗)
∞
X
k=1
akXk
n=1
bnp
≥ C
∞
X
k=1
ak(bkβk)p.
Questions : is it possible to obtain analogues of (*) for 0 < p < 1 and of (**) for 1 ≤ p < ∞ under some additional conditions on ak Convergence of the Fourier series. Tutor: Sergei Tikhonov
We first have to discuss integral operators. Integral transforms have their genesis in nineteenth century work of J. Fourier and O.
Heaviside, subsequently set into a general framework during the twentieth century. The fundamental idea is to represent a function f in terms of a transform F , using an integral transform pair, F (p) =R K(p, x)f (x)dx and f (x) = R L(x, p)F (p)dp. The functions K and L are kernels. O. Heaviside invented his operational calculus to solve differential equations, such as those arising in the theory of electrical transmission lines. The formalization of Heaviside’s work leads one to the Laplace transforms K(p, x) = e−px. One the most important integral transforms is the Fourier transform that represents functions as linear combinations of periodic functions, an idea pioneered by J. Fourier; here K(p, x) = e−ipx.
Fourier analysis began with studying the way general functions may be represented by sums of simpler trigonometric functions. It received its name after Joseph Fourier, who showed that representing a function by a trigonometric series greatly simplifies the study of heat propagation. Today, the subject of Fourier analysis encompasses a vast spectrum of mathematics. In the sciences and engineering, the process of decomposing a function into simpler pieces is often called Fourier analysis, while the operation of rebuilding the function from these pieces is known as Fourier synthesis. The decomposition process itself is the Fourier transform.
Questions : we are interested in convergence of Fourier series and integrals with certain restriction on considered functions.
Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.
Tutor: Joan Orobitg
Donada una funci´o cont´ınua a la vora d’un domini es tracta de trobar una funci´o harm‘onica a l’interior del domini i cont´ınua fins a la frontera que coincideixi amb la funci´o donada a la vora del domini. Una soluci es basa en el principi del m`axim per a funcions
subharm`oniques (m`etode de Perron). Tamb´e considerarem la soluci mitjanant espais de Sobolev. A m´es de funcions harm`oniques (que es corresponen a funcions de laplaci`a nul), el problema de Dirichlet tamb´e es pot plantejar per a altres solucions d’equacions en derivades parcials. En la vessant hist`orica, veurem com en aquest context hi apareix el lema de Weyl i la desigualtat de Garding. Naturalment, la profunditat i l’abast dels resultats dependran dels interessos de qui realitzi el treball.
Zeros de polinomis al pla complex.
Tutor: Joan Orobitg.
Des dels temps de Gauss hi ha hagut un inter`es constant en els problemes que se centren en la ubicaci´o dels zeros d’un polinomi. Els zeros d’un polinomi P(z) s´on funcions dels coeficients. Per tant un problema `es especificar regions, determinades per aquests coeficients, en les quals es trobin els zeros. Molt sovint al polinomi P(z) li podem associar un altre polinomi (freqentment aquest ´es P’(z)), i sorgeix el problema de relacionar la ubicaci´o dels zeros del polinomi associat amb la ubicaci´o dels zeros de P(z). Pel que fa als m`etodes i eines que pensem utilitzar hi ha els teoremes de Cauchy, Rouch´e i Hurwitz de zeros de funcions anal´ıtiques. Molts resultats impliquen, ja sigui en la seva demostraci´o o en la seu enunciat, conceptes geom`etrics i algebraics de car`acter elemental. Per exemple,
Sigui Q(z) un polinomi de grau 3 amb arrels z1, z2 i z3 que no siguin punts collineals del pla complex. Sigui T el triangle amb v`ertexs z1, z2 i z3. Hi ha una ´unica ellipse inscrita a T i tangent als punts mitjos de cada costat. Els focus d’aquesta ellipse s´on les arrels de Q’(z).
En aquest treball proposat hi ha un punt de partida clar, i el cam´ı a seguir dependr`a molt de la persona que el dugui a terme.
Corbes algebraiques.
Tutor: Joaquim Ro´e
Es fa una introducci´o a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superf´ıcies de Riemann, en qu`e conflueixen m`etodes de diverses `arees de les matem`atiques, com l’`algebra, l’an`alisi i la topologia. El resultat m´es important que estudiarem ´es el teorema de Riemann-Roch.
El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicaci´o, ja sigui a corbes ell´ıptiques , configuracions de rectes, porisma de Poncelet...
Bibliografia:
* Fulton “Algebraic Curves”
* Kirwan “Complex Algebraic Curves”
* Casas-Alvero “Singularities of Plane Curves”
Valoracions algebraiques.
Tutor: Joaquim Ro´e
La noci´o de valoraci´o est´es al context d’anells commutatius la idea d’ordre d’un zero o un pol en an`alisi complexa, i ´es de gran import`ancia en aplicacions a geometria algebraica i teoria de nombres. Estudiarem la teoria cl`assica de les valoracions de Krull amb abundants exemples, i ens introdu¨ırem als recents estudis dels espais de valoracions de Berkovich, Favre-Jonsson, Huber...
Bibliografia:
* Atiyah, Macdonald “ ´Algebra conmutativa”
* Favre-Jonsson “The valuative tree”
* Zariski, Samuel “Commutative Algebra”
Anells de divisi´o: M´es enll`a dels quaternions. . Un anell de divisi´o ´es un anell no trivial D on tot element no nul t´e invers. ´Es a dir, un cos llevat que no ´es necess`ariament commutatiu. En algun moment de la carrera ´es habitual que es parli dels Quaternions de Hamilton com a exemple de cos no commutatiu, per`o no es solen donar m´es exemples.
En aquest treball es proposa aprofundir en l’estudi dels anells de divisi´o i fer-ho a trav´es d’un problema concret.
Un exemple podria ser l’estudi del segent problema d’Artin per anells de divisi´o i desenvolupar els exemples corresponents donats per P.M. Cohn:
(problema) Moltes de les coses que podem dir per a un cos s´on certes tamb´e per anells de divisi´o. Per exemple, podem definir espais vectorials sobre un anell de divisi´o D, tenir una noci´o de independ`encia lineal, de base i per tant de dimensi´o. Aix´ı, si k ⊂ D s´on anells de divisi´o, tenim el que s’anomena una extensi´o i podem preguntar-nos sobre el grau (dimensi´o) d’aquesta extensi´o [D : k]. Ara b´e, ´es el mateix si es calcula la dimensi´o com a espai vectorial per l’esquerrakD que com a espai vectorial per la dreta Dk?
P.M. Cohn respon negativament aquest pregunta donant un exemple en qu`e una les dimensions ´es finita i l’altre infinita. M´es endavant Schofield dona exemples en qu`e les dues dimensions s´on valors finits i arbitraris (diferents de 1).
Matem`atiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzaci´o matem`atica.
Tutor: Dolors Herbera
La classificaci´o dels grups cristal·logr`afics ´es un dels resultats de teoria de grups m´es usats en tota la ci`encia. La idea del treball seria estudiar la classificaci´o d’aquests grups en el cas de dimensi´o dos (consulteu aqu´ı per veure aquesta classificaci´o) i aprofundir en els resultats b`asics que porten en la classificaci´o en dimensions superiors.
Una molt bona introducci´o al tema ´es l’article de Howard Hiller: Crystallography and cohomology of groups (American Mathematical Monthly, Vol. 93 (1986), 765–779). Que podeu veure clicant aqu´ı. Una de les possibilitats per fer el treball ´es anar aprodundint en aquest article complementant amb l’´us de bibliografia addicional els temes que calgui.
El treball tamb´e pot tenir una vessant aplicada, pot ser codirigit amb Francesc Piniella, professor del Departament de Geologia de la UAB, director del Director del Servei de difracci´o de raigs X de la UAB i que podr`a donar la visi´o de les aplicacions dels grups cristalogr`afics que t´e un expert en cristal·lografia.
Matem`atiques associades als diagrames de Dynkin.
Tutor: Dolors Herbera
