Treballs de Fi de Grau Titulaci´ o de Matem` atiques
Curs 2016-2017
1 Tipus A. Propostes del professorat
1. Ramon Antoine. [[email protected]] Anells de divisi´o: M´es enll`a dels quaternions.
2. Ramon Antoine i Francesc Perera. [[email protected], [email protected]] Topologia No Commutativa.
3. Ramon Antoine i Francesc Perera. [[email protected], [email protected]] Funcionals: el seu paper en semigrups i anells.
4. Ramon Antoine i Francesc Perera. [[email protected], [email protected]] Continu¨ıtat algebraica: reticles continus.
5. Francesc Bars. [[email protected]] Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.
6. Francesc Bars. [[email protected]] An`aleg de la funci´o zeta en caracteristica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss.
7. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.
8. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes.
9. Francesc Bars. [[email protected]] Extensions ciclot`omiques.
10. Francesc Bars. [[email protected]] Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.
11. Francesc Bars. [[email protected]] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I 12. Francesc Bars. [[email protected]] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II 13. Francesc Bars. [[email protected]] El teorema de les unitats de Dirichlet.
14. Francesc Bars. [[email protected]] El problema invers de la teoria de Galois finita.
15. Ferran Ced´o. [[email protected]] El Teorema de Wedderburn-Artin.
1
16. Ferran Ced´o. [[email protected]] Braces i l’equaci´o de Yang-Baxter.
17. Jaume Coll i Dolors Herbera. [[email protected], [email protected]] Origami i Teoria de Galois.
18. Jos´e Manuel Conde. [[email protected]] An´alisis en grupos.
19. Jos´e Manuel Conde. [[email protected]] La transformada de Hilbert.
20. Jos´e Manuel Conde. [[email protected]] Martingalas.
21. Juli`a Cuf´ı. [[email protected]] Condici´o de Lipschitz i diferenciabilitat de funcions.
22. Juli`a Cuf´ı i Agust´ı Revent´os. [[email protected], [email protected]] Sobre les desigualtats isoperim`etrica i de Hurwitz.
23. Rosario Delgado. [[email protected]] Poisson i el jurat.
24. Armengol Gasull. [[email protected]] El m`etode del balan¸c harm`onic.
25. Armengol Gasull. [[email protected]] Ones viatgeres.
26. Dolors Herbera. [[email protected]] Matem`atiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzaci´o matem`atica.
27. Dolors Herbera. [[email protected]] Matem`atiques associades als diagrames de Dynkin.
28. Dolors Herbera. [[email protected]] Teoria de les representacions d’`algebres de dimensi´o finita: el tipus finit.
29. Dolors Herbera. [[email protected]] Cluster algebras.
30. Maria Jolis. [[email protected]] Moviment Browni`a fraccionar i aplicacions.
31. Andrei Korobeinikov. [[email protected]] Mathematical modelling viral and cancer evolution.
32. Jean-Didier Marechal. [[email protected]] Desenvolupament i programaci´o de nous descriptors moleculars en la plataforma de modelatge GAUDI.
33. Joan Mateu. [[email protected]] Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids.
34. Joan Mateu. [[email protected]] La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.
35. Tim Myers. [[email protected]] Nanocrystal growth.
36. Artur Nicolau. [[email protected]] Teorema de representaci´o conforme de Riemann.
37. Artur Nicolau. [[email protected]] Teorema de Baire i conseq¨u`encies.
38. Artur Nicolau. [[email protected]] N´umeros normals.
39. Artur Nicolau. [[email protected]] Funcions cont´ınues no derivables.
40. Marcel Nicolau. [[email protected]] `Algebres de Lie i les seves representacions. El cas de l’`algebra de Virasoro.
41. Marcel Nicolau. [[email protected]] Superf´ıcies de Riemann i espai de Teichm¨uller.
42. Marcel Nicolau. [[email protected]] El teorema de Hodge.
43. Joan Orobitg. [[email protected]] Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.
44. Francesc Perera. [[email protected]] Anells de quocients.
45. Francesc Perera. [[email protected]] Grups abelians parcialment ordenats i classificaci´o d’`algebres ultramatricials.
46. Francesc Perera. [[email protected]] La teoria d’Artin-Wedderburn..
47. Francesc Perera. [[email protected]] Anells noetherians i anells de polinomis.
48. Francesc Perera. [[email protected]] Monoides commutatius. Condicions de refinament i descomposici´o.
49. Llu´ıs Quer. [[email protected]] Martingales i processos de ramificaci´o.
50. Joaquim Ro´e. [[email protected]] Corbes algebraiques.
51. Joaquim Ro´e. [[email protected]] Valoracions algebraiques.
52. Albert Ruiz. [[email protected]] Introducci´o a l’an`alisi topol`ogic de dades.
53. Joan Verdera. [[email protected]] L’equaci´o de l’agregaci´o.
2 Tipus B. L´ınies tem` atiques dels tutors
1. Ramon Antoine i Francesc Perera. [[email protected], [email protected]] `Algebra No Commutativa.
2. Ramon Antoine i Francesc Perera. [[email protected], [email protected]] Semigrups.
3. Josep Maria Burgu´es. [[email protected]] Els fonaments matem`atics de la F´ısica Qu`antica. Relacions amb l’An`alisi Funcional i Complexa (i tamb´e Real).
4. Joaquim Bruna. [[email protected]] An`alisi Harm`onica.
5. Joaquim Bruna. [[email protected]] Teselacions al pla: Teselacions per traslacions i relacio amb l’analisi de Fourier. Conjectura de Fuglede sobre exist`encia de bases de sinus i cosinus en regions del pla.
6. `Angel Calsina. [[email protected]] Din`amica de poblacions: Models deterministes del creixement de poblacions biol`ogiques.
7. Nat`alia Castellana. [[email protected]] Topologia.
8. Albert Clop. [[email protected]] Aplicacions quasiconformes. Deformacions el`astiques i inel`astiques.
9. Albert Clop. [[email protected]]El problema invers de l’equaci´o de Schr¨odinger: com determinar una magnitud a l’interior d’un cos nom´es a partir de mesuraments a la frontera (sense haver de tallar).
10. Marcel Nicolau. [[email protected]] Geometria Diferencial.
11. Wolfgang Pitsch. [[email protected]] Teor´ıa de nudos; Mas precisamente: Movimientos de Reidemeister, Polinomio de Jones e invariantes de tipo finito, para alumnos con ambiciones: Introducci´on a la homolog´ıa de Khovanov.
12. Wolfgang Pitsch. [[email protected]] Introducci´on a los grupos de Lie. Por ejemplo: la fibraci´on SU (2) − −− > SO(3). El grupo simpl´ectico y el espacio de lagrangianos.
13. Wolfgang Pitsch. [[email protected]]Teor´ıa de grupos. Representaciones de Grupos finitos. Clasificaci´on de los subgrupos cerrados de Rn para n = 1, 2, 3.
14. Albert Ruiz. [[email protected]] Topologia Algebraica.
15. Susana Serna. [[email protected]] An´alisis Num´erico.
16. Josep Llu´ıs Sol´e [[email protected]] Converg`encia en llei i m`etode de Stein.
17. Josep Llu´ıs Sol´e [[email protected]] Estimador de Stein. Paradoxes i aplicacions.
18. Josep Llu´ıs Sol´e [[email protected]] El proc´es de Poisson.
19. Maria Angeles V´azquez. [[email protected]] Propiedades m´etricas sobre espacios vectoriales matriciales sobre cuerpos finitos.
20. Maria Angeles V´azquez. [[email protected]] Group Actions sobre espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.
21. Maria Angeles V´azquez. [[email protected]] Reducci´on de lattices sobre n´umeros complejos.
22. Maria Angeles V´azquez. [[email protected]] Propiedades m´etricas sobre espacios vectoriales matriciales sobre n´umeros com- plejos.
3 Resums dels treballs tipus A
Anells de divisi´o: M´es enll`a dels quaternions. Tutor: Ramon Antoine
Un anell de divisi´o ´es un anell no trivial D on tot element no nul t´e invers. ´Es a dir, un cos llevat que no ´es necess`ariament commutatiu.
En algun moment de la carrera ´es habitual que es parli dels Quaternions de Hamilton com a exemple de cos no commutatiu, per`o no es solen donar m´es exemples.
En aquest treball es proposa aprofundir en l’estudi dels anells de divisi´o i fer-ho a trav´es d’un problema concret.
Un exemple podria ser l’estudi del seg¨uent problema d’Artin per anells de divisi´o i desenvolupar els exemples corresponents donats per P.M. Cohn:
(problema) Moltes de les coses que podem dir per a un cos s´on certes tamb´e per anells de divisi´o. Per exemple, podem definir espais vectorials sobre un anell de divisi´o D, tenir una noci´o de independ`encia lineal, de base i per tant de dimensi´o. Aix´ı, si k ⊂ D s´on anells de divisi´o, tenim el que s’anomena una extensi´o i podem preguntar-nos sobre el grau (dimensi´o) d’aquesta extensi´o [D : k]. Ara b´e, ´es el mateix si es calcula la dimensi´o com a espai vectorial per l’esquerrakD que com a espai vectorial per la dreta Dk?
P.M. Cohn respon negativament aquest pregunta donant un exemple en qu`e una les dimensions ´es finita i l’altre infinita. M´es endavant Schofield dona exemples en qu`e les dues dimensions s´on valors finits i arbitraris (diferents de 1).
Topologia No Commutativa. Tutors: Ramon Antoine i Francesc Perera
La topologia no commutativa t´e els seus or´ıgens en la dualitat de Gelfand entre la topologia dels espais localment compactes i l’estructura algebraica de les anomenades C*-`algebres commutatives.
Diverses propietats topol`ogiques es poden formular com propietats per C*-`algebres sense fer refer`encia a la commutativitat o b´e a l’espai topol`ogic subjacent, i llavors tenen una generalitzaci´o immediata.
Entre les possibles nocions destaquem la noci´o de dimensi´o commutativa, que tradueix a una noci´o de dimensi´o no commutativa, essencial en l’estudi actual d’aquests objectes.
Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent:
1. C*-`algebres. Definici´o i exemples.
2. Determinaci´o de les C*-`algebres commutatives i del seu espai topol`ogic subjacent.
3. Dimensi´o d’un espai topol`ogic.
4. Rang real i rang estable.
Funcionals: el seu paper en semigrups i anells. Tutors: Ramon Antoine i Francesc Perera
Un fet b`asic i per descomptat ben conegut ´es que el m´ınim nombre de generadors del K-espai vectorial Kn´es n. Si relaxem la demanda que els coeficients ja no pertanyin a un cos, sin´o que permetem que visquin en un anell, aleshores aquest fet ja deixa de ser cert. Aix`o motiva la definici´o de la condici´o IBN (Invariant Basis Number): essencialment, aquesta condici´o demana que no hi hagi bases de diferents tamanys. Aix`o permet definir un concepte de rang que tamb´e t´e validesa en els anomenats m`oduls projectius finitament generats.
Una possible estructura del treball pot ser:
1. M`oduls sobre un anell: m`oduls lliures i m`oduls projectius.
2. Semigrups. El semigrup V(R) associat a un anell R.
3. Funcionals sobre semigrups. Extensions.
4. Funcions de rang en anells. Aplicacions als anells regulars de von Neumann.
Continu¨ıtat algebraica: reticles continus. Tutors: Ramon Antoine i Francesc Perera
Un reticle continu ´es un conjunt parcialment ordenat amb condicions de continu¨ıtat: tot subconjunt t´e un suprem, i tot element es pot aproximar des de sota per elements que, interpretant-ho convenientment, s´on molt m´es petits. Les aplicacions de la teoria de reticles continus inclou la teoria de computaci´o, aix´ı com la sem`antica dels llenguatges de programaci´o. L’objectiu del treball ´es estudiar les nocions i teoremes m´es b`asics de la teoria.
1. Conjunts parcialment ordenats. Suprems i continu¨ıtat
2. La relaci´o de contenci´o compacta o “way-below”. Exemples en an`alisi i topologia.
3. Dominis: Dcpo’s continus. La topologia d’Scott.
4. Dominis amb estructura additiva.
Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz. Tutor: Francesc Bars
La funci´o exponencial de Carlitz ´es un analeg en caracteristica positiva de la funci´o exponencial. Els nombres complexos s´on substituits per un altre cos i que t´e una propietat peculiar, hi ha xarxes de rang tan gran com volem. Un com hem entengut l’an`alisi involucrat i definir la exponencial de Carlitz, els nombres de Bernouilli-Carlitz apareixen de manera an`aloga com surten per la exponencial complexa, aqu´ı el desenvolupament en series via el factorial es canvia per un factorial convenient. ´Es un problema obert estudi de congru`encies entre aquests nombres, el problema cl`assic va ser resolt per Kummer, congru`encies de Kummer.
Refer`encies:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009.To appear
An`aleg de la funci´o zeta en caracteristica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss. Tutor: Francesc Bars Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit Fq i considera la suma
ζ(n) = X
amonic
1 an
Donem un sentit anal´ıtic a l’expressi´o donant un valor. Estudiareu si aquests valors s´on algebraics o no, si es pot escriure un an`aleg de funci´o zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equaci´o funcional. El treball ha de centrar-se en definir i treballar una modificaci´o de la funci´o zeta de Carlitz proposada pel professor Federico Pellarin (2010) i el valor d’aquesta funci´o en el 1, fent una introducci´o a la funcio zeta de Carlitz i l’analogia amb la funcio zeta de Riemann.
Refer`encies:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009.To appear
Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber. Tutor: Francesc Bars
Es demostrar el teorema de Weber que afirma que tota extensi´´ o finita K/Q Galois amb grup de Galois abeli`a es t´e que K ⊆ Q(e2πi/m) per cert m.
Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes. Tutor:
Francesc Bars
El treball vol demostrar que tota extensi´o finita L/Fq(t) Galois amb grup de Galois abeli`a compleix que L ⊆ Fq(t)[CL] on CL ´es certa torsi´o del m`odul de Carlitz (o de Drinfeld). ´Es pot fer el cas general de Drinfeld en un dels papers clau qu`e van fer concedir-li la medalla Fields.
Bibliografia:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer, 1996.
Dinesh Thakur: Function Field Arithmetic. Academic Press.
Extensions ciclot`omiques. Tutor: Francesc Bars
Ja heu vist que el primer lloc on apareixen les extensions ciclot`omiques ´es en l’estudi de la resolubilitat de les equacions per radicals.
Aquest tema consisteix en un estudi profund d’extensions ciclot`omiques.
Refer`encies:
D. Washington: Cyclotomic Fields, GTM, Springer.
S. Lang: Cyclotomic Fields I, II. GTM, Springer.
Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer. Tutor: Francesc Bars
Un dels resultats matem`atics m´es importants en els ´ultims anys ´es la demostraci´o de Andrew Wiles de l’´ultim teorema de Fermat, ´es a dir que l’equaci´o Xn+ Yn= Zn amb n ≥ 3 no t´e cap soluci´o amb XY Z 6= 0 amb X, Y, Z ∈ Z.
Fixeu-vos que podem escriure l’equaci´o en l’anell Z[e2πi/n] mitjan¸cant:
n
Y
j=1
(X + e2πij/nY ) = Zn
i per tant una primera idea per atacar l’´ultim Teorema de Fermat ´es estudiar factoritzacions d’elements en l’anell Z[e2πi/n].
Lamm´e en l’any 1847 va presentar una demostraci´o en l’Acad`emia de les Ci`encies de Paris. Kummer ja sabia que era err`onea la demostraci´o. Perqu`e? Doncs la demostraci´o de Lamm´e suposava que l’anell Z[e2πi/n] era un DFU (domini de factoritzaci´o ´unica) i Kummer ja havia demostrat en l’any 1844 que per tan sols un nombre finit de n l’anell Z[e2πi/n] ´es un DFU.
El treball consisteix en treballar propietats dels anells Z[e2πi/n] o m´es en general del que es coneixen actualment dels anells anomenats dominis de Dedekind, un cas concret s´on els anells Z[e2πi/n]. En particular el treball consisteix en demostrar que aquests anells tenen factoritzaci´o ´unica amb ideals. Si l’alumne t´e m´es inter´es i vol aprofundir m´es, podr`a intentar donar unes traces de la prova del teorema de Fermat per a primers regulars obtinguda per Kummer (resultat m´es important del teorema de Fermat fins que el 1995 Wiles enunciava una demostraci´o modular seguint la idea de Frey que traslladava el teorema de Fermat al camp modular de corbes el.l´ıptiques).
Algunes refer`encies:
Dino Lorenzini: “An invitation to Arithmetic Geometry”. Chapter I and III§1 − 4. SGM volum 9, American Mathematical Society.
M.F.Atiyah-I.G.Macdonald: “Introducci´on al ´Algebra conmutativa”. Ed. Revert´e. Cap´ıtol 9.
Z.I.Borevich-I.R.Shafarevich:“Number Theory”, Academic Press. Chapter III.
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 4.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I Tutor: Francesc Bars Considerem la funci´o zeta de Riemann
ζ(s) :=
∞
X
n=1
1
ns (1)
per s ∈ C amb Re(s) > 1, on Re(s) denota la part real del nombre complex s.
Euler als 28 anys va aconseguir sumar ζ(2k)π−2k ∈ Q amb k ≥ 1 un natural. Primer misteri de la funci´o zeta: en els enters positius 2k existeix un nombre transcendent Ω2k sobre Q (anomenat un per´ıode) on ζ(2k)/Ω2k ´es un nombre racional!! conjecturalment aquesta propietat passar`a per ζ(2k + 1) amb k ≥ 1.
Euler als 30 anys va demostrar que la funci´o zeta t´e un producte d’Euler, ´es a dir:
ζ(s) = Y
p primer
(1 − p−s)−1, Re(s) > 1
Euler als 32 anys va avaluar els valors ζ(1 − d) amb d ≥ 1 natural, per`o us preguntar´ıeu: com? Fins ara ζ(s) sol est`a definida per a Re(s) > 1!!! Us recomano llegir la primera refer`encia.
Riemann uns anys m´es tard, va formalitzar ζ(s) per a Re(s) ≤ 1, on tan sols per Re(s) > 1 ´es de la forma anterior (1). Per exemple Euler afirmava:
ζ(0) = −1
2, ζ(−1)−1
12, ζ(−11) = 691 2332· 5 · 7 · 13,
Amb la definici´o formal de Riemann per a ζ(s) amb Re(s) ≤ 1, els valors que va donar Euler s´on els correctes !!!!!
Igualment Euler comparant els valors entre d i 1 − d va obtenir una equaci´o que relacionava la funci´o zeta de Riemann avaluada en s amb la funci´o zeta de Riemann avaluada en 1 − s amb s enter. Amb el anys, va ser Riemann qui demostra formalment aquesta equaci´o:
escrivim Z(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) on la funci´o Γ ´es relacionada amb la funci´o apareguda a probabilitat, tenim una equaci´o que relaciona ζ(s) amb ζ(1 − s), mitjan¸cant (segon fet sorprenent)
Z(s) = Z(1 − s).
Quan Z(s) = 0? Riemann va conjecturar (i tamb´e ja ho havia afirmat Euler abans!!!) que aix`o succeir`a tan sols quan Re(s) = 1/2, aquest ´es un altre dels problemes que l’Institut Clay premia amb un mil.li´o de d`olars.
B´e fixem-nos en els seg¨uents fets sorprenents de la funci´o zeta de Riemann: t´e un producte d’Euler, s’est´en a una funci´o anal´ıtica a tots els nombres complexos, admet una equaci´o funcional i misteriosament avaluada als enters apareixen certs valors racionals. Anem a aprofundir en aquesta ´ultima propietat.
T´e alg´un significat aritm`etic ζ(0) = −1/2? S´ı! El resultat 1/2 per ζ(0) ´es el cas concret de la famosa f´ormula de nombre de classes aplicada al cos Q, per exemple el 2 apareix perqu`e ´es el nombre d’arrels de l’unitat que t´e el cos Q, que s´on {1, −1}.
Anem tot seguit a buscar resultats aritm`etics als altres valors de la funci´o zeta avaluada als enters.
De l’equaci´o funcional podem relacionar ζ(r) amb ζ(1 − r) per tant centrem-nos amb r estrictament negatius per a buscar el significat aritm`etic del valor racional que surt. Es demostra que ζ(r) ∈ Q per un enter r negatiu i tan sols ens interessa el significat per r senars ja que en els parells ζ(r) s’anul.la (recordeu la dificultat per ζ(1 + r) si r ´es parell!!). Kummer va donar quins denominadors han de sortir i congru`encies modul primer p per a diversos d’aquests r. Anem per`o a preguntar-nos sobre el significat que aporta que un nombre que surt al numerador de ζ(−2` − 1) amb ` ∈ N . Recordeu per exemple que ζ(−11) = 2332691·5·7·13, hi ha un significat aritm`etic en el fet que surti 691, i que aquest surti en avaluant-ho al n´umero -11?
Doncs la resposta ´es SI!!!! Per a justificar que surt el 691 ´es gr`acies al que s’anomena el criteri de Kummer, que afirma p divideix el numerador de ζ(r) per algun r negatiu senar si i nom´es si aquest primer apareix en l’ordre d’un grup associat al cos Q(e2πi/p) (aquest grup s’escriu Cl(Q(e2πi/p)), m`agic no? Per`o l’anterior criteri de Kummer no ens explica quin paper hi juga el 11. Perqu`e el 691 surt en avaluar al -11? B´e per aix`o s’usa la teoria Iwasawa, teoria molt t`ecnica per`o molt interessant, i resulta que -11 apareix en un factor de fer la descomposici´o del grup Cl(Q(e2πi/691) via l’acci´o del grup Gal(Q(e2πi/691)/Q), aquests resultats en teoria Iwasawa corresponen ja a l’any 1976!!
El treball consisteix en l’estudi aritm`etic dels valor enters de la funci´o zeta, les congru`encies de Kummer (congru`encies entre nombres de Bernouilli) el teorema de van Staudt i si hi ha molta energia el criteri de Kummer.
Referencies:
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 3.
J. Neukirch:“Algebraische Zahlentheroie”, Springer. Tamb´e tradu¨ıt a l’angl`es. Kapitel VII-§1.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II Tutor: Francesc Bars
Es intentar plantejar la hip`´ otesi de Riemann i els diversos punts de vista per tal que els zeros es trobin tots a 1/2.
El teorema de les unitats de Dirichlet. Tutor: Francesc Bars
En el treball anterior “atacant l’equaci´o de Fermat xp+ yp = zp” apareix l’anell Z[e2πi/n] dins el cos Q(e2πi/n). Una propietat d’aquest anell ´es que tot α ∈ Z[e2πi/n] compleix que el polinomi irreductible de α sobre Q t´e coeficients enters (amb la notaci´o del curs de Teoria de Galois escriurem Irr(α, Q)[x] ∈ Z[x] (usualment tan sols ha de tenir coeficients a Q!!). Realment ´es comprova que {β ∈ Q(e2πi/n)|Irr(β, Q)[x] ∈ Z[x]} = Z[e2πi/n]. Sigui K un cos amb [K : Q] < ∞, el conjunt OK := {β ∈ K|Irr(β, Q)[x] ∈ Z[x]} ´es un anell del cos K que s’anomena l’anell d’enters del cos K. Aquests anells OK tenen molt bones propietats (s´on dominis de Dedekind!, veieu el primer treball) i tenen molta import`ancia en aritm`etica.
El treball consisteix en estudiar el grup d’unitats de OK− {0} amb el producte. Fixeu-vos que si K = Q tenim que OQ = Z i les unitats amb el producte de Z − {0} ´es el grup finit {1, −1} que ´es el grup de les arrels de la unitat en Q.
El treball consisteix a demostrar el seg¨uent teorema de Dirichlet: el grup de les unitats de OK− 0 ´es un grup abeli`a que ´es el producte del grup de les arrels de la unitat en el cos K (grup finit) per un grup abeli`a lliure de rang r := r1+ r2− 1 on r1, r2 s´on el nombre dels diferents morfismes no equivalents que podem inmersionar el cos K dins els nombres reals i complexos, respectivament.
Referencies:
Z.I.Borevich-I.R.Shafarevich:“Number Theory”, Academic Press. Chapter II.
J. Neukirch:“Algebraische Zahlentheroie”, Springer. Tamb´e tradu¨ıt a l’angl`es. Kapitel I-§4-§7.
El problema invers de la teoria de Galois finita. Tutor: Francesc Bars
Donat G un grup finit, existeix una extensi´o de Galois L/Q amb grup de Galois isomorf a G?
Veieu la p`agina
http://mathoverflow.net/questions/80359/which-small-finite-simple-groups-are-not-yet-known-to-be-galois-groups-over-q El treball consisteix en explicar les t`ecniques actuals per atacar el problema i intentar si podem dir alguna cosa o les t`ecniques pel cas PSU(3,9) que es el m´es petit que encara no es coneix la resposta a la pregunta.
El Teorema de Wedderburn-Artin. Tutor: Ferran Ced´o
El Teorema de Wedderburn-Artin ´es un teorema b`asic de la Teoria d’Anells. El treball consistir`a en entendre la demostraci´o d’aquest teorema i fer una redacci´o d’un text que contingui el material m´ınim per entendre l’enunciat i la demostraci´o d’aquest teorema, tenint en compte els coneixements d’`algebra impartits en assignatures obligat`ories del Grau de Matem`atiques.
Braces i l’equaci´o de Yang-Baxter. Tutor: Ferran Ced´o
Les braces s´on estructures algebraiques introdu¨ıdes per Rump cap al 2006 per estudiar solucions conjuntistes, involutives i no degenerades de l’equaci´o de Yang-Baxter. El treball consistir`a en entendre un article recent sobre el tema i escriure un text text que contingui el
material m´ınim per entendre l’enunciat i la demostraci´o d’un teorema de l’article, tenint en compte els coneixements d’`algebra impartits en assignatures obligat`ories del Grau de Matem`atiques.
Origami i Teoria de Galois. Tutors: Jaume Coll i Dolors Herbera
Primer estudiem b´e els teoremes de construccions amb regle i comp`as, i amb aix`o com a base volem veure com estendre aquests resultats al mon de les construccions fetes plegant paper. Les coses a mirar poden ser:
- Comparaci´o d’axiom`atiques (Axiomes de regla i comp`as - Axiomes Huzita-Hatori).
- Caracteritzaci´o del cos associat a les construccions d’origami.
- Trisecci´o de l’angle amb origami.
- Construccions de pol´ıgons regulars amb origami.
- Aplicacions a construccions concretes.
Podem resoldre una equaci´o de segon grau plegant paper? i de grau 3? i de grau 4?
L’origami ´es un punt de trobada entre l’art, les matem`atiques i podreu trobar tot de projectes que el relacionen amb l’ensenyament. No sembla haver-hi un llibre que tracti el tema al nivell matem`atic que volem, per`o si es troben f`acilment molts articles on es responen les preguntes que plantegem. En principi, aix`o no ´es pas un problema sino que pot donar valor afegit al treball.
Un primer lloc on mirar per fer-se una idea del tema ´es el llibre: David A. Cox. Galois Theory. Chapter 10. Geometric constructions.
Un molt bon matem`atic que escriu i treballa sobre aquests temes ´es Roger Alperin. Podeu visitar la seva p`agina web clicant aqu´ı i veure les coses que t´e escrites. En particular, l’article amb Robert J. Lang One, two- and Multifold Origami axioms sembla molt interessant per treballar el nivell axiom`atic que mencionem al primer punt.
Un lloc per fer-se una idea d’aquest mon ´es el llibre Origami 5 : Fifth International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education (Edited by Patsy Wang-Iverson, Robert J. Lang, Mark Yim) que es pot trobar a la biblioteca d’Humanitats.
El treball seria codirigit amb Jaume Coll, professor del Departament de Matem`atiques de la UAB i gran aficionat a l’origami. Podeu passar pel seu despatx per veure una mostra de les coses que construeix. En Jaume s’ha especialitzat en fer seminaris i xerrades sobre origami a alumnes de secund`aria, i ha estat convidat per Joan Sallas a fer un seminari a Freiburg la propera tardor.
La nostra idea ´es que la Dolors Herbera porti la part m´es te´orica del treball i la part pr`actica la porti en Jaume Coll.
El que es proposa com esquema de treball s’ha d’entendre com una primera aproximaci´o, es pot variar segons com evoluciona la feina i quins siguin els interessos de l’alumne.
An´alisis en grupos. Tutor: Jos´e Manuel Conde
Un grupo topol´ogico es un grupo cuya operaci´on es continua con respecto a una cierta topolog´ıa. Resulta que en esta clase de grupos hay una medida natural, llamada medida de Haar, que generaliza la medida de Lebesgue en el espacio eucl´ıdeo. El objetivo de este trabajo es estudiar c´omo se trasladan distintos conceptos del an´alisis al contexto de grupos, involucrando herramientas no tan habituales como las t´ecnicas de an´alisis funcional o de la teor´ıa de grupos.
La transformada de Hilbert. Tutor: Jos´e Manuel Conde
La transformada de Hilbert es un objeto fundamental en muchas ramas del An´alisis. Este operador aparece en muchos contextos distintos y, en consecuencia, puede ser interpretado de muchas maneras, desde el punto de vista del an´alisis complejo, la mec´anica de fluidos, el an´alisis de Fourier, o incluso la matem´atica aplicada. La idea del trabajo es estudiar estos contextos y ver c´omo un conocimiento m´as profundo de las propiedades del operador se puede aplicar para dar respuesta a varias preguntas naturales y muy diferentes entre s´ı.
Martingalas. Tutor: Jos´e Manuel Conde
La palabra martingala proviene del franc´es, y se utilizaba para designar a la estrategia de casino que consiste siempre en doblar la apuesta anterior cuando se pierde hasta ganar. La “l´ogica” es que cuando ganas una sola vez, recuperas todo lo que hayas perdido hasta el momento. Como todo el mundo sabe, es una estrategia mal´ısima salvo que uno empiece con m´as dinero que el casino, que es algo bastante poco probable. En todo caso, en matem´aticas las martingalas son un tipo concreto de proceso estoc´astico que “preserva la cantidad de dinero inicial”. El objetivo de este trabajo es empezar estudiando algunos ejemplos de martingalas importantes -como la del casino o el movimiento browniano- para despu´es estudiar algunos elementos de la intersecci´on entre la teor´ıa de la probabilidad y la teor´ıa de la medida.
Sobre les desigualtats isoperim`etrica i de Hurwitz. Tutors: Juli`a Cuf´ı i Agust´ı Revent´os
Representaci´o de corbes mitjan¸cant la funci´o suport. Longitud i `area en termes de la funci´o suport. Desigualtats isoperim`etrica i de Hurwitz. Evolutes i astroides. Punt de Steiner, corba pedal, angle de visi´o. Estimaci´o inferior dels d`eficits isoperim`etric i de Hurwitz.
Condici´o de Lipschitz i diferenciabilitat de funcions. Tutor: Juli`a Cuf´ı
Funcions lipschitzianes, de variaci´o acotada i absolutament cont´ınues: teorema de derivaci´o de Lebesgue. El teorema de Rademacher a Rn. La generalitzaci´o de Stepanov del teorema de Rademacher. El teorema de Rademacher en altres contextos.
Poisson i el jurat. Tutora: Rosario Delgado
En aquest TFG estudiarem el treball de Poisson [1] sobre l’aplicaci´o de la teoria de la probabilitat als veredictes dels jurats en judicis civils i criminals. Existeixen treballs previs relacionats, com el de Condorcet [2], i tamb´e un treball contemporani de Laplace. Curiosament, els resultats d’aquests autors sobre les decisions dels jurats, que no s´on tan detallats ni extensos com els de Poisson, s´on m´es coneguts.
Es important destacar que:´
(1) Poisson va ser un dels primers en contribuir a la modelitzaci´o matem`atica de les ci`encies socials. (2) Les q¨uestions relatives a la mida del jurat i a les seves caracter´ıstiques van ser estudiades en profunditat per Poisson i d’altres, i despr´es oblidades durant, al menys, un
segle i mig, fins que el 22 de Juny de 1970, una decisi´o de la Cort Suprema dels Estats Units sobre la mida del jurat en procediments per delictes greus va tornar a posar aquest tema d’actualitat.
El treball t´e un car`acter marcadament probabil´ıstic i bibliogr`afic, i pot ser d’inter`es pels alumnes interessats per l’aplicaci´o de l’Estad´ıstica a les Ci`encies Socials. Consistir`a en recopilar i estudiar articles sobre el tema per a entendre el model de Poisson i les diferents alternatives/modificacions que s’han proposat, fins arribar al punt de vista actual. A partir d’aix`o es podr`a analitzar la instituci´o del jurat a Espanya, inclosa a l’ordenament espanyol des de l’aprovaci´o de la llei del jurat el 1995, que permet als ciutadans participar en la impartici´o de la just´ıcia, tal i com determina l’article 125 de la Constituci´o Espanyola de 1978.
[1] Poisson, S.D., Recherches sur la Probabilit´e des Jugements en Mati`ere Criminelle et en Mati`ere Civile, Pr´ec´ed´ees des R`egles G´en´erales du Calcul des Probabilit´es, Paris: Bachelier, Imprimeur- Libraire, 1837.
[2] Condorcet, Le Marquis de, Essai sur l’Application de l’Analyse `a la Probabilit´e des D´ecisions Rendues `a la Pluralit´e des Voix, Paris:
Imprimerie Royale, 1785.
El m`etode del balan¸c harm`onic. Tutor: Armengol Gasull
Les solucions peri`odiques d’una equaci´o diferencial es poden aproximar per les seves corresponents series de Fourier. El m`etode del balan¸c harm`onic (MBH) ´es un m`etode heur´ıstic per a trobar aquestes aproximacions que es utilitzat sovint en treballs de f´ısica i enginyeria.
L’objectiu d’aquest treball ser`a aplicar el MBH a certes families d’equacions diferencials, tant per aproximar les seves solucions peri`odiques com els seus corresponents per´ıodes, aix´ı com estudiar resultats te`orics que permeten assegurar que prop de les solucions aproximades obtingudes hi ha veritables solucions peri`odiques de l’equaci´o diferencial.
Ones viatgeres. Tutor: Armengol Gasull
Les ones viatgeres s´on unes cert tipus de solucions d’equacions en derivades parcials (EDP) que es poden trobar a partir de l’estudi del retrat de fase d’una equaci´o diferencial ordin`aria associada. Aquestes solucions son d’enorme import`ancia en el camp de la matem`atica aplicada. En aquest treball estudiarem les ones viatgeres i les seves propietats per certes EDP, com per exemple l’equaci´o de reacci´o difusi´o de Fisher-Kolmogorov i les seves generalitzacions.
Matem`atiques i cristal·lografia: simetries a la natura i la seva idealitzaci´o matem`atica. Tutora: Dolors Herbera
La classificaci´o dels grups cristal·logr`afics ´es un dels resultats de teoria de grups m´es usats en tota la ci`encia. La idea del treball seria estudiar la classificaci´o d’aquests grups en el cas de dimensi´o dos (consulteu aqu´ı per veure aquesta classificaci´o) i aprofundir en els resultats b`asics que porten en la classificaci´o en dimensions superiors.
Una molt bona introducci´o al tema ´es l’article de Howard Hiller: Crystallography and cohomology of groups (American Mathematical Monthly, Vol. 93 (1986), 765–779). Que podeu veure clicant aqu´ı. Una de les possibilitats per fer el treball ´es anar aprodundint en aquest article complementant amb l’´us de bibliografia addicional els temes que calgui.
El treball tamb´e pot tenir una vessant aplicada, pot ser codirigit amb Francesc Piniella, professor del Departament de Geologia de la UAB, director del Director del Servei de difracci´o de raigs X de la UAB i que podr`a donar la visi´o de les aplicacions dels grups cristalogr`afics que t´e un expert en cristal·lografia.
Matem`atiques associades als diagrames de Dynkin. Tutora: Dolors Herbera
Finalment un treball relacionat amb la meva especialitat: anells i m`oduls o `algebres i representacions.
S’anomenen diagrames de Dynkin sense orientaci´o els grafs
Van ser introdu¨ıts pel matem`atic rus Eugene Dynkin l’any 1947 per simplificar la classificaci´o de les `algebres de Lie semisimples sobre un cos algebraicament tancat. Des de llavors han aparegut en diversos contexts matem`atics, aparentment for¸a diferents, i sempre relacionats amb classificacions d’objectes algebraics. Crec que pot ser un treball de fi de grau interessant mirar d’aprofondir en alguns d’aquests resultats, en principi veig dos possibles enfocs que no s´on del tot independents:
- Resultat m´es cl`assics: Teoria de les representacions d’`algebres de dimensi´o finita: el tipus finit - Una de les l´ınia de recerca de rabiosa actualitat: Cluster algebras
Com en les altres propostes de treball, l’enfoc pot variar segons com es vegi com evoluciona el treball i els interessos particulars de l’alumne.
Teoria de les representacions d’`algebres de dimensi´o finita: el tipus finit. Tutora: Dolors Herbera Un teorema d’ `Algebra Lineal ens diu
Teorema. Sigui k un cos i sigui f : V1 → V2 una aplicaci´o lineal entre dos espais vectorials de dimensi´o finita. Llavors existeixen bases de V1 i V2 tals que la matriu associada a f en aquestes bases ´es de la forma
Ir 0 0 0
on r ´es la dimensi´o de la imatge de f i Ir denota una matriu identitat r × r.
Aquest Teorema es pot pensar de la manera seg¨uent.
Considerem el graf
1 α //2
Assignem al v`ertex 1 l’espai vectorial V1, al v`ertex 2 l’espai vectorial V2 i a l’aresta α l’aplicaci´o lineal f . El Teorema ens dona una forma can`onica per aquest tipus de “representacions”.
En general, s’estudia com obtenir “fomes can`oniques” per assignacions d’espais vectorials i aplicacions lineals a grafs finits qualssevol.
Estem simplificant una mica, per`o es pot pensar que aquest seria l’objectiu principal d’una branca de l’`algebra anomenada Teoria de Representacions d’`algebres de dimensi´o finita.
P. Gabriel [3] l’any 1972 va demostrar un Teorema essencial dins de la teoria en que es determina els grafs que donen lloc nom´es a un
“nombre finit” de formes can`oniques. Sorprenentment es demostra que aquests grafs corresponen als anomenats Diagrames de Dynkin.
Una demostraci´o elemental d’aquest resultat deguda a H. Krause i est`a basada en l’article de I. Bernstein, I. Gelfand i V. Ponomarev [1]. De fet la idea de Bernstein, Gelfand i Ponomarev es mirar de traduir al context de les representacions lineals de grafs les idees de les Algebres de Lie i, d’aquesta manera explicar perqu`` e els Diagrames de Dynkin surten en els dos contexts.
L’objectiu principal del treball ´es estudiar aquesta demostraci´o de [4] i desenvolupar amb detall alguns dels exemples que surten.
Val a dir que tant el Teorema de Gabriel, com les idees al voltant d’aquesta demostraci´o, han tingut i tenen una repercussi´o molt important dins de les matem`atiques actuals. Llavors, si es vol, aquest ´es un tema que ens aproxima a temes de recerca molt actual i molt actius i, al mateix temps, ens familiaritza amb objectes cl`assics i importants de les matem`atiques.
El prerequisit fonamental per estudiar els apunts ´es un bon coneixement de l’ `Algebra Lineal i coses b`asiques d’Estructures Algebraiques.
Al desenvolupar el treball, si volem, ens podem aproximar a molts temes. Entre ells: teoria d’anells i m`oduls, categories i functors, equival`encies i dualitats, grups de Coxeter, sistemes d’arrels, `algebres de Lie semisimples.... Per fer-se una idea de com s’entrelliguen aquests temes tamb´e es pot donar una mirada a [2].
Cluster algebras. Tutora: Dolors Herbera
Les algebres Cluster van ser introdu¨ıdes per Fomin i Zelevinsky l’any 2002. En principi, s´on objectes molt elementals i f`acils de descriure, vaig a fer-ho d’una manera molt superficial:
Es treballa a l’anell de funcions racionals Q(x1, . . . , xn). Les variables cluster es van construint inductivament comen¸cant amb x1, . . . , xn
i seguint, a cada pas, unes regles molt precises anomenades mutacions i definides a partir d’una matriu entera prefixada B. L’algebra cluster determinada per x1, . . . , xn i B ´es la Q-subalgebra de Q(x1, . . . , xn) generada pels elements que s’obtenen a l’anar iterant les mutacions. A aquest elements s’els anomena variables cluster. Si amb les mutacions nom´es obtenim un nombre finit de variables cluster
es diu que estem en un cas de tipus finit. En la classificaci´o de les `algebres cluster de tipus finit tornen a tenir un paper central els diagrames de Dynkin i les `algebres de tipus de representaci´o finita que esmentavem en la primera secci´o.
Si voleu m´es detalls, podeu consultar l’entrada de la wikipedia.
El motiu inicial per introduir aquesta e contrucci´o ere l’estudi de certs semigrups de matrius associats a varietats algebraiques i a la teoria d’invariants, per`o un dels motius del creixement espectacular d’aquesta linea de treball ha estat les connexions que s’han trobat amb multitud the temes diferents. Es pot tenir una idea de l’activitat a l’`area mirant el cluster algebra portal.
Crec que pot ser mol estimulant fer un treball de recerca en aquesta linea, i que una bona idea per fer-ho ´es basant-se en el text de Robert Marsh: Lecture Notes on Cluster Algebras [5].
References
[1] Bernstein, I. N.; Gelfand, I. M.; Ponomarev, V. A. Coxeter functors and Gabriel’s theorem. Uspehi Mat. Nauk 28 (1973), no. 2(170), 19–33.
[2] Pavel Etingof, Oleg Golberg, Sebastian Hensel, Tiankai Liu, Alex Schwendner, Dmitry Vaintrob, and Elena Yudovina, Introduction to Representation Theory. Curs del MIT. Podeu clicar aqu´ı per baixar-los.
[3] Gabriel, Peter Unzerlegbare Darstellungen. I. Manuscripta Math. 6 (1972), 71–103; correcci´o, ibid. 6 (1972), 309.
[4] Krause, Henning Representations of quivers via reflection functors, Apunts de classe Universit¨at Bielefeld. Podeu clicaraqu´ı per baixar-los.
[5] Robert Marsh, Lecture Notes on Cluster Algebras. Zurich Lectures in Advanced Mathematics. European Mathematical Society, 2014.
Moviment Browni`a fraccionar i aplicacions. Tutora: Maria Jolis
El moviment Browni`a fraccionari ´es un proc´es estoc`astic que ´es una generalitzaci´o del moviment Browni`a. Conserva les propietats de tenir increments estacionaris i Gaussians per`o no t´e increments independents, aix`o el fa m´es adient per estudiar certs fen`omens que presenten depend`encia a llarg termini (long range dependence, en angl`es). El rang d’aplicacions d’aquest tipus de processos ´es molt ampli: des de la hidrologia a internet, passant per les finances. El treball consistiria en estudiar el moviment Browni`a fraccionari des del punt de vista te`oric i desenvolupar alguna aplicaci´o.
Mathematical modelling viral and cancer evolution. Tutor: Andrei Korobeinikov
Short project description: Viral and cancer evolution is the most important single factor accountable for appearance of new pathogens and making treatment of infectious diseases and cancer difficult. Despite its apparent practical relevance, very little of mathematical job was done so far in this direction. Students will work in mathematical modelling of cancer cell and viral evolution.
Also see: http://www.crm.cat/en/Research/ResearchGroups/MathematicalEpidemiology/Pages/default.aspx http://www.crm.cat/en/Research/ResearchGroups/MathematicalEpidemiology/Pages/default.aspx
The group can allocate Up to three students.
Desenvolupament i programaci´o de nous descriptors moleculars en la plataforma de modelatge GAUDI. Tutor: Jean-Didier Marechal
El jove grup de fisicoqu´ımics computacionals insilichem (http://www.insilichem.com) ´es expert en modelitzaci´o molecular de sistemes bioh´ıbrids. Per poder treballar aquests sistemes, el grup desenvolupa una plataforma inform`atica anomenada GAUDI, escrita princi- palment en python i basada en algoritmes gen`etics multi-objectius. L’originalitat de la plataforma ´es d guiar l’exploraci´o de l’espai molecular fent competir diferents variables a l’hora (energia, component estructurals esp`ecifics, tamany, etc..) i aix´ı descobrir mol`ecules optimimes per una funci´o diana. L’avantatge d’aquest apropament ´es que les mol`ecules identificades d´on absents de l’espai bioqu´ımic que caracteritza la Natura i d’aquell que els qu´ımics de sint`esi tendeixen a explorar experimentalment. GAUDI t´e ara dos anys i la seva qualitat de predicci´o supera les espectacions inicials. L’objectiu d’aquest TFG ´es afegir noves funci´ons d’exploraci´o per millorar la rapidesa de l’exploraci´o. En principi ens agradaria implementar fingerprints molecular amb aquest treball encara es pot discutir altres aproparament (m´es geom`etrics, estad´ıstics, etc..) amb l’alumne interessat.
Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids. Tutors: Joan Mateu
En din`amica de fluids, les equacions d’Euler s´on les que descriuen el moviment d’un fluid compressible no visc´os. La seva expressi´o correspon a les equacions de Navier-Stokes quan les components dissipatives s´on menyspreables enfront de les convectives. En aquest treball ens proposem estudiar els conceptes de vorticitat i fluids incompressibles a m´es de revisar alguns conceptes de equacions en derivades parcials que ens poden ser d’utilitat.
La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar. Tutor: Joan Mateu
Aquest treball es pot considerar una introducci´o a la teoria d’integrals singulars, que ´es un dels camps de la matem`atica en els quals s’ha estat treballant m´es durant els darrers 50 anys, obtenint-se molt bons resultats. La transformada de Hilbert que sorgeix de l’estudi de les propietats de la funci´o harm`onica conjugada ´es el primer exemple de integral singular. En aquest treball es tractaria d’entendre les propietats de la tansformada de Hilbert i la seva acotaci´o sobre els espais Lp.
Nanocrystal growth. Tutor: Tim Myers
This project concerns a method for nanocrystal production. First seed crystals are generated from solution, they then grow slowly due to diffusion of molecules from the solution to the crystal. The goal of this process is to produce a large amount of particles of a similar size. In practice the particles start to grow towards a similar size but as the material in solution is reduced the particle sizes can diverge.
The project will involve developing and analysing a model for this process. The mathematical model involves a diffusion equation applied over a moving domain. Approximate and numerical methods will be used to solve the problem.
Teorema de representaci´o conforme de Riemann. Tutor: Artur Nicolau
El Teorema de Representaci´o conforme de Riemann diu que tot subdomini del pl`a complex simplement connex ´es conformement equivalent al disc, ´es dir, hi ha una aplicaci´o holomorfa i bijectiva del disc unitat al domini. S’estudiar`an dues probes: la m´es standard que utilitza fam´ılies normals i la m´es constructiva deguda a Caratheodory. Tamb´e es discutir`a el principi de Dirichlet. Finalment veurem les f´ormules de Schwarz-Christoffel que donen representacions conformes en pol´ıgons.
Teorema de Baire i conseq¨u`encies. Tutor: Artur Nicolau
El Teorema de Baire ´es un resultat cl`assic d’An`alisi Funcional que te diverses aplicacions en Teoria de Funcions. Veurem com aquest resultat implica que hi ha moltes funcions cont´ınues d’una variable real que no son derivables en cap punt. Tamb´e es demostrar`a el Teorema de Sunyer i Balaguer que diu que si una funci´o f infinitament derivable compleix que a tot punt x ∈ R existeix n(x) tal que fn(x))(x) = 0, aleshores f ha de ser un polinomi.
N´umeros normals. Tutor: Artur Nicolau
Els n´umeros normals son els n´umeros reals que quan s’escriuen en qualsevol base, cada xifra apareix aproximadament, el mateix nombre de vegades. Veurem el Teorema cl`assic de Borel que diu que gaireb´e tots els nombres son normals. Aquest resultat ´es una versi´o de la Llei Forta dels Grans Nombres. Veurem tamb´e la versi´o corresponent de la Llei del Logaritme Iterat de Khinchitne. ¨es molt notable que no tenim exemples expl´ıcits de n´umeros normals i en concret, no sabem si nombres habituals com ara √
2, π, e son normals (incl´us en base 10). De fet, ni tan sols sabem si a l’expressi´o decimal de √
2 apareixen infinits 5’s o 8’s... Veurem tamb´e com aquesta noci´o est`a relacionada amb les successions equidistribu¨ıdes.
Funcions cont´ınues no derivables. Tutor: Artur Nicolau
Estudiarem les construccions cl`assiques de Weierstrass i de Takagi de funcions cont´ınues que no son derivables enlloc i les relacionarem amb el Teorema de Denjoy sobre el comportament dels quocients incrementals d’una funci´o d’una variable real. Demostrarem tamb´e els Teoremes de Rademacher i de Stepanov sobre diferenciabilitat de funcions Lipschitzianes.
Algebres de Lie i les seves representacions. El cas de l’`` algebra de Virasoro. Tutor: Marcel Nicolau
Els grups de Lie, com per exemple el grup ortogonal O(n) o els grups unitaris U(n) i SU(n), apareixen de forma natural com grups de simetries cont´ınues de determinades estructures geom`etriques i s´on centrals en moltes branques de les matem`atiques i de la f´ısica.
En el seu estudi, les `algebres de Lie (que es poden entendre com l’aproximaci´o lineal dels grups de Lie) i les seves representacions s´on fonamentals. L’`algebra de Virasoro ´es una `algebra de dimensi´o infinita que s’interpreta com l’`algebra de Lie d’un grup de difeomorfismes del cercle i juga un paper important en teoria de cordes i en teoria conforme de camps. Aquest treball consisteix en una introducci´o a la teoria de representacions d’`algebres de Lie i la seva aplicaci´o a la determinaci´o de les representacions de l’`algebra de Virasoro.
Superf´ıcies de Riemann i espai de Teichm¨uller. Tutor: Marcel Nicolau
Les superf´ıcies de Riemann, o superf´ıcies dotades d’una estructura complexa, foren introdu¨ıdes per Riemann a l’estudiar les propietats de prolongaci´o anal´ıtica de les funcions holomorfes. El seu estudi ha donat lloc a un cos de teoria for¸ca desenvolupat en el que
conflueixen la geometria algebraica, l’an`alisi complexa, l’aritm`etica i la geometria conforme. Les diferents estructures complexes que admet una determinada superf´ıcie compacta formen un continu descrit per l’espai de Teichm¨uller. En el treball es considera el problema de classificaci´o de les superf´ıcies de Riemann compactes, estudiant la construcci´o de l’espai de Teichm¨uller i les seves interpretacions geom`etriques aix´ı com l’an`alisi detallada d’algun exemple concret.
El teorema de Hodge. Tutor: Marcel Nicolau
Els grups de cohomologia, amb valors en un anell A (t´ıpicament A=Z, Q o R), s´on invariants algebraics (grups o espais vectorials) que s’associen de forma natural a un espai M i que descriuen la seva complexitat topol`ogica. En el cas que l’espai M ´es una varietat diferenciable i A = R aquests grups es poden realitzar per medi d’espais vectorials de classes de formes diferencials; s´on els grups de cohomologia de de Rham. Un pas m´es enll`a est`a donat pel teorema de Hodge, el qual estableix que, si M ´es compacta, llavors tot element de la cohomologia de M es realitza de forma ´unica com una forma harm`onica sobre M. El treball ´es una introducci´o a l’an`alisi en varietats consistent en la demostraci´o del teorema de Hodge i l’estudi de cassos concrets.
Problema de Dirichlet i el lema de Weyl. Tutor: Joan Orobitg
Donada una funci´o cont´ınua a la vora d’un domini es tracta de trobar una funci´o harm`onica a l’interior del domini i cont´ınua fins a la frontera que coincideixi amb la funci´o donada a la vora del domini. Una soluci´o es basa en el principi del m`axim per a funcions subharm`oniques (m`etode de Perron). Tamb´e considerarem la soluci´o mitjan¸cant espais de Sobolev. A m´es de funcions harm`oniques (que es corresponen a funcions de laplaci`a nul), el problema de Dirichlet tamb´e es pot plantejar per a altres solucions d’equacions en derivades parcials. En la vessant hist`orica, veurem com en aquest context hi apareix el lema de Weyl i la desigualtat de Garding. Naturalment, la profunditat i l’abast dels resultats dependran dels interessos de qui realitzi el treball.
Anells de quocients. Tutor: Francesc Perera
En aquest treball s’estudiar`a la noci´o de localitzaci´o d’un anell respecte d’un conjunt multiplicativament tancat. La idea intuitiva ´es la que correspon a invertir una s`erie d’elements de manera controlada. Despr´es de recordar el cas que ens ´es m´es familiar, ´es dir, la construcci´o del cos de fraccions d’un domini d’integritat, abordarem l’estudi del cas no commutatiu i, m´es concretament, estudiarem l’anomenada condici´o d’Ore. A banda d’entendre els teoremes, en el treball analitzarem exemples concrets.
Grups abelians parcialment ordenats i classificaci´o d’`algebres ultramatricials. Tutor: Francesc Perera
Una idea central a les Matem`atiques ´es la de classificaci´o. Aquesta es basa en associar, a un objecte que volem estudiar, un altre objecte (un invariant), que captura la riquesa estructural de l’objecte original. Idealment es busca que aquest invariant sigui: 1) calculable, i 2) prou fi com per poder recuperar completament l’objecte del qual partim. En aquest treball es proposa fer servir un grup abeli`a, que a m´es t´e un ordre, per analitzar les anomenades `algebres ultramatricials.
Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent:
1) Grups parcialment ordenats. La propietat de descomposici´o de Riesz. 2) El grup K0 d’un anell a trav´es d’idempotents. 3) `Algebres ultramatricials.Construcci´o. 4) ´Us del grup K0 per a classificar les `algebres ultramatricials.
La teoria d’Artin-Wedderburn.. Tutor: Francesc Perera
El teorema de classificaci´o d’`algebres semisimples i de dimensi´o finita sobre un cos fou provat per Wedderburn el 1907 i es pot considerar l’inici de la teoria d’anells moderna. Les condicions d’artini`a i noetheri`a van ser introdu¨ıdes vint anys m´es tard per Artin i Noether, i es poden pensar com a generalitzacions de dimensi´o finita. Aix´ı s’arriba a la descripci´o expl´ıcita dels anells artinians semisimples com a producte d’anells de matrius sobre cossos (no necess`ariament commutatius). L’objectiu del treball ´es provar aquest teorema i, si el temps ho permet, analitzar altres aspectes d’aquest tipus d’anells.
Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent: 1) M`oduls sobre un anell. Definicions, exemples, i eines b`asiques 2) M`oduls artinians i noetherians. 3) Anells semisimples. El teorema d’Artin-Wedderburn en el cas simple. 4) El teorema en el cas general.
Anells noetherians i anells de polinomis. Tutor: Francesc Perera
Els anells noetherians formen una classe `amplia d’anells. S’estudiar`a aquesta noci´o en el cas no commutatiu, amb la qual cosa cal distingir entre anell noetheri`a dreta o esquerra. Una segona part del treball consisteix en analitzar la classe d’exemples anomenats anells de polinomis skew (dels quals els anells de polinomis de tota la vida en s´on un cas particular). Un dels objectius ´es provar el teorema de la base de Hilbert: si R ´es un anell noetheri`a (dreta), llavors l’anell de polinomis R[x] tamb´e. (Es provar`a la versi´o m´es general utilitzant polinomis skew).
Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent: 1) M`oduls sobre un anell. Definicions, exemples. 2) Anells noetherians. Exemples. 3) Condici´o de cadena ascendent: M`oduls noetherians 4) Anells de polinomis skew. El teorema de la base.
Monoides commutatius. Condicions de refinament i descomposici´o. Tutor: Francesc Perera
Un monoide commutatiu ´es un conjunt amb una operaci´o aditiva, associativa i commutativa i un element neutre. Un exemple obvi ´es el conjunt dels naturals (juntament amb el zero). L’objectiu del treball ´es analitzar les propietats b`asiques d’aquests objectes, i estudiar la classe dels monoides que satisfan la condici´o anomenada refinament. S’estudiaran tamb´e condicions de cancel.laci´o en aquests objectes.
Martingales i processos de ramificaci´o. Tutor: Llu´ıs Quer
Els processos de ramificaci´o s´on fam´ılies de variables aleat`ories que s’utilitzen, entre d’altres, per a modelitzar l’evoluci´o d’una poblaci´o d’individus al llarg de les seves generacions. Una de les q¨uestions importants ´es estudiar el comportant asimpt`otic de la poblaci´o a mesura que el nombre de generacions es fa gran: la poblaci´o s’extingir`a en algun moment? Amb quina probabilitat ho far`a? Si no s’extingeix, a la llarga quin ser`a el nombre mitj`a d’individus en cada generaci´o? Per tal de contestar algunes d’aquestes preguntes s’utilitzen martingales, les quals s´on processos estoc`astics amb un ampli ventall d’aplicacions i que conformen per si soles una teoria matem`atica molt rica.
Introducci´o a l’an`alisi topol`ogic de dades. Tutor: Albert Ruiz
L’an`alisi de dades est`a incorporant eines topol`ogiques per a obtenir resultats per a entendre grans bases de dades. Una de les eines
´es la homologia persistent. A aquest treball es proposa, per una banda, l’estudi de la homologia com a eina te`orica i la definici´o de homologia persistent. Per altra banda, el c`alcul mitjan¸cant programari inform`atic de l’homologia persistent de n´uvols de punts simulats per a comprovar el seu funcionament i, si ´es possible, de bases de dades reals.
Corbes algebraiques. Tutor: Joaquim Ro´e
Es fa una introducci´o a la teoria de les corbes algebraiques planes i les superf´ıcies de Riemann, en qu`e conflueixen m`etodes de diverses `arees de les matem`atiques, com l’`algebra, l’an`alisi i la topologia. El resultat m´es important que estudiarem ´es el teorema de Riemann-Roch.
El treball culmina amb l’estudi d’alguna aplicaci´o, ja sigui a corbes e”l´ıptiques, configuracions de rectes, porisma de Poncelet...
Bibliografia:
* Fulton “Algebraic Curves”
* Kirwan “Complex Algebraic Curves”
* Casas-Alvero “Singularities of Plane Curves”
Valoracions algebraiques. Tutor: Joaquim Ro´e
La noci´o de valoraci´o est´en al context d’anells commutatius la idea d’ordre d’un zero o un pol en an`alisi complexa, i ´es de gran import`ancia en aplicacions a geometria algebraica i teoria de nombres. Estudiarem la teoria cl`assica de les valoracions de Krull amb abundants exemples, i ens introdu¨ırem als recents estudis dels espais de valoracions de Berkovich, Favre-Jonsson, Huber...
Bibliografia:
* Atiyah, Macdonald “ ´Algebra conmutativa”
* Favre-Jonsson “The valuative tree”
* Zariski, Samuel “Commutative Algebra”
L’equaci´o de l’agregaci´o. Tutor: Joan Verdera
L’equaci´o de l’agregaci´o modela certs fen`omens de comportament col·lectiu en el qual els individus es mouen de manera coordinada.
Exemples d’aquests fen`omens s´on, en biologia, l’evoluci´o d’eixams d’insectes, de col`onies de bacteris i de bancs de peixos. En f´ısica, els electrons en el plasma. L’equaci´o de l’agregaci´o ´es una equaci´o d’evoluci´o de primer ordre per la “densitat” ρ(x, t) en el punt x ∈ Rn i al temps t:
∂tρ(x, t) + div(ρ(x, t) ~v(x, t)) = 0.
on div indica diverg`encia i el camp de velocitats de les part´ıcules ~v(x, t) es redefiniex instantaneament al punt x i al temps t fent una convoluci´o :
~v(x, t) = −c Z
Rn
x − y
|x − y|nρ(y, t) dy,
on la constant s’escull de manera que la diverg`encia del camp sigui precisament −ρ(x, t). Com que ρ(x, t) ´es positiva perqu`e ´es una densitat, la diverg`encia del camp ´es negativa i, per tant, les part´ıcules tendeixen a agregar-se conservant la massa (el nombre total d’individus). La densitat creix i es fa infinita en temps finit (explosi´o).
El treball consisteix en entendre la formulaci´o del model i llavors estudiar algunes q¨uestions com el problema del bon plantejament (well-posedness), ´es a dir, si l’equaci´o t´e solucions ´uniques. El nivell de dificultat del treball ´es variable. Si alg´u se sent incomode amb la noci´o de diverg`encia d’un camp aquesta ´es una bona ocasi´o per profunditzar-hi. Hi ha equacions germanes, com l’equaci´o de la vorticitat, que ´es una equaci´o de transport equivalent a l’equaci´o d’Euler en el pla. Es pot triar una o l’altra segons els interessos de l’alumne.
Si l’alumne t´e inter`es en l’an`alisi num`erica, es pot insistir m´es en l’estudi de les solucions num`eriques.
