Variable aleatoria mixta
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Notemos en primer lugar que la variable Y puede expresarse en t´erminos de X como
Y =
1 X < 1 X X ∈ [1, 3]
3 X > 3.
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Notemos en primer lugar que la variable Y puede expresarse en t´erminos de X como
Y =
1 X < 1 X X ∈ [1, 3]
3 X > 3.
Por lo tanto, Y toma valores en el intervalo [1, 3] y es evidente que:
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Notemos en primer lugar que la variable Y puede expresarse en t´erminos de X como
Y =
1 X < 1 X X ∈ [1, 3]
3 X > 3.
Por lo tanto, Y toma valores en el intervalo [1, 3] y es evidente que:
Si y < 1 ⇒ FY(y) = 0.
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Notemos en primer lugar que la variable Y puede expresarse en t´erminos de X como
Y =
1 X < 1 X X ∈ [1, 3]
3 X > 3.
Por lo tanto, Y toma valores en el intervalo [1, 3] y es evidente que:
Si y < 1 ⇒ FY(y) = 0.
Si y ≥ 3 ⇒ FY(y) = 1.
Variable aleatoria mixta
Aunque la mayor´ıa de las distribuciones que aparecen en problemas pr´acticos son de tipo discreto o continuo, existen otros muchos tipos, que dan lugar a diferentes tipos de variables aleatorias. Por su inter´es pr´actico, destacamos las denominadas variables mixtas que, hablando vulgarmente, pueden considerarse una mezcla de variables discretas y continuas.
Ejemplo: Supongamos que el voltaje de un sistema el´ectrico, X, es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad
fX(x) = 1
(1 + x)2, x ≥ 0.
Se dispone de un volt´ımetro que registra el voltaje real del sistema si ´este est´a comprendido entre 1 y 3 voltios; si el voltaje real es inferior a un voltio, el volt´ımetro siempre registra el valor 1, y si es superior a 3 voltios, el volt´ımetro siempre registra el valor 3. Calcular la funci´on de distribuci´on de la variable Y que describe el valor registrado por el volt´ımetro.
Notemos en primer lugar que la variable Y puede expresarse en t´erminos de X como
Y =
1 X < 1 X X ∈ [1, 3]
3 X > 3.
Por lo tanto, Y toma valores en el intervalo [1, 3] y es evidente que:
Si y < 1 ⇒ FY(y) = 0.
Si y ≥ 3 ⇒ FY(y) = 1.
Veamos seguidamente el valor de FY(y) para y ∈ [1, 3):
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2·
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2· Si y ∈ (1, 3) ⇒ FY(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ y) =
Z y 0
1
(1 + x)2dx = y 1 + y·
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2· Si y ∈ (1, 3) ⇒ FY(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ y) =
Z y 0
1
(1 + x)2dx = y 1 + y· Por lo tanto,
FY(y) =
0 y ∈ (−∞, 1)
1
2 y = 1
y
1 + y y ∈ (1, 3)
1 y ∈ [3, +∞)·
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2· Si y ∈ (1, 3) ⇒ FY(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ y) =
Z y 0
1
(1 + x)2dx = y 1 + y· Por lo tanto,
FY(y) =
0 y ∈ (−∞, 1)
1
2 y = 1
y
1 + y y ∈ (1, 3)
1 y ∈ [3, +∞)·
Observamos que esta funci´on de distribuci´on tiene dos saltos, en los puntos 1 y 3, mientras que en los intervalos (−∞, 1), (1, 3) y (3, +∞) es continua, derivable y con derivada
dFY(y)
dy =
1
(1 + y)2 y ∈ (1, 3)
0 y ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞).
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2· Si y ∈ (1, 3) ⇒ FY(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ y) =
Z y 0
1
(1 + x)2dx = y 1 + y· Por lo tanto,
FY(y) =
0 y ∈ (−∞, 1)
1
2 y = 1
y
1 + y y ∈ (1, 3)
1 y ∈ [3, +∞)·
Observamos que esta funci´on de distribuci´on tiene dos saltos, en los puntos 1 y 3, mientras que en los intervalos (−∞, 1), (1, 3) y (3, +∞) es continua, derivable y con derivada
dFY(y)
dy =
1
(1 + y)2 y ∈ (1, 3)
0 y ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞).
Por lo tanto, FY se comporta como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta en los puntos 1, 3, y como la de una variable continua en el resto.
Si y = 1 ⇒ FY(1) = P (Y ≤ 1) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
(1 + x)2dx = 1 2· Si y ∈ (1, 3) ⇒ FY(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ 1) + P (1 < X ≤ y) =
Z y 0
1
(1 + x)2dx = y 1 + y· Por lo tanto,
FY(y) =
0 y ∈ (−∞, 1)
1
2 y = 1
y
1 + y y ∈ (1, 3)
1 y ∈ [3, +∞)·
Observamos que esta funci´on de distribuci´on tiene dos saltos, en los puntos 1 y 3, mientras que en los intervalos (−∞, 1), (1, 3) y (3, +∞) es continua, derivable y con derivada
dFY(y)
dy =
1
(1 + y)2 y ∈ (1, 3)
0 y ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞).
Por lo tanto, FY se comporta como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta en los puntos 1, 3, y como la de una variable continua en el resto.
De hecho, definiendo
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
Una variable aleatoria X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) es mixta si existe un conjunto numerable, DX⊂ R, y una funci´on no negativa e integrable, hX : R −→ R tal que
FX(x) = X
x0∈DX x0≤x
P(X = x0) + Z x
−∞
hX(t)dt, ∀x ∈ R.
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
Una variable aleatoria X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) es mixta si existe un conjunto numerable, DX⊂ R, y una funci´on no negativa e integrable, hX : R −→ R tal que
FX(x) = X
x0∈DX x0≤x
P(X = x0) + Z x
−∞
hX(t)dt, ∀x ∈ R.
Notemos que la funci´on de distribuci´on de una variable mixta se expresa como suma de dos funciones:
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
Una variable aleatoria X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) es mixta si existe un conjunto numerable, DX⊂ R, y una funci´on no negativa e integrable, hX : R −→ R tal que
FX(x) = X
x0∈DX x0≤x
P(X = x0) + Z x
−∞
hX(t)dt, ∀x ∈ R.
Notemos que la funci´on de distribuci´on de una variable mixta se expresa como suma de dos funciones:
• FX1(x) = X
x0∈DX x0≤x
P (X = x0)
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
Una variable aleatoria X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) es mixta si existe un conjunto numerable, DX⊂ R, y una funci´on no negativa e integrable, hX : R −→ R tal que
FX(x) = X
x0∈DX x0≤x
P(X = x0) + Z x
−∞
hX(t)dt, ∀x ∈ R.
Notemos que la funci´on de distribuci´on de una variable mixta se expresa como suma de dos funciones:
• FX1(x) = X
x0∈DX x0≤x
P (X = x0)
• FX2(x) = Z x
−∞
hX(t)dt
DY = {1, 3} y hY(y) =
dFY(y)
dy y ∈ R − DY
0 y ∈ DY
y notando que P (Y = 1) = 1
2 y P (Y = 3) = 1
4, se tiene FY(y) = X
y0∈DY y0≤y
P (Y = y0) + Z y
−∞
hY(t)dt, ∀y ∈ R.
Una variable de este tipo recibe el nombre de variable mixta, cuya definici´on formal establecemos a continuaci´on:
Una variable aleatoria X : (Ω, A, P) −→ (R, B, PX) es mixta si existe un conjunto numerable, DX⊂ R, y una funci´on no negativa e integrable, hX : R −→ R tal que
FX(x) = X
x0∈DX x0≤x
P(X = x0) + Z x
−∞
hX(t)dt, ∀x ∈ R.
Notemos que la funci´on de distribuci´on de una variable mixta se expresa como suma de dos funciones:
• FX1(x) = X
x0∈DX x0≤x
P (X = x0)
• FX2(x) = Z x
−∞
hX(t)dt
⇒ FX(x) = FX1(x) + FX2(x), ∀x ∈ R
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on.
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
• FX1(+∞) = P
x0∈DX
P (X = x0) < 1,
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
• FX1(+∞) = P
x0∈DX
P (X = x0) < 1,
• FX2(+∞) = Z
R
hX(t)dt < 1,
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
• FX1(+∞) = P
x0∈DX
P (X = x0) < 1,
• FX2(+∞) = Z
R
hX(t)dt < 1,
lo que resulta evidente ya que, en caso contrario, ser´ıa FX(+∞) = FX1(+∞) + FX2(+∞) > 1.
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
• FX1(+∞) = P
x0∈DX
P (X = x0) < 1,
• FX2(+∞) = Z
R
hX(t)dt < 1,
lo que resulta evidente ya que, en caso contrario, ser´ıa FX(+∞) = FX1(+∞) + FX2(+∞) > 1.
As´ı, ni los valores {P (X = x0); x0 ∈ DX} son los de una funci´on masa de probabilidad, ni la funci´on hX es una funci´on de densidad.
donde FX1 crece ´unicamente a saltos, como la funci´on de distribuci´on de una variable discreta, y FX2 tiene una forma similar a la de una variable de tipo continuo.
Sin embargo, aunque el tratamiento de las funciones FX1 y FX2 es totalmente an´alogo al de las funciones de distribuci´on de variables discretas y continuas, respectivamente, tales funciones no son funciones de distribuci´on. De hecho:
• FX1(+∞) = P
x0∈DX
P (X = x0) < 1,
• FX2(+∞) = Z
R
hX(t)dt < 1,
lo que resulta evidente ya que, en caso contrario, ser´ıa FX(+∞) = FX1(+∞) + FX2(+∞) > 1.
As´ı, ni los valores {P (X = x0); x0 ∈ DX} son los de una funci´on masa de probabilidad, ni la funci´on hX es una funci´on de densidad.
Nota: Las variables de tipo discreto y las de tipo continuo pueden considerarse casos particulares de las variables mixtas, si se toma FX2 ≡ 0, o FX1 ≡ 0, respectivamente.
