VECTORES EN EL PLANO

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VECTORES EN EL PLANO

¿Qué es un vector?

Un vector es un segmento orientado. Se representa por 𝐴𝐵#####⃗. El punto A es el origen y el punto B es el extremo.

Características de un vector

• El modulo es la longitud y se representa por %𝐴𝐵#####⃗% • La dirección es la dirección de la recta que lo contiene. • El sentido es el que va del origen al extremo.

Equipolencia de vectores

Dos vectores son equipolentes si tienen la misma dirección, el mismo modulo y el mismo sentido.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

El vector suma es el resultado de unir el origen de un vector con los extremos del otro.

También podemos coger los vectores de manera que ambos tengan el mismo origen, en este caso, el vector es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores.

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Producto de un numero real por un vector

Dado un vector no nulo y un numero real no nulo, que lo llamaremos 𝑘 , se llama producto del numero real 𝑘 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢#⃗ al vector que tiene:

• Modulo → |𝑘||𝑢#⃗|

• Dirección → La dirección del vector 𝑢#⃗

• Sentido → El mismo que 𝑢#⃗ si 𝑘 > 0 y el opuesto de 𝑢#⃗ si 𝑘 < 0

Propiedades 1. 𝑘 ∙ (𝑢#⃗ + 𝑣⃗) = 𝑘 ∙ 𝑢#⃗ + 𝑘 ∙ 𝑣⃗ 2. (𝑘!+ 𝑘")𝑢#⃗ = 𝑘!𝑢#⃗ + 𝑘"𝑢#⃗ 3. (𝑘!∙ 𝑘")𝑢#⃗ = 𝑘!∙ (𝑘"∙ 𝑢#⃗) 4. 1 ∙ 𝑢#⃗ = 𝑢#⃗ 5. −1 ∙ 𝑢#⃗ = −𝑢#⃗ → 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 6. 0 ∙ 𝑢#⃗ = 0#⃗ → 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑙𝑜

Combinación lineal de un vector y base de un vector

Decimos que el vector 𝑢#⃗ es combinación lineal del vector 𝑣⃗ si existe un escalar 𝑘 donde: 𝑢#⃗ = 𝑘𝑣⃗

También se dice que 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ son dependientes o proporcionales. Si no existe 𝑘 se dice que los vectores son independientes.

Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑢#⃗(3,9) es combinación lineal del vector 𝑣⃗(1,3) (3,9) = 𝑘(1,3)

(3,9) = (𝑘, 3𝑘) → C9 = 3𝑘 → 𝑘 = 33 = 𝑘 Como obtenemos el mismo valor, el vector 𝑢#⃗ 𝑒𝑠 combinación lineal de 𝑣⃗

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Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑢#⃗(2,3) es combinación lineal del vector 𝑣⃗(−1,5) (2,3) = 𝑘(−1,5) F2 = −𝑘 3 = 5𝑘 → F 𝑘 = −2 𝑘 =3 5

Como los valores son distintos, no existe combinación lineal entre los vectores.

Dependencia de vectores

Un vector 𝑤##⃗ depende linelamente de los vecotres 𝑣⃗ 𝑦 𝑢#⃗ si puede expresarse como: 𝑤

##⃗ = 𝑎 ∙ 𝑣⃗ + 𝑏 ∙ 𝑢#⃗

Se dice también que 𝑤##⃗ es una combinación lineal de los vectores 𝑣⃗ 𝑦 𝑢#⃗

Ejercicio:

Comprobar que el vector 𝑤##⃗(4,7) es combinación lineal del vector 𝑣⃗(2,1)𝑦 𝑢#⃗(0,5) (4,7) = 𝑎 ∙ (2,1) + 𝑏 ∙ (0,5)

(4,7) = (2𝑎, 𝑎) + (0,5𝑏) → C 4 = 2𝑎7 = 𝑎 + 5𝑏→ 𝑎 = 2 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 2 → 𝑏 = 1

Relación de dependencia geométrica y analítica

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑁𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

Ejercicio:

De los tres vectores, di que parejas son dependientes y cuales son independientes 𝑢#⃗= (10,5); 𝑣⃗ = (2, −3); 𝑤##⃗ = (−2, −1)

𝑢#⃗ = 𝑘𝑣⃗ ; 𝑢#⃗ = 𝑘𝑤##⃗ ; 𝑣⃗ = 𝑘𝑤##⃗

(10,5) = 𝑘(2, −3) ; (10,5) = 𝑘(−2, −1) ; (2, −3) = 𝑘(−2, −1) 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑘 ; 𝑘 = −5 ; 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑘

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Base canónica. Coordenadas de un vector

Se llama base del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ donde: • 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ tiene distintas direcciones (independientes)

• Cualquier vector del plano se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base de forma única.

Ejercicio:

¿Cuales de los siguientes pares de vectores forman una base?

𝑢#⃗ = (2,1) 𝑦 𝑣⃗ = (−1,3) ; 𝑢#⃗ = (4,3) 𝑦 𝑣⃗ = Y43, 1Z (2,1) = 𝑘(−1,3) → ∄→ 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 (4,3) = 𝑘 Y4

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Operaciones de vectores con coordenadas

Dado el vector 𝑤##⃗ y una base, llamamos a las coordenadas de 𝑤##⃗ respecto a la base al par ordenado (𝑎, 𝑏)que verifica:

𝑤

##⃗ = 𝑎 ∙ 𝑢#⃗ + 𝑏 ∙ 𝑣⃗ Te muestro algunos ejemplos para que lo entiendas mejor:

• Dados los vectores de la figura, exprésalos como combinación lineal de la base 𝐵 = {𝑢#⃗, 𝑣⃗} y de sus coordenadas.

• Dados los vectores de la figura, exprésalos como combinación lineal de la base 𝐵 = {𝑢#⃗, 𝑣⃗} y de sus coordenadas.

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Modulo y argumento de un vector

Si tenemos un vector 𝑣⃗ en una base cualquiera, cuyas coordenadas son (𝑎, 𝑏) llamamos modulo del vector 𝑣⃗ al número real positivo:

|𝑣⃗| = `𝑎"+ 𝑏"

→ 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

Las coordenadas del vector 𝑤##⃗ en la base 𝐵 = (𝑢, 𝑣) 𝑠𝑜𝑛 (3,2) El modulo del vector 𝑤##⃗ es: |𝑤##⃗| = `(3)"+ (2)"= √13

Vector unitario

Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |𝑣⃗| = 1

Vectores ortogonales

Dados los vectores 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ se dice que son ortogonales cuando 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ sean perpendiculares, es decir, formen un ángulo de noventa grados.

Base del conjunto de vectores del plano

Dada una base 𝐵 = {𝑢, 𝑣} se dice que:

• B es una base ortogonal si los vectores son ortogonales (perpendiculares) • B es una base normal si los vectores son unitarios

• B es una base ortonormal si los vectores son unitarios y ortogonales

Base canónica

La base canónica es una base también llamada ortonormal donde los vectores que la forman son:

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Puntos y vectores

Suma de vectores

La suma de dos vectores 𝑢#⃗ 𝑦 𝑣⃗ se define como:

𝑢#⃗ + 𝑣⃗ = (𝑥!, 𝑦!) + (𝑥", 𝑦") = (𝑥!+ 𝑥", 𝑦!+ 𝑦") La diferencia de dos vectores se define como:

𝑢#⃗ − 𝑣⃗ = (𝑥!, 𝑦!) − (𝑥", 𝑦") = (𝑥!− 𝑥", 𝑦!− 𝑦")

Lo que tenemos representado en el gráfico, de forma analítica seria:

𝑢#⃗ = (4,2)𝑦 𝑣⃗ = (1,3) 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ = (4,2) + (1,3) = (4 + 1,2 + 3) = (5,5)

𝑢#⃗ − 𝑣⃗ = (4,2) − (1,3) = (4 − 1,2 − 3) = (3, −1)

Producto de un numero real por un vector

El producto entre un numero real y un vector se define como: 𝑘 ∙ 𝑢#⃗ = 𝑘(𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

Dado el vector 𝑢#⃗ = (2,2) tenemos que hallar el vector ("𝑢#⃗ 5 2(2,2) = Y 10 2 , 10 2Z = (5,5)

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Ejercicio:

Dados los siguientes vectores:

𝑢#⃗ = (1,1) 𝑣⃗ = (−1,2) ; 𝑤##⃗ = (3,1) Calcular: 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ ; −𝑤##⃗ + 2𝑣⃗ ; 3𝑣⃗ ; 2(𝑢#⃗ + 𝑤##⃗) − 4𝑣⃗ 𝑢#⃗ + 𝑣⃗ =(1,1) + (−1,2) = (1 − 1,1 + 2) = (0,3) −𝑤##⃗ + 2𝑣⃗ =−(3,1) + 2(−1,2) = (−3, −1) + (−2,4) = (−5,3) 3𝑣⃗= 3(−1,2) = (−3,6) 2(𝑢#⃗ + 𝑤##⃗) − 4𝑣⃗ =2[(1,1) + (3,1)] − 4(−1,2) = 2(4,2) − (−4,8) = (8,4) − (−4,8) = (12, −4)

Modulo y argumento de un vector

El modulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de Pitágoras: 𝑢#⃗(𝑥, 𝑦) = `𝑥"+ 𝑦"

El argumento de un vector es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Para calcularlo se aplica la definición de tangente:

tan α =𝑦

𝑥→ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑥

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Ejercicio:

Calcula el modulo y el argumento de los siguientes vectores

𝑢#⃗ = (1,1) 𝑣⃗ = (−1,2) ; 𝑤##⃗ = (3,1) ; 𝑡⃗ = (−1,3) |𝑢#⃗| = `1"+ 1"= √2 𝛼 = arctan1 1→ 𝛼 = arctan 1 → 𝛼 = 45 |𝑣⃗| = `(−1)"+ 2"= √5 𝛼 = arctan 2 −1→ 𝛼 = arctan −2 → 𝛼 = −63,43 |𝑤##⃗| = `3"+ 1"= √10 𝛼 = arctan1 3→ 𝛼 = 18,43 %𝑡⃗% = `(−1)"+ 3"= √10 𝛼 = arctan 3 −1→ 𝛼 = arctan −3 → 𝛼 = −71,56 Vector unitario

Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |𝑢#⃗| = 1

Para cualquier vector existe un vector unitario en la misma dirección y sentido del vector inicial cuyas coordenadas son:

𝑣⃗ = m 𝑥 `𝑥"+ 𝑦",

𝑦 `𝑥"+ 𝑦"n

Ejercicio:

Calcula un vector unitario en la misma dirección y sentido que los siguientes: 𝑣⃗ = (−1,2) ; 𝑤##⃗ = (3,1) ; 𝑡⃗ = (−1,3) |𝑣⃗| = `(−1)"+ 2" = √5 → 𝑣⃗ )%'*$+', = 𝑣⃗ |𝑣⃗|→ 𝑣⃗)%'*$+',= Y −1 √5, 2 √5Z |𝑤##⃗| = `3"+ 1"= √10 → 𝑤##⃗ )%'*$+', = 𝑤##⃗ |𝑤##⃗|→ 𝑤##⃗)%'*$+', = Y 3 √10, 1 √10Z %𝑡⃗% = `(−1)"+ 3"= √10 → 𝑡⃗ )%'*$+', = 𝑡⃗ %𝑡⃗%→ 𝑡⃗)%'*$+',= Y −1 √10, 3 √10Z

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Puntos y vectores

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos, como hemos visto anteriormente, es el modulo del vector que forman los puntos:

|𝑣⃗| = %𝐴𝐵#####⃗% = `𝑎"+ 𝑏"

Ejercicio:

Si las coordenadas de los puntos son 𝐴 = (4,2)𝑦 𝐵(2,5). Halla las coordenadas del vector 𝐴𝐵#####⃗ y la distancia entre los puntos A y B

𝐴𝐵

#####⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (2,5) − (4,2) = (−2,3) %𝐴𝐵#####⃗% = `(−2)"+ 3"= √13

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Ejercicio:

Si las coordenadas del vector 𝐴𝐵#####⃗ 𝑠𝑜𝑛 (2,5) y las del extremo 𝐵(3, −2) halla las coordenadas del origen A. 𝐴𝐵 #####⃗ = 𝐵 − 𝐴 → (2,5) = (3, −2) − (𝑥, 𝑦) → → (2,5) − (3, −2) = −(𝑥, 𝑦) → (−1,7) = −(𝑥, 𝑦) (1, −7) = (𝑥, 𝑦) Ejercicio:

Dados los puntos 𝐴(5,5); 𝐵(2,4); 𝐶(4, −2) halla las coordenadas del punto D para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo

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Punto medio de un segmento

M es el punto medio del segmento AB que verifica 𝐴𝑀######⃗ =!"𝐴𝐵#####⃗

p𝐵(𝑥𝐴(𝑥!, 𝑦!) ", 𝑦")→ 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀 Y 𝑥!+ 𝑥" 2 , 𝑦!+ 𝑦" 2 Z → q 𝑥 =𝑥!+ 𝑥" 2 𝑦 =𝑦!+ 𝑦" 2

De esta misma ecuación se puede deducir el calculo del punto simétrico respecto de otro. p𝑥𝑦!= 2𝑀-− 𝑥"

! = 2𝑀.− 𝑦"

Ejercicio:

Dados los puntos 𝐴(−5,1)𝑦 𝐵(1,3) , calcula el punto medio del segmento AB

p𝐴(−5,1)𝐵(1,3) → 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀 Y−5 + 12 ,1 + 3 2 Z → q

𝑥 =−4 2 = −2 𝑦 =42= 2

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Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores 𝑢 ###⃗ 𝑦 𝑣⃗ se designa por 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ y es un numero real que se define como:

𝑢#⃗ = (𝑎, 𝑏); 𝑣⃗ = (𝑥, 𝑦) → 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ = |𝑢#⃗| ∙ |𝑣⃗| ∙ cos 𝛼 → 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦 = |𝑢#⃗| ∙ |𝑣⃗| ∙ cos 𝛼

𝛼 → 𝐸𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.

Cuando el resultado del producto escalar es cero, esto quiere decir que los vectores son perpendiculares:

𝑢#⃗ ⊥ 𝑣⃗ → 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector por si mismo es un numero positivo o nulo: 𝑢#⃗ ∙ 𝑢#⃗ = |𝑢#⃗|" ≥ 0

2. El producto escalar es conmutativo:

𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∙ 𝑢#⃗ 3. El producto escalar es asociativo

𝑘(𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗) = (𝑘𝑢#⃗) ∙ 𝑣⃗ = 𝑢#⃗ ∙ (𝑘𝑣⃗) 4. El producto escalar es distributivo

𝑢#⃗ ∙ (𝑣⃗ + 𝑤##⃗) = 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑢#⃗ ∙ 𝑤##⃗

El producto escalar y la proyección de vectores

El producto escalar de dos vectores es igual al modulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el: 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢#⃗ 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣⃗: 𝑝𝑟𝑜𝑦/0⃗(𝑢#⃗) → 𝑝𝑟𝑜𝑦/0⃗(𝑢#⃗) = 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ |𝑣⃗| 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣⃗ 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢#⃗: 𝑝𝑟𝑜𝑦)00⃗(𝑣⃗) → 𝑝𝑟𝑜𝑦)00⃗(𝑣⃗) =𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ |𝑢#⃗| Ejercicio:

Dados los vectores 𝑢#⃗(3,1) 𝑦 𝑣⃗(2, −1).

Calcular la 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑢#⃗ 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑣⃗ ; 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣⃗ 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢#⃗ 𝑝𝑟𝑜𝑦/0⃗(𝑢#⃗) =𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ |𝑣⃗| 3 ∙ 2 + 1 ∙ (−1) `2"+ (−1)" = 5 √5= √5

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Ángulo entre dos vectores

cos 𝛼 = 𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ |𝑢#⃗| ∙ |𝑣⃗|=

𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦 `𝑥"+ 𝑦"∙ √𝑎"+ 𝑏"

Vector ortogonal a otro

La propiedad fundamental del producto escalar nos permite encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a otro:

Un vector ortogonal a (𝑎, 𝑏) es (−𝑏, 𝑎)

Estos dos vectores son ortogonales, es decir, forman un ángulo de noventa grados ya que; (𝑎, 𝑏) ∙ (−𝑏, 𝑎) = −𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 0

Ejercicio:

Encuentra un vector que sea unitario y ortogonal (perpendicular) a 𝑢#⃗(4,3) 𝑣⃗ = (𝑥, 𝑦)

𝑢#⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0 → (4,3) ∙ (𝑥, 𝑦) = 0 → 4𝑥 + 3𝑦 = 0 `𝑥"+ 𝑦" = 1

¡ 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑡ú 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜!

Ejercicio:

Encuentra un vector de modulo 2 y ortogonal a 𝑢#⃗(2,1) ¡ 𝑃𝑅𝑈𝐸𝐵𝐴 𝑇𝑈!

Ejercicio:

Calcula el ángulo que forman los vectores 𝑢#⃗(4,2) y 𝑣⃗(−3,3)

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