Fundamentos de las operaciones
financieras
Autor:
Indice
1
PROBLEMAS PRÉSTAMOS
3.1-1
1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.
1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) ¡Error! Marcador no definido.
1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) 3.1-1
3
Problemas préstamos
3.1
Problemas préstamos (Universidad de León)
Problema 3.1-1
El Banco X concede un préstamo de 1.000.000 de euros al 5%. Su amortización se hará mediante diez pagos anuales iguales, teniendo lugar el primero a los tres años de efectuado el préstamo. Determinar:
a) La anualidad.
b) Si el prestatario después de satisfecha la cuarta anualidad, pretende sustituir el resto del reembolso mediante una entrega única satisfecha dos años después, cuál sería la cuantía de esta entrega.
Sol: a = 142.778,80 euros¸ Sol: C = 798.983,1 euros
Comenzando la numeración de los períodos en el momento de la firma del préstamo y, suponiendo que, en los dos primeros años, se aplica la misma tasa anual, se tiene la gráfica:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 i1 Demora x x x x x x x x x x C0= 106 106(1+i1)2
Se obtiene el término amortizativo constante al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio
Nótese que las amortizaciones se realizan desde el período 3 hasta el final, pero los coeficientes multiplicadores se aplican a todos los períodos.
Admitiendo que durante los dos primeros años no se paga nada, las expresiones funcionales del resto de parámetros son:
La tabla de amortización de los períodos interesantes nos permite verificar la validez de las expresiones:
C0 106; n 10 2;i1 0.05; xx x . First NSolve C0 j3 n x k1 j 1 i1 1,x 142 779. a h : If 1 h 2, 0, xx ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : If 1 h 2, 0, Cp h 1 i1 ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 6, n , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h
1 0 0 0 1.05 106 0
Problema 3.1-2
Un préstamo de cuantía "P" se concede en las siguientes condiciones: a) Su duración será de 30 años y su interés el 7% anual.
b) Durante los quince primeros años, el prestatario no hará ningún pago, pero al final de ellos entregará la mitad del nominal del préstamo.
c) Durante los quince años restantes, el prestatario hará entregas de 200.000 euros al final de cada año, cancelándose de esta forma el resto del préstamo y sus intereses. Determinar:
a) El valor del préstamo
b) ¿Qué cantidad debería pagar al principio del año 23 para cancelar definitivamente el préstamo?. Sol: P = 806.355,64 euros; Sol: C22 = 1.194.259,7 euros
1 15 16 30 0 a[h]=20000 i1 C0 =x x(1+i1)15-x /2
Resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al final del período 15 se obtiene:
Las expresiones funcionales de los parámetros que interesan son:
La tabla de amortización de los períodos interesantes nos permite verificar la validez de las expresiones:
El capital pendiente al inicio del período 23 es igual al de al final del período 22
La solución dada en el enunciado es errónea porque no considera la capitalización del principal durante los primeros 15 años. xx x . First NSolve x k1 15 1 i1 x 2 j 16 30 200 000 k16 j 1 i1 1,x 806 356. a h : If 1 h 15, 0, xx ; Cp h : jh 1 30 a j k h1 j 1 i1 1; h : If 1 h 15, 0, Cp h 1 i1 ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 15, 16, 30 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 2.84821 106 0 2 0 0 0 3.04759 106 0 15 0 0 0 7.34422 106 0 16 806 356. 514 095. 292 260. 7.05196 106 292 260. 30 806 356. 52 752.2 753 603. 0 7.34422 106 Cp 22 4.81499 106
Veamos el cálculo sin capitalizar: a h : 200000; Cp h : jh 1 15 a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; Cp 22 15 1.19426 106
Problema 3.1-3
Un préstamo de tipo clásico es reembolsable mediante una renta constante en 4 años. Determinar el tanto de interés, sabiendo que la suma de las dos primeras amortizaciones es de 475.624,20 euros y que la suma de las dos últimas es de 524.375,80 euros.
Sol: i = 0,05
En el préstamo de tipo clásico, el término amortizativo es constante es constante:
𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒
Podemos resolver el problema de dos formas:
1.- Aplicando las expresiones funcionales de los parámetros interesantes.
Resolvemos el sistema de ecuaciones formado con las condiciones del enunciado:
Evidentemente las soluciones válidas son las dos últimas porque los valores negativos del término amortizativo y de la tasa de interés se deben desechar.
2.- Aplicando la definición de cuota de amortización y la igualdad de los términos amortizativos. Como sabemos que la suma total de las cuotas de amortización es igual al principal:
𝐶0= 𝐴1+ 𝐴2+ 𝐴3+ 𝐴4= 475624′2 + 524375′8 = 106 𝑎1= 𝑎2= 𝑎3 = 𝑎4 a h : x; Cp h : jh 1 4 x kh1 j 1 i 1; h : Cp h 1 i; A h : a h h ; NSolve A 1 A 2 475624.2, A 3 A 4 524375.8 , x,i x 1.15625 107 4.44324 10 6 , i 2.05 , x 1.15625 107 4.16528 106 , i 2.05 , x 282 012., i 0.0500001 NSolve A1 A2 475624.2, A3 A4 524375.8, 106i A1 106 A1 i A2 A3 A4 i A3 A4 i A4 , A1,A2,A3,A4,i A1 9.51246 106, A2 9.98809 106, A3 1.04875 107, A4 1.10119 107, i 2.05 , A1 232012., A2 243612., A3 255793., A4 268 583., i 0.0500001
Problema 3.1-4
Una sociedad obtiene un préstamo de 2.000.000 de euros que deberá amortizar mediante nueve anualidades vencidas, siendo el tipo de interés del 10% para los primeros tres años, del 11% para los tres años siguientes y del 12% para los tres últimos. Se pide:
Anualidad que amortiza el préstamo El capital vivo al final del segundo año.
La cuota de intereses en los años quinto y octavo.
Sol: a=354.464,82 euros; Sol: C2=1.675.623,87 euros; I5 = 142.781,75 euros ; I8 = 71.887,64 euros
Se determina las tasas de interés como una función a trozos.
La anualidad constante se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:
Tabla de amortización C0 2 106; n 9; i h : Which 1 h 3, 0.10, 4 h 6, 0.11, 7 h 9, 0.12 ; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i k 1,x 354 465. a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i k 1; h : Cp h 1 i h ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 354 465. 200 000. 154 465. 1.84554 106 154 465. 2 354 465. 184 554. 169 911. 1.67562 106 324 376. 3 354 465. 167 562. 186 902. 1.48872 106 511 279. 4 354 465. 163 759. 190 705. 1.29802 106 701 984. 5 354 465. 142 782. 211 683. 1.08633 106 913 667. 6 354 465. 119 497. 234 968. 851 365. 1.14864 106 7 354 465. 102 164. 252 301. 599 064. 1.40094 106 8 354 465. 71 887.6 282 577. 316 486. 1.68351 106 9 354 465. 37 978.4 316 486. 0 2. 106
Problema 3.1-5
Se obtiene un préstamo de 4.000.000 de euros, al 6%, se pide determinar la anualidad del mismo en los siguientes casos:
a) Operación contratada a 6 años, amortizable mediante anualidades constantes, abonándose la primera a los tres años (final del tercer año) de concertarse la operación.
b) Operación contratada a 8 años, abono de la mitad de los intereses durante los dos primeros años y amortizable mediante anualidades constantes durante los seis restantes.
Sol: a = 1.297.045,6 euros; Sol: a = 862.989,65 euros
a) Admitiendo que la tasa de interés indicada es aplicable a los dos años de demora, en los que no se paga nada, se tiene la gráfica: 1 2 3 4 5 6 0 i1 C0 =4*106 x x x x 1 2 3 4 5 6 0 i1 C0 =4*106 x x x x C0(1+i1)2
En función de dónde se ubique la fecha de referencia (origen de los períodos), podemos resolver la ecuación de equivalencia de dos formas:
1) Tomando como fecha de referencia la del inicio del período con el que comienzan las amortizaciones.
2) Tomando como fecha de referencia la de la firma del contrato del préstamo, con lo que la anualidad se conforma como una función a trozos.
Nótese que, dependiendo de la forma elegida, los límites inferior y superior de los sumatorios y productorios son diferentes. b) ℎ = 1 → 𝐼[1] = 𝐶0𝑖1→ { 𝐴𝑏𝑜𝑛𝑎 = 1 2𝐶0𝑖1 𝑃𝑡𝑒. =1 2𝐶0𝑖1→ 𝐶𝑝[1] = 𝐶0+ 1 2𝐶0𝑖1 ℎ = 2 → 𝐼[2] = 𝐶𝑝[1]𝑖1= [𝐶0+ 1 2𝐶0𝑖1] 𝑖1→ { 𝐴𝑏𝑜𝑛𝑎 = 1 2[𝐶0+ 1 2𝐶0𝑖1] 𝑖1 𝑃𝑡𝑒. =1 2[𝐶0+ 1 2𝐶0𝑖1] 𝑖1→ 𝐶𝑝[2] = 𝐶0+ 1 2[𝐶0+ 1 2𝐶0𝑖1] 𝑖1
Con estos dos primeros valores, determinamos la expresión funcional del término amortizativo y resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:
C0 4 106;i1 0.06; n 6; NSolve C0 j1 2 n x k1 j 1 i1 1,x x 1.29705 106 NSolve C0 1 i1 2 j1 n 2 y k1 j 1 i1 1,y y 1.29705 106
a h : Which h 1, 1 2 C0i1, h 2, 1 2 C0 1 2C0i1 i1, 3 h 8,x ; NSolve C0 j 1 8 a j k1 j 1 i1 1,x x 862990.
Problema 3.1-6
Un prestamista tiene concertados tres préstamos con un mismo prestatario: a) El primero, contratado hace 12 años, con las condiciones:
Capital: 200.000 euros Duración: 20 años. Tipo de interés: 4%
b) El segundo, contratado hace 8 años, en la forma: Capital: 400.000 euros
Duración: 30 años. Tipo de interés: 6%
c) El tercero, recibido hace 5 años, en la forma: Capital: 1.000.000 de euros
Duración: 30 años. Tipo de interés: 8%
Ambas partes acuerdan en este momento sustituir estos tres préstamos por dos, uno a 30 años y otro a 20, al 6% de interés anual, con la condición de que las anualidades de ambos préstamos sean iguales.
Siendo todos los préstamos amortizables por el sistema francés, se pide determinar la cuantía de los nuevos préstamos y la anualidad.
Sol: a = 55.368,80 euros; P1 = 762.142,11 euros; P2 = 635.075,69 euros 12 8 5 1 20 30 30 1 1 8 22 25 CA0 =200000 CB0 =400000 CC0 =106 iA1 =0'04 iB1 =0'05 iC1 =0'06 1 2 29 30 1 2 19 20 iD1 =0'06 iE1 =0'06 CD0 CE0 HOY
Datos de los préstamos A, B y C
Con estos datos, obtenemos las expresiones funcionales de los términos amortizativos constantes; y, a partir de ellos, deducimos las expresiones funcionales de los respectivos capitales pendientes de amortizar a día de hoy.
CA0 200000; nA 20;iA1 0.04;
CB0 400000; nB 30;iB1 0.06;
Préstamo A
Término amortizativo constante y capital pendiente de amortizar.
Préstamo B
Término amortizativo constante y capital pendiente de amortizar.
Préstamo C
Término amortizativo constante y capital pendiente de amortizar.
Capital total pendiente de amortizar a día de hoy:
Préstamos D y E, sustitutivos de los anteriores
Resolvemos el sistema de ecuaciones que se forma al aplicar las condiciones de los dos préstamos sustitutivos:
xx x . First NSolve CA0 j1 nA x k 1 j 1 iA1 1,x ; aA h : xx; CpA h : jh1 nA aA j kh1 j 1 iA1 1; yy y . First NSolve CB0 j1 nB y k 1 j 1 iB1 1,y ; aB h : yy; CpB h : j h1 nB aB j kh1 j 1 iB1 1; zz z . First NSolve CC0 j1 nC z k 1 j 1 iC1 1,z ; aC h : zz; CpC h : j h1 nC aC j kh1 j 1 iC1 1; CpA 12 CpB 8 CpC 5 1.39722 106 nD 30;iD1 0.06; nE 20;iE1 0.06; Reduce X j1 nD x k1 j 1 iD1 1, Y j1 nE x k1 j 1 iE1 1, X Y CpA 12 CpB 8 CpC 5 , X,Y,x X 762142. && Y 635076. && x 55 368.8
Problema 3.1-7
Se concede un préstamo de 4.000.000 de euros que hay que amortizar en cinco años por el método francés a un tipo de interés anual del 10%. Sabiendo que las características comerciales de dicho préstamo son:
a) Gastos iniciales a cargo del prestatario de un 1% sobre el nominal del préstamo.
b) Gastos de administración del 2% sobre las cantidades pagadas por el prestatario para amortizar el préstamo.
c) Impuesto del 8% sobre las cantidades recibidas por el prestamista. Calcular los tantos efectivos reales para el prestamista y para el prestatario. Sol: ia = 6,8165%; ip = 11,1792%
Para obtener el término amortizativo constante, se resuelve la ecuación de equivalencia respecto al inicio. Del valor obtenido se determina la expresión funcional de la cuota de amortización.
Del enunciado, se determinan las expresiones funcionales de los parámetros que intervienen en el cálculo de los tantos efectivos:
Conviene confeccionar la tabla de amortización para verificar la validez de las expresiones:
Para calcular los tantos efectivos para el prestatario (coste) y para el prestamista (rendimiento) hemos de analizar las características comerciales del enunciado.
𝐺𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠= Desembolso único a la firma del préstamo; tiene carácter unilateral e imputable al prestatario.
𝐺𝑎𝑑𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛= Desembolso anual, juntamente con el término amortizativo (anualidad) (“…cantidades pagadas por
el prestatario para amortizar el préstamo.”) Podría tener carácter unilateral o bilateral.
𝐼𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = Se interpreta que es sobre el término amortizativo y, por tanto, pospagable. Es atribuible al prestamista exclusivamente. C0 4 106; n 5;i1 0.1; xx x . First NSolve C0 j 1 n x k1 j 1 i1 1,x 1.05519 106 a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 1.05519 106 400 000. 655 190. 3.34481 106 655 190. 2 1.05519 106 334 481. 720 709. 2.6241 106 1.3759 106 3 1.05519 106 262 410. 792 780. 1.83132 106 2.16868 106 4 1.05519 106 183 132. 872 058. 959 264. 3.04074 106 5 1.05519 106 95 926.4 959 264. 0 4. 106 G0 0.01 C0; Gadmon h : 0.02 a h ;
Tanto efectivo para el prestatario (coste)
Resulta evidente que la solución válida es la positiva, es decir, 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑡𝑒= 0′111792
Tanto efectivo para el prestamista
Como el impuesto se aplica sobre el término amortizativo, resulta el paréntesis 𝑎[𝑗](1 − 0′08)
El valor válido es el valor positivo del conjunto de soluciones 𝑖𝑟𝑡𝑜= 0′0681651
NSolve C0 G0 j1 n Gadmon j k 1 j 1 i 1 j1 n a j k1 j 1 i 1,i i 1.56548 0.376864 , i 1.56548 0.376864 , i 0.854524 0.712892 , i 0.854524 0.712892 , i 0.111792 NSolve C0 j1 n a j 1 0.08 k1 j 1 i 1,i i 1.55524 0.369946 , i 1.55524 0.369946 , i 0.857492 0.700063 , i 0.857492 0.700063 , i 0.0681651
Problema 3.1-8
Determinar la cuantía concedida en un préstamo por el método alemán si la duración de la operación es siete años y los valores de las cuotas de amortización tercera y cuarta son respectivamente 97.359 y 110.635,23 euros.
Sol: C0 = 800.000 euros
Da la confusión existente en definir el método alemán en la amortización de un préstamo, en este ejemplo se lo considera un método derivado del método francés (término amortizativos constantes), abonando los intereses al inicio de cada período.
No es muy usado porque supone realizar el desembolso de intereses y amortización en fechas diferentes (el primero, al inicio y el segundo, al final). Esto supone la imposibilidad de sumar las cuantías aritméticamente para obtener el término amortizativo. Para solventar este inconveniente, se opera como en el método francés y, posteriormente, se actualiza los intereses.
El gráfico de los devengos con una tasa de interés constante es:
h-1 h
Cp[h-2]i+A[h-1] Cp[h-1]i+A[h] Cp[h]i+A[h+1]
i
Cp[h-1] Cp[h] Cp[h+1]
En el método alemán, los intereses se abonan al principio del período; su importe se calcula actualizando el interés devengado al final del mismo período; esto es,
𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖(1 + 𝑖)−1= 𝐶𝑝[ℎ − 1] 𝑖 1 + 𝑖 ⏞ 𝑖∗ = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖∗ Es decir, 𝑖∗= 𝑖 1 + 𝑖↔ 𝑖 = 𝑖∗ 1 − 𝑖∗
Donde 𝑖∗ es la tasa de interés prepagable que suele figurar como dato en el método alemán. Estas relaciones nos permiten
operar con devengos normales (pospagables) y calcular los devengos prepagables del método alemán. Operando con devengos pospagables:
𝐼[ℎ] = 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ]
𝐼[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖} → 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖 𝐼[ℎ + 1] = 𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1]
𝐼[ℎ + 1] = 𝐶𝑝[ℎ]𝑖 } → 𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1] = 𝐶𝑝[ℎ]𝑖
Como los términos amortizativos son iguales:
𝑎[ℎ] = 𝑎[ℎ + 1]
Con lo que resulta:
𝐴[ℎ] + 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖 = 𝐴[ℎ + 1] + 𝐶𝑝[ℎ]𝑖
Pero 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1] − 𝐶𝑝[ℎ], que sustituyendo y operando concluye:
𝑖 =𝐴[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ] 𝐴[ℎ]
De donde, sustituyendo valores:
𝑖 =𝐴[4] − 𝐴[3] 𝐴[3] =
110635′23 − 97359
97359 = 0′136364
Tomando el término amortizativo a[h]=x como desconocido, determinamos la expresión funcional de la cuota de amortización.
Verificamos la validez de la expr4esión particularizando para los valores dados.
Conocido el valor del término amortizativo (pospagable), el valor del principal es inmediato.
n 7;i1 0.136364; Cp h : jh 1 n x kh1 j 1 i1 1; A h : x Cp h 1 i1; NSolve A 4 110 635.23,x x 184 486. NSolve A 3 97 359,x x 184486. C0 j1 n x k1 j 1 i1 1 .x 184 486 800 000.
Problema 3.1-9
Se obtiene un préstamo de 500.000 euros amortizable en 20 años mediante una renta variable en progresión aritmética de razón 2.000, al tipo de interés del 6%.
Se pide:
a) Formar las cinco primeras líneas del cuadro de amortización.
b) ¿Qué valor debería tener la razón de la progresión para que la deuda no aumentara? Sol: a1 = 28.381,98 euros;Sol: d = 1.788,75 euros
Se forma la expresión funcional de la progresión aritmética (primer término a1 desconocido) y se resuelve la ecuaci´ñon de equivalencia financiera respecto al inicio:
Se determina la expresión funcional de todos los parámetros:
Tabla de amortización
No entiendo la segunda pregunta.
C0 500 000; n 20; a h : x 2000 h 1 ;i1 0.06; a1 x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,x 28 382. a h : a1 2000 h 1 ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 4, n , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 28 382. 30 000. 1618.02 501 618. 1618.02 2 30 382. 30 097.1 284.902 501 333. 1333.11 3 32 382. 30 080. 2302. 499 031. 968.882 4 34 382. 29 941.9 4440.12 494 591. 5409. 20 66 382. 3757.47 62 624.5 0 500 000.
Problema 3.1-10
Se obtiene un préstamo en las siguientes condiciones: - Capital prestado: 1.500.000 euros
- Tipo de interés anual: 10%
- Duración de la operación: 10 años
- Amortización mediante anualidades variables en progresión aritmética de razón 20.000 Obtener los elementos del cuadro de amortización para el quinto año.
Sol: a5 = 249.608,88 euros
La expresión genérica del término de la progresión aritmética es:
El primer término de la progresión se obtiene el resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio.
Se reescribe la expresión del término general de la progresión . Las expresiones funcionales del resto de parámetros son:
Tabla de amortización C0 1.5 106; n 10;i1 0.1; a h : x 20000 h 1 ; a1 x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,x 169 609. a h : 169609 20 000 h 1 ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 3, 4, 5, n , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 169 609 150 000. 19 608.9 1.48039 106 19 608.9 2 189 609 148 039. 41 569.8 1.43882 106 61 178.7 3 209 609 143 882. 65 726.8 1.3731 106 126 906. 4 229 609 137 310. 92 299.5 1.2808 106 219 205. 5 249 609 128 080. 121 529. 1.15927 106 340 734. 10 349 609 31 782.6 317 826. 0 1.5 106
Problema 3.1-11
La cuota de amortización correspondiente al tercer año de un préstamo reembolsable al 5% en cinco años por el sistema alemán asciende a 379.002,10 euros Determinar el importe del préstamo suponiendo que las anualidades son constantes.
Sol: C0 = 1.900.000 euros
El gráfico de los devengos con una tasa de interés constante es:
h-1 h
Cp[h-2]i+A[h-1] Cp[h-1]i+A[h] Cp[h]i+A[h+1]
i
Cp[h-1] Cp[h] Cp[h+1]
En el método alemán, los intereses se abonan al principio del período; su importe se calcula actualizando el interés devengado al final del mismo período; esto es,
𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖(1 + 𝑖)−1= 𝐶𝑝[ℎ − 1] 𝑖 1 + 𝑖 ⏞ 𝑖∗ = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖∗ Es decir, 𝑖∗= 𝑖 1 + 𝑖↔ 𝑖 = 𝑖∗ 1 − 𝑖∗
Donde 𝑖∗ es la tasa de interés prepagable que suele figurar como dato en el método alemán. Estas relaciones nos permiten
operar con devengos normales (pospagables) y calcular los devengos prepagables del método alemán. Operando con devengos pospagables:
𝐼[ℎ] = 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ]
𝐼[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖} → 𝑎[ℎ] − 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖 𝐼[ℎ + 1] = 𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1]
𝐼[ℎ + 1] = 𝐶𝑝[ℎ]𝑖 } → 𝑎[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ + 1] = 𝐶𝑝[ℎ]𝑖
Como los términos amortizativos son iguales:
𝑎[ℎ] = 𝑎[ℎ + 1]
Con lo que resulta:
𝐴[ℎ] + 𝐶𝑝[ℎ − 1]𝑖 = 𝐴[ℎ + 1] + 𝐶𝑝[ℎ]𝑖
Pero 𝐴[ℎ] = 𝐶𝑝[ℎ − 1] − 𝐶𝑝[ℎ], que sustituyendo y operando concluye:
𝑖 =𝐴[ℎ + 1] − 𝐴[ℎ] 𝐴[ℎ]
Teniendo en cuenta que el tanto en un sistema alemán se refiere al tanto de prepagable 𝑖0, calculamos el tanto efectivo equivalente de capitalización 𝑖1
Con este tanto efectivo, tratamos el préstamo como un préstamo por el sistema francés (término amortizativo constante). Denotando con “x” este término amortizativo constante, determinamos las expresiones funcionales:
i1
0.05
Nótese que todas las expresiones son funciones del término amortizativo “x”.
Resolviendo la ecuación de la cuota de amortización dada, obtenemos el valor de “x”; posteriormente, por sustitución, calculamos el valor del préstamo.
Tabla de amortización a h : x; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; xx x . First NSolve A 3 379 002.10,x 442 049. a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 442 049. 100 000. 342 049. 1.55795 106 342 049. 2 442 049. 81 997.4 360 052. 1.1979 106 702 101. 3 442 049. 63 047.3 379 002. 818 897. 1.0811 106 4 442 049. 43 099.8 398 950. 419 947. 1.48005 106 5 442 049. 22 102.5 419 947. 0 1.9 106
Problema 3.1-12
Formar el cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 euros amortizable en tres años, al 5% de interés anual anticipado, mediante una renta variable en progresión geométrica, siendo cada anualidad un 10% mayor que la anterior.
Sol: a1 = 31.877,34 euros
Típica redacción confusa en este tipo de problemas. De la solución dada se infiere que, siendo la tasa de interés anticipada 𝑖𝑎= 0′05, la tasa de interés efectiva, real, aplicable o vencida es
El resto de datos es
Pero, además, debe intuirse que la cuota de amortización es prepagable ¡Toma ya!. Es decir, se trata de una operación en cuyos períodos se aplica una tasa de interés vencida y la cuota de amortización es prepagable.
Resolviendo la ecuación de equivalencia obtengo el primer término de la progresión: ia 0.05;iv ia 1 ia 0.0526316 C0 100 000; n 3; q 1.1; a h : xqh1; xx x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 1 iv 1,x 31 877.3
Problema 3.1-13
Una sociedad obtiene un préstamo de 1.000.000 de euros en una entidad bancaria, amortizable mediante el sistema americano en 10 anualidades al 8% anual. Por otra parte, realiza imposiciones semestrales en otra entidad bancaria que capitaliza al 6% anual para constituir un capital que cancele la deuda.
Se pide:
a) Cuota de intereses del préstamo al sexto año. b) Imposición semestral constante.
Sol: I6 = 80.000 euros; Sol: C = 37.381,43 euros
La gráfica lineal del préstamo por el Banco A mediante el sistema americano es:
1 2 3 4 5 6 8 10 0 Banco A años iA1 =0'08 a[h]=I[h]=C0*iA1 a[n]==C0*iA1 +C0 C0 =106 PRESTAMO
Las diecinueve primeras anualidades (sólo intereses) se abonan al final de cada año (amortización) y, al final del veinteavo período se desembolsa el interés correspondiente al último año más el principal.
La gráfica lineal de la constitución de capital “…para constituir un capital que cancele la deuda” es:
y C0A 106;iA1 0.08; nA 10; IA h : C0iA1; AA h : If 1 h nA, 0, C0 ; aA h : IA h AA h ; MA h : j1 h AA j ; CpA h : If 1 h nA, C0, 0 ;
TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, nA , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 2 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 3 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 4 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 5 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 6 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 7 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 8 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 9 80 000. 80 000. 0 1 000 000 0 10 1.08 106 80 000. 1 000 000 0 1 000 000
Las imposiciones se realizan al principio de cada periodo (semestre), siendo el capital a constituir de la misma cuantía que el capital a desembolsar al finalizar el préstamo.
Calculamos la tasa efectiva semestral:
Para hallar la imposición semestral constante, resolvemos la ecuación de equivalencia financiera respecto al final de la operación:
Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros referidos a la constitución de capital, suponiendo que los términos constitutivos o imposiciones sean constantes y prepagables (anticipados):
𝐼[ℎ] = 𝐴[ℎ] − 𝑎[ℎ] 𝐼[ℎ] = [𝐶𝑐[ℎ − 1] + 𝑎[ℎ]]𝑖ℎ} → 𝑎[ℎ] =𝐴[ℎ] − 𝐶𝑐[ℎ − 1]𝑖ℎ 1 + 𝑖ℎ 𝐼[ℎ] =[𝐴[ℎ] + 𝐶𝑐[ℎ − 1]]𝑖ℎ 1 + 𝑖ℎ Tabla de constitución nB nA 2;iB1 0.06;iB2 1 iB1 1 2 1; yy y . First NSolve aA nA j1 nB y k j nB 1 iB2 ,y 39 212.7
Imposición o término constitutivo aB h : yy;
Capital constituido CcB h : j1 h aB j k j h 1 iB2 ; Cuota de interés IB h : CcB h 1 aB h iB2; Cuota de constitución AB h : aB h IB h ;
Capital pendiente de constituir MB h :
jh1 nB
AB j ;
TableForm Table h, aB h , IB h , AB h , CcB h , MB h , h, 1, 2, 3, 18, 19, 20 , TableHeadings None, "Semestre", "a h ", "I h ", "A h ", "Cc h ", "M h "
Semestre a h I h A h Cc h M h 1 39212.7 1159.25 40371.9 40 371.9 1.03963 106 2 39212.7 2352.76 41565.5 81 937.4 998 063. 3 39212.7 3581.56 42794.3 124 732. 955 268. 18 39212.7 27036.3 66249. 941 568. 138 432. 19 39212.7 28994.8 68207.5 1.00978 106 70 224. 20 39212.7 31011.3 70224. 1.08 106 0
Problema 3.1-14
Determinar el valor de un préstamo de 1.000.000 de euros, al final del año sexto, así como el usufructo y la nuda propiedad, si éste se amortiza en diez años por el sistema francés al 6%. Tanto de valoración aplicado: 5%
Sol: V6 = 481.781,05 euros; N6 = 415.875,66 euros; U6 = 65.905,39 euros
Se calcula el término amortizativo constante (método francés):
Se conforman las expresiones funcionales de los parámetros que interesan, aplicando la tasa de interés del préstamo:
Conviene listar la tabla de amortización para asegurar no haber cometido ningún error
El valor del préstamo a tasa de mercado es el valor actualizado a “h” de los términos amortizativos pendientes. En este caso ℎ = 6, el valor de mercado 481781 es superior al capital pendiente de amortizar 470797. Por tanto, le conviene vender el préstamo.
El usufructo es la suma de los valores actualizados de las cuotas de interés pendientes de devengar.
C0 106; n 10;i1 0.06;im 0.05; xx x . First NSolve C0 j1 n x j1 j 1 i1 1,x 135 868. a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 135 868. 60 000. 75 868. 924 132. 75 868. 2 135 868. 55 447.9 80 420. 843 712. 156 288. 3 135 868. 50 622.7 85 245.2 758 467. 241 533. 4 135 868. 45 508. 90 360. 668 107. 331 893. 5 135 868. 40 086.4 95 781.5 572 325. 427 675. 6 135 868. 34 339.5 101 528. 470 797. 529 203. 7 135 868. 28 247.8 107 620. 363 177. 636 823. 8 135 868. 21 790.6 114 077. 249 099. 750 901. 9 135 868. 14 946. 120 922. 128 177. 871 823. 10 135 868. 7690.64 128 177. 0 1. 106 V h : jh1 n a j kh 1 j 1 im 1; V 6 481 781. U h : jh1 n j kh 1 j 1 im 1;
La nuda propiedad es la suma de los valores actualizados de las cuotas de amortización pendientes de devengar.
Np h : j h1 n A j kh1 j 1 im 1; Np 6 415 876.
Problema 3.1-15
Un prestamista ha concedido un préstamo de 5.000.000 de euros, para serle reembolsado en diez años mediante anualidades con cuotas de amortización constantes, al 10% de interés anual. Al comienzo del quinto año de vida del préstamo (después de percibida la cuarta anualidad), el prestamista decide vender el préstamo a un tanto del 9%. Con la cantidad obtenida de la venta, el prestamista realiza una inversión de la que obtiene un 12%, si para la misma necesita el valor de la nuda propiedad y el 30% del usufructo, se pide determinar el valor de la inversión.
Sol: Inversión = 2.495.306,2 euros
Las expresiones funcionales de todos los parámetros son:
Obtenemos la table de amortización para verificar la validez de las expresiones:
Calculamos el valor del préstamo al final del período 4 (inicio del quinto período), valorado a la tasa de mercado.
Se aprecia que su valor es superior al capital pendiente de amortizar, reserva o capital vivo, lo cual demuestra la conveniencia de venderlo. Calculamos el valor del usufructo, de la nuda propiedad y del capital a invertir.
C0 5 106;n 10;i1 0.1; A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i1; a h : h A h ; TableForm Table h,a h , h ,A h ,Cp h ,M h , h,n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 1. 106 500 000. 500 000 4 500 000 500 000 2 950 000. 450 000. 500 000 4 000 000 1 000 000 3 900 000. 400 000. 500 000 3 500 000 1 500 000 4 850 000. 350 000. 500 000 3 000 000 2 000 000 5 800 000. 300 000. 500 000 2 500 000 2 500 000 6 750 000. 250 000. 500 000 2 000 000 3 000 000 7 700 000. 200 000. 500 000 1 500 000 3 500 000 8 650 000. 150 000. 500 000 1 000 000 4 000 000 9 600 000. 100 000. 500 000 500 000 4 500 000 10 550 000. 50 000. 500 000 0 5 000 000 im 0.09; V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; V 4 3.08412 106 U h : j h1 n j kh1 j 1 im 1; Np h : j h1 n A j kh 1 j 1 im 1; Np 4 0.3U 4 2.49531 106
