Fundamentos de las operaciones financieras

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1 PROBLEMAS PRÉSTAMOS

¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.

1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) 2.1-1

1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) ¡Error! Marcador no definido.

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Problemas préstamos

2.1 Problemas préstamos (Universidad de Albacete)

Problema 2.1-1

Se concede un préstamo personal de 8.000 euros amortizable en 10 años mediante términos amortizativos semestrales, donde las cuotas de amortización son idénticas en todos y cada uno de los períodos.

Dicho préstamo se ha pactado a un tanto nominal anual pagadero semestralmente del 6,5%. Con estos datos, se pide: a) Cuantía de las cuotas de amortización constantes.

b) Capital pendiente de amortizar al finalizar el segundo año. c) Cuantía del quinto término amortizativo.

d) Cuota de interés correspondiente al último término amortizativo. e) Tanto efectivo de la operación pura.

Solución: a) A=400 €; b) C4=6400 €; c) a5=608 €; d) I20=13; e) i=0’066056

1 2 4 5 x x x x x x x x x x 0 i2 C0 16 17 19 20

Como las amortizaciones son semestrales, interesa que los períodos sean semestres y que la tasa de interés sea semestral:

Las expresiones funcionales de los parámetros que interesan son:

Tabla de amortización

Es la tabla de amortización de los períodos más interesantes.

El tanto efectivo de la operación pura (sin gastos) es igual a la tasa efectiva anual constante:

C0 8000;J2 0.065;i2 J2 2 ; n 10 2; A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i2; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 4, 5, 20 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h

1 660. 260. 400 7600 400

4 621. 221. 400 6400 1600

5 608. 208. 400 6000 2000

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ief 1 i2 2 1

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Dado un préstamo de las siguientes características:

• C0: 9.000 euros

• Tanto nominal anual pagadero trimestralmente: 6%

• Duración: 10 años

• Términos amortizativos trimestrales constantes

• Comisión de apertura: 1% En estas condiciones, se pide:

a) Cuantía de los términos amortizativos

b) Capital pendiente de amortizar al principio del cuarto año c) Capital pendiente de amortizar al finalizar el décimo año d) Cuantía de la primera y la cuarta cuotas de amortización e) Cuantía de la decimotercera cuota de interés

f) Tanto efectivo de la operación pura.

g) Tanto efectivo de coste y de rendimiento. ¿Coinciden? ¿Por qué? 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎) 𝑎 = 300′_{84; 𝑏) 𝐶} 12= 6837′19; 𝑐) 𝐶𝑒𝑟𝑜 (𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎); 𝑑) 𝐴1= 165′84; 𝑒) 𝐼13 = 102′_{56; 𝑓) 𝑖 = 0}′_{06136655; 𝑔) 𝑖} 𝑝= 0′06367343; 𝑖𝑎= 𝑖𝑝 1 2 4 5 x x x x x x x x x x 0 i4 C0 36 37 39 40

Como las amortizaciones son trimestrales, interesa que los períodos sean trimestres y que la tasa de interés sea trimestral:

Los términos amortizativos constantes se calculan resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la operación:

Las expresiones funcionales de los parámetros que interesan son:

C0 9000;J4 0.06;i4 J4 4; n 4 10; ComAp 0.01 C0; xx x . First NSolve C0 j 1 n x k1 j 1 i4 1,x 300.844 a h : xx; Cp h : j h1 n a j kh1 j 1 i4 1; h : Cp h 1 i4; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ;

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Los valores del capital pendiente de amortizar al final del trimestre doce (inicio tercer año), del capital pendiente de amortizar al final de la operación (trimestre 40), de la primera y cuarta cuotas de amortización y de la cuota de interés del trimestre trece son:

Una información más completa se aprecia en la tabla de amortización:

El único gasto que hay es el de la comisión de apertura (bilateral) imputable al prestatario. Por tanto, la tasa de coste y rendimiento coinciden

Cp 12 , Cp 40 , A 1 , A 4 , 13 6837.19, 0, 165.844, 173.419, 102.558

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 4, 12, 13, 40 , TableHeadings None, "Trimestre", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trimestre a h I h A h Cp h M h 1 300.844 135. 165.844 8834.16 165.844 4 300.844 127.425 173.419 8321.55 678.451 12 300.844 105.488 195.356 6837.19 2162.81 13 300.844 102.558 198.286 6638.91 2361.09 40 300.844 4.44597 296.398 0 9000. FindRoot C0 ComAp j1 n a j k 1 j 1 y 1, y,i4 y 0.0155518 ief 1 0.0155518 4 1 0.0636735

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Se concede un préstamo de 5.000 euros para ser amortizado a lo largo de diez años mediante el abono de una anualidad constante a partir del quinto año, pagándose únicamente las correspondientes cuotas de interés durante los cuatro primeros periodos.

Si el rédito anual de valoración, constante a lo largo de toda la operación, es del 9%, determínese: a) Cuantía de las anualidades constantes que permiten amortizar el préstamo

b) Capital vivo al principio del sexto año

c) Capital amortizado durante los seis primeros años

d) Composición del término amortizativo del octavo año (desglose en cuota de interés y cuota de amortización). 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎)𝑎1= 𝑎2 = ⋯ = 𝑎4 = 450; 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑎 = 1114′60; 𝑏) 𝐶5= 4335′40; 𝑐) 𝑀6= 1389′01 𝑑) 𝐼8= 253′92; 𝐴8= 860′68 1 2 3 4 5 6 7 8 10 0 x x x x x x C0 i1 C0 i1 C0 i1 C0 i1

Se paga sólo intereses C0 i1

C0

Al pagar los intereses correspondientes a los cuatro primeros años, el capital pendiente de amortizar el inicio del quinto año es igual al capital inicial C0 (principal). Por tanto, se trataría de un préstamo del quinto al décimo año (ojo

con los límites del sumatorio y del productorio).

Las expresiones funcionales son:

Los valores pedidos son:

Tabla de amortización C0 5000; n 10;i1 0.09; xx x . First NSolve C0 j5 n x k5 j 1 i1 1,x 1114.6 a h : Which 1 h 4, C0i1, 5 h 10, xx ; Cp h : jh1 n a j kk h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; Cp 5 , M 6 , 8 , A 8 4335.4, 1389.01, 253.924, 860.675

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TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Trimestre", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trimestre a h I h A h Cp h M h 1 450. 450. 1.7053 1013 _5000. _{1.7053 10}13 2 450. 450. 1.7053 1013 _5000. _{3.41061 10} 13 3 450. 450. 1.13687 10 13 _5000. _{4.54747 10} 13 4 450. 450. 1.13687 10 13 5000. 5.68434 10 13 5 1114.6 450. 664.599 4335.4 664.599 6 1114.6 390.186 724.413 3610.99 1389.01 7 1114.6 324.989 789.61 2821.38 2178.62 8 1114.6 253.924 860.675 1960.7 3039.3 9 1114.6 176.463 938.136 1022.57 3977.43 10 1114.6 92.0311 1022.57 0 5000.

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En un préstamo definido por:

• C0: 25.000 euros

• Tanto nominal anual pagadero mensualmente: 6,50%

• Duración: 8 años

• Términos amortizativos mensuales constantes

• Comisión de apertura: 1%

• Comisión de cancelación anticipada: 1,5% Con estos datos, obténgase:

a) Cuantía de los términos amortizativos mensuales. b) Capital vivo al principio del quinto año.

c) Descomposición del sexto término amortizativo. d) Variación del saldo entre el 4º y 5º año.

e) Tanto efectivo de coste para el prestatario si la operación llega a término. f) Tanto efectivo de coste si la operación se cancela a los cinco años.

Solución: 𝑎) 𝑖12= 0′00541667; 𝑎 = 334′66; 𝑏) 𝐶48= 14111′6; 𝑐) 𝐼6= 129′96; 𝐶5= 23992′95; 𝐴6= 204′69; 𝑑) 𝐶48= 14111′60; 𝐶60= 10918′98; 𝐶60− 𝐶48= 3192′62 𝑓) 𝐶𝑜𝑚𝐶𝑎𝑛 𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎= 163 ′_{78; 𝑖} 𝑝12= 0′0058 → 𝑖 = 0′0718678 1 2 3 4 5 6 0 C0 i12 91 92 93 94 95 96

a[h]=Cte 8 años =96 meeses a[h]=Cte

El término amortizativo constante se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Las expresiones funcionales del resto de parámetros son:

Tabla resumida de amortización

C0 25 000; n 8 12;J12 0.065;i12 J12 12; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i12 1,x 334.656 a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i12 1; h : Cp h 1 i12; A h : a h h ; M h : j1 h A j ;

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La comisión de apertura es una contraprestación imputable al prestatario al inicio de la operación:

1 2

0

58 59

C0 -ComAp

a[h]=Cte 5 años =60 meses a[h]=Cte Cp[60]+ComCan

i12

Cancelación

Contraprestación Contraprestación

Prestación

Resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio, considerando la tasa constante “y”:

Su valor anual es:

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 6, 48, 60, n , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 334.656 135.417 199.239 24 800.8 199.239 6 334.656 129.962 204.694 23 788.3 1211.74 48 334.656 77.829 256.827 14 111.6 10 888.4 60 334.656 60.6288 274.027 10 919. 14 081. 96 334.656 1.80295 332.853 0 25 000. ComAp 0.01 C0; FindRoot C0 ComAp j 1 n a j k1 j 1 y 1, y,i12 y 0.00564487 ief 1 0.00564487 12 1 0.0698816 ComCan h : 0.015 Cp h ; FindRoot C0 ComAp j1 60 a j k1 j 1 y 1 Cp 60 ComCan 60 k1 60 1 y 1, y,i12 y 0.00580032 icoste 1 0.00580032 12 1 0.0718678

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Dada una operación de amortización de 40.000€ a diez años y valorada en capitalización compuesta al 4,2 % nominal anual, obténgase la cuantía de los términos amortizativos y el valor de la reserva a los tres años en los siguientes casos:

a) Términos anuales constantes. b) Términos mensuales constantes.

c) Términos anuales crecientes en progresión geométrica un 3% cada año. d) Términos anuales crecientes en progresión geométrica un 4,2% cada año. e) Términos mensuales crecientes un 0,15 % cada mes.

f) Términos mensuales constantes durante el año y crecientes un 3 % interanualmente. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑎)𝑎 = 4980′86; 𝐶3= 29675′68; 𝑏) 𝑎 = 408′79; 𝐶36= 29706′54;

𝑐) 𝑎 = 4388′_{59; 𝐶}

3= 31123′73; 𝑑) 𝑎 = 4168; 𝐶3= 31678′25

𝑒) 𝑎 = 375′_{76; 𝐶}

36= 30595′63; 𝑓) 𝑎 = 360′23; 𝐶3= 31159′14

La redacción del enunciado es un tanto confusa porque dice “…capitalización compuesta al 4,2 % nominal anual…” lo cual debe entenderse como 𝐽1= 0′042 para todo el problema. Sin embargo, en la resolución, se toma 𝐽1 ó 𝐽12, según proceda.

a) Términos anuales constantes.

b) Términos mensuales constantes.

c) Términos anuales crecientes en progresión geométrica un 3% cada año.

Primeramente, se determina la expresión genérica del término de la progresión geométrica, cuyo primer elemento 𝑎1 se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia financiera respecto al inicio.

icoste 1 0.00580032 12 1 0.0718678 i1 J1; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i1 1,x 4980.86 a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; Cp 3 29 675.7 i12 1 i1 1 12 _1; yy y . First NSolve C0 j 1 n 12 y k1 j 1 i12 1,y 407.29 a h : yy; Cp h : jh1 n 12 a j kh 1 j 1 i12 1; Cp 36 29 675.7

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Con el resultado obtenido, se reescribe el término general de la progresión geométrica, con el que se determina la expresión funcional del capital pendiente.

d) Términos anuales crecientes en progresión geométrica un 4,2% cada año. Es idéntico al caso anterior. Sólo varía la razón de la progresión geométrica.

e) Términos mensuales crecientes un 0,15 % cada mes.

f) Términos mensuales constantes durante el año y crecientes un 3 % interanualmente.

a h : z 1.03h1; zz z . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,z 4388.59 a h : zz 1.03h1; Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i1 1; Cp 3 31 123.7 a h : z 1.042h1; zz z . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,z 4168. a h : zz 1.048h1; Cp h : jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; Cp 3 32 790.7 a h : z 1.0015h1; zz z . First NSolve C0 j 1 n 12 a j k1 j 1 i12 1,z 374.335 a h : zz 1.0015h1; Cp h : jh1 n 12 a j kh 1 j 1 i12 1; Cp 36 30 562. a h : s 1.03Ceiling h 12 1_; NSolve C0 j1 n 12 a j k1 j 1 i12 1,s s 358.859 a h : 358.859 1.03Ceiling h 12 1_; Cp h : jh 1 n 12 a j kh1 j 1 i12 1; Cp 36 31 123.8

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En un préstamo hipotecario definido por: Co = 75.000€.

n = 15 años.

Tipo de interés nominal anual: 9%.

Términos amortizativos mensuales constantes durante el año, pero crecientes cada año un 2% en progresión geométrica.

Comisión de apertura: 1% s/ Co.

Comisión de cancelación anticipada: 2% sobre el capital que se amortiza. Gastos iniciales de hipoteca (unilaterales y a cargo del prestatario): 2.000€. Determínese:

a) Cuantía de los términos amortizativos de los dos primeros años. b) El capital vivo al final del quinto año.

c) Tanto efectivo de coste y tanto de rendimiento si la operación llega a término.

Solución: (a) a=681,58; a=695’21; (b) 𝐶5= 64109,95; (c) 𝑖𝑝= 0′100416; 𝑖𝑎= 0,09557

1 2 4 177 178 180

0

iA12

aA[h]=a1*q Ceiling[h/12]-1

A

¡OJO! Aunque el enunciado dice “…interés nominal anual…” debe notarse que la amortización es mensual. Por tanto, debe entenderse como “…interés nominal anual, capitalizable mensualmente…”.

Se emplea el subíndice A porque este desarrollo tiene su continuación en el problema nº7.

Resulta evidente que la unidad temporal coherente es el mes.

Como las imposiciones son mensuales, constantes en el año, y la progresión geométrica es anual, empleamos el comando Cieling ( Redondeo por arriba) para obtener doce valores iguales por año.

Se determina la expresión del término general de la progresión geométrica correspondiente al término amortizativo. El primer término de dicha expresión se obtiene a resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la operación.

Obtenido el primer término de la progresión geométrica, se reescribe la expresión de la misma y las funciones del resto de parámetros. CA0 75000; nA 15 12;JA12 0.09;iA12 J12 12; a h : x 1.02Ceiling h 12 1_; xx x . First NSolve CA0 j1 nA a j k1 j 1 iA12 1,x 681.579

(15)

El resultado del primer término amortizativo obtenido no coincide con la solución del libro. Veamos la validez de los resultados confeccionando la tabla de amortización.

Debemos recordar que, cuando el número de períodos es relativamente elevado (>100 períodos), el cálculo se demora bastante (inconveniente de los sumatorios de productorios), por lo que conviene confeccionar la tabla con los períodos interesantes.

Tabla de amortización

El tanto de coste para el prestatario se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia considerando la cuantía realmente (efectivamente) percibida y las cuantías amortizadas a un tanto efectivo constante.

Como la operación llega a término (no se cancela anticipadamente), el tanto de rendimiento para el prestamista es igual al tanto de la operación. aA h : xx 1.02Ceiling h 12 1_; CpA h : jh 1 nA aA j kh1 j 1 iA12 1; IA h : CpA h 1 iA12; AA h : aA h IA h ; MA h : j1 h AA j ;

TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, 1, 13, 60, 180 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h

1 681.579 562.5 119.079 74 880.9 119.079

13 695.21 551.33 143.881 73 366.7 1633.27

60 737.763 482.737 255.025 64 109.9 10 890.1

180 899.329 6.69475 892.634 0 75 000.

ComAp 0.01 CA0;GA0 2000; ComCan h : 0.02 CpA h ;

FindRoot CA0 ComAp GA0 j1 nA aA j k 1 j 1 y 1, y,iA12 y 0.00800597 icosteA 1 0.00800597 12 1 0.100417 iprestamistaA 1 iA12 12 1 0.0938069

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Transcurridos 5 años, el prestatario del problema anterior (6), decide cancelar anticipadamente la operación para beneficiarse del descenso sufrido por los tipos de interés. Por ello, analiza la oferta de una entidad bancaria que otorga préstamos en las siguientes condiciones:

Cuantía del préstamo: hasta 90.000€. Plazo máximo de la operación: 12 años. Términos amortizativos mensuales constantes.

Tipo de interés nominal: 6% fijo para toda la operación.

Gastos iniciales bilaterales a cargo de prestatario: 1,5% sobre el capital prestado. Gastos iniciales unilaterales a cargo de prestatario: 2.000€

En estas condiciones, obténgase:

a) Términos amortizativos de esta operación en el supuesto de que la cuantía del préstamo sea la cantidad necesaria para cancelar la operación anterior y la duración de la nueva operación sea de 10 años.

b) Tanto efectivo de coste de la financiación conjunta si se decide a llevar a cabo la cancelación del préstamo original y concertación del nuevo. ¿Le ha compensado cancelar anticipadamente el préstamo original para contratar éste?

Solución: 61 62 178 179 0 iB12 aB[h]=Cte CB0=CpA[60]-ComCan B

El capital pendiente de amortización al final del quinto año (mes 60) es:

El importe de la comisión por cancelación anticipada es:

Esta nueva oferta debe interpretarse como un nuevo crédito en el que le principal es la suma del capital pendiente de amortizar al final del quinto año (mes 60) más la comisión por cancelación anticipada. Además, el importe es inferior a cuantía máxima que puede solicitar.

El prestatario acepta la oferta a un tanto nominal anual capitalizable mensualmente 𝐽12= 0′06 , manteniendo el final del préstamo anterior (10 años=120 meses). Cp 60 64 109.9 ComCan 60 1282.2 CB0 Cp 60 ComCan 60 ; JB12 0.06;iB12 JB12 12 ; nB 180 60; zz z . First NSolve CB0 j61 nA z j 61 j 1 iB12 1,z 725.987

(17)

Nótese que se han tomado como límites del sumatorio {61, 180} para indicar que la operación financiera termina en el mes 180 (año 15) inicial, esto es, no se prorroga hasta el final posible de la operación B. Se obtendría el mismo resultado si se tomarán como límites {1, nA}.

Tanto efectivo de coste, tanto efectivo deudor

Gastos iniciales bilaterales 1’5% s/ capital que se presta: Gasto bilateral a cargo del prestatario y a favor del prestamista.

Gastos iniciales de hipoteca (unilaterales y a cargo del prestatario): 2.000€.

El tanto anual será:

Es un tanto inferior al de la operación A: 0′_{0727 < 0′10}

Tanto efectivo de rendimiento, tanto efectivo acreedor

Comisión de apertura 2% s/ capital que se amortiza: Gasto bilateral a cargo del prestatario y a favor del prestamista. aB h : zz; FindRoot CB0 0.015 CB0 2000 j61 nA aB j k61 j 1 i 1, i,iB12 i 0.00586801 icosteB 1 0.00586801 12 1 0.0727338

(18)

El Sr. Pérez concertó con el Banco Rojo la siguiente operación de préstamo: t0 = 15.11.03

C0 = 60.000 euros n = 10 años

Tipo de interés nominal fijo para toda la operación: 7,00% Términos amortizativos mensuales constantes.

Gastos iniciales bilaterales a cargo del prestatario: 1,50% s/C0 En estas condiciones, obténgase:

1) Cuantía de los términos amortizativos

2) Si el 15.11.05 se plantea llevar a cabo una amortización parcial de la operación por importe de 8.000 euros, analícense las siguientes posibilidades:

a) Cuantía de los nuevos términos amortizativos si opta por dedicar el capital adicional a disminuir su cuantía.

b) Modificación sufrida por la operación en caso de que mantenga la misma cuantía de los términos y opte por reducir la duración.

3) Tanto efectivo de coste en ambos supuestos, teniendo en cuenta que la modificación de las condiciones contractuales está penalizada con un 1% de la cuantía amortizada anticipadamente.

1 2 118

0

i12

a[h]=Cte

C0

Como las amortizaciones son mensuales, el interés “nominal” se entiende que se capitaliza mensualmente. Por tanto, debe leerse como J12=0’07

Para obtener el término amortizativo constante, se resuelve la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Determinamos las expresiones funcionales del término amortizativo y del capital pendiente de amortizar:

C0 60000;n 10 12;J12 0.07;i12 J12 12 0.00583333 xx x . First NSolve C0 j1 n x k 1 j 1 i12 1,x 696.651

(19)

Si, al final del segundo año (mes 24), el prestatario abona 8000 € con el fin de reducir el término amortizativo:

1 2 24 25 118 119

0 a[h]=Cte _Cp[24]-8000 b[h]<a[h]=Cte

El nuevo término amortizativo se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al final del período 24:

Si, al final del segundo año (mes 24), el prestatario abona 8000 € con el fin de reducir el número de períodos del préstamo, debemos calcular el nuevo número de períodos, manteniendo el término amortizativo inicial:

1 2 24 25

0 a[h]=Cte _Cp[24]-8000

z a[h]=Cte

Es decir, que, manteniendo el término amortizativo inicial a[h]=696’651 y la tasa de interési12, la duración del

préstamo se reduciría de 120 a 101 meses.

Tanto efectivo de coste, tanto efectivo deudor: a)Gastos iniciales bilaterales 1’5% s/ capital que se presta: Gasto bilateral a cargo del prestatario y a favor del prestamista G0. b) Comisión de cancelación o amortización adelantada

sobre el monto amortizado M[24]

a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i12 1; yy y . First NSolve Cp 24 8000 j25 n y k25 j 1 i12 1,y 587.581 b h : yy; NSolve Cp 24 8000 j25 z a j k25 j 1 i12 1,z z 100.964 FindRoot C0 0.015 C0 j 1 24 a j k1 j 1 i 1 8000 j 25 n b j k25 j 1 i 1 1 i 24, i,i12 i 0.00614818 1 0.00614818 12 1 0.0763248

(20)

C0= 36.000€.

Tipo de interés indexado. Períodos de interés anuales.

Tipo de interés nominal aplicable al 1er. período: 4,8%.

Resto de la operación: Valor del índice de referencia más un diferencial de 0,75 puntos porcentuales. Tipo de interés nominal máximo (cap): 7%

Tipo de interés nominal mínimo (floor): 3,5%

Gastos iniciales bilaterales a cargo de prestatario: 1% s/C0. Con tres posibles modalidades:

A) Términos amortizativos mensuales constantes y duración máxima 5 años. En este caso, hay dos posibilidades:

A.1) Los términos amortizativos constantes serán de 600 euros al mes. A.2) Los términos amortizativos constantes serán de 1000 euros al mes. B) Cuotas de amortización mensuales constantes y 5 años de duración.

C) Términos amortizativos mensuales, constantes durante el año y variables de año a año según la evolución del índice de referencia y 5 años de duración.

Obtenga los términos amortizativos bajo las tres modalidades sabiendo que el valor tomado por el índice de referencia ha sido:

𝐽𝑟2 = 0′02; 𝐽𝑟3 = 0′04; 𝐽𝑟4= 0′055; 𝐽𝑟5 = 0′0675

Asimismo, obtenga el tanto efectivo de coste asociado a cada caso en particular.

Las tasas de interés son de variación y aplicación anual, pero los términos amortizativos se desembolsan mensualmente. Por consiguiente, se debe operar con tasas de interés mensuales, constantes en cada año.

Tasas anuales de referencia más el diferencial:

Son las tasas nominales mensuales aplicables.

Como dichas tasas deben oscilar entre un valor mínimo y uno máximo dados 0′035 ≤ 𝐽1≤ 0′07, resultan las tasas efectivas, incluida la tasa inicial:

Son tasas efectivas mensuales, aplicables cada uno de los cinco años.

C0 36 000;

Jref 0.02, 0.04, 0.055, 0.0675 ;

Jmax 0.07;

Jmin 0.035; Nominal mensual

Japl Jref 0.0075 0.0275, 0.0475, 0.0625, 0.075 JJ12 0.048, 0.035, 0.0475, 0.0625, 0.07 ; ii12 JJ12 12 0.004, 0.00291667, 0.00395833, 0.00520833, 0.00583333

(21)

Para construir la expresión funcional de las tasas de interés, confeccionamos la lista mensual (tasas repetidas 12 veces cada año) porque facilita el cálculo posterior:

Caso: A.1) Los términos amortizativos constantes serán de 600 euros al mes.

1 12 13 24 25 36 37 48 49 60 0 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 iA12 iB12 iC12 iD12 iE12 C0 =36000 600 i[h]

Veamos si con el término amortizativo constante a[h]=600 vamos a satisfacer o no el préstamo.

El resultado indica claramente no se alcanza a pagar el préstamo inicial, es decir, deberíamos abonar 74.106 € más en cada mensualidad.

El estudio estático respecto al inicio (actualización) y respecto al final

las diferencias (en defecto) en el inicio y al final (capitalización).

Calculamos el tanto efectivo teniendo en cuenta que, al final de la operación, se ha de pagar un complemento de 5144’99 €, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

El tanto anual es:

Caso: A.2) Los términos amortizativos constantes serán de 1000 euros al mes.

Resulta evidente que abonando un término amortizativo constante a[h]=1000, se satisface con exceso el principal.

Los excesos respecto al inicio y al final (capital pendiente de amortizar) son:

i h : ii12 Ceiling h 12 ; i 12 , i 24 , i 36 , i 48 , i 60 0.004, 0.00291667, 0.00395833, 0.00520833, 0.00583333 n 5 12; a h : 600; NSolve C0 j1 n x k 1 j 1 i k 1,x x 674.106 C0 j 1 n a j k1 j 1 i k 1, C0 k1 n 1 i k j 1 n a j k j1 n 1 i k 3957.56, 5144.99 G0 0.01 C0; NSolve C0 G0 j1 n a j k1 j 1 i12 1 5144.99 k1 n

1 i12 1,i12 0 ,i12

i12 0.00430729 ie1 1 0.00430729 12 1 0.0529297 n 5 12; a h : 1000; NSolve C0 j1 n x k 1 j 1 i k 1,x x 674.106

(22)

Un dato interesante a obtener es determinar el número de períodos (meses) que han de transcurrir para amortizar exactamente el préstamo. Algebraícamente es obtener el valor de “n” (límite superior) de la diferencia anterior para que dicha diferencia valga cero. Como dicha diferencia responde a una función a trozos y la tasa de interés es variable como función a trozos, se resuelve por aproximación, dando valores.

Entre los períodos 38 y 39, el capital pendiente de amortizar cambia de signo. Por tanto, al abonar la mensualidad 39, habremos amortizado la totalidad del préstamo, y habremos pagado un exceso de 337’515€ de más.

Al igual que en el caso anterior, el tanto efectivo se calcula:

El tanto anual es:

C0 j 1 a j k1 1 i k , C0 k1 1 i k j 1 a j k j1 1 i k 17 404.1, 22 625.9 TableForm Table x, C0 j1 x a j k1 j 1 i k 1, C0 k1 x 1 i k j1 x a j k j1 x 1 i k , x, 37, 40 37 1441.37 1650.46 38 572.581 659.053 39 291.712 337.515 40 1151.53 1339.27 G0 0.01 C0; NSolve C0 G0 j1 39 a j k1 j 1 i12 1 337.51 k1 39

1 i12 1,i12 0 ,i12

i12 0.00416706

ie1 1 0.00416706 12 1

(23)

Caso B) Cuotas de amortización mensuales constantes y 5 años de duración. Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros que interesan:

Construimos la tabla de amortización para verificar la validez de las expresiones:

En este caso, las mensualidades amortizan exactamente el importe del préstamo. Por tanto, para calcular el tanto efectivo sólo debemos considerar los gastos iniciales:

El tanto anual es:

n 5 12; A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i h ; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, 1, 2, 59, 60 , TableHeadings None, "Mes", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Mes a h I h A h Cp h M h 1 744. 144. 600 35 400 600 2 741.6 141.6 600 34 800 1200 59 607. 7. 600 600 35 400 60 603.5 3.5 600 0 36 000 G0 0.01 C0; NSolve C0 G0 j1 n a j k1 j

1 i12 1,i12 0 ,i12

i12 0.00424658

ie1 1 0.00424658 12 1

(24)

índice de referencia y 5 años de duración. Recordemos los datos del problema:

Expresión funcional del tanto efectivo mensual, constante cada año, pero variable de año en año.

La operación financiera se entiende mejor, si se interpreta de la siguiente manera: 1.- La duración de la operación será de 5 años (60 meses).

2.- Los tantos de referencia (y los tantos efectivos) se conocerán al principio de cada año, desconociendo los tantos para años venideros.

3.- Como los términos amortizativos dependen de los tantos de referencia, variarán con éstos.

Por consiguiente, los cálculos deberán realizarse año a año, a medida que se vayan conociendo los índices de referencia. Primer año 1 2 59 60 0 C0 i[1]=Cte. a[h]=x C0 36 000;

Jref 0.02, 0.04, 0.055, 0.0675 ; Del 2º año hasta el 5º año ;

Jmax 0.07; Nominal mensual ;

Jmin 0.035; Nominal mensual ;

Japl Jref 0.0075 Nominal mensual aplicable 0.0275, 0.0475, 0.0625, 0.075

Nominal mensual seleccionado entre máx. y mín. incluido el 1º año

JJ12 0.048, 0.035, 0.0475, 0.0625, 0.07 0.048, 0.035, 0.0475, 0.0625, 0.07

Tanto efectivo mensual

ii12 JJ12 12 0.004, 0.00291667, 0.00395833, 0.00520833, 0.00583333 i h : ii12 Ceiling h 12 ; i 12 ,i 24 ,i 36 ,i 48 ,i 60 0.004, 0.00291667, 0.00395833, 0.00520833, 0.00583333 xx x . First NSolve C0 j1 60 x k 1 j 1 i 1 1,x 676.071 aA h : xx; CpA h ; 1 h 60 : j h1 60 aA j kh1 j 1 i 1 1; CpA 12 29 472.8

(25)

© Miguel Gil Segundo año 13 14 59 60 b[h]=y Cp[12] i[13]=Cte. Tercer año 25 26 59 60 c[h]=z Cp[24] i[25]=Cte. Cuarto año 37 38 59 60 d[h]=u Cp[36] i[37]=Cte. yy y . First NSolve CpA 12 j 13 60 y k 13 j 1 i 13 1,y 658.894 aB h : yy; CpB h ; 13 h 60 : j h1 60 aB j kh1 j 1 i 13 1; CpB 24 22 486.2 zz z . First NSolve CpB 24 j25 60 z k25 j 1 i 25 1,z 671.412 aC h : zz; CpC h ; 25 h 60 : j h1 60 aC j kh1 j 1 i 25 1; CpC 36 15 343.2 uu u . First NSolve CpC 36 j37 60 u k37 j 1 i 37 1,u 681.751 aD h : uu; CpD h ; 37 h 60 : j h1 60 aD j kh1 j 1 i 37 1; CpD 48 7910.65

(26)

49 50 59 60 e[h]=v Cp[48] i[49]=Cte. vv v . First NSolve CpD 48 j49 60 v k49 j 1 i 49 1,v 684.483 aE h : vv; CpE h ; 49 h 60 : j h1 60 aE j kh1 j 1 i 49 1; CpE 60 0

(27)

Problema 2.1-10

El Sr. Martínez concertó, el 13.02.2002, una operación de préstamo hipotecario con el Banco Azul en las siguientes condiciones:

Co : 72.000€. n : 15 años.

Tipo de interés indexado. Períodos de interés anuales. Tanto nominal del primer período: 5,25%.

Resto: índice de referencia más 1,75 puntos.

Términos amortizativos mensuales constantes (en el año). Comisión de apertura: 1,75% s/C0.

Comisión de cancelación anticipada: 1% s/CS. Gastos iniciales de hipoteca: 1.800€.

En febrero de 2.004, el Sr. Martínez, se planteó la cancelación de la operación anterior para acogerse a una oferta del Banco Sur que ofrecía préstamos a tipo fijo en las siguientes condiciones:

Tipo nominal: 6%.

Comisión de apertura: 1% s/C0.

Comisión de cancelación anticipada: 2,5% s/CS. Duración máxima: 12 años.

En estas condiciones, se pide:

a) Términos amortizativos del préstamo inicial durante los dos primeros años de la operación sabiendo que el valor del índice de referencia para el segundo año ha sido del 4,75%.

b) Valor de cancelación del préstamo inicial a 13.02.2004

c) Términos amortizativos de los dos primeros años, de la nueva operación de préstamo con el Banco Sur, si la duración es de 12 años, los términos son semestrales constantes durante el año y crecientes anualmente un 2% acumulativo y la cuantía solicitada es la cantidad necesaria para cancelar la operación inicial.

La redacción del enunciado es un tanto confuso, lo que hace que la forma de resolverlo esté sujeta a la interpretación. La universidad de Sevilla lo interpreta como sigue:

La forma de enfocarlo ha de ser desde el punto de vista del prestatario. Este tiene conocimiento de las condiciones al inicio de cada año, desconociendo la evolución de la operación financiera en su conjunto. Esto obliga a que la forma de calcular ha de reajustarse cada año.

Operación con el Banco Azul Primer año

Como se desconoce los valores de referencia de los años posteriores, se toma como tasa mensual efectiva para 𝑛 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠 = 180 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠, la tasa conocida 𝑖12. 𝐽A12 = 0.0525; 𝑖A12 = 𝐽A12 12 ; C0 72000;JA12 0.0525;iA12 JA12 12 ; nA 15 12;

(28)

1 2 178 179

iA12

meses

A CpA[12]

Para calcular el término amortizativo mensual constante, se resuelve la ecuación de equivalencia respecto al inicio

Determinamos la expresión funcional del capital pendiente y la aplicamos al final del año (12 meses)

Segundo año

Se obtiene la tasa efectiva aplicando el valor de referencia más el diferencial. Como se desconoce los valores de referencia de los años siguientes, se considera que el valor obtenido es aplicable al resto de períodos.

13 14 178 179 iB12 aB[h]=Cte. meses CpA[12] B CpB[24]

De la misma forma que en el primer año, se obtiene el capital pendiente al final del segundo año (24 meses):

Operación con el Banco Sur Tercer año

Lo consideramos como una operación de préstamo de una duración de 12 años (24 semestres), cuyo principal es la cuantía pendiente más la comisión de cancelación de la operación anterior.

xx x . First NSolve C0 j1 nA x k1 j 1 iA12 1,x 578.792 aA h : xx; CpA h : jh 1 180 aA j k h1 j 1 iA12 1; CpA 12 68 757.2 JB12 0.0475 0.0175;iB12 JB12 12 ; yy y . First NSolve CpA 12

j13 nA y k13 j 1 iB12 1,y 624.381 aB h : yy; CpB h : jh 1 nA aB j k h1 j 1 iB12 1; CpB 24 65 642.1

(29)

Resulta evidente que el término amortizativo se configura como el término general de una progresión geométrica, cuyo primer término se debe calcular.

comCanB CpB 24 0.01 656.421 CC0 CpB 24 comCanA 66 298.5 nC 12 2;JC2 0.06;iC2 JC2 2 ; aC h : z1.02Ceiling h 2 1_; NSolve CC0 j1 nB aC j k1 j 1 iC2 1,z z 3551.55