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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16 UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA

Ángulo Nulo Es aquel que mide 0º

Ángulo Agudo Es aquel que mide más de 0º y menos de_90º

Ángulo Recto Es aquel que mide 90º

Ángulo Obtuso Es aquel que mide más de 90º y menos de_180º

Ángulo Extendido Es aquel que mide 180º

Ángulo Completo Es aquel que mide 360º

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones essiempreverdadera?

A) La suma de tres ángulos obtusos es un ángulo completo.

B) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo agudo es un ángulo extendido.

C) La mitad de un ángulo obtuso más la mitad de un ángulo agudo es un ángulo extendido.

D) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo extendido. E) La suma de dos ángulos agudos es un ángulo obtuso.

C u r s o :

Matemática

2. En la figura 1, ¿cuánto mide 1

5 del COB? Con los puntos A, O, B colineales.

A) 12º B) 15º C) 75º D) 90º E) 105º

3. En la figura 2, L1, L2 y L3 son rectas. Si  = 3 y = 4, entonces + es igual a

A) 22,5º B) 67,5º C) 90º D) 112,5º E) 157,5º

4. En la figura 3, six = 8a + 24º, entonces elx mide

A) 144º B) 180º C) 192º D) 216º E) 218º

5. En la figura 4, ¿cuánto mide elBOC, si = 176º?

A) 23º B) 69º C) 115º D) 184º E) 186º

6. En la figura 5, si AD es una recta y – =. Entonces, el COD mide

A) 24º B) 72º C) 90º

O

A B

7 5

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos consecutivos: Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus regiones interiores no se intersectan.

Ángulos adyacentes o: Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los par lineal otros dos lados sobre una misma recta.

Ángulos opuestos por el: Son aquellos que tienen el vértice en común y los lados de uno vértice de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

OBSERVACIONES

 Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes).

 Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, OC es bisectriz del ángulo BOD y OB es bisectriz del ángulo AOC y BOD = 80º. Entonces, ¿cuánto mide el ángulo AOC?

A) 30º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º

 y  consecutivos

 

A B C

O

 y  adyacentes

 

A B

C _O

 y  opuestos por el vértice, 



 



   

L1

L2

L1 L2

D _C

B

A O

2. En la figura 2, OAOC, OBOD. Si AOB= 45º, entonces ¿cuál es la medida de 2?

A) 20º B) 30º C) 45º D) 90º E) 135º

3. En la figura 3, si L1 y L2 son rectas, entonces 2 + 4+ 3 +  =

A) 180º B) 540º C) 720º D) 900º E) 980º

4. En la figura 4, OM  OQ, MON = 2x + 25º y NOQ = x + 35º. ¿Cuánto mide el MON?

A) 10º B) 45º C) 55,5º D) 60º E) 60,5º

5. En la figura 5, los puntos X, O e Y son colineales. Si OS  OZ y YOZ = 1

3SOX, ¿cuánto mide el ∡SOX?

A) 22,5º B) 40º C) 45º D) 67,5º E) 90º

  



L1

L2

fig. 3

fig. 4

M O

N Q

fig. 5

O Y

X S

Z



fig. 2 O

B

C A

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS

Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si  y  son ángulos complementarios,  es el complemento de  y 

es el complementode .

ó

Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si  y  son ángulos suplementarios,  es el suplementode  y es el suplementode .

ó

EJEMPLOS

1. El suplemento de 45° es A) 22,5º

B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 135º

2. El complemento de 54º es A) 27º

B) 36º C) 44º D) 54º E) 126º

3. El triple del suplemento de un ángulo es 144º. ¿Cuánto mide? A) 36º

B) 48º C) 54º D) 132º E) 144º

= 90 –  = 90 – 

 = 180 –  = 180 –

D E O

C

B

A

 

 

C A

B

4. El suplemento de (– 20º) es igual a . ¿Cuánto mide?

A) 0º B) 20º C) 80º D) 100º E) 160º

5. El suplemento de (– 25º) más el complemento de (3– 12º) es igual a

A) 205º – 4

B) 102º – 4

C) 385º – 4

D) 307º – 4

E) 295º – 4

6. La diferencia entre un ángulo y su complemento es 20º. ¿Cuánto es el suplemento de

?

A) 55º B) 115º C) 125º D) 145º E) 160º

7. Si el suplemento del ángulo (35º – ) es 160º, entonces el complemento de  es

PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

Externo:1_7; 2_8 ÁNGULOS ALTERNOS

Interno:3 5; 4 6

 Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

 Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida.

Externo:1_8; 2_7 ÁNGULOS COLATERALES

Interno:45; 3 6

 Los ángulos colaterales entre paralelas son suplementarios.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, L1// L2. Entonces, la medida delx es

A) 55º B) 70º C) 80º D) 110º E) 140º

x

110º _L2

L1

fig. 1 1

3 2 4

6 7 8

5

L1

L2

L1 L2 T

2. Si en la figura 2, L1// L2, ¿cuál es la medida del∡x?

A) 5º

B) 10º C) 20º D) 70º E) 100º

3. Si en la figura 3, BA // CD , entonces ¿cuánto mide β?

A) 35º B) 50º C) 55º D) 70º E) 125º

4. En la figura 4, L1// L2 y L3// L4. Si = 135º, ¿cuál es la medida de +?

A) 45º B) 145º C) 150º D) 180º E) 270º

5. En la figura 5, L1// L2 // L3. Si = 129º, entonces el x mide

A) 20º B) 30º C) 37º D) 43º E) 47º

fig. 4

 

L1

L2

L3 L4

fig. 5 2

 L1

L2

fig. 2 150º

40º x

L1

L2

A B

C D

5 – 70º 3

ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS TEOREMAS

 La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°.

 La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

 El ángulo exterior y su correspondiente interior son suplementarios.

 La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

EJEMPLOS

1. En elABC de la figura 1, la medida de (x +y) es

A) 180º B) 125º C) 110º D) 70º E) 55°

’ +’ +’ = 360º

’ =  + ’ =  + ’ =  +

 ++ = 180º

 ’

’ 

’



A B

C

’ += 180 ’ + = 180 ’ + = 180

C

A

B

y x

x 125º

2. En elABC de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo?

A) 40º B) 80º C) 120º D) 140º E) 160º

3. En la figura 3, si = 125º y es ángulo exterior y = 50º, entonces la medida delx es

A) 75° B) 70° C) 60° D) 55° E) 50°

4. Si en la figura 4, CD es bisectriz delBCE, = 55º, = 85°, entonces el x mide

A) 40º B) 50º C) 70º D) 90º E) 140º

5. El ABC de la figura 5, es rectángulo en C. A, B y D son colineales. Si y = 130°, entonces elx mide

A) 30º B) 40º C) 50º D) 60º E) 130º

6. En el ABC de la figura 6, AD y EB son bisectrices de los ángulos CAB y ABD, respectivamente, y FAB. La medida delx es

A) 75º B) 120º C) 122,5º

3

4

2

C

A B

fig. 2

 

x _{fig. 3}

D B

y A

x

C

fig. 5 fig. 4

A B

 

C E

D x

C

fig. 6 D

E

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

OBSERVACION:

 En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto se denomina base.

 En un triángulo isósceles los dos ángulos iguales se denominan ángulos basales.

Ángulos= Ángulos basales

 En un triángulo isósceles, al ángulo opuesto a la base, al ángulo se le llama ángulo del vértice.

Ángulo = Ángulo del vértice

EJEMPLOS

1. Según sus lados y según sus ángulos el triángulo ABC de la figura 1, es

A) escaleno y acutángulo B) escaleno y rectángulo C) isósceles y acutángulo D) isósceles y obtusángulo E) isósceles y rectángulo

Según sus lados Según sus ángulos interiores

Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida.

Acutángulo:Tiene sus tres ángulos agudos.

Isósceles:Tiene dos lados de igual medida.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida.

Obtusángulo:Tiene un ángulo obtuso.



 

B

A 4x

30º x

C fig. 1



 





 

2. Si en la figura 2, el ABC es isósceles de base AB _{y AB = AE , entonces la medida del} x es

A) 9º B) 36º C) 45º D) 54º E) 60°

3. En elABC de la figura 3, AB  BC y AD = CD . Entonces, elx mide

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º

4. En la figura 4, L1, L2 y L3 son rectas. Si el DAF =  y es suplementario con el ABG, entonces se puede asegurar que

A) AC = BC B) AB = BC C) AC = BC = AB D) AC > BC E) AB = AC

5. En la figura 5, elABD es equilátero. La medida del ángulo es

A) 130º B) 110º C) 80º D) 70º E) 60º

35º

x

D B

A

C

fig. 3 fig. 2 54º

x A

E C

B

fig. 4

A B

C

D E

F _G

L1 L2

L3

40º

A _B



C

6. En la figura 6, ABC es equilátero, y DEF isósceles de base DE, DE // AB . Si DFE = 30º, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º B) 45º C) 55º D) 60º E) 75º

7. El ABC de la figura 7 es isósceles rectángulo en C. La medida del ángulo x es

A) 9º B) 18º C) 27º D) 63º E) 72º

8. Si a un ángulo recto le quito la mitad de un ángulo de 30º y a un ángulo obtuso le quito un ángulo recto y a un ángulo recto le quito 25º, se obtienen los ángulos de un triángulo, entonces ¿Cuánto mide el ángulo obtuso?

A) 140º B) 130º C) 120º D) 110º E) 100º

fig. 6 30

A F B

D E

C x

2

3

A B

C

x

|c – b| < a < b + c |c – a| < b < a + c |a – b| < c < a + b

OTROS TEOREMAS REFERENTE A UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

 En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados y mayor que la diferencia positiva de las medidas de los otros dos lados.

 En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes valores es una posible medida del lado AB del triángulo ABC de la figura 1?

A) 6 B) 7 C) 9 D) 17 E) 20

2. En la figura 2, ¿cuál es el orden creciente de la medida de los lados del triángulo ABC?

A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a E) c, b, a

 > si y solo si a > b

_γ

γ

A B

C

b

c a

 



A B

C

5

12 fig. 1

C

a b

fig. 2

80º 70º

3. En el triángulo PQR de la figura 3 el orden creciente de la medida de los ángulos interiores es

A) ,, 

B) ,,

C) , ,

D) ,,

E) ,,

4. Si un triángulo tiene un lado que mide 3 cm, otro que mide 4 cm y el tercer lado mide un número entero, ¿Cuántos triángulos es posible construir con estas tres medidas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. En el triángulo ABC de la figura 4, el orden creciente de la medida de los lados del triángulo es

A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) c, a, b E) c, a, b

6. En el triángulo ABC de la figura 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) CD > DB II) ACD = 70º III) ABC es isósceles.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas

P Q

R

9 5

8

 

 _{fig. 3}

A B

a b

c C

fig. 4

110º 120º

130º

A D B

C

60º

70º 100º

RESPUESTAS

DMCAMA16 Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 D B C D C C

3 y 4 D D D B D

5 y 6 E B D D D C C

7 y 8 B D A E D

9 y 10 B A A C B C

11, 12 y 13 D D C A D B E B