TEMA 6 ACELERACIONES

1

UNIDAD 6. ACELERACIONES.

6.1.- CONCEPTO DE ACELERACIÓN Y UNIDADES.

Un coche circula a 6 m/s y el conductor pisa el acelerador hasta que el vehículo alcanza los 8 m/s en 1 segundo. El movimiento ya no es rectilíneo y uniforme dado que la velocidad cambia de 6 m/s a 8 m/s. El cambio de velocidad se representa por vy viene

dado por: v 8 6 2 m s

Se llama aceleración media y se representa por a, al cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo en el que se produce ese cambio:

F i

v = velocidad final; v = velocidad inicial

f i

v v v

a

t t

Las unidades de la aceleración en el S.I. son m₂ s

Para el ejemplo descrito al inicio, el cambio de velocidad es 2 m/s y se produce en un tiempo de 1 segundo, luego la aceleración media será:

2

2 2 1

v m

a

t s

EJEMPLO 1. Se pone en marcha un coche y se toman los siguientes datos de velocidad y tiempo.

V (km/h) 0 25 50 75 100 100 100

t(s) 0 5 10 15 20 25 30 a) Representa los datos de velocidad frente al tiempo.

b) Halla la aceleración de cada tramo.

5 10 15 20 25

100 75

50

25

2

TRAMO 1: Velocidad final vf =100 km/h, velocidad inicial vi=0 km/h; tiempo t=20 s

2

100 0 5 20

f i

v v

v km

a

t t s

TRAMO 2: La velocidad es constante a partir de los 20 segundos, no cambia la velocidad por lo que la aceleración es cero: a=0 km/h2

6.2.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y ACELERADO: MRUA.

A partir de la ecuación utilizada para definir el concepto de aceleración, se puede deducir una expresión útil que permite calcular la velocidad final de un móvil:

.

F I

F I I F F I

v

v

a

a t

v

v

v

at

v o v

v

at

t

v

F= es la velocidad final del móvil

v

I= es la velocidad inicial del móvil

a

= es la aceleración del móvil

Para el caso de movimientos rectilíneos uniformes, existen otras dos ecuaciones que pueden ser útiles:

2 2 2

1

.

. .

2

2. .

I

F I

e

v t

a t

v

v

a e

EJEMPLO 2. Un coche pasa de 0 a 100 km/h en 5 segundos. Halla la aceleración y el espacio recorrido.

Velocidad inicial vI =0 m/s; Velocidad final vF =100 km/h=27,78 m/

La aceleración del móvil será:

2

27, 78 0

5,55

5

F I

v

v

m

a

t

s

Y el espacio recorrido será:

2 2

1

1

.

. .

0.5

.(5,55).(5)

69,38

2

2

I

3

La aceleración puede tener un signo negativo. Los movimientos acelerados, aquellos en que aumenta la velocidad, tienen aceleración positiva.

Sin embargo, aquellos movimientos en que el vehículo frena, la velocidad final es menor que la velocidad inicial. Estos movimientos se denominan decelerados y la aceleración es negativa.

RESUMIENDO:

- SI AUMENTA LA VELOCIDAD, ACELERACIÓN POSITIVA, MOVIMIENTOS ACELERADOS.

- SI DISMINUYE LA VELOCIDAD, EL MÓVIL FRENA, LA ACELERACIÓN ES NEGATIVA Y EL MOVIMIENTO SE DENOMINA DECELERADO.

Las ecuaciones para el estudio del MRUA son:

2 2 2

1

.

. .

2

2. .

.

I

F I

F I

e

v t

a t

v

v

a e

v

v

a t

+a si es acelerado y –a si es decelerado.

EJEMPLO 3. Un coche circula a 20 m/s, el conducto toca el freno y el coche se detiene en 4 segundos. Halla la aceleración de frenado.

Velocidad inicial vI=20 m/s; velocidad final vF=0

2

0 20

5

4

F I

v

v

m

a

t

s

4

6.3. MOVIMIENTOS VERTICALES: GRAVEDAD.

Cuando un cuerpo cae libremente en el vacío, aumenta su velocidad siempre al mismo ritmo, independientemente de su peso. Sobre el cuerpo actúa una aceleración constante cuyo valor es 9,8 m/s2 en la superficie de la Tierra y se llama aceleración de la gravedad. Suele representarse por la letra g:

g= 9,8 m/s2 (aceleración de la gravedad terrestre)

Todos los cuerpos caen en la superficie del planeta Tierra con la misma aceleración, g=9,8 m/s2.

El movimiento de caída es rectilíneo uniforme y acelerado. Las ecuaciones para el estudio de estos movimientos son:

2

2 2

1

.

. .

2

.

2. .

i

F i

F i

h

v t

g t

v

v

g t

v

v

g h

En las ecuaciones anteriores, h es la altura desde la que cae el cuerpo. Cuando un cuerpo se deja caer desde una determinada altura, su velocidad inicial es cero.

Los movimientos de caída que hemos descrito son movimientos verticales, estos movimientos verticales pueden ser decelerados. Si el lanzamiento vertical es hacia EJEMPLO 4. Un cuerpo cae desde 20 metros de altura. Halla la velocidad con la que llega al suelo y el tiempo que tarda en caer. Dato g=9,8 m/s2.

h=20 m; vi=0 m/s.

2

2 2

1

.

.

.

2

1

20

0.

.(9, 8).

2

40

9, 8.

2, 02

i

h

v t

g t

t

t

t

t

s

La velocidad final será: .

0 (9,8).(2, 02) 19,8

F i

F F

v v g t

m

v v

5

arriba, la gravedad disminuye progresivamente la velocidad. El cuerpo ascenderá hasta una altura h en la que se detiene. Por ello, cuando el cuerpo alcanza su altura máxima h su velocidad final será cero. Las ecuaciones del movimiento son parecidas a las de los movimientos de caída salvo que la gravedad es negativa, actúa frenando.

2

2 2

1

. . .

2 .

2. .

i

F i F i

h v t g t

v v g t

v v g h

6.4. EL RADIÁN.

Para estudiar los movimientos circulares es necesario introducir el concepto de radián. Habitualmente los ángulos suelen expresarse en grados, sin embargo, el Sistema Internacional (S.I.) establece que la unidad en la que deben expresarse los ángulos es el radián.

El ángulo de un radián (1 rad) es aquel que abarca un arco que mide igual que el radio R.

Es decir, cuando el espacio

e

recorrido (marcado en negrita) es igual al radio

R

del

círculo, el ángulo φ es 1 radían.

EJEMPLO 5. Se lanza un cuerpo con una velocidad de 14 m/s. ¿A qué altura llega? Dato g=9,8 m/s2.

h=????? ; vi=14 m/s.

2 2 2

.

0

14

9, 8.

1, 43

2. .

0

(14)

2.(9, 8).

10

F i

f i

v

v

g t

t

t

s

v

v

g h

h

h

m

e

R

R

6

Si cogiéramos 2 radianes el arco sería 2R, luego para φ radianes el arco será φR. Por

tanto, el espacio, el ángulo en radianes y el radio están relacionados por la ecuación:

e = φ.R

Si el espacio recorrido es la circunferencia completa (2πR), el ángulo φ será 2π radianes.

2πR= φ.R→ φ=2π radianes (rad)

A continuación se muestra una equivalencia entre ángulos en grados y ángulos en radianes:

GRADOS RADIANES

360º 2π

180º π

90º π/2

60º π/3

45º π/4

30º π/6

6.5.- MOVIMIENTOS CIRCULARES: VELOCIDAD ANGULAR, PERIODO Y FRECUENCIA.

Consideremos el caso de un móvil que describe un movimiento circular de radio R. El móvil sale del punto I (inicio) y llega al punto F para lo cual emplea un tiempo t. El arco descrito es e y el ángulo es φ.

La velocidad v a la que da vueltas el móvil es v e t . EJEMPLO 6. Halla los radianes que son 40 º.

Utilizando una simple regla de tres se calculan los radianes que son 40º. Si 180 º --- π rad

40º --- X rad

Luego: 40. 2

180 9

7

Para los movimientos circulares se define una velocidad angular w como el cociente entre el ángulo barrido por el móvil y el tiempo empleado, es decir:

w

t

Las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s).

Es muy habitual en los problemas de Física que la velocidad angular venga descrita en unidades de revoluciones por minuto (r.p.m). Cuando se dé este caso, se debe de transformar las rpm a rad/s que es la unidad del S.I. Para realizar estos cambios basta con tener en cuenta que una revolución es equivalente a una vuelta, es decir, 2π radianes.

La velocidad angular w está relacionada con la velocidad lineal mediante el radio de la trayectoria que describe el móvil. Es decir, el espacio e y el ángulo φ están relacionados

por la ecuación:

.

e

R

e

R

R

φ

EJEMPLO 7. Expresa en unidades del S.I: a) 30 rpm. B) 60 vueltas/s.

revoluciones

) 30

30

min

minuto

2

1min

30

.

.

min

1

60

2

) 60

.

120

1

rev

a

rpm

rev

rad

rad

rev

s

s

vueltas

rad

b

s

vuelta

s

8

Si dividimos toda la ecuación por el tiempo, se obtiene:

.

v=w.R ya que

=w

t

e

R

t

t

Por tanto, la velocidad lineal es igual a la velocidad angular por el radio.

v=w.R

En la figura se muestra una forma de representar la velocidad y la velocidad angular en un movimiento circular. PARA ENTENDER ESTA REPRESENTACIÓN ES NECESARIO CONOCER UNA HERRAMIENTA MATEMÁTICA CONOCIDA COMO VECTORES QUE ESTUDIAREMOS EN PRÓXIMOS TEMAS.

En la Naturaleza hay presentes varios casos de movimientos circulares, el más conocido es el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol.

Finalmente, la velocidad angular, w, se relaciona con dos magnitudes muy útiles en el estudio del movimiento circular que son el periodo y la frecuencia.

PERIODO

Se llama periodo de un movimiento circular y se representa por la letra T, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta. Su unidad en el S.I es el segundo (s). Esta magnitud se relaciona con la velocidad angular por:

2

w

T

w

9

FRECUENCIA

Se llama frecuencia de un movimiento circular y se representa por la letra f, al número de vueltas que da el móvil en un segundo. Su unidad es el Hertzio (Hz).

1

f

T

6.6. GRAFICAS ESPACIO – TIEMPO Y VELOCIDAD – TIEMPO

Para un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad se mantiene constante, por lo que en la gráfica velocidad frente a tiempo, es una recta constante. La gráfica espacio – tiempo también es una recta cuya pendiente es la velocidad del móvil.

Si el movimiento es rectilíneo, uniforme y acelerado, las gráficas son más complejas:

espacio

tiempo velocidad

tiempo

v

i

V

f

espacio

tiempo velocidad

10

Estas gráficas son para movimientos acelerados. ¿Habría alguna diferencia si el

movimiento fuese decelerado? Si, ya que la aceleración sería negativas.

6.7. ACELERACIONES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR.

Imagina un coche dando vueltas en una circunferencia de radio R. El coche se mueve siempre a la misma velocidad v, pero su trayectoria es circular. Podría pensarse que no tiene aceleración por ser la velocidad constante. No obstante, por tratarse de un movimiento circular aparece una aceleración llamada centrípeta o normal.

espacio

tiempo velocidad

tiempo

V

F

V

i

Radio

velocidad

11

La aceleración normal o centrípeta, aN, tiene la dirección del radio del círculo que se

describe en el movimiento y su sentido es el del centro geométrico del círculo. Su valor viene dado por:

2

N

v

a

R

Dado que la velocidad v depende de la velocidad angular, w, la aceleración normal o centrípeta puede expresarse en función de w:

2

2 2 2

2

.

.

.

N

w R

v

w R

a

w R

R

R

R

En el movimiento circular no cambia el valor de la velocidad (su módulo) pero si cambia el sentido de la velocidad. Es decir, la velocidad no apunta siempre en la misma dirección.

THE END

EJEMPLO 8. Un coche circula por una curva de 80 metros de radio a una aceleración de 72 km/h. Halla la aceleración normal o centrípeta.

2 2

2

1

1000

72

.

.

20

3600

1

20

5

80

N

km

h

m

m

h

s

km

s

v

m

a