4
AÑO
Inecuaciones Cuadráticas
Inecuación cuadrática
Forma general:
P(x) = ax2 + bx + c >< 0 ; a 0
Donde: {a; b; c} IR
Del rectángulo se obtiene:
ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 0; ax2 + bx + c 0
La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante:
= b2 - 4ac
Primer caso
Si: > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable
en el campo real, para resolver utilizaremos el método de
los puntos críticos.
a(x - x1)(x - x2) >< 0
Procedimiento:
1. Se factoriza el polinomio.
2. Hallar los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente.
3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+).
4. Si tenemos:
P(x) = ax2 + bx + c < 0 ó P
(x) = ax2 + bx + c 0
El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (-).
En forma análoga:
P(x) = ax2 + bx + c > 0 ó P
(x) = ax2 + bx + c 0
El conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).
Ejemplos:
Intervalos Factorizando Puntos críticos Graficando Conjunto solución
x2 + x - 20 0 ( )( ) { }
- +
5x2 + x - 6 > 0
20x2 - x - 1 < 0
6x2 - 13x + 6 0
ax2+(a+1)x+1<0
2x2 + 9x + 9 0
4x2 + 7x + 3 0
2x2 - 7x + 3 < 0
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
- +
( )( ) { }
<
Segundo caso
Si: = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma
a un trinomio cuadrado perfecto de la forma:
(mx + n)2 >< 0
Ejemplo:
Resolver:
x2 - 10x + 25 >< 0
Solución:
Calculando la discriminante:
= (-10)2 - 4(1)(25) = 0
x 2 - 10x 25 > 0 trinomio cuadrado
perfecto
(x - 5)2 >< 0
Resolviendo cada una de las desigualdades:
a. (x - 5)2 0
se verifica: x IR C.S. = IR
b. (x - 5)2 > 0
se verifica: x IR; a excepción de:
x - 5 = 0 x = 5
C.S. = IR - {5}
c. (x - 5)2 < 0
se observa una inecuación, la cual no se verifica para ningún valor de x IR.
C.S. =
d. (x - 5)2 0
la inecuación sólo se cumple si: x - 5 = 0
C.S. = {5}
Inecuación Trinomio cuadrado perfecto Conjunto solución
x2 - 6x + 9 > 0
x2 - 6x + 9 0
x2 - 6x + 9 < 0
x2 - 6x + 9 0
x2 + 4x + 4 > 0
x2 + 4x + 4 0
x2 + 4x + 4 < 0
x2 + 4x + 4 0
Tercer caso
Resolviendo cada una de las desigualdades:a. (x 1)2 5 > 0
Si: < 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma
en un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma:
se verifica: x IR
C.S. = IR =<-; +>
Ejemplo:
(mx + n)2 + k >< 0 ; k > 0
b. (x 1)2 5 0
Resolver:
también se verifica: x IR
C.S. = IR = <-; +>
x2 + 2x + 6 >< 0 c. (x
1)2 5 < 0
Solución:
Calculando la discriminante:
= 22 - 4(6)(1) = -20 < 0
Luego:
nunca se verifica pues el primer miembro siempre es mayor que cero:
C.S. =
d. (x 1)2 5 0
x2 2x 1 + 5 >< 0 trinomio cuadrado
perfecto
(x + 1)2 + 5 >< 0
nunca se verifica:
Inecuación
x2+2x+9>0
Completando cuadrados
Comentario
- Se verifica x IR
- Nunca se verifica
- C.S.=IR=<-;+>
- C.S.=
4x2-4x+6<0
x2+4x+120
x2-6x+100
x2-2x+7>0
4x2+4x+9<0
x2+6x+100
x2+8x+200
4x2-3x+1>0
2x2+x+2<0
6x2-3x+20
5x2-2x+10
Teorema del trinomio positivo
Si el polinomio:
P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c} IR
tiene discriminante ( = b2 - 4ac) negativo y (a > 0),
entonces:
Graficando:
= 16 - 4(M + 12) 0
16 - 4M - 48 0
-32 4M 4M -32
M -8
- -8 +
Ejemplo:
ax2 + bx + c > 0 ; x IR Del gráfico, el menor valor de “M” es -8.
Corolario
Hallar el menor de los números “M” que cumple la siguiente
condición: Si el polinomio:
2
x IR: 4x - x2 - 12 M P(x) = ax + bx + c ; {a; b; c} IR
Solución:
4x - x2 - 12 M
tiene discriminante: < 0; (a < 0), entonces:
ax2 + bx + c < 0 x IR
multiplicando a todos los términos de la desigualdada por (-1) se tiene:
x2 - 4x + 12 -M
x2 - 4x + (M + 12) 0
como se verifica x IR y el primer coeficiente es positivo
Problemas resueltos
1. Resolver: = - 4
2 19
6 = - 2
19
3
x2 - 11x + 28 > 0 Estos dos valores representan a los puntos críticos:
Solución:
+ +
- +
= (-11)2 - 4(1)(28) = 9 > 0
Como la discriminante es positiva podremos factorizar
el trinomio: como:
-2 - 19 3
-2+ 19 3
(x - 4)(x - 7) > 0 igualando cada factor a cero:
x - 4 = 0 x = 4
3x2 + 4x - 5 < 0
la solución está en la zona negativa.
x - 7 = 0 x = 7
P.C. = {4; 7}
Graficando los puntos críticos en la recta real y aplicando la regla de los signos se tendrá:
x - 2 -
3 19 ; - 2
19
3
-
como:
-4 7 +
4. Hallar el menor número “M” con la propiedad:
x IR: 1 + 6x - x2 M
Solución: (x - 4)(x - 7) > 0
elegimos las zonas de signo (+)
x <-; 4> <7; +>
Trasponiendo:
x2 - 6x + (M - 1) 0; x IR
Luego por propiedad, discriminante 0:
(-6)2 - 4(M - 1) 0 9 - (M - 1) 0
10 M
2. Resolver:
- x2 - 2x + 8 0 M = 10
Solución:
El primer coeficiente debe ser positivo, entonces multiplicamos por (-1) a los miembros de la desigualdad:
5. Si “x” es un número positivo, múltiplo de 17 que satisface las siguientes desigualdades:
2
x2 + 2x - 8 0 = 22 - 4(1)(-8) = 36 > 0
5(x
0 < - 115x - 600) x(x 5) < 1 Factorizando el trinomio se tendrá:
(x + 4)(x - 2) 0
P.C. = {-4; 2}
Hallar el valor de “x”.
Solución: Graficando:
+
- -4
+
2 +
5(x - 120)(x 5)
0 < x(x 5) < 1
5x - 600 Como:
x2 + 2x - 8 0
0 < x < 1
el conjunto solución está en la zona negativa.
x [-4; 2]
5x 0 < x - 600
600 x < 1
600 3. Resolver: 0 < 5 - x < 1
-5 < - x < -4
3x2 + 4x - 5 < 0 Dividamos a toda la desigualdad por (-600):
Solución:
3x2 + 4x - 5 < 0
-5 - 600 >
-600 - 600x
-4 > - 600
= 42 - 4(3)(-5) = 76 > 0
como el trinomio no es factorizable hacemos:
3x2 + 4x - 5 = 0 Invirtiendo:
1 120 >
1 1 x > 150
de donde: o 120 < x < 150
- 4
x = 16 - 4(3)(-5) 2(3) = - 4 76 6
1. Resolver:
Problemas para la clase a) <-; +> b) <-; 5 - 3 >
c) <-3 - 5 ; +> d) <-3 + 5 ; +>
e)
2x2 - 7x + 6 0
8. Resolver:
3 3 x2 + 10x + 27 0 a) [2; +> b) [- 2 ; 2] c) [ 2 ; 2]
d) <-; 2] e) <4; +>
2. Resolver:
3x2 - 7x + 4 > 0
indicar un intervalo.
a) x b) x <-; +>
c) <-; -2> d) <- 2 - 1; - 2 + 1>
e) <-; -3>
9. Resolver:
3 a) <-; 1> b) <-; 2 >
c) <-3; +> d) <-4; +>
1
2 a) x [- 5 ;
(5 + 2x)(3 - 4x) 0
3 4 ] 2 3 e) < 3 ; 4> b) x <-; - 5 ] [ 4 ; +>
5 3 3. Resolver:
2x2 - 3x - 9 < 0
c) x [- 2 ; 4 ]
e indicar la suma de valores enteros que la verifican. 5 3 d) x <-; - ] [ ; +>
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 9
4. Resolver:
x2 - 14x < -49
a) x <-7; +> b) x <-; -7>
c) x <7; +> d) x IR
e) x
2 e) x IR
10.Resolver:
5 a) x [-2; 2 ]
4
- 2x2 - x + 10 0
5 5. De los siguientes enunciados, ¿cuántas son verdaderas?
I. x2 > 0 x IR
II. (x - 1)2 0 x IR
III. (x + 3)2 0 x IR 3
IV. (2x - 3)2 0 x
b) x <-; -3] [ 2 ; +>
5
c) x <-; - 2 ] [2; +>
5 d) x [- 2 ; 2]
e) x IR
V. x2 0 x 0 2
11.Resolver:
x2 - 20x -(25 + 3x2)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5
6. Resolver:
x2 + 2x - 1 < 0
a) x IR b) x IR - 2 5
c) x d) x
a) <- 2 ; 2 > b) <- 2 - 1; - 2 + 1>
2
2
c) <1 - 2 ; 1 + 2 > d) <- 2 - 1; 2 - 1> e) <-2 - 2 ; 2 - 2 >
7. Resolver:
x2 + 10x + 27 0
e) x IR - 5
12.Hallar el mayor valor entero “m” tal que para todo x IR, se cumple:
;
;
a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) 10
20.Indicar el mayor número entero “m” que satisface la desigualdad:
13.Hallar el menor número entero “M” tal que para todo x
IR, se cumpla:
x IR.
2x2 - 4x + 1 > 2m
- x2 + 4x - 10 < M
a) -5 b) -3 c) -1 d) 1 e) 2
14.Resolver:
a) 3 b) -2 c) 0 d) -1 e) 1
21.Resolver el sistema:
5x - 1 < x2 + 2x + 1 < 7x - 3
x3 - 1 < (x - 1)3
a) x <0; 1> b) x <-; 1]
c) x [-1; 0] d) x [-1; +>
e) x <-1; 1>
15.Resolver:
x(x + 4)(x + 6) + 16 (x + 1)(x + 2)(x + 6)
a) x b) x {-2}
c) x <-; +> d) x <2; +>
e) x {2}
a) ]-; 2[ b) ]4; +[ c) ]1; 5[
d) ]-; 2[ ]-4; +[ e) ]2; 4[
22.Cuántos valores verifican la siguiente inecuación: x(2x - 28)
98 - 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos
23.Cuántos valores enteros no negativos verifican: 4x2 - 4x - 49 < 0
16.Resolver:
(2x + 5)2 (5x + 2)2 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3
dar un intervalo solución.
a) x <-; 1> b) x [-1; +>
c) x <-; -1] d) x <-; +>
e) x [-1; 1]
24.Al resolver:
(x - 2)(x + 1)(x - 3) > (x - 1)(x + 2)(x + 4) se obtiene como conjunto solución: x <; >. Indique
“+ ”.
17. Resolver:
7x2 - 5x + 1 0 a) 2 b) - 1 c) -9
5 - 2
a) x 7 5
2 7
3 1 d) 3
9
e) -3
14 14
25.Al resolver:
- 5 - 2
b) x
14
7 - 5 2 7
14
x2 - 5x + 2 0
se obtiene como conjunto solución: x IR - <m; n>.
Indique “m + n”. c) x [-2 7 ; 2 7 ]
d) e) x
IR
x
a) -5
d) 4 b) -1 e) 5 c) 2 18.Resolver:
(x - 1)2 - x2 -(x - 2)2 26.Si la inecuación: x2 - mx + n < 0
dar el conjunto no solución.
a) x [1; 5] b) x [5; +>
c) x <-; 1] d) x <-; 5]
e) x <1; 5>
presenta como conjunto solución: x <3; 5>. Hallar
“2m + n”.
a) 23 b) 18 c) 31 d) 15 e) 24
19.Indicar el mayor valor de “”, si:
x2 + 10x + 31 27. Si la inecuación: -5x2 + x + > 0
se cumple x IR.
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 25
a) -125 b) 5 c) 10 d) 12 e) 25
;
2 2
28.Dados los conjuntos:
2. Resolver:
x2 - 13x + 30 < 0
A = {x IR / x2 - 5x + 4 < 0}
B = {x IR / x2 - 5x + 6 > 0}
Hallar “A B”.
a) x <3; +> b) x <-; 10>
c) x IR d) x
e) x <3; 10>
a) x b) x IR
c) x <2; +> d) x <2; 3>
e) x <1; 2> <3; 4>
3. Resolver:
x2 + x - 1 0
29.Si: - 1 - 5 - 1 5 - 1 5
ax2 + b + x < 0
se verifica x IR, ¿qué tipo de número es “b”?
a) ;
2 b)
; 4
a) cero b) positivo c) negativo d) impar e) entero
30.Si:
c) x d) x IR
- 1 5
e) - ;
2
tal que la expresión: m
<a; b>
x2 + 1 < 2x2 + x + m < 3x2 + 2
se verifica para cualquier tipo de valor para “x”, encontrar el valor de:
4. Resolver:
4x2 - 12x + 9 0
4(a + b)
a) 32 b) -8 5 c) -16 d) -16 2 e) N.A.
Autoevaluación
a) x IR b) x
c) x <4; +> d) x <-; 4]
e) x [-4; 4]
5. Resolver:
-6x2 - x + 2 0
1. Resolver: 1
- b) x [-; 1] x2 - x - 12 0
a) x <-; -3] [4; +>
a) x
2 2 ; 1
- d) x IR
b) x [-3; 4] c) x [4; 6]
d) x [-5; -3]
