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(1)SOLUCIONES rectas-planos  x + y − 3z = 2 y x − 2 y + 2z = 1. 1. Ecuación de la recta que pasa por A(1, −1, 0) y se apoya en las rectas r ≡  x −1 z+3 =y= 2 4 Solución. s≡. 12. Ecuación de la recta que pasa por (3, −1, 0) es paralela al plano π≡ −3x + y − 4z + 1 = 0 y está en x y +1 z = . el plano de la recta r ≡ = 5 2 −2 Solución La recta buscada, s, se encuentra por intersección de dos planos, π1 y π2.. x y +1 z = = y el punto exterior P(3,-1,0). 2 −2 5 x − 3 y +1 z  P(3,−1,0) P ∈ π 1  A (0,−1,0)  r π1 ≡  , r≡ , π1 ≡  AP = (3,0,0) , π1 ≡ 3 0 0 =0 r r ⊂ π 1 d r = (2,−2,5) d = (2,−2,5) 2 −2 5  r. π1; Definido por la recta r ≡. Desarrollando por los elementos de la 2ª fila;. 3 ⋅ (−1) 2+1 ⋅. y +1 z =0 −2 5. simplificando y ordenando π1≡ 5y + 2z + 5 = 0 El plano π2 es paralelo al plano π. Haz de planos paralelos a π: −3x + y − 4z + K = 0 Particularizando para el punto P(3,−1,0) se obtiene K = 10 π’’≡ −3x + y − 4z + 10 = 0  5 y + 2z + 5 = 0 s≡ − 3x + y − 4z + 10 = 0 resolviendo el sistema: x −1 y −1 z −1 = = s≡ 15 − 22 −6.

(2) x − 2 y − 2z = 0 .  2x + y − z = 0. 17. Ecuación del plano que pasa por (1,2,2) y (0,2,−1) y es paralelo a la recta r ≡  Solución. La mínima determinación lineal del plano, un punto y dos vectores, se obtienen de los datos del problema. Punto A = (1,2,2 )  r  r : Vector u = AB = (0 − 1,2 − 2,−1 − 2 ) = (− 1,0,−3) r r  Vector v = d r  Para calcular el vector de dirección de la recta r se puede operar de dos formas distintas. Una forma seria resolviendo el sistema que forma las dos ecuaciones que definen la recta, obteniéndose las ecuaciones paramétricas de la recta, de las que se puede sacar el vector de dirección. Otra forma mas rápida seria mediante el producto vectorial de los vectores característicos de los planos que determinan la recta. r r r d r = n1 × n 2 r  −2 −2 1 −2 1 −2  x − 2 y − 2z = 0 n 1 = (1,−2,−2 ) r  : d r =(1,−2,−2 )× (2,1,−1) =  ,− , r≡ : r   2 x + y − z = 0  n 2 = (2,1,−1)  1 −1 2 −1 2 1  r d r = (4,−3,5) x −1 y − 2 z − 2 π ≡ −1 4. 0 −3. −3 = 0 5. desarrollando por los elementos de la 1ª fila π ≡ −9 x − 7 y + 3z + 17 = 0 x = −1 . y=2. 18. Ecuación del plano que pasa por (3,3,3) y contiene a la recta r ≡ . Solución El plano buscado π, pertenece al haz de planos de arista r: Haz de planos de arista r: x + 1 + K ⋅ (y − 2) = 0 El parámetro se calcula teniendo en cuenta que el punto P pertenece al plano π. 3 + 1 + K ⋅ (3 − 2 ) = 0 : K = −4 sustituyendo x + 1 − 4 ⋅ (y − 2 ) = 0 operando y ordenando π ≡ x − 4y + 9 = 0 19. Ecuación del plano que contiene a la recta r ≡. x −3 z −1 = y−2 = y es paralelo a la recta 2 4. s ≡ x−2 = y−3 = z. Solución La determinación lineal del plano π se obtiene con todos los elementos de la recta contenida, y el vector de dirección de la recta paralela..

(3)   A = (3,2,1) r :  r π ≡  d r = (2,1,4 )  s : dr = (1,1,1) s . {. x − 3 y − 2 z −1 π≡ 2 1 4 =0 1. desarrollando y ordenando. 1. 1. π ≡ − 3x + 2 y + z + 4 = 0.

(4) 20. Ecuación del plano que pasa por (0, 1, 0) y es paralelo a las rectas r ≡ r’≡ x + 4 =0;. x − 2 y − 3 z +1 = = y 3 −3 2. y −1 = z + 2. 2. Solución La determinación lineal del plano se obtiene con los vectores de dirección de las rectas paralelas al plano y con el punto perteneciente al plano..  A = (0,1,0 ) r π : d r = (3,−3,2 ) r  d = (0,2,1)  r' x − 0 y −1 z − 0 π≡. desarrollando y ordenando. 3. −3. 2. 0. 2. 1. =0. π − 7 x − 3y + 6z + 3 = 0. x − 2 y − z + 3 = 0 21. Ecuación del plano que pasa por (0, 2, 1) y se apoya en la recta r ≡  .  x − 3y + z + 2 = 0 Solución Si la recta se apoya en el plano, la recta pertenece al plano ó el plano pertenece al haz de planos de arista r: Haz de planos de arista r: x − 2 y − z + 3 + K ⋅ (x − 3y + z + 2) = 0 El parámetro se calcula teniendo en cuenta que el punto P pertenece al plano π. 0 − 2 ⋅ 2 − 1 + 3 + K ⋅ (0 − 3 ⋅ 2 + 1 + 2 ) = 0 −2 − 3·K = 0. K=−. 2 3. sustituyendo en la ecuación del haz se obtiene le plano π 2 x − 2 y − z + 3 − ⋅ (x − 3y + z + 2) = 0 3 π ≡ x − 5z + 5 = 0 x −3 rAB ≡ = y = z−2 −7.

(5) 22. Determinar la ecuación general del plano que contiene a las rectas r y r'. x +1 y − 3 z + 5 x +1 y − 3 z + 5 = = ; r' ≡ r≡ = = 3 5 −2 2 4 −1 Solución El ejercicio se resuelve de distinta forma según la posición relativa de las rectas. En este caso dado que el punto es común para las dos rectas y sus vectores de dirección no son proporcionales, las rectas son secantes y determinan un plano único el cual, se puede obtener con los vectores de dirección de las restas y un punto de cualquiera de una de ellas. A = (− 1,3,−5) A = (− 1,3,−5) r ≡ r r' ≡  r  d r = (2,4,−1)  d r ' = (3,5,−2 ) x +1 y − 3 z + 5 A = (− 1,3,−5) r 4 −1 = 0 π ≡  d r = (2,4,−1) ⇒ π ≡ 2 r  d = (3,5,−2 ) 3 5 −2  r' desarrollando por los elementos de la 1ª fila −1 −1 2 −1 2 −1 π ≡ (x + 1) ⋅ − (y − 3) ⋅ + (z + 5) ⋅ =0 5 −2 3 −2 3 5 operando los determinantes y ordenando π ≡ 3x − y + 2z + 16 = 0. 23. Ecuación del plano que pasa por A(1, −2 ,3), B(0, 5, −1) y es paralelo a la recta x −1 y + 2 z r≡ = = . 2 −1 3. Solución La mínima determinación lineal de un plano (dos vectores y un punto), se puede obtener de los datos del problema.. Punto : A = (1,−2,3)  r r  m.d.l. de π ≡  Vector : u = d r = (2,−1,3) Vector : vr = AB = (0 − 1,5 − −2,−1 − 3) = (− 1,7,−4 )  x −1 y + 2 z − 3. π≡. 2 −1. −1 7. 3 =0 −4. desarrollando por los elementos de la primera fila: −1 3 2 3 2 −1 π ≡ (x − 1) ⋅ − (y + 2 ) ⋅ + (z − 3) ⋅ =0 7 −4 −1 − 4 −1 7 operando y ordenando π ≡ −17 x + 5 y + 13z − 12 = 0.

(6) x − 2 y + z − 3 = 0 24. Ecuación del plano que pasa por P(−1, 2, 0) y contiene a la recta r ≡  .  y + 3z − 5 = 0 Solución El problema se puede resolver de dos formas distintas: a) Obteniendo la mínima determinación lineal de los datos del problema. b) Mediante el haz de planos de arista r, particularizando el plano buscado con el punto P a). r De la ecuación de la recta se obtiene un punto A y un vector d r . Con el punto P y con el punto A se P r forma un vector AP , con lo que se obtiene la mínima determinación lineal del plano π:  d r . AP  Para obtener el punto y el vector de la recta r, se resuelve el sistema que forman los dos planos x − 2 y + z − 3 = 0 r ≡ Sistema compatible indeterminado, se toma una de las variables como parámetro, en  y + 3z − 5 = 0 este caso la z es la más sencilla, despejándola, queda: x − 2 y = 3 − λ   y = 5 − 3λ. sustituyendo en la 1ª ecuación la y por su expresión en función de λ y operando, se obtienen las paramétricas de la recta r. x = 13 − 7λ  r ≡  y = 5 − 3λ  z=λ  cuya determinación lineal es:.  A = (13,5,0) r : r d r = (− 7,−3,1). Con los datos obtenidos, la determinación lineal del plano π queda de la siguiente forma: A = (13,5,0)  r  π: d r = (− 7,−3,1) AP = (− 1 − 13,2 − 5,0 − 0 ) = (− 14,−3,0 )  x − 13 y − 5 z − 0 π ≡ −7 − 14. −3 −3. 1 0. =0. desarrollando por los elementos de la primera fila, operando y ordenando: π ≡ 3x − 14 y − 21z + 31 = 0.

(7) b) El plano buscado debe pertenecer al haz de planos de arista r:. απ1 + βπ 2 = 0 normalizando uno de los parámetros π1 + K ⋅ π 2 = 0 x − 2 y + z − 3 + K ⋅ (y + 3z − 5) = 0 Para calcular el plano buscado se tiene en cuenta que el punto P∈π, y por tanto sus coordenadas deben de satisfacer la ecuación del plano 8 − 1 − 2·2 + 0 − 3 + K ⋅ (2 + 3·0 − 5) = 0 : − 8 − 3·K = 0 : K = − 3 sustituyendo el valor de K en la ecuación del haz 8 x − 2 y + z − 3 − ⋅ (y + 3z − 5) = 0 3 multiplicando por 3 y ordenando π ≡ 3x − 14 y − 21z + 31 = 0.  x=µ  x = 1+ λ   30. Dado el punto P(1,1,1) y las rectas: r ≡  y = 2 − λ y s ≡  y = 3µ calcular las ecuaciones z = 2 − µ z = 1 + 2λ   paramétricas de la recta que pasa por el punto P y corta a r y a s. Solución. La recta pedida, t, se encuentra por intersección de dos planos, π1 y π2..  P(1,1,1)  A(1,2,1) P ∈ π 1  r De la recta r se conoce:  . El plano π1 se calcula con: AP = (0,−1,0) π1:  r d = ( 1 , − 1 , 2 ) ⊂ π r 1  r   d = (1,−1,2)  r x −1 y −1 z −1 π1 ≡ 0 −1 0 =0 1 −1 2 desarrollando por los elementos de la 1ª fila;.

(8) ( x − 1)·. −1 0 0 0 0 −1 − ( y − 1)· + (z − 1)· =0 −1 2 1 2 1 −1. simplificando y ordenando π1 ≡ 2x−z−1=0  P(1,1,1)  B(0,0,2) P ∈ π 2  π2:  De la recta s se conoce:  r . El plano π2 se calcula con:  BP = (1,1,1) r d = ( 1 , 3 , − 1 ) ⊂ π s 2   s d = (1,3,−1)  r x −1 y −1 z −1 π2 ≡ 1 1 −1 = 0 1 3 −1. desarrollando por los elementos de la 1ª fila; 1 −1 1 −1 1 1 ( x − 1)· − ( y − 1)· + (z − 1)· =0 3 −1 1 −1 1 3 simplificando y ordenando π2 ≡ x + z − 2 = 0 x =1 2 x − z − 1 = 0  r≡ o expresada en paramétricas : r ≡  y = λ t x + z − 2 = 0  z =1 .

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