Series y Probabilidades.

(1)

Series y Probabilidades.

Alejandra Caba˜

na

1

_{y Joaqu´ın Ortega}

2

1_IVIC_{, Departamento de Matem´atica, y Universidad de Valladolid.} 2_{CIMAT, AC}

(2)

(3)

´Indice general

1. Sucesiones y Series Num´ericas 3

1.1. Sucesiones . . . 3

1.2. L´ımites Superior e Inferior de una Sucesi´on. . . 8

1.3. Subsucesiones . . . 11

1.4. Series . . . 11

1.5. Series de T´erminos Positivos . . . 15

1.5.1. Pruebas de Convergencia para Series de T´erminos Positivos . . . 16

1.5.2. Pruebas para Convergencia Absoluta . . . 20

1.6. Series Alternas. . . 21

1.7. Convergencia Condicional. . . 22

1.8. Reordenamientos. . . 23

1.9. Multiplicaci´on de Series . . . 26

2. Sucesiones y Series de Funciones 31 2.1. Sucesiones de Funciones. . . 31

2.2. Convergencia Uniforme. . . 35

2.3. Convergencia Uniforme y Continuidad. . . 36

2.4. Convergencia Uniforme y Diferenciaci´on . . . 38

2.5. Integraci´on de Sucesiones de Funciones. . . 40

2.6. Series de Funciones . . . 43

2.7. Series de Potencias . . . 45

3. Funciones generatrices. 53 3.1. Variables Aleatorias no Negativas. . . 53

3.1.1. Sumas de Variables Independientes. . . 53

3.2. Funciones Generatrices de Probabilidad . . . 54

3.2.1. Distribuci´on de la Suma de un N´umero Aleatorio de Sumandos. . . 56

3.3. Procesos de Ramificaci´on. . . 58

3.4. Distribuciones L´ımite: el Teorema de Continuidad. . . 62

3.5. El Paseo al Azar Simple . . . 65

3.5.1. Retornos al Origen. . . 65

3.6. Funciones Generatrices de Momentos. . . 68

(4)

(5)

Cap´ıtulo 1

Sucesiones y Series Num´

ericas

1.1. Sucesiones

Un sucesi´on es un conjunto ordenado de n´umeros. Por ejemplo 2,4,6,8,10,12, . . .

es la sucesión de los números pares positivos. El primer elemento es 2, el segundo es 4, el quinto es 10 y el elemento que ocupa el lugar n es 2n. Vemos en este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada número natural 1,2,3, . . . un número par 2,4,6, . . .:

1 2 3 4 5 · · · n · · ·

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · ↓ · · ·

2 4 6 8 10 · · · 2n · · ·

Por lo tanto, una sucesión no es más que una función definida sobre los números naturales que toma valores reales. La definición formal es la siguiente.

Definición 1.1 Unasucesión de números reales es una función f:N→R. Si f(n) =xn, decimos quexn

es el n-ésimo término de la sucesión. Usualmente escribiremos (xn)∞n=1 o {xn, n ≥ 1} para denotar esta

sucesi´on y en algunos casos simplemente (xn).

Observación 1.1 1. En algunos casos consideraremos sucesiones que comienzan en cero en lugar de comenzar en uno:{xn, n≥0}. También consideraremos sucesiones dóblemente infinitas:{xn, n∈Z}

2. Aunque la mayor´ıa de las sucesiones que veremos serán de números reales, también aparecerán suce-siones de números complejos e incluso sucesiones de funciones. La definición en cada caso es totalmente análoga.

Definición 1.2 Sea (xn)∞n=1 una sucesión enRyx∈R. Decimos que la sucesión (xn)∞n=1 converge a x, si para todo real positivo²existe un entero positivoN =N(²) tal que|xn−x|< ², siempre quen≥N.

Si (xn)∞n=1 converge axescribimosxn→xcuandon→ ∞o limn→∞xn=x, decimos quexes ell´ımite

de la sucesión (xn)∞n=1 y que la sucesión esconvergente. Una sucesión que no es convergente, esdivergente. Esta definición formaliza la siguiente idea intuitiva: x es el l´ımite de la sucesión (xn) si a medida que

crece el ´ındicenlos elementosxn de la sucesión están cada vez más próximos al l´ımitex.

Ejemplo 1.1

1. xn = _n1. Esta sucesi´on converge a 0 en R: dado ² > 0 escogemos N = N(²) tal que _N1 < ² (esto es

posible por la propiedad Arquimedeana de N). Entonces tenemos que para todo n≥N |xn−x|= ¯ ¯ ¯1 n−0 ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯1 n ¯ ¯ ¯≤ 1 N < ². 3

(6)

Gr´aficamente (ver figura 1.1), la convergencia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de un cierto ´ındice N, todos los miembros de la sucesi´on caigan dentro de una banda de ancho 2εcentrada en el valor del l´ımite, que es cero en este caso.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .... .... .... ..._... ... ... 0 1 ε −ε • • • _• _• • • • • 1 2 3 . . . N Figura 1.1: La sucesi´on 1/n.

2. xn =n en R. Esta sucesi´on es divergente ya que para cualquier x∈ Ry cualquier ² > 0 fijo existe

N ∈Ntal queN > x+²y la condici´on de la definici´on no se satisface.

3. Consideremos la sucesi´on (xn)∞n=1, dondexn = 1 + _n1 paran∈N. Hemos visto en el primer ejemplo

que la sucesi´on (1

n) converge a 0 y por lo tanto nuestra idea intuitiva es que la sucesi´onxn = 1 +n1

debe converger a 1 + 0 = 1.Veamos a partir de la definici´on que esto es efectivamente cierto. Sea² >0, queremos ver que existeN =N(²) tal que sin≥N,|xn−1|< ².

|xn−1|= ¯ ¯ ¯1 + 1 n−1 ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯1 n ¯ ¯ ¯= 1 n. Al igual que en el ejemplo 1, basta escogerN de modo que 1

N < ²para tener |xn−1|= 1 n ≤ 1 N < ². ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 0 1 1 +ε 1−ε • • • • • • • • • • • • • • 1 2 3 · · · _N Figura 1.2: La sucesi´on 1 +(−_n1)n.

La noción de sucesión convergente es una de las ideas fundamentales del Análisis, y suponemos que el estudiante está familiarizado con ella. A continuación presentamos una colección de propiedades, cuya demostración dejamos como ejercicio.

Teorema 1.1 (Propiedades) 1. El l´ımite de una sucesión convergente es único. 2. Toda sucesión convergente es acotada.

(7)

3. (xn)∞n=1 converge a xsi y s´olo si toda vecindad de xcontiene todos los t´erminos de (xn)∞n=1 excepto

un n´umero finito de ellos.

4. Si E ⊂ R y x es un punto de acumulaci´on de E, existe una sucesi´on (xn)∞n=1 en E para la cual x= limn→∞xn.

Supongamos que(xn)e(yn) son sucesiones de n´umeros reales yxn→x, yn→y. Entonces

5. lim(xn+yn) =x+y

6. Parac∈R, lim(cxn) =cx

7. lim(xnyn) =xy

8. lim(xn/yn) =x/y si y6= 0eyn6= 0 paran∈N.

Definición 1.3 Sea (xn)∞n=1 una sucesión en R∗, decimos que esta sucesión tiene l´ımite infinito o tiende

a infinito, si dado cualquier a ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces xn > a. Escribimos xn →

∞cuandon→ ∞o limn→∞xn =∞.

De manera similar decimos que la sucesi´on tiene l´ımite menos infinitootiende a menos infinito si dado cualquier a ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N, entonces xn < a. Escribimos xn → −∞ cuando n →

∞o limn→∞xn=−∞.Estas sucesiones no son convergentes.

Ejemplos 1.2

1. xn=n2.Esta sucesión tiende a infinito: como los términos de la sucesión son positivos basta considerar

a >0 en la definici´on. En este caso basta tomarN ≥√apara obtener que n≥N=⇒xn > a

2. Veamos que la sucesi´onxn = 1

(2n+ 1)1/2₋_(2n₋₁₎1/2 tambi´en tiende a infinito.

xn= 1 (2n+ 1)1/2₋_(2n₋₁₎1/2 = (2n+ 1)1/2_{+ (2n}₋₁₎1/2 (2n+ 1)−(2n−1) = 1 2((2n+ 1) 1/2_{+ (2n}₋₁₎1/2₎ ≥ 1 2(2(2n−1) 1/2₎ = (2n−1)1/2_. Dadoa >0 basta tomarN > a2₂+1 para obtener que

n > N=⇒ 1

(2n+ 1)1/2₋_(2n₋₁₎1/2 > a.

Resaltamos la diferencia entre xn →xyxn → ∞. En el primer caso xes un n´umero y podemos medir

la distancia entre xy xn. En cambio ∞ no es un n´umero y la distancia entre ∞ yxn siempre vale∞. Si

xn→ ∞la sucesi´onxn es divergente.

Las sucesiones que no tienen l´ımite en el sentido que acabamos de describir (finito o infinito), se conocen comosucesiones oscilantes.

(8)

Ejemplo 1.3

Seaxn = (−1)n. Sines par,xn= 1 mientras que si n es impar,xn=−1; pero ni 1 ni−1 pueden ser l´ımites

de esta sucesión: supongamos que 1 es l´ımite, entonces a partir de un cierto enteroN, todos los términos de la sucesión deber´ıan satisfacer|xn−1|<1/2. Pero sin > N es impar entonces|xn−1|=|−1−1|= 2>1/2,

y la sucesi´on no converge a 1. De manera similar se muestra que tampoco converge a−1.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 −1 • • • • • • • • • • • • • • 1 2 3 · · · Figura 1.3: La sucesi´on (−1)n

Uno podr´ıa pensar que si (xn)∞n=1es una sucesión convergente con l´ımitexybes un número real tal que xn< bpara todon∈N, entoncesx < btambién, pero esto no es cierto: basta tomarxn= 1−1/npara todo

n, x= 1 yb= 1. Con este ejemplo vemos que el resultado del pr´oximo teorema es lo mejor que se puede esperar.

Teorema 1.2 Sea (xn)∞n=1 una sucesi´on convergente de n´umeros reales con l´ımite x. Si b ∈ R es tal que xn≤bpara todo n∈N, entonces x≤b.

Demostraci´on. Supongamos quex > b, entonces tomandoh= x−b

2 >0 existeNh∈Ntal que|xn−x|< h para todon≥Nh y esto implica

xn> x−h=x−1

2(x−b)> b+ 1

2(x−b)> b lo que contradice la hip´otesis.•

Corolario 1.1 Sean(xn)∞n=1 y(yn)∞n=1 sucesiones convergentes de n´umeros reales con l´ımitesxey

respec-tivamente. Si xn≤yn para todo n∈N, entoncesx≤y.

Corolario 1.2 Si(xn)∞n=1,(yn)∞n=1 y(zn)∞n=1 son sucesiones de n´umeros reales conyn≤xn ≤zn para todo

ny limyn = limzn=`entonces (xn)∞n=1 es convergente y limxn=`.

Definición 1.4 Si xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N, decimos que la sucesión (xn)∞n=1 es creciente. Es útil considerar el crecimiento de la sucesión en sentido amplio, permitiendo que términos sucesivos sean iguales. Si xn < xn+1 para todon∈N, decimos que la sucesión esestrictamente creciente. Sixn+1≤xn para todo

n∈N, decimos que la sucesi´on esdecrecientey sixn+1< xn para todon, que esestrictamente decreciente.

Decimos además que cualquiera de estas sucesiones esmonótona. Probaremos a continuación una propiedad importante de las sucesiones monótonas: no pueden ser oscilantes.

Teorema 1.3 Toda sucesión monotona enRtiene l´ımite enR∗₌_R_{∪ {∞}}_{. Una sucesión monotona en} _R converge si y sólo si es acotada.

(9)

Demostraci´on.Consideremos una sucesi´on creciente (xn)∞n=1enR:x1≤x2≤. . .y seax= sup{xn :n∈N}.

Veamos quex= limxn:

Caso 1:x=∞, es decir (xn)∞n=1no est´a acotada superiormente. Por lo tanto, dadoM >0 existeN ∈N tal quexN > M.Pero como la sucesi´on es creciente se cumple que

n≥N =⇒ xn ≥xN > M

es decir, limxn=∞

Caso 2: x∈R. Dado² >0 existeN ∈Ntal quexN > x−². De nuevo, como la sucesi´on es creciente

n≥N =⇒ x−² < xN ≤xn ≤x

de modo que sin≥N, d(xn, x)< ²y concluimos que limxn =x.

La demostraci´on para sucesiones decrecientes es similar tomandox= inf{xn:n∈N} •

Corolario 1.3 Si (xn)∞n=1 es una sucesi´on creciente en R, limxn = sup{xn :n ∈N}. Si (xn)∞n=1 es una

sucesi´on decreciente enR, limxn= inf{xn:n∈N}.

Ejemplo 1.4 La sucesi´onan_.

Un ejemplo ´util e importante es el de la sucesi´on xn = an, para a ∈ R. El comportamiento de esta

sucesi´on cuandon→ ∞depende del valor dea. 1. Sia= 0, xn =an = 0 y limxn= 0.

2. Sia= 1, xn =an = 1 y limxn= 1.

3. Sia=−1,la sucesi´on toma alternadamente los valores +1 y−1 y es oscilante. 4. Sia >1 la sucesi´onxn=an es creciente:

xn−xn−1=an−an−1=a(an−1−1)>0.

Por el Corolario 1.3, limxn = supxn. Veamos que la sucesi´on no est´a acotada. Sea k = a−1 y

escribamosa= 1 +k. Usando el desarrollo binomial obtenemos xn=an= (1 +k)n = n X j=0 µ n j ¶ kj>1 +nk Como k >0, la sucesi´on (1 +nk)∞

n=1 no est´a acotada y por lo tanto tampoco lo est´a (xn)∞n=1. 5. Si 0< a <1 entonces 1< a−1_{. Sea}_{` >}_{0 tal que}_a−1_{= 1 +}_{`. Entonces}

0< xn= 1

(1 +`)n <

1 1 +n`

Es f´acil ver que cuando n→ ∞,1/(1 +n`)→0, de modo que por el Corolario 1.1,xn→0.

6. Si a < −1 entonces a = −b, con b > 1 y por (4) bn _{→ ∞.} _{Por lo tanto la sucesi´on (b}

n)n toma

alternadamente valores positivos y negativos que son cada vez mas grandes en valor absoluto, es decir la serie es oscilante y no es acotada.

Resumiendo tenemos (1) a >1, an_{→ ∞.} (2) a= 1, an_→_1. (3) −1< a <1, an_→_0. (4) a=−1, an _{oscila y es acotada.} (5) a <−1, an _{oscila y no es acotada.}

(10)

Definición 1.5 Una sucesión (xn)∞n=1 es una sucesión de Cauchy si para todo ² >0 hay un enteroN tal que|xn−xm|< ²sin≥N, m≥N.

Toda sucesi´on convergente es de Cauchy: si limxn=xy² >0 exiteN ∈Ntal que|xn−x|<₂² paran≥N.

Por lo tanto, sin≥N, m≥N se tiene

|xn−xm| ≤ |xn−x|+|xm−x|< ²

El rec´ıproco tambi´en es cierto y es una propiedad muy importante de los n´umeros reales con la distancia usual que se conoce como completitud:Rcon la distancia usual es completo.

Ejercicios 1.1

1. Establezca la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones:

xn= n n+ 1; xn= (−1)n_n n+ 1 ; xn= 2n 3n2_{+ 1}; xn= 2n2_{+ 3} 3n2_{+ 1}; xn= 2n 2 −n.

2. (a) De un valor de N tal que, si n > N, n2₋₄_{n >} ₁₀6_{. (b) De un valor de} _N _{tal que si} _{n > N} _entonces |xn−x|<10−100, dondexn=n

2₊₁

n2 yxes el l´ımite de esta sucesi´on.

3. Sis1>0ysn+1≥Ksn,dondeK >1, para todos los valores den, entoncessn→+∞.

4. Si para todo n, |sn+1| ≤K|sn|, donde0< K < 1, entonces sn → 0. La conclusión también es válida si la

hip´otesis se satisface s´olo paran > N.

5. Silimsn+1

sn =h, con−1< h <1, muestre que sn→0.

6. Demuestre el teorema 1.1

7. Discuta el comportamiento de la sucesi´onan_/nk _cuando_n_{→ ∞}_{, donde}_k _{es un entero positivo.}

8. D´e ejemplos de sucesionessnpara las cualeslimsn_s+1

n = 1y (a)sn→ ∞,(b)sn→5, (c)sn→0.

9. Si (xn) es una sucesión de números reales, (yn) una sucesión de reales positivos y (xn/yn) es monótona,

demuestre que la sucesión definida porzn= (x1+x2+· · ·+xn)/(y1+y2+· · ·+yn)también es monótona.

10. Sea0< a < b <∞. Definimos x1 =a, x2 =b, xn+2= (xn+xn+1)/2. ¿Es convergente la sucesi´on (xn)? Si la

respuesta es afirmativa, ¿Cu´al es el l´ımite?

11. Si(xn)n∈N e(yn)n∈N son sucesiones tales que {n∈N:xn 6=yn}es finito, entonces o bien ambas sucesiones

convergen al mismo l´ımite o bien ambas divergen.

12. Si(xn)n∈N es una sucesi´on,p∈N, eyn=xn+pentonces o bien ambas sucesiones convergen al mismo l´ımite o

bien ambas divergen.

13. El n´umero e.Paran∈Nsean

an= (1 +1 n) n _b n= (1 + 1 n) n+1_.

Demuestre que(an)∞n=1es creciente,(bn)∞n=1es decreciente y ambas sucesiones convergen al mismo l´ımite. Este

l´ımite com´un se denota porey se cumple que2< e <4. (Puede usar el siguiente resultado, conocido como la desigualdad de Bernoulli: Six≥ −1yk∈Nentonces(1 +x)k_≥_{1 +}_kx_).

14. Demuestre queRes un espacio m´etrico completo: toda sucesi´on de Cauchy enRconverge.

1.2. L´ımites Superior e Inferior de una Sucesi´

on.

Definici´on 1.6 Sea (xn)∞n=1 una sucesi´on enR∗. Para cadak∈Ndefinimos αk= sup

(11)

Vemos que la sucesión (αn)∞n=1es decreciente mientras que (βn)∞n=1es creciente. Definimos ell´ımite superior de la sucesión (xn)∞n=1 : limn→∞xn ó limsupn→∞xn por

limxn= lim

k→∞αk = limk→∞ _nsup_≥_kxn

y ell´ımite inferior: lim_n_→∞xn ´o liminfn→∞xn por

limxn= lim

k→∞βk = limk→∞ninf≥kxn

Ambos l´ımites estan siempre definidos y son elementos de R∗_{. Por la monoton´ıa de las sucesiones (α}

k) y

(βk) tenemos

limxn= lim

k→∞ sup_n_≥_k xn= infk≥1 _nsup_≥_k xn limxn = lim

k→∞ ninf≥k xn= sup_k_≥₁ ninf≥k xn

Adem´as comoβk ≤αk para todokse tiene que

lim xn≤limxn.

Una forma equivalente de escribir ambas definiciones es la siguiente: limxn = lim_n_→∞ sup

p≥1 xn+p limxn= lim

n→∞ pinf≥1 xn+p

Teorema 1.4 Sea(xn)∞n=1 una sucesi´on enR ya, b∈R∗. Entonces

1. limxn=asi y s´olo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

a) Si α < a el conjunto{n∈N: xn> α} es infinito

b) Si β > ael conjunto {n∈N: xn > β} es finito

2. limxn=b si y s´olo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

a) Si α < bel conjunto{n∈N: xn< α} es finito

b) Si β > bel conjunto{n∈N: xn< β} es infinito.

Demostraci´on.Haremos solo el caso (1) conafinito. Seaαk = supn≥kxn ya= limαk. Seaα < a, entonces

αk> αpara todok. Por la definici´on deαk, para cadakexistenk ≥ktal queαk≥xnk> α. Por lo tanto {n∈N:xn> α} ⊃ {nk :k∈N}

y este ´ultimo conjunto es infinito.

Sea ahora a < β. Como αk ↓ aexistek0 tal queαk0 < β y por lo tanto sin≥k0, xn ≤αk0 < β. Esto

quiere decir que el conjunto{n∈N:xn> β}es finito.

Supongamos que, por el contrario, se satisfacen las condiciones 1.a) y b). Si −∞< a <∞, dado β > a podemos escoger k0∈Ntal quexn ≤β para todon≥k0. Por lo tantoαk ≤αk0 ≤β para todok≥k0 y

limsupxn = limk→∞αk ≤β. Como esto es cierto para todoβ > aconcluimos que limsupxn ≤a. Por otro

lado, si α < a el conjunto {n∈ N: xn > α} es infinito y por lo tanto αk > α y limsupxn = limαk ≥α.

Como esto es v´alido para cualquierα < a concluimos que limsupxn ≥a.•

Teorema 1.5 Sea (xn)∞n=1 una sucesi´on en R. Entonces limxn existe en R∗ si y s´olo si limxn = limxn.

(12)

Demostraci´on.Supongamos que limxn= limxn=`.Si`∈Rentonces lim n→∞ µ sup p≥1xn+p ¶ = lim n→∞ µ inf p≥1xn+p ¶ =` y dado² >0 existe un entero N tal que

sup p≥1xn+p≤`+² para todon≥N inf p≥1xn+p≥`−² para todon≥N. Por lo tanto `−²≤xn≤`+² para todon≥N+ 1

aqu´ı concluimos quexn→`cuando n→ ∞.

Si `= +∞, entonces 1.a) del Teorema 1.4 dice que para cualquier α∈R, existeN ∈Ntal quexn > α

para todon > N, y por lo tanto limxn= +∞. De manera similar se trata el caso`=−∞.

Supongamos ahora que limxn =`. Si`∈R, dado² >0 existe N tal que

`−² < xn < `+² para todon≥N.

Por lo tanto

`−²≤inf

p≥1xn+p≤sup_p_≥₁xn+p≤`+² para todon≥N y entonces `−²≤lim µ inf p≥1xn+p ¶ ≤lim µ sup p≥1xn+p ¶ ≤`+² Como esto es cierto para cualquier²concluimos

limxn= limxn =`.

Si limxn = +∞, dadoM ∈RexisteN∈Ntal que si n≥N entoncesxn> M. Por lo tanto

inf

p≥1xn+p≥M para n≥N y en consecuencia

limxn= lim inf

p≥1xn+p≥M esto quiere decir que +∞= limxn≤limxn≤+∞.

De manera similar se muestra el resultado en el caso limxn=−∞. •

Observación 1.2 Sea (xn)∞n=1 una sucesión en R. Un punto x ∈ R∗ es un punto de acumulación de la sucesión si toda vecindad dexcontiene a infinitos elementos de la sucesión. Es decir, siB ={xn :n∈N}, x

es un punto de acumulación de la sucesión si y sólo si es punto de acumulación de B. Sea (xn)∞n=1 una sucesión en R∗ _{y sea} _A _{el conjunto de puntos de acumulación de esta sucesión. Entonces lim}_x

n ∈ A y

limxn ∈ A. y adem´as limxn ≤ c ≤limxn para todo c ∈A. Como consecuencia, una sucesi´on enR tiene

l´ımite enR∗ _{si y s´olo si tiene un solo punto de acumulaci´on.}

Ejercicios 1.2

1. Seaan= (−1)n. Muestre quelimsupan=−liminfan= 1.

(13)

3. Si(an)y(bn)son dos sucesiones de n´umeros reales que satisfacenan≥bndemuestre quelimsupan≥limsupbn

yliminfan≥liminfbn.

4. Sean(xn)e(yn)sucesiones reales positivas y acotadas, entonceslimxn+limyn≤lim (xn+yn)≤lim (xn+yn)≤

limxn+ limyn. De ejemplos que muestren que estas desigualdades pueden ser estrictas.

5. Sean(xn)e(yn)sucesiones reales acotadas, entonces

limxnlimyn≤lim (xnyn)≤limxnlimyn≤lim (xnyn)≤limxnlimyn

6. Sea(sn)n∈N una sucesi´on de n´umeros reales positivos. Muestre quelimsn_s+1

n ≤lim n √ sn≤lim√nsn≤limsn_s+1 n .

1.3. Subsucesiones

Definición 1.7 Sea (xn)∞n=1 una sucesión en R. Si n1 < n2 < n3 < · · · es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, decimos que la sucesión (xnk)

∞

k=1 es unasubsucesi´onde (xn)∞n=1.

Teorema 1.6 Sea (xn)∞n=1 una sucesión en R, (xn)∞n=1 converge a x∈R si y sólo si toda subsucesión de (xn)∞n=1 converge ax.

Demostración. Supongamos que xn →xy sea (xnk)k∞=1 una subsucesión de (xn)∞n=1. Dado ² >0 entonces existeN ∈Ntal que sin≥N, |xn−x|< ². Para la subsucesión tomamosK∈Ntal quenK > N. Entonces

para todok≥Kse tiene |xnk−x|< ²yxnk→xcuandok→ ∞.

Por otro lado, si toda subsucesi´on de (xn)∞n=1 converge ax, basta considerar (xn)∞n=1 como subsucesi´on de s´ı misma.•

Teorema 1.7 Toda sucesi´on acotada enRtiene una subsucesi´on convergente.

Demostración.SeaE ={xn, n∈N}, el conjunto de todos los valores que toma la sucesión. Por la observación

1.2, limxn es punto de acumulaci´on de E y por lo tanto existe una subsucesi´on (xnk)

∞

k=1 que converge a limxn.•

Ejercicios 1.3

1. Construya una sucesi´on divergente enRque tenga una subsucesi´on convergente.

2. Sea (an) una sucesión acotada de números reales. Demuestre que hay una subsucesión (ani) tal queani →

liminfancuandoi→ ∞.

3. Si(an)es una sucesi´on acotada y(ani)es una subsucesi´on, demuestre queliminfan≤liminfani≤limsupani≤

limsupan.

1.4. Series

Definición 1.8 Sea (xn)∞n=1 una sucesión de números reales. Para cadan∈Ndefinimos Sn=

n

X

k=1

xk =x1+x2+· · ·+xn.

La sucesi´on (Sn)n≥1 se conoce como la serie infinita asociada a, o generada por, la sucesi´on (xn)∞n=1. La

notaci´on usual es _∞ X n=1 xn ´o X xn.

(14)

Decimos que xn es el n-ésimo sumando y Sn es la n-ésima suma parcial de la serie. Si la sucesión de

sumas parciales (Sn)n≥1converge decimos que P

xn es unaserie convergente. En caso contrario la serie es

divergente. Si limn→∞Sn =S decimos que S es lasumade la serie

P xn y escribimos ∞ X n=1 xn=S

As´ı, para las series convergentes, el s´ımboloP∞_n₌₁xn tiene un doble papel: representa la serie y tambi´en su

suma. Es importante tambi´en que el lector distinga claramente entre la sucesi´on (xn)∞n=1 y la serie P_∞

n=1xn y entienda la relaci´on entre ambas.

Consideraremos ocasionalmente series de la forma P∞_n₌_pxn donde p∈Z, las cuales definimos como la

serieP∞_n₌₁yn dondeyn =xn+p−1.

Ejemplo 1.5

Seaxn= 1/n. Las sumas parciales (Sn) correspondientes a esta sucesi´on son

S1= 1; S2= 1 + 1 2 = 3 2; S3= 1 + 1 2 + 1 3 = 11 6 ; . . .

En la figura 1.4 vemos, en la parte inferior, la gráfica de la sucesiónxny en la parte superior, la de la sucesión

de sumas parcialesSn. La primera sucesi´on es decreciente mientras que la segunda es creciente.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... _... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 • • • _• _• • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . x1 x2 x3 _x 4 x5 x6 x7 x8 x9 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 2 3 • • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

Figura 1.4: La sucesi´on 1/n y la serie asociada.

Está claro a partir de la definición que la sucesión (xn)n≥1 determina totalmente la serie P

xn y sus

propiedades. Lo contrario también es cierto ya que la seriePxnes la sucesión (Sn)n≥1de sumas parciales y xn=Sn−Sn−1. Por lo tanto, todos los resultados que hemos visto para sucesiones tienen una versión para series. En particular, el Criterio de Cauchy para series es el siguiente:

(15)

Teorema 1.8 (Criterio de Cauchy) La seriePxn es convergente si y s´olo si para todo ² >0 existe un

entero N tal que _¯

¯ ¯ ¯ ¯ n X k=m xk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯< ² siempre quen≥m≥N.

Si Pxn converge entonces el teorema anterior conm=nnos dice quen≥N ⇒ |xn|< ², es decir

Corolario 1.4 Si Pxn converge entonceslimn→∞xn= 0

La condici´on enunciada en el Corolario 1.4 es s´olo necesaria, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.6

Sixn=n−1/2 entoncesxn→0 cuandon→ ∞pero n X k=1 xk = 1 +√1 2+· · · 1 √ n ≥ n √ n ≥ √ n

y como√n→ ∞cuando n→ ∞,Pxn diverge a∞.

Haciendo n→ ∞conmfijo en el teorema anterior obtenemos

Corolario 1.5 Si Pxn converge, dado² >0 existe N∈N tal que sim≥N entonces|

P_∞

k=mxn|< ²

Observación 1.3 Si se cambia un número finito de sumandos de una serie no se altera su convergencia o divergencia, pero puede variar el valor de su suma. En contraste, el cambio de un número finito de términos de una sucesión no altera su convergencia o divergencia, ni se altera el l´ımite al cual converge, en caso de que sea convergente. La diferencia se debe a que el m-ésimo sumando de la seriePxn aparece en la k-ésima

suma parcialPk_j₌₁xj=x1+x2+· · ·+xk sik≥my en consecuencia, el cambio en el valor de un sumando

de la serie altera el valor de todos los t´erminos de la sucesi´on de sumas parciales, excepto por una cantidad finita de ellos.

‘

Ejemplo 1.7

Consideremos de nuevo el ejemplo de la sucesi´on xn = 1/n y supongamos que cambiamos los dos primeros

términos de la sucesión: en lugar de 1 y 0,5 ponemos 0 en ambos casos (Ver figura 1.5). En el caso de la sucesión xn cambian los valores de estos dos términos pero el resto de la sucesión permanece igual,

mientras que en el caso de la serie, el valor de todas las sumas parciales ha sido alterado: en lugar de 1; 1,5; 1,83; 2,08; 2,28;. . . tenemos ahora 0; 0; 0,33; 0,58; 0,78; . . .. Como veremos m´as adelante, ambas series son divergentes, pero las sucesiones de sumas parciales son distintas.

Corolario 1.6 SiPxn y

P

yn son series de t´erminos reales yxn=ynpara todonsuficientemente grande,

entonces o ambas series convergen o ambas divergen.

Demostraci´on.Para alg´unN ∈Nse tiene que n > N implica quexn=yn. Por lo tanto paran≥m > N se

tiene _n X k=m xk = n X k=m yk

y por el criterio de Cauchy ambas series convergen o ambas divergen.•

(16)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 • • • _• • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . x0 1 x02 x3 _x 4 x5 x6 x7 x8 x9 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 2 • • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . S0 1 S20 S0 3 S0 4 S0 5 S0 6 S0 7 S0 8 S0 9

Figura 1.5: La sucesi´on 1/n y la serie asociada con los dos primeros t´erminos cambiados. Teorema 1.9 SiPxn y

P

yn son series convergentes de t´erminos reales yc∈Rentonces

1. P∞_n₌₁cxn=c P∞ n=1xn 2. P∞_n₌₁(xn+yn) = P_∞ n=1xn+ P_∞ n=1yn

En particular, las dos series de la izquierda convergen. Demostraci´on.Ejercicio.

Teorema 1.10 (Serie Geom´etrica) Seana, x∈R. La serie P∞_n₌₀axn _{converge y su suma es} _a/(1₋_x)

si|x|<1. Si a6= 0y |x| ≥1esta serie diverge.

Demostración.La fórmula para progresiones geométricas nos dice que Sn= n X k=0 axk₌_a1−xn+1 1−x

Aplicando los resultados estudiados para sucesiones, si|x|<1 obtenemos lim

n→∞Sn=

a 1−x.

Si a 6= 0 y |x| ≥ 1 entonces|axn_{| ≥ |a|}_>_{0 para todo} _n _{y el Corolario 1.4 muestra que la serie no puede}

converger.•

Definici´on 1.9 Una seriePxnconverge absolutamente(o esabsolutamente convergente) si

P

|xn|converge.

Teorema 1.11 Si Pxn converge absolutamente entonces converge.

Demostraci´on.El resultado sigue de la desigualdad ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m X k=n xk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤ m X k=n |xk| y el criterio de Cauchy.•

Definici´on.Si Pxn converge pero

P

|xn| diverge decimos que

P

(17)

Ejercicios 1.4

1. Muestre queP∞

0 (n+1)(1n+2) converge a 1.

2. Construya series con las siguientes propiedades

a) Σanconverge yΣa2n diverge.

b) Σbnconverge yΣb3ndiverge.

c) Σcnconverge yΣc2nyΣc3ndivergen.

3. SiPxnconverge muestre que

P_x

n

n tambi´en converge.

4. SiPxnconverge y

P

yndiverge demuestre que

P

(xn+yn) diverge y que

P

zn dondez2n=xn y z2n−1 = yn(n∈N)tambi´en diverge.

5. SiPxnconverge aS, demuestre que

P

xn+1converge a S−a1 y que

P

kxnconverge akS.

6. SiPxnconverge aS, demuestre que

P

(xn+xn+1)converge a2S−x1. Construya una serie divergente

P

yn

tal queP(yn+yn+1)converja.

7. Sea(nk)una sucesi´on estrictamente creciente de enteros positivos conn1 = 1y sea

P

xnuna serie convergente.

Parak∈Nseabk=

P

{xn:nk≤n < nk+1}. Demuestre que

P

bnconverge y tiene la misma suma que

P

xn.

8. SiP(x2n+λx2n−1)y

P

(x2n+µx2n−1)son series convergentes, dondeλ6=µ, demuestre que

P

xnconverge.

9. SiP|xn|converge demuestre que

P

x2

nconverge.

10. SiPxnconverge absolutamente eynsatisface(1+xn)(1−yn) = 1, demuestre que

P ynconverge absolutamente. 11. SiPx2 nconverge, entonces P_x n n converge absolutamente.

12. Si(xn)n∈N es una sucesi´on decreciente y

P

xn converge, pruebe quenxn→0cuandon→ ∞. Deduzca que si

α≤1entoncesPn−α_diverge.

1.5. Series de T´

erminos Positivos

Definici´on 1.10 Sea Pxk una serie con t´erminosxk ≥0 y sea Sn =

P_n

k=1xk su n-´esima suma parcial.

Como (Sn)n≥1es una sucesi´on creciente, tiene un l´ımiteS∈R∗(que puede ser +∞) . Escribimos P_∞

k=1xk =

S.S se conoce como lasumade la serie. SiS <∞esta definici´on coincide con la anterior y decimos que la serieconverge. SiS=∞la seriediverge. En cualquier caso la serie tiene suma y escribimos

X

xk <∞ ´o

X

xk=∞

seg´un el caso.

Teorema 1.12 SeaPxn una serie con t´erminos positivos.

P

xn converge si y s´olo si la sucesi´on de sumas

parciales es acotada.

Demostraci´on.Este resultado es consecuencia del Teorema 1.3. • Ejemplo 1.8

La serieP∞_n₌₁1/n, conocida como la serie armónica, es divergente. Veamos que la sucesión de sumas parciales correspondiente a esta serie no está acotada. Usaremos el hecho de que (1/n) es una sucesión decreciente.

S1= 1 S2= 1 +1 2 S4= 1 +1 2 + 1 3 + 1 4 >1 + 1 2 + 2 1 4 = 1 + 2 1 2 S8= 1 +1 2 +· · ·+ 1 8 =S4+ 1 5 + 1 6+ 1 7+ 1 8 > S4+ 4 1 8 =S4+ 1 2 >1 + 3 1 2 S16=S8+1 9 +· · ·+ 1 16 > S8+ 8 1 16=S8+ 1 2 >1 + 4 1 2

(18)

y en general S2n=S₂n−1+ 1 2n−1_{+ 1}+· · ·+ 1 2n > S2n−1+ 2 n−1 1 2n =S2n−1+ 1 2. Por recurrencia obtenemos que

S2n>1 + n 2

y vemos que esta sucesi´on no es acotada y por lo tanto la serie no converge. Teorema 1.13 Si yn, xn∈[0,+∞)para todo n∈Ny c≥0 entonces

1. P∞_n₌₁can =c P_∞ n=1an 2. P∞_n₌₁(an+bn) = P_∞ n=1an+ P_∞ n=1bn

Demostraci´on. Si todas las sumas que aparecen son finitas, esto es el Teorema 1.9. En caso contrario el resultado es consecuencia de la definici´on.•

1.5.1. Pruebas de Convergencia para Series de T´

erminos Positivos

Para las series de términos positivos hay varios criterios que permiten determinar si las series son conver-gentes. Presentamos a continuación cuatro de ellos sin demostración. Suponemos que el estudiante está fa-miliarizado con ellos. Todos los resultados que presentamos dependen, de manera fundamental, de que los términos de las series sean positivos. En esta sección,xn≥0 y yn≥0 para todon≥1.

Teorema 1.14 (Criterio de Comparación) Si para algúnK >0 y algún N ∈N, se tiene que0≤xn≤

Kyn para todon≥N, entonces

1. SiPyn converge se tiene que

P xn converge y P_∞ n=Nxn≤K P_∞ n=Nyn 2. SiPxn diverge, P yn tambi´en.

Corolario 1.7 Si limn→∞x_yn_n = K, 0 < K < ∞ entonces ambas series convergen o ambas divergen. Si

K = 0, la convergencia de Pyn implica la convergencia de

P

xn, mientras que si K =∞, la divergencia

dePxn implica la de

P yn.

Teorema 1.15 (Prueba del Cociente, d’Alembert) Sea (xn)n≥1 una sucesi´on de n´umeros reales

es-trictamente positivos.

1. Si para alg´unN ∈N existe un n´umero real α∈(0,1) para el cual xn+1/xn ≤α siempre que n≥N

entonces Pxn converge.

2. Si para alg´unN ∈N,se tiene que xn+1/xn≥1 siempre quen≥N entonces

P

xn diverge.

Corolario 1.8 Sea (xn)n≥1 una sucesi´on conxn>0para n≥1.

1. Silimsupxn+1 xn <1 entonces P xn converge. 2. Siliminfxn+1 xn >1entonces P xn diverge.

En general, la prueba del cociente sólo funciona para series que convergen rápidamente y su principal aplicación es a las series de potencias, que estudiaremos más adelante.

Para poder usar el Criterio de Comparaci´on es necesario conocer el comportamiento de algunas series. El pr´oximo resultado es importante en este sentido.

(19)

Demostraci´on. Hemos visto que si α = 1 la serie diverge. Si α < 1, n−α _{> n}−1 _{y por el Criterio de} Comparaci´on,Pn−α _diverge.

Supongamos ahora queα >1 y consideremos la suma para los ´ındicesnque satisfacenN+ 1≤n≤2N; entonces n−α≤(N+ 1)−α< N−α y 2N X n=N+1 n−α< N−α(2N−N−1)< N1−α Tomemos ahoraN = 2j_,_para_j_{= 0,} _{1, . . . , k}₋_{1; obtenemos que}

2k X 1 n−α_≤ k−1 X j=0 2j+1 X n=2j n−α_≤ k−1 X j=0 2(1−α)j_≤ ∞ X j=0 2(1−α)j ₌ 1 1−2(1−α)

dondeP2(1−α)j_{es una serie geom´etrica convergente porque}_{α >}_{1 y 2}1−α_<_{1. Como estamos considerando}

una serie de términos positivos, la sucesión de sumas parciales es creciente y hemos mostrado que esta sucesión está acotada. Por el Teorema 1.12 la serie es convergente.•

Teorema 1.17 (Prueba de la Ra´ız) Definamosβ= limsup(xn)1/n. Entonces

a) Si β <1, Pxn converge.

b) Si β >1, Pxn diverge.

c) Si β= 1, la prueba no da informaci´on.

La prueba de la ra´ız es m´as fuerte que la prueba del cociente, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplos 1.9 1. Paran∈Ndefinimos xn= ( 2−n_, _si_n_{es par} 3−n_, _si_n_{es impar.} entonces Pxn < P 2−n_<_∞._{Ahora bien,} limxn+1 xn = limn→∞ 1 3 µ 2 3 ¶n = 0 (1.1) lim(xn)1/n= lim ¡ 3−n¢1/n= 1 3 (1.2) lim(xn)1/n= lim ¡ 2−n¢1/n= 1 2 (1.3) limxn+1 xn = lim1 2 µ 3 2 ¶n =∞. (1.4)

Vemos que la prueba de la ra´ız detecta la convergencia, mientras que la del cociente no nos da infor-maci´on. 2. Paran∈Ndefinimos xn= ( 2n_, _si_n_{es par} 2−n_, _si_n_{es impar.}

(20)

entonces Pxn =∞y lim(xn)1/n= lim (2n)1/n= 2 (1.5) limxn+1 xn = limn→∞ µ 2−(n+1) 2n ¶ = lim 22n+1_{= 0} _(1.6) limxn+1 xn = lim µ 2n+1 2−n ¶ =∞. (1.7)

La prueba de la ra´ız detecta la divergencia mientras que la prueba del cociente no da informaci´on.

Bajo ciertas circunstancias hay una estrecha relaci´on entre el comportamiento de la integralR₁∞f dty el de la seriePf(n).

Teorema 1.18 Si f est´a definida parax≥0, es decreciente y positiva entonces

Z _N 1 f dx− N X n=1 f(n)

tiende a un l´ımite finito cuando N → ∞. Demostraci´on.Llamemos kN = Z _N 1 f dx− N X n=1 f(n). Comof es decreciente kN+1−kN = Z _N₊₁ N f dx−f(N+ 1)≥0 de modo que la sucesi´on (kN) es creciente. Llamemos ahora

`N = Z _N 1 f dx− N_X−1 n=1 f(n).

Un argumento similar muestra que la sucesi´on (`N) es decreciente. Adem´as

`N−kN =f(N)≥0

Por lo tanto kN ≤ `N ≤`1 de modo que kN est´a acotada superiormente. Por lo tanto kN converge a un

l´ımite finito.•

Corolario 1.9 (Prueba de la Integral) Sif est´a definida parax >0, es decreciente y positiva, entonces

P

f(n)converge si y s´olo si R₁∞f dx converge.

Demostraci´on.SiR₁∞f dxconverge entoncesR₁Nf dxtiende a un l´ımite finito cuandoN → ∞y por lo tanto

N X n=1 f(n) = Z _N 1 f dx−kN

tambi´en converge a un l´ımite finito. Por otro lado, siPN_n₌₁f(n) converge a un l´ımite finito cuandoN → ∞ entoncesf(n)→0 cuandon→ ∞y Z N 1 f dx= N X n=1 f(n) +kN

(21)

tambi´en tiende a un l´ımite finito cuandoN → ∞. SiN < x < N+ 1 entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x 1 f dt− Z _N 1 f dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x N f dt ¯ ¯ ¯ ¯≤f(N)

que tiende a cero cuandoN → ∞y en este casoR₁x converge a un l´ımite finito cuandox→ ∞.• Ejemplos 1.10

1. Tomemosf(x) = 1/xen el teorema anterior, entonces 1 + 1 2+ 1 3+ 1 4 +· · ·+ 1 n−logn

tiende a un l´ımite finito cuando n→ ∞. Este l´ımite se conoce como la constante de Euler, se denota porγ y es un n´umero en (0,1).

2. Tomemos ahora

f(x) =¡xlogx· · ·logr−1x(logr(x))α

¢−1 donde

logs(x) = log(logs−1(x)), log2(x) = log(log(x)) Sea asuficientemente grande de modo quef est´e definida si x > a, entonces

Z _x a f dt= 1 1−α(logrt) ¯ ¯x a = ½ ₁ 1−α £

(logrx)1−α−(logr(a))1−α

¤

siα6= 1. logr+1(x)−logr+1(a) siα= 1

por lo tanto la serie Pf(n) converge siα >1 y diverge si α≤1. Estas series son ´utiles a los efectos de la prueba de comparaci´on.

El próximo teorema muestra que el orden en el cual aparecen los términos de una serie de términos positivos no afecta su suma.

Teorema 1.19 Sea Aun conjunto numerablemente infinito y sea{ak, k≥1} una enumeraci´on deA. Para

cualquier funci´onf :A→[0,∞] se tiene ∞ X k=1 f(ak) =sup ( X a∈F f(a) :F es finito, F ⊂A ) (1.8)

Nota:El s´ımboloP_a_∈_Ff(a) denota la suma de los valores def en los puntos del conjuntoF. En vista del Teorema escribimos el segundo miembro de (4.1) como

X

a∈A

f(a) o X{f(a) :a∈A}

para cualquierA6=∅yf :A→[0,∞]. SiA=∅, P_a_∈_Af(a) = 0 por definici´on.

Demostraci´on.Sea α <P_a_∈_Af(a). EscogemosF ⊂Afinito de modo que α <X

a∈F

f(a).

Escogemos ahorak0∈Nde modo queF ⊂ {ak: 1≤k≤k0}. Por lo tanto

α <X a∈F f(a)≤ k0 X k=1 f(ak)≤ ∞ X k=1 f(ak).

(22)

y comoαes arbitrario, X a∈A f(a)≤ ∞ X k=1 f(ak) Adem´as, ∞ X k=1 f(ak) = sup{ n X k=1 f(ak) :n∈N} ≤ X a∈A f(a). y esto concluye la demostraci´on.•

1.5.2. Pruebas para Convergencia Absoluta

Sea Pxn una serie de n´umeros reales. La serie

P

|xn| de los valores absolutos es una serie de n´umeros

reales positivos y podemos aplicarle los criterios de convergencia que estudiamos anteriormente para obtener de esta manera criterios de convergencia absoluta. Por ejemplo, si limsup(|xn|)1/n < 1, la serie

P xn es

absolutamente convergente.

Ejercicios 1.5

1. Determinar si las siguientes series convergen o divergen.

a) Σ√1 n3 b) Σ 1 3 √ n c) Σ 2 nn d) Σ 3 n(n+ 1) e) Σ 4n (n+ 1)(n+ 2) f) Σ 2n+ 1 (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) g) Σ 1 πn h) Σ 2 n+ 2 i) Σ 1 3n_{+ 1} j) Σ 4 n √ 3 k) Σ 1 n2_{+ 3} l) Σ n 2(n+ 1)(n+ 2) m) Σ 1 3n₋₁ n) Σn 3 4 n o) Σ4n 2n p) Σ 3n n2n q) Σ n 3n r) Σ 1 (n+ 3)3n

2. Para cada una de las siguientes sucesiones determine si la serie asociada es convergente o no.

(1)xk= 1 4 +k2 (2)xk= 1 √ k+√k+ 1 (3)xk= k2 k! (4)xk=3 2k₍_k_!)2 (2k)! (5)xk= √ k+ 1−√k (6)xk= √ k+ 1−√k k (7)xk= ((k)1/k−1)k (8)xk= (−1)k−1 k 2k+ 1 (9)xk= (−1) k−1 k k2_{+ 1}

3. SeaPxnuna serie de t´erminos positivos tal que la sucesi´on(xn)es decreciente y seayn= 2nx2nparan∈N.

Demuestre que ambas series Pxny

P

ynconvergen o ambas divergen.

4. Suponga que la serie de t´erminos positivosPxn converge. Demuestre que

P (xnxn+1)1/2 y P (xnn−1−δ)1/2, δ >0convergen. 5. SeanPxny P

ynseries convergentes de t´erminos positivos. Demuestre que

P

(xnyn)1/2converge.

6. La sucesi´on(xn)es decreciente,xn>0y

P

(xnxn+1)1/2 converge. Muestre que

P

xnconverge. De un ejemplo

de una serie positiva divergentePyntal que

P

(ynyn+1)1/2 converge.

7. Pxnes una serie divergente de t´erminos estrictamente positivos.

(i) Determine si las siguientes series convergen o divergen:

1)Xxn/(1 +xn) 2) X xn/(1 +nxn) 3) X xn/(1 +n2xn) 4) X xn/(1 +x2n)conxnacotada

(ii) SeaSn=x1+· · ·+xn. Demuestre que x_SN+1

N+1+· · ·+ x_N₊_k SN+k ≥1− SN SN+k y deduzca que P_x n Sn diverge.

(iii) Pruebe que xn

S2 n ≤ 1 Sn−1− 1 Sn y deduzca que P_x n S2 n converge.

(23)

1.6. Series Alternas.

Aunque la noci´on de convergencia absoluta nos provee una herramienta poderosa para estudiar la con-vergencia, puede suceder que una serie sea convergente sin ser absolutamente convergente. En esta situaci´on hay algunas pruebas que permiten detectar en ciertos casos si la serie es convergente.

Definici´on 1.11 Si una serie es convergente sin ser absolutamente convergente decimos que es condicional-menteconvergente.

El caso más frecuente es el de las series alternas, que son aquellas en las cuales los términos sucesivos cambian de signo (ver figura 1.6). Para este caso hay una prueba de convergencia sencilla e importante. Teorema 1.20 (Prueba de Leibniz para Series Alternas) Sea (xn)n≥1 una sucesión decreciente de

n´umeros positivos conxn →0, entonces

P∞ n=1(−1)n+1xnes convergente. Adem´as, siSk = Pk n=1(−1)k+1xk y S=P∞_n₌₁(−1)n+1_x n entonces |S−Sk| ≤xk+1 para todok≥1. Demostraci´on.ParakypenN |Sk+p−Sk|= ¯ ¯₍₋₁₎k+2_x k+1+· · ·+ (−1)k+p+1xk+p ¯ ¯ _(1.9) =¯¯xk+1−xk+2+· · ·+ (−1)p+1xk+p ¯ ¯_. _(1.10)

La suma que aparece entre los signos de valor absoluto se puede escribir como (xk+1−xk+2) + (xk+3−xk+4) +· · ·+ ( xk+p−1−xk+p, sipes par xk+p, sipes impar. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... _... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 • • • _• • _• _• _• _• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . x1 x2 x3 _x 4 _x 5 x6 x7 x8 x9 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... _... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .... _... .... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 • • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

Figura 1.6: La sucesi´onxn y la serie alterna asociada.

Como (xn) es una sucesi´on decreciente, esto muestra que esta suma es positiva y por lo tanto podemos

eliminar los signos de valor absoluto. La suma puede ser reescrita de la siguiente manera: xk+1−(xk+2+xk+3)− · · · −

(

xk+p, sipes par

(24)

lo cual muestra que

|Sk+p−Sk|< xk+1. (1.11)

Comoxk&0, dado² >0 podemos hallar k∈Ntal que para todop∈N

|Sk+p−Sk|< ²

ya que basta tomarkde modo quexk < ². Adem´as, haciendop→ ∞en (4.2) obtenemos

|S−Sk|< xk+1,

lo que concluye la demostraci´on.• Ejemplos 1.11

1. La serieP∞_n₌₁(−1)n+1_{(1/n) es convergente, lo cual se deduce del teorema anterior, pero no es} abso-lutamente convergente ya que al tomar el valor absoluto de los t´erminos obtenemos la serie arm´onica. Este es un ejemplo de una serie condicionalmente convergente.

2. Usando la prueba de Leibniz vemos que la serie P∞_n₌₁(−1)n+1_1/√_n _{tambi´en es convergente, pero} vimos en el ejemplo 1.6 que la serie no es absolutamente convergente, igual que en el caso anterior.

Ejercicios 1.6

1. Estudie la convergencia y la convergencia absoluta de las series:

(1)X(−1)n((n2+ 1)1/2−n) (2)X(−1)n(2n+ (−1)n+1)−1/2

2. Seaanuna sucesi´on decreciente de n´umeros reales positivos. Demuestre queΣanznconverge si|z| ≤1, z6= 1.

3. Construya una serie convergenteΣany una sucesi´on de n´umeros positivosbnconbn→0de modo queΣanbn

diverja.

1.7. Convergencia Condicional.

Ya vimos que una serie condicionalmente convergente es aquella que converge pero que no converge condi-cionalmente. En la secci´on anterior vimos dos ejemplos. Sea ahoraPxn una serie de este tipo y llamemos

p1, p2, p3, . . . los términos positivos de esta serie, en el orden en el cual aparecen, y sean −q1,−q2,−q3, . . . los términos negativos, también en el orden en el cual aparecen. Por ejemplo, para la serie

1−1 2+ 1 3− 1 4 +· · · tenemos p1= 1, p2= 1 3, p3= 1 5, . . . pn= 1 2n−1 . . . q1= 1 2, q2= 1 4, q3= 1 6, . . . qn= 1 2n, . . . Consideramos ahora las dos series Ppn y

P

qn que consisten s´olo de t´erminos positivos.

Teorema 1.21 Si la seriePxnes absolutamente convergente, entonces cada una de las series

P pn y P qn es convergente y Pxn = P pn− P qn. En cambio, si la serie P

xn es condicionalmente convergente, las

seriesPpn y

P

(25)

Demostraci´on.Supongamos que la seriePxnes absolutamente convergente con P |xn|=M, entonces, para cualquiern, n X i=1 |xi| ≤M. (1.12)

Si consideramos ahora una suma parcial de la serie de t´erminos positivos, digamosp1+· · ·+pk, vemos que

los t´erminos de esta suma est´an incluidos en la suma|x1|+· · ·+|xn|paransuficientemente grande, y por

(1.12) concluimos que

k

X

i=1

pi ≤M.

Como esta desigualdad es cierta para todokconcluimos por el teorema 1.12 quePpn es convergente.

De manera similar se demuestra que la serie Pqn de t´erminos negativos es convergente.

Para la suma parcialx1+· · ·+xnseaµn en número de términos positivos yνn el de términos negativos

presentes. Entonces n X i=1 xn= µn X i=1 pi− νn X i=1 qi. (1.13)

Si la serie es absolutamente convergente hemos visto que ambas series del lado derecho son convergentes, y

haciendon→ ∞obtenemos _∞ X i=1 xn= ∞ X i=1 pi− ∞ X i=1 qi.

Es posible que sólo haya una cantidad finita de términos positivos, o de términos negativos, o incluso que no haya sino términos de un solo tipo. En estos casos la serie es absolutamente convergente si y sólo si es convergente, porque a partir de un cierto ´ındice todos los términos tienen el mismo signo.

Consideremos el caso en el cual hay infinitos t´erminos de cada signo, de modo queµn yνn→ ∞cuando

n→ ∞. Llamemos Sn= n X i=1 xi; Pn= n X i=1 pi; Qn= n X i=1 qi.

Con esta notaci´on (1.13) esSn=Pµn−Qνn y adem´as tenemos

n

X

i=1

|xi|=Pµn+Qνn (1.14)

Supongamos ahora que la seriePxn es convergente y consideremos las series

P pn y

P

qn. Si alguna de

estas últimas es convergente, la otra también debe serlo. En efecto, por la relaciónSn =Pµn−Qνn, si, por ejemplo,Qn =

P_n

1qk es convergente, despejandoPnde la relación anterior tenemosPµn =Sn+Qνn, y como ambos sumandos de la derecha convergen cuandon→ ∞, también lo hacePµn. Esto implica la convergencia de Pn por la definición de µn y porque se trata de una serie de términos positivos. Pero si ambas series

P pn y

P

qn son convergentes la relaci´on (1.14) implica que

P

|xn|tambi´en lo es. Vemos, as´ı, que si

P xn

es condicionalmente convergente, ambas seriesPpn y

P

qn deben ser divergentes.•

1.8. Reordenamientos.

Si tenemos una suma finita de n´umero realesx1+· · ·+xn, sabemos, por la propiedad conmutativa, que

podemos sumarlos en cualquier orden y el resultado de la suma es siempre el mismo. Nos preguntamos ahora si esto es cierto en el caso de series infinitas: Si cambiamos el orden en el cual se suman los t´erminos de una serie, ¿obtenemos siempre el mismo resultado?

(26)

La respuesta, que puede resultar sorprendente para el lector, es que no necesariamente las dos series suman lo mismo. Más aún, puede suceder que al cambiar el orden de los términos de una serie convergente, obtengamos una serie que diverge.

Comencemos por ver un ejemplo. Ejemplo 1.12

En un cap´ıtulo posterior demostraremos que log 2 = 1−1 2 + 1 3 − 1 4+ 1 5 − 1 6 +· · · (1.15) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... .... _... ... ... ... 0 1 log 2 • • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... _... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 1 3 2log 2 _• • • • • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . S0 1 S0 2 S0 3 S0 4 S0 5 S0 6 S0 7 S0 8 S0 9 Figura 1.7: La sucesi´on (−1)n+1 1 n y un reordenamiento.

Veamos que cambiando el orden de los sumandos de esta serie podemos obtener otro valor para la suma (ver figura 1.7): 3 2log 2 = 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5+ 1 7 − 1 4 + 1 9+ 1 11− 1 6+· · · (1.16)

El esquema en este nuevo arreglo de la suma es tomar dos t´erminos positivos y uno negativo y as´ı sucesiva-mente. Para demostrar este resultado observemos que si multiplicamos (1.15) por 1/2 obtenemos

1 2log 2 = 1 2− 1 4+ 1 6 − 1 8+ 1 12− 1 14+· · ·

En esta ´ultima serie podemos insertar t´erminos iguales a cero sin cambiar su valor: 1 2log 2 = 0 + 1 2 + 0− 1 4 + 0 + 1 6 + 0− 1 8 + 0 +· · · (1.17)

y ahora, por el teorema 1.9 podemos sumar las series (1.15) y (1.17) término a término para obtener (1.16). Definición 1.12 Sean Pxn una serie y f : N→Nuna biyección. La serie

P

yn donde yn =xf(n) es un

rearreglodePxn.

Como la funci´on inversaf−1_:_N_→_N_{tambi´en es biyectiva,}P_x

n es un rearreglo de

P yn.