Matem´atica Discreta
Agust´ın G. Bonifacio
UNSL
Relaciones de Recurrencia
Relaciones de Recurrencia - Introducci´on (Secci´on 7.1)
Considere las siguientes instrucciones para generar una sucesi´on:
1
Iniciar con 5,
2
Dado cualquier t´ermino, sume 3 para obtener el siguiente.
Se llega a la sucesi´on: 5,8,11, 14, 17, . . . Por lo que: a 1 = 5, a n = a n−1 + 3 para n ≥ 2.
Es decir, definimos una sucesi´on expresando el n-´esimo valor en t´erminos de ciertos predecesores.
Definici´ on
Una relaci´on de recurrencia para la sucesi´on a 0 , a 1 , . . . es una ecuaci´on que relaciona a a n con ciertos predecesores
a 0 , a 1 , . . . , a n−1 . Las condiciones iniciales para una sucesi´on
a 0 , a 1 , . . . son valores dados en forma expl´ıcita para un n´ umero
finito de t´erminos de la sucesi´on.
Ejemplo (Sucesi´ on de Fibonacci)
f n = f n −1 + f n −2 , n ≥ 3 f 1 = f 2 = 1
La sucesi´ on es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
Ejemplo
Una persona invierte $1000 al 12 % de inter´es anual compuesto.
A n = cantidad de dinero al final de n a˜ nos A 0 = 1000
A n = A n −1 + 0,12 · A n −1 = 1,12 · A n −1 , n ≥ 1.
Como A n −1 = 1,12 · A n −2 , tenemos A n = (1,12) 2 · A n −2 . Siguiendo el
razonamiento llegamos a que A n = (1,12) n · A 0 = (1,12) n · 1000. En este
caso, podemos derivar una f´ ormula expl´ıcita para A n .
Ejemplo
Sea S n el n´ umero de subconjuntos de un conjunto de n elementos.
Como al pasar de un conjunto de n − 1 elementos a uno de n elementos se duplica el n´ umero de subconjuntos (¿por qu´e?), tenemos:
S n = 2 · S n−1 ,
S 0 = 1.
Ejemplo (Modelo de la Telara˜ na)
Mercado con oferta y demanda lineales.
Hay un tiempo de retraso mientras el productor reacciona a los cambios.
Demanda: p n = a − bq n , n = 0, 1, 2, . . . con a, b > 0.
Oferta: p n = kq n+1 , n = 0, 1, 2, . . . con k > 0.
Como q n+1 = p k
n, llegamos a que p n+1 = a − k b p n
Soluci´on de Relaciones de Recurrencia (Secci´on 7.2)
Resolver una relaci´on de recurrencia para una sucesi´on a 0 , a 1 , . . . significa encontrar una f´ormula expl´ıcita para el t´ermino a n . Vamos a ver dos m´etodos:
1
M´etodo de iteraciones,
2
M´etodo para relaciones de recurrencia homog´eneas lineales
con coeficientes constantes.
Ejemplo Resolver:
a n = a n−1 + 3 a 1 = 2
Como a n−1 = a n−2 + 3, se tiene que a n = (a n−2 + 3) + 3 =
= a n−2 + 3 · 2,
Como a n−2 = a n−3 + 3, se tiene que a n = (a n−3 + 3) + 3 · 2 =
= a n−3 + 3 · 3,
En general, a n = a n−k + 3 · k. Tomando k = n − 1, llegamos a
a n = a 1 + 3(n − 1) por lo que a n = 2 + 3(n − 1).
Ejemplo Resolver:
S n = 2 · S n −1
S 0 = 1
S n = 2 · S n −1 = 2 2 · S n −2 = 2 3 · S n −3 = . . . = 2 n · S 0 = 2 n , por lo que S n = 2 n .
Ejemplo (Crecimiento Poblacional)
Poblaci´ on inicial, d 0 = 1000, crecimiento: 10 % anual, poblaci´ on en el tiempo n, d n .
d n − d n −1 = 0, 1 · d n −1
Entonces
d n = 1, 1 · d n −1 = (1, 1) 2 · d n −2 = . . . = (1, 1) n · d 0 = (1, 1) n · 1000, por
lo que d n = (1, 1) n · 1000.
Ejemplo (Modelo de la Telara˜ na) Resolver:
p n = a − b k p n −1
Tomamos s = −b/k, queda p n = a + sp n −1 . Entonces:
p n = a + sp n −1 = a + s(a + sp n −2 ) = a + as + s 2 p n −2 =
= a + as + s 2 (a + sp n −3 ) = a + as + as 2 + s 3 p n −3 . En general, p n = a + as + as 2 + as 3 + . . . + as n −1 + s n p 0 , y como 1 + s + s 2 + . . . + s n −1 = 1−s 1−s
n, queda
p n = a 1 − s n 1 − s
+ s n p 0 = a − as n
1 − s + s n p 0 = s n
p 0 − a 1 − s
+ a
1 − s . Recordando que hicimos s = −b/k, llegamos a
p n =
− b k
n
p 0 − ak k + b
+ ak
k + b
Ejemplo (Modelo de la Telara˜ na) (cont.) p n =
− b k
n
p 0 − ak k + b
+ ak
k + b b/k = 1,
X n par: p n = p 0 .
X n impar: p n = k+b 2ak − p 0 = a − p 0 = p 1 .
b/k < 1, en este caso (−b/k) n → 0 por lo que p n → k+b ak cuando n → ∞.
b/k > 1, en este caso p n diverge cuando n → ∞.
Definici´ on
Una relaci´on de recurrencia homog´enea lineal (r.r.h.l.) de orden k (con coeficientes constantes) es una relaci´on de recurrencia de forma
a n = c 1 a n−1 + c 2 a n−2 + . . . + c k a n−k , con c k 6= 0.
Observaci´on
Una r.r.h.l. de orden k con coeficientes constantes junto con k condiciones iniciales
a 0 = c 0 , a 1 = c 1 , . . . , a k−1 = c k−1 ,
definen de manera ´ unica una sucesi´on a 0 , a 1 , . . .
Ejemplos
1
S n = 2S n−1 es r.r.h.l. de orden 1.
2
f n = f n−1 + f n−2 es r.r.h.l. de orden 2.
3
a n = 3a n−1 a n−2 no es lineal.
4
a n − a n−1 = 2n no es homog´enea.
5
a n = 3na n−1 no tiene coeficientes constantes.
Teorema Sea
a n = c 1 a n −1 + c 2 a n −2 (1) una r.r.h.l. de segundo orden con coeficientes constantes. Entonces:
1
Si S y T son soluciones de (1), U = bS + dT con b, d ∈ R tambi´en es soluci´on de (1).
2
Si r es ra´ız de
t 2 − c 1 t − c 2 = 0 (2)
entonces la sucesi´ on r n , n = 0, 1, 2, . . . es soluci´on de (1).
3
Si a es la sucesi´ on definida por (1) y las condiciones a 0 = c 0 y a 1 = c 1 , y adem´as r 1 y r 2 son ra´ıces de (2) con r 1 6= r 2 , entonces existen b, d ∈ R tales que
a n = br n 1 + dr 2 n
con n = 0, 1, 2, . . .
Ejemplo (Crecimiento Poblacional) d n : poblaci´ on en el tiempo n,
d 0 = 200, d 1 = 220,
d n − d n−1 = 2(d n−1 − d n−2 ), lo que implica que d n = 3d n−1 − 2d n−2
1
Primero resolvemos t 2 − 3t + 2 = 0, lo que nos da t 1 = 1 y t 2 = 2.
2
La sucesi´on es de forma d n = b . 1 n + c . 2 n = b + c . 2 n .
3
Para cumplir las condiciones iniciales 200 = d 0 = b + c y 220 = d 1 = b + 2c, por lo que b = 180 y c = 20.
4
Entonces d n = 180 + 20 . 2 n .
Ejemplo (Sucesi´ on de Fibonacci)
f n − f n−1 − f n−2 = 0, n ≥ 3 f 1 = f 2 = 1
1
Resolvemos t 2 − t − 1 = 0, lo que nos da t = 1 ± 2 √ 5 .
2
La sucesi´on es de la forma f n = b
1+ √ 5 2
n
+ d
1 − √ 5 2
n
.
3
Para cumplir las condiciones iniciales b
1+ √ 5 2
+ d
1 − √ 5 2
= 1 y b
1+ √ 5 2
2
+ d
1 − √ 5 2
2
= 1, por lo que b = 1/ √
5 y d = −1/ √ 5.
4
