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´

ALGEBRA II

CM 214

M´

odulo II

Basado en el Manual Sucesiones y Series de: ´

´

_{Indice general}

1. S´IMBOLOS Σ, Π y

n k

3

1.1. LA SUMATORIA . . . 3

1.1.1. Propiedades . . . 3

1.1.2. Ejercicios Resueltos . . . 4

1.2. EL S´IMBOLO DEL PRODUCTO . . . 6

1.2.1. Propiedades . . . 6

1.2.2. Ejercicios resueltos . . . 7

1.3. EL N ´UMERO COMBINATORIO n k . . . 8

1.3.1. El s´ımbolo factorial . . . 8

1.3.2. Propiedades del factorial . . . 8

1.3.3. El n´umero combinatorio n k . . . 8

1.3.4. Propiedades de n k . . . 9

1.3.5. Ejercicios resueltos . . . 9

2. EL PRINCIPIO DE INDUCCI ´ON 11 2.1. INTRODUCCI ´ON . . . 11

2.2. EL PRINCIPIO DE INDUCCI ´ON . . . 12

2.3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . 13

3. DESARROLLO DE (a+b)n, n∈_N 15 3.1. TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON . . . 15

3.2. EJERCICIOS RESUELTOS . . . 20

4. AN ´ALISIS COMBINATORIO 22 4.1. PERMUTACIONES . . . 23

4.2. PERMUTACIONES DE n OBJETOS DISTINTOS TOMADOS DE k EN k . . . 26

4.3. COMBINACIONES . . . 26

5. PROGRESIONES 31

5.1. NOCI ´ON DE SUCESI ´ON . . . 31

5.2. PROGRESIONES ARITM´ETICAS . . . 32

5.2.1. T´ermino general de orden k y suma de k t´erminos . . . 32

5.3. PROGRESIONES GEOM´ETRICAS . . . 33

5.3.1. T´ermino general de orden k y suma de k t´erminos . . . 33

5.4. EJERCICIOS RESUELTOS . . . 33

6. EJERCICIOS PROPUESTOS 35 7. SUCESIONES 42 7.1. PROPIEDADES . . . 44

8. SERIES 49 8.1. SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES . . . 51

8.2. ALGUNAS SERIES T´IPICAS . . . 55

8.2.1. Series Telesc´opicas . . . 55

8.2.2. Series Geom´etricas . . . 58

8.2.3. Series p . . . 61

8.3. SERIES DE T´ERMINOS POSITIVOS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. . . 62

8.3.1. Criterio de comparaci´on . . . 63

8.3.2. Criterio de comparaci´on por l´ımite . . . 65

8.3.3. Criterio de la raz´on . . . 66

8.3.4. Criterio de la ra´ız . . . 67

8.3.5. Criterio de la integral . . . 69

8.4. SERIES ALTERNANTES. CRITERIO DE LEIBNITZ . . . 72

8.5. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL . . . 75

8.5.1. Criterio de Raabe . . . 75

8.6. SERIES DE POTENCIAS . . . 78

8.6.1. Criterio de Convergencia para Series de Potencias . . . 80

9. SERIES DE TAYLOR 85

Cap´ıtulo 1

S´

IMBOLOS

Σ,

Π

y

n

k

1.1.

LA SUMATORIA

Definici´on 1.1. En muchas situaciones es conveniente abreviar la notaci´on de una suma de t´erminos que admiten una ley com´un. As´ı, para expresar la suma de los n elementos de un conjunto de t´erminos num´ericos ordenados a1, a2, . . . , an escribimos:

n

X

i=1

ai =a1+a2+· · ·+an, n∈N

El s´ımbolo Σ se llama sumatoria y

n

X

i=1

ai se lee ”suma de losai desde i= 1 hasta n”.

1.1.1.

Propiedades

1.

1

X

i=1

ai =a1

2.

n

X

i=1

ai = n

X

j=1

aj = n

X

k=1

ak

3.

n

X

i=1

c=nc, con cuna constante

4.

n

X

i=1

cai =c n

X

i=1

ai, con cuna constante

5.

n

X

i=1

ai+ n

X

i=1

bi = n

X

i=1

6.

n

X

i=1

ai = k

X

i=1

ai+ n

X

i=k+1

ai, con 1< k < n

7.

n

X

i=1

ai =

n+1

X

j=2

aj−1 =

n−1

X

k=0

ak+1

8.

n

X

i=1

(ai−1−ai) = a0−an, n

X

i=1

(ai−ai−1) =an−a0

1.1.2.

Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1.1. Encontrar el valor num´erico de las siguientes sumas: (i)

3

X

i=1

ii (ii)

5

X

k=1

1

k(k+ 1).

Soluci´on

(i)

3

X

i=1

ii = 11+ 22+ 33 = 32.

(ii)

5

X

k=1

1

k(k+ 1) = 1 1·2 +

1 2·3+

1 3·4+

1 4·5 +

1 5·6 =

5 6.

Ejemplo 1.2. Expresar la suma de los n primeros t´erminos usando el s´ımbolo de sumatoria:

i) −2−3−4−5−. . .

ii) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +. . .

iii) 1 1·2 +

1 2·3 +

1

3·4+. . .

iv) 1

n+ 1 + 1

n+ 2 + 1

n+ 3 +. . . v) a+aq+aq2_{+. . .}

Soluciones

i) −2−3−4−5− · · · −(n+ 1) = (−2) + (−3) + (−4) +· · ·+ (−(n+ 1)) =

n+1

X

i=2

(−i), otra forma de resolver el problema es: −2−3−4−5− · · · −(n+ 1) = (−1−1) + (−1−2) + (−1−3) +· · ·+ (−1−n) =

n

X

i=1

ii) 1+4+7+10+· · ·+(1+3n) = (1 + 3·0)+(1 + 3·1)+(1 + 3·2)+· · ·+(1+3·n) =

n

X

i=0

[1+3i],

otra alternativa: 1 + 4 + 7 + 10 +· · ·+ (1 + 3·n) =

n+1

X

i=1

[1 + 3 (i−1)].

iii) 1 1·2 +

1 2·3 +

1

3·4+· · ·+ 1

n·(n+ 1) =

n

X

i=1

1

i(i+ 1).

iv) 1

n+ 1 + 1

n+ 2 + 1

n+ 3 +· · ·+ 1

n+n = n

X

i=1

1

n+i

v) a+aq+aq2_{+· · ·+aq}n−1 _=aq0_+aq1_+aq2_{+· · ·+aq}n−1 ₌

n

X

i=1

aqi−1 =

n−1

X

i=0

aqi

Ejemplo 1.3. Utilice propiedades para verificar:

i)

n

X

k=1

(2k−1) =n2

ii)

n

X

k=1

k = n

2 _+n

2

iii)

n+2

X

j=1

(j−1)4 −

n

X

k=1

k4 = (n+ 1)4

Soluciones:

i)

n

X

k=1

(2k−1) =

n

X

k=1

k2−(k−1)2=n2−02, por propiedad 8

=n2

ii) n X k=1 k = n X k=1

[(2k−1)−k+ 1]

n X k=1 k = n X k=1

(2k−1)−

n X k=1 k+ n X k=1 1 Luego: 2 n X i=1 k= n X k=1

(2k−1) +

n

X

k=1

2

n

X

i=1

k=n2+n, por i) y Prop. 3

n

X

i=1

k = n

2 _+n

2

iii)

n+2

X

j=1

(j−1)4 −

n

X

k=1

k4

=

n

X

j=1

(j −1)4+

n+2

X

j=n+1

(j−1)4−

n

X

k=1

k4 por propiedad 6

=

n

X

j=1

(j −1)4+ (n+ 1−1)4+ (n+ 2−1)4−

n

X

j=1

j4 por propiedad 2

=

n

X

j=1

[(j−1)4−j4] +n4+ (n+ 1)4 por propiedad 5

= [04_−n4_{] +n}4_{+ (n+ 1)}4

por propiedad 8

= (n+ 1)4

1.2.

EL S´

IMBOLO DEL PRODUCTO

Definici´on 1.2. An´alogamente al caso de la suma, el producto de n t´erminos num´ericos orde-nadas a1, a2, . . . , an lo expresamos abreviadamente.

n

Y

i=1

=a1·a2·a3· · · · ·an

1.2.1.

Propiedades

1.

1

Y

i=1

ai =a1

2.

n

Y

i=1

ai = n

Y

j=1

aj = n

Y

k=1

ak

3.

n

Y

i=1

c=cn, con cconstante

4.

n

Y

i=1

cai =cn n

Y

i=1

5.

n

Y

i=1

ai

! _n Y

i=1

bi

! =

n

Y

i=1

(aibi)

6.

n

Y

i=1

ai = n−1

Y

i=1

ai

!

an=a1

n

Y

i=2

ai

!

1.2.2.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1.4. Verifique la f´ormula:

n

Y

i=1

ei+1−ei

= (e−1)nen(n2+1),

si se sabe que

n

X

i=1

i= n(n+ 1) 2

Soluci´on: Sea

n

Y

i=1

ei+1−ei =

n

Y

i=1

ei(e−1)

= (e−1)n

n

Y

i=1

ei, por propiedad (4)

= (e−1)ne1+2+···+n

= (e−1)nePni=1i

= (e−1)nen(n2+1), por hip´otesis.

Ejemplo 1.5. Verifique la f´ormula:

n

Y

i=1

(n−i+ 1) =

n

Y

i=1

i.

Soluci´on:

n

Y

i=1

(n−i+ 1) = n(n−1) (n−2)· · · ·1

= 1·. . .(n−2) (n−1)n, por conmutatividad =

n

Y

i=1

1.3.

EL N ´

UMERO COMBINATORIO

n

k

1.3.1.

El s´ımbolo factorial

Definici´on 1.3. Sin ∈_N,entonces al producto de losnprimeros n´umeros naturales se denomina

n factorial y se denota por n!, o sea

n! =

n

Y

i=1

i,∀n∈_N.

Por definici´on 0! = 1

1.3.2.

Propiedades del factorial

1. n! =n(n−1)!, ∀n∈_N∪ {0}.

2. (n+k)!

n! = (n+ 1) (n+ 2). . .(n+k),∀n, k ∈N∪ {0}.

1.3.3.

El n´

umero combinatorio

n

k

Definici´on 1.4. Si n, k ∈_N∪ {0} tal que n≥k, entonces se define

n k

= n! (n−k)!k!,

llamado n´umero combinatorio

n k

Observaci´on 1.1.

a)

n k

se lee n sobre k.

b) Como 0! = 1, es posible tomar k= 0 o n =k en

n k

.

Ejemplos:

1.

5 3

= 5! (5−3)!3! =

5! 2!3! =

3!20 3!2 = 10

2.

3 0

= 3! (3−0)!0! =

3! 3!1 = 1

3.

7 7

= 7! (7−7)!7! =

1.3.4.

Propiedades de

n

k

es un n´umero natural para todo n, k ∈_N∪ {0}tal que n ≥k.

2. n 0 = n n

= 1, ∀n ∈_N∪ {0}

3. n k = n n−k

, ∀n, k ∈ _N∪ {0}, tales que n ≥ k. En particular n 1 = n n−1

= n,

∀n∈_N.

4. n k + n k+ 1

=

n+ 1

k+ 1

, ∀n, k ∈_N∪ {0} tales que n≥k+ 1.

5.

n k

= n(n−1) (n−2). . .(n−(k−1))

k(k−1)· · ·1 .

1.3.5.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1.6. Calcular a)

8

Y

j=3

j

!

/9!, b) n! (n−3)! (n+ 1)! (n−4)!

Soluci´on: a) 8 Y j=3 j !

/9! = 3·4·5·6·7·8

1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 1 18.

b)

n! (n−3)!

(n+ 1)! (n−4)! =

n! (n−4)! (n−3)

n! (n+ 1) (n−4)!, por propiedad 1.3.2

= n−3

n+ 1

Ejemplo 1.7. Verifique las propiedades 3 y 4.

Soluci´on:

a) Debemos verificar que: n k = n n−k

.

n n−k

= n!

(n−(n−k))! (n−k)!, por definici´on = n!

k! (n−k)! =

n!

(n−k)!k! =

n k

b) Debemos verificar

n k

+

n k+ 1

=

n+ 1

k+ 1

.

n k

+

n k+ 1

=

n+ 1

k+ 1

= n! (n−k)!k!+

n!

(n−k−1)! (k+ 1)!, por definici´on

= n!

(n−k−1)! (n−k)k! +

n!

(n−k−1)!k! (k+ 1), por propiedad 1.3.2

= n! (n−k−1)!k!

1

n−k +

1

k+ 1

= n! (n−k−1)!k!

k+ 1 +n−k

(n−k) (k+ 1)

= n! (n+ 1)

(n−k−1)! (n−k)k! (k+ 1)

= (n+ 1)!

(n−k)! (k+ 1)!, por propiedad 1.3.2 = n_k+ 1₊₁ , por definici´on.

Ejemplo 1.8. Utilice s´olo propiedades para calcular

324 322

.

Soluci´on:

324 322

=

324

2

, por propiedad 3

=324·323

1·2 , por propiedad 5 =162·323

Cap´ıtulo 2

EL PRINCIPIO DE INDUCCI ´

ON

2.1.

INTRODUCCI ´

ON

La “inducci´on” al contrario de la “deducci´on” consiste en obtener una proposici´on general a partir de proposiciones particulares.

Por ejemplo si se considera la proposici´on particular: “el n´umero 639 es un m´ultiplo de 3”, se podr´ıa concluir que:

a) Todo n´umero natural terminado en 9 es un m´ultiplo de 3

b) Si en un n´umero la suma de sus cifras es m´ultiplo de 3, el n´umero es m´ultiplo de 3.

Es claro que a) es una conclusi´on falsa y se puede ver que b) es verdadera. Ambas son proposiciones que dependen de n´umero naturales.

Surge entonces el problema siguiente:

¿C´omo demostrar que proposici´on (por ejemplo una f´ormula) que dependa de un n´umero natural, es v´alida para todo n´umero natural?

Ejemplo 2.1. Suma de los n primeros n´umeros naturales impares. Los n´umeros naturales impares son:

1,3,5, . . . ,2n−1, . . .

Luego las sumas de los n primeros n´umeros naturales impares para n= 1,2,3,4, etc. ser´ıan:

1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 162, etc.

1 + 3 + 5 +· · ·+ (2n−1) = n2_{, o sea}

n

X

i=1

(2i−1) =n2

¿C´omo demostrar que esta f´ormula es v´alida para todon ∈_N?. Pues aqu´ı solo se ha verificado para n= 1, n= 2, n = 3, n= 4. Nada asegura que la f´ormula sea v´alida para n= 2327.

Ejemplo 2.2. Consideremos la expresi´on f(n) = n2+n+ 41. Si n= 1, f(1) = 43.

Si n= 2, f(2) = 47. Si n= 3, f(3) = 53. Si n= 4, f(4) = 61, etc.

Luego se puede conjeturar: f(n) =n2_{+n+ 41 es un n´umero primo.}

¿Es esto v´alido para todo n´umero natural n? En este caso la respuesta es ¡NO!, pues clara-mente

f(41) = 412+ 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1) = 41·43

f(41) no es un n´umero primo, mas a´un se puede ver que f(n) es un n´umero primo para

n = 1,2, . . . ,39 pero falla para n = 40.

2.2.

EL PRINCIPIO DE INDUCCI ´

ON

Teorema 2.1. (Principio de inducci´on)

Sea p(n) una funci´on proposicional en _N que satisface las siguientes propiedades:

i) p(1) es verdadera.

ii) Para cada n∈_N se tiene p(n)⇒p(n+ 1), es verdadera. Entonces: p(n) es verdadera para todo n´umero natural n.

Existen proposiciones que no son v´alidas para todo n´umero natural, pero si lo son para todos los naturales mayores o iguales que cierto n0 ∈N.

En este caso el teorema se enuncia de la siguiente manera

Teorema 2.2. Sea n0 un n´umero natural fijo y sea p(n) una funci´on proposicional en N que

satisface las siguientes propiedades:

i) p(n0) es verdadera.

ii) Para cada n∈_N tal que n≥n0 se tiene p(n)⇒p(n+ 1), es verdadera.

Observaci´on 2.1. Otra forma de redactar los teoremas anteriores es la siguiente: Dada una proposici´on que depende de un n´umero natural n, si se cumple que:

i) n=n0 la proposici´on es v´alida.

ii) Si para cada n = k la proposici´on es v´alida, implica que para n = k + 1 la proposici´on tambi´en es v´alida.

Entonces la proposici´on es v´alida para todo n ≥n0.

En ii) se llama hip´otesis de inducci´on al antecedente de la implicaci´on y tesis de inducci´on al consecuente.

2.3.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 2.3. Demuestre que la suma de los n primeros n´umeros impares es n2.

Soluci´on: Para demostrar:

n

X

i=1

(2i−1) =n2, ∀n∈_N

Utilizando el principio de inducci´on:

i) Si n=n0 = 1, 1

X

i=1

(2i−1) = 2·1−1 = 1, 12 _{= 1}

Luego la proposici´on es v´alida para n= 1.

ii) Para n=k; Hip´otesis de Inducci´on:

k

X

i=1

(2i−1) =k2.

Para n=k+ 1; Tesis de Inducci´on:

k+1

X

i=1

(2i−1) = (k+ 1)2.

Demostraci´on de la tesis de inducci´on:

k+1

X

i=1

(2i−1) =

k

X

i=1

(2i−1) + (2 (k+ 1)−1)

= k2_{+ 2k+ 2−1, por la hip´otesis de inducci´on}

= k2_{+ 2k+ 1}

= (k+ 1)2 luego de i) y ii) se tiene:

n

X

i=1

Ejemplo 2.4. Determinar todos los n´umeros naturales para los cuales n!>2n

Soluci´on:

Si n = 1,2,3 resulta una proposici´on falsa. Por demostrar la proposici´on es verdadera para todo n ∈_N, tal que n ≥4.

i) Si n= 4; se tiene 4! = 24, 24 _{= 16. Luego 24>16, o sea la proposici´on es v´alida.}

ii) Para n=k; Hip´otesis de inducci´on:

k!>2k

Para n=k+ 1; Tesis de inducci´on:

(k+ 1)!>2k+1

Demostraci´on de la tesis de inducci´on:

(k+ 1)! =k! (k+ 1) > 2k_{(k+ 1) por hip´otesis de inducci´on} > 2k2, pues k ≥4 _∴ k+ 1≥5>2 = 2k+1

Luego (k+ 1)!>2k+1.

As´ı por i), ii) la proposici´on n!>2n _{es v´alida ∀n ∈}

Cap´ıtulo 3

DESARROLLO DE

(

a

+

b

)

n

, n

∈

_N

3.1.

TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

Usaremos el principio de inducci´on y las propiedades de sumatoria presentadas en el Cap´ıtulo 1, para demostrar un teorema previo que nos permitir´a obtener una f´ormula para el desarrollo de la potencia n-´esima de un binomio (teorema del binomio de Newton).

Observaci´on 3.1. Cualquiera que sea x∈_R, se tiene:

(1 +x)0 = 1

(1 +x)1 = 1 +x

(1 +x)2 = 1 + 2x+x2

(1 +x)3 = 1 + 3x+ 3x2_+x3

(1 +x)4 = 1 + 4x+ 6x2+ 4x3+x4

Usando el n´umero combinatorio podemos escribir las expresiones anteriores como:

(1 +x)0 =

0 0

x0

(1 +x)1 =

1 0

x0+

1 1

x1

(1 +x)2 =

2 0

x0+

2 1

x1+

2 2

x2

(1 +x)3 =

3 0

x0+

3 1

x1+

3 2

x2+

3 3

(1 +x)4 =

4 0

x0+

4 1

x1+

4 2

x2+

4 3

x3+

4 4

x4

Esto induce el siguiente teorema.

Teorema 3.1. Sea x∈_R− {0}; entonces

(1 +x)n =

n

X

i=0

n i

xi,∀n ∈_N.

Demostraci´on:

i) Para n= 1 es v´alido, pues: (1 +x)1 =

1

X

i=0

1

i

xi =

1 0

x0+

1 1

x1 = 1 +x ii) Para n=k, hip´otesis de inducci´on:

(1 +x)k =

k

X

i=0

k i

xi

Para n =k+ 1, tesis de inducci´on:

(1 +x)k+1 =

k+1

X

i=0

k+ 1

i

xi

(1 +x)k+1 = (1 +x) (1 +x)k = (1 +x)

k X i=0 k i

xi, por hip´otesis de inducci´on

= 1 k X i=0 k i

xi+x k X i=0 k i xi = k X i=0 k i

xi+

k X i=0 k i

xi+1

=

k

0

x0+

k X i=1 k i

xi+

k+1

X

j=1

k j −1

xj = k 0

x0+

k X i=1 k i

xi+

k

X

j=1

k j −1

xj+

k k

xk+1

=

k

0

x0+

k X i=1 k i

xi+

k

X

i=1

k i−1

xi+

k k

xk+1

=

k

0

x0+

k X i=1 k i + k i−1

xi+

k k

xk+1

=

k+ 1 0

x0+

k

X

i=1

k+ 1

i

xi+

k+ 1

k+ 1

xk+1 =

k+1

X

i=0

k+ 1

i

xi

Luego de i), ii) tenemos que (1 +x)n =

n X i=0 n i

xi es v´alido ∀n∈_N.

Teorema 3.2. (Binomio de Newton) Sea a, b∈_R. Entonces:

(a+b)n=

n X i=0 n i

an−i·bi,∀n∈_N

Demostraci´on: Sia=b = 0, el teorema es evidente. Supongamos a 6= 0. Entonces ∀n∈_N:

(a+b)n = an

1 + b

a

n

= an n X i=0 n i b a i

, tomando x= b

a en el teorema anterior

= n X i=0 n i

an· b

i

ai = n X i=0 n i

an−i·bi

1. Hay n+ 1 t´erminos o sumandos

2. El t´ermino que ocupa el lugar k+ 1 esta dado por:

Tk+1 =

n k

an−kbk, k = 0,1,2, . . . , n.

3. Los ceoficientes

n k

se distribuyen sim´etricamente, es decir son iguales si equidistan de

los extremos, debido a que

n k

=

n n−k

4. Por ´ultimo hay una interesante disposici´on triangular de los n´umeros combinatorios

n k

que se llama Tri´angulo de Pascal.

0 0

= 1

1 0

= 1

1 1

= 1

2 0

= 1

2 1

= 2

2 2

= 1

3 0

= 1

3 1

= 3

3 2

= 3

3 3

= 1

4 0

= 1

4 1

= 4

4 2

= 6

4 3

= 4

4 4

= 1

. . . etc.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

3.2.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 3.1. Hallar el coeficiente de x4 en el desarrollo de (1 +x4)

x2 + 1

x2

14

Soluci´on:

1 +x4

x2+ 1

x2

14 =

x2+ 1

x2

14 +x4

x2+ 1

x2

14

En el desarrollo de

x2+ 1

x2

14

el t´ermino general es:

14

k

x214−k 1 x2 k = 14 k

x28−4k

Si 28−4k = 4, o sea k= 6, obtenemos el coeficiente de x4 _{que es}

14

6

.

An´alogamente en el desarrollo de x4

x2+ 1

x2

14

el t´ermino general es:

x4

14

k

x214−k 1 x2 k = 14 k

x32−4k

Si 32−4k = 4, o sea k = 7, obtenemos el coeficiente de x4 _{que es}

14

7

. Finalmente el

coeficiente de x4 _{pedido es}

14 6 + 14 7 .

Ejemplo 3.2. Demuestre que el coeficiente del t´ermino central de (1 +x)2n es igual a la suma de los coeficientes de los dos t´erminos centrales de (1 +x)2n−1, donde n∈_N.

Soluci´on:

El t´ermino central de (1 +x)2n es el t´ermino que ocupa el lugar central en el desarrollo de este binomio. Como el desarrollo de (1 +x)2n tiene 2n+ 1 t´erminos, 2n+ 1 impar, hay un ´unico t´ermino central ubicado en el lugar n+ 1, que es Tn+1 =

2n

n

xn

An´alogamente en el desarrollo de(1 +x)2n−1 hay dos t´erminos centrales que ocupan los lugares

n y n+ 1, que son Tn y Tn+1.

Luego debemos verificar la siguiente igualdad:

2n n =

2n−1

n−1

+

2n−1

n

Ejemplo 3.3. Verifique que

n

X

k=0

n k

= 2n.

Soluci´on:

2n = (1 + 1)n =

n

X

k=0

n k

1n−k1k =

n

X

k=0

n k

Cap´ıtulo 4

AN ´

ALISIS COMBINATORIO

El objetivo de este cap´ıtulo es el de proporcionar un conocimiento b´asico para el estudio de la Estad´ıstica y el C´alculo de Probabilidades.

El an´alisis combinatorio est´a fundamentado en dos principios b´asicos que se apoyan en los siguientes teoremas de la Teor´ıa de Conjuntos.

Teorema 4.1. Si X, Y son dos conjuntos finitos. Entonces

# (X×Y) = (#X) (#Y)

Nota: #X significa el n´umero de elementos de X.

Teorema 4.2. Si X, Y conjuntos finitos tales que X∩Y =∅. Entonces # (X∪Y) = #X+ #Y

Consideremos dos sucesos (acontecimientos) A, B. Si denotamos por XA el conjunto de todas las formas en que se puede presentar el sucesoA y XB el conjunto de todas las formas en que se

presentaB, entonces un elemento deXA×XB corresponde a la ocurrencia de un suceso del tipo A y un suceso del tipo B.

Luego tenemos por el Teorema 4.1:

Principio B´asico Multiplicativo: Si un suceso A puede presentarse de p formas distintas y si cuando esto ha ocurrido, otro suceso B puede presentarse de q formas distintas, entonces el n´umero de formas en que ambos sucesos pueden presentarse a la vez esp·q.

Ahora por el Teorema 4.2

Principio B´asico Aditivo: SiA y B son los sucesos tales que:

a) A puede efectuarse de pmaneras diferentes,

c) A y B no pueden efectuarse simultaneamente,

y si S es el suceso que consiste en efectuar A ´o B, entonces S se puede realizar de p+q

maneras diferentes.

Ejemplo 4.1. Un comit´e de seis personas formados por Alicia, Benjamin, Clara, Adolfo, Edgardo y Francisco debe escoger un presidente, un secretario y un tesorero.

a) ¿De c´uantas maneras se puede realizar la elecci´on?

b) ¿De c´uantas formas se puede realizar si el presidente debe ser Alicia o Benjamin?

Soluci´on:

a) Usamos el Principio B´asico Multiplicativo.

El presidente puede ser elegido de 6 maneras diferentes. Una vez seleccionado el presidente, el secretario puede ser elegido de 5 formas diferentes. Tambi´en una vez seleccionado el presidente y el secretario, el tesorero puede ser elegido de 4 maneras diferentes. Por lo tanto, el n´umero total de posibilidades es 6·5·4 = 120.

b) Con un razonamiento semejante al utilizado en a), si Alicia es presidente hay 5·4 = 20 formas para seleccionar los cargos restantes. Ahora si Benjamin es presidente hay 20modos para escoger los cargos restantes. Como estos casos son disjuntos, por el Principio B´asico Aditivo existen 20 + 20 = 40 posibilidades.

4.1.

PERMUTACIONES

Definici´on 4.1. Una permutaci´on den elementos diferentesx1, x2, x3, . . . , xnes un

ordenamien-to de los n elementos x1, x2, x3, . . . , xn.

Ejemplo 4.2. Si tenemos los elementosa, byc entonces existen6permutaciones las cuales son:

abc, acb, bac, bca, cab, cba

10 ₂0 ₃0 ₁0 ₂0 ₃0 ₁0 ₂0 ₃0

a b c a c b b a c

10 ₂0 ₃0 ₁0 ₂0 ₃0 ₁0 ₂0 ₃0

Este ejemplo ilustra el siguiente teorema

Teorema 4.3. El n´umero total de permutaciones den objetos diferentes tomados a la vez es n!. Notaci´on: pn=n!

Demostraci´on: Se usa el principio de multiplicaci´on. Una permutaci´on de n elementos se con-truye en n pasos sucesivos: se elige el primer elemento; se elige el segundo;. . . ; se elige el ´ultimo elemento. El primer elemento se puede seleccionar de n maneras. Una vez elegido, el segundo elemento se puede seleccionar de n−1 maneras. Una vez elegido, el tercer elemento se puede seleccionar de n−2 maneras, y as´ı sucesivamente. Por el principio de la multiplicaci´on existen

n·(n−1)·(n−2)· . . .·2·1 =n!

Observaci´on 4.1.

a) De acuerdo al ejemplo 4.2.

• El primer casillero (o primer lugar), se puede ocupar de 3 maneras diferentes

• Una vez ocupado el primer casillero quedan 2 objetos disponibles. Luego el segundo casillero puede ser ocupado de 2 maneras diferentes.

• Cuando ya est´an ocupado el primer y el segundo casillero, el tercer casillero se ocupa de una ´unica manera.

b) Tambi´en podemos encontrar todas las permutaciones por medio del “diagrama del ´arbol” (ver figura 4.1)

Figura: 4.1

Ejercicio: ¿De c´uantas maneras se puede ordenar 6 libros en un estante?

Soluci´on: P6 = 6! = 720, luego se pueden ordenar 6 libros de 720 formas distintas.

Nota: Si no todos los objetos dados son diferentes, se calcula su n´umero de premutaciones a trav´es del siguiente teorema.

Teorema 4.4. (Permutaciones con repeticiones) Si n objetos dados pueden dividirse en r clases tales que hay:

n1 objetos id´enticos de tipo 1

n2 objetos id´enticos de tipo 2

n3 objetos id´enticos de tipo 3

· · · ·

nr objetos id´enticos de tipo r

Entonces, el n´umero de permutaciones de estos objetos tomados todos a la vez est´a dada por

Pn1,n2,...,nr

n =

n!

n1!n2!· · ·nr!

Ejemplo 4.3. ¿De cu´antas maneras pueden colocarse en l´ınea 9 bolitas de las cuales 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

Soluci´on:

P₉4,3,2 = 9! 4!3!2! =

4!·5·6·7·8·9 4!3!2! =

2520

4.2.

PERMUTACIONES DE

n

OBJETOS DISTINTOS

TOMADOS DE

k

EN

k

Teorema 4.5. El n´umero de permutaciones (o secuencias) de n objetos que se seleccionan entre

k elementos disponibles (sin reemplazo) es:

P_kn = n!

(n−k)! =n(n−1) (n−2). . .(n−k+ 1) con n ≥k

Demostraci´on:

Debe contarse el n´umero de maneras de ordenar k elementos seleccionados de un conjunto den elementos. El primer elemento se puede elegir de n maneras. Una vez que se elige el primer elemento, el segundo se puede seleccionar de n −1 maneras. Continuamos eligiendo elementos hasta que, habiendo elegido el elemento k−1, pasamos al elemento k que se puede seleccionar den−k+ 1 maneras. Por el principio de la multiplicaci´on, el n´umero de permutaciones k de un conjunto de n objetos distinto es

n(n−1) (n−2)· · ·(n−k+ 1)

Ejemplo 4.4. ¿Cu´antas palabras de 3 letras se puede formar usando las letras a, b, c, d?

Soluci´on:

P4

3 =

4!

(4−3)! = 24, luego se pueden formar 24 palabras de 3 letras usando las letras a, b, c y

d. Ahora s´ı tenemos con repetici´on tenemos la siguiente regla:

nk, con n ≥k o n < k.

Ejemplo 4.5. ¿Cu´antos n´umeros de tres cifras con repetici´on se puede formar usando los si-guientes d´ıgitos 7, 4, 8, 5, 3?

Soluci´on:

Como se pueden repetir los d´ıgitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posici´on de las centenas cualquiera de los cinco y en la posici´on de las decenas tambi´en 5 d´ıgitos al igual que en la posici´on de las unidades, por lo tanto, el resultado es 53_{, es decir}

P5

3(repetici´on)=53=125 n´umeros

4.3.

COMBINACIONES

Definici´on 4.2. Sea X ={x1, x2, x3, . . . .xn} un conjunto con n elementos (diferentes).

Una combinaci´on k de X es una selecci´on no ordenada de k elementos de X (es decir, un subconjunto de X de k elementos).

Al n´umero total de combinaciones de orden de k lo denotamos Cn

k o tambi´en

n k

Teorema 4.6. El n´umero total de combinaciones de k objetos que se seleccionaron de entre n

objetos diferentes es Cn k =

n!

k! (n−k)!

Demostraci´on:Cada una de las combinaciones de los nobjetos, tomados de k elementos puede ordenarse dePk =k! maneras diferentes (Teorema 4.3), por lo tanto por el principio multiplicativo el n´umero total de permutaciones de n objetos tomados de k elementos

P_kn=C_knPk

Luego Cn k =

Pn k Pk

=

n! (n−k)!

k! =

n! (n−k)!k!

Ejemplo 4.6. Para contestar un examen un alumno debe contestar 4 de 7 preguntas. ¿Cu´antas maneras tiene el alumno de seleccionar las 4 preguntas?

Soluci´on:

Como el orden de las respuestas no interesa, el n´umero pedido esC₄7 = 7!

4! (7−4)! = 7! 4!3! = 35 formas de seleccionar las 4 preguntas.

Ejemplo 4.7. En un grupo de 16 ni˜nos y 11 ni˜nas, ¿de cu´antas maneras puede formarse un grupo compuesto por 4 ni˜nos y 3 ni˜nas?

Soluci´on:

Como no interesa el orden para formar los grupos, los 4 ni˜nos pueden seleccionarse entre los 16 disponibles de C16

4 formas, por otro lado las 3 ni˜nas pueden seleccionarse de entre las 11 ni˜nas

de C₃11.

Usando el principio Multiplicativo concluimos que,

C₄16·C₃11 = 16! 4! (16−4!)

11!

3! (11−3)! = 1820·165 = 300300 maneras pueden formarse los grupos.

Ejemplo 4.8. Una se˜nora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene,

a) ¿Cu´antas maneras tiene de invitarlos?

b) ¿Cu´antas maneras tiene si entre ellos esta una pareja de reci´en casados y no asisten el uno sin el otro?

c) ¿Cu´antas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

Soluci´on:

a) C11

5 = 5!6!11! = 462maneras de invitarlos. Es decir, se pueden formar 462 grupos de 5 personas

para ser invitadas.

i) No invitar a la pareja C2

0 ·C59 =

2! 0! (2−0)!

9!

5! (9−5)! = 1·126 = 126 ii) Invitar a la pareja C2

2 ·C39 = 2! 2!(2−2)!

9!

3!(9−3)! = 1·84 = 84

Luego, usando principio de adici´on tenemos 126 + 84 = 210 formas de invitarlos. c) Al igual que la letra b) la se˜nora tiene dos alternativas para hacer la invitaci´on:

i) No invitar a Rafael y ni Arturo

C₀2·C₅9 = 2! 0! (2−0)!

9!

5! (9−5)! = 1·126 = 126

ii) Qu´e invite solo a uno de ellos

C₁2·C₅9 = 2! 1! (2−1)!

9!

5! (9−5)! = 2·126 = 252 As´ı hay 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitaci´on

4.4.

PROBLEMAS RESUELTOS

Ejemplo 4.9. Se tiene 12 probetas en un laboratorio: 7 con soluciones ´acidas y las restantes con soluciones alcalinas.

a) ¿De cu´antas maneras se puede ordenar 5 de ellas de modo que las soluciones ´acidas y alcalinas queden alternadas?

b) Para un experimento se debe escoger 9 del total de soluciones de modo que a lo m´as haya 3 alcalinas. ¿ De cu´antas maneras se pueden escoger?

Soluci´on:

a) Al ordenar las soluciones de la manera pedida la primera puede ser ´acida o alcalina i) Si la primera es ´acida tenemos:

10 20 30 40 50

Ac. Alc. Ac. Alc. Ac.

El primer lugar se puede ocupar de 7 maneras.

El tercer lugar se puede ocupar de 6 maneras.

Luego las soluciones ´acidas se pueden ubicar de7·6·5maneras. O sea deP₃7 = 210maneras. An´alogamente las soluciones alcalinas se pueden ubicar en el 20 _{y 4}0 _{lugar de P}5

2 =

5! 3! = 20

maneras.

Luego todas las soluciones se pueden ubicar en los 5 lugares de 210·20 = 4200 maneras. ii) Si la primera soluci´on que se ubica es alcalina, se tiene:

10 20 30 40 50

Alc. Ac. Alc. Ac. Alc.

y en forma an´aloga al caso anterior las soluciones alcalinas se pueden ubicar de P5

3 =

5! 2! = 60 maneras, y las soluciones ´acidas de P₂7 = 7!

5! = 42 maneras.

iii) Aplicando el principio aditivo, el n´umero de maneras en que se puede ordenar en forma alternada las cinco soluciones es:

4200 + 2520 = 6720, maneras

b)El n´umero de soluciones alcalinas a considerar puede ser 2 o 3, tomados en cuenta que hay

s´olo 7 soluciones ´acidas.

i) Si se toman 2 alcalinas, debe tomarse 7 ´acidas. En este caso las 9 soluciones se pueden escoger de

C5

2 ·C77 = 10 maneras.

ii) Si se toman 3 alcalinas, las 9 soluciones se escogen de:

C5

3 ·C67 = 70 maneras.

Aplicando el principio aditivo, resulta que el n´umero total de maneras de escoger las 9 soluciones en las condiciones pedidas es:

Ejemplo 4.10. ¿De c´uantas maneras pueden guardarse 12 herramientas distintas usando 2 cajas?

Soluci´on:

En cada caja debe guardarse a lo menos 1 herramienta y a lo m´as 11. Basta determinar el n´umero de maneras en que las herramientas se pueden guardar en una de las cajas solamente. Por combinaciones y principio aditivo se tiene:

C₁12+C₂12+· · ·+C₁₁12=

12

X

k=0

C_k12−C₀12−C₁₂12 = 212−2 = 4094.

Ejemplo 4.11. ¿De c´uantas maneras un estudiante puede distribuir los d´ıas de una semana de modo que dedique cuatro de ellos para matem´aticas, dos para f´ısica y uno para descansar?

Soluci´on:

Es un problema de permutaciones con repetici´on, ya que no podemos diferenciar los d´ıas en que se estudia un ramo determinado. Luego el n´umero de maneras en que el estudiante puede distribuir los d´ıas es:

7!

4!2!1! = 105 maneras

Ejemplo 4.12. ¿De c´uantas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor de una mesa redon-da? ¿De c´uantas maneras si 3 de ellas deben quedar juntas?

Soluci´on:

En una mesa redonda no hay un lugar ”de preferencia”. Ubicamos una de las personas en un lugar fijo A de la mesa. Luego nos quedan 6 personas para ubicar en los 6 lugares restantes. As´ı las 7 personas se pueden ubicar de:

P6 = 6! maneras

Ahora si 3 de las personas deben quedar juntas, se consideran como un bloque. Luego es lo mismo que ubicar 5 personas en una mesa redonda. Por lo anterior estas se pueden ubicar de 4! maneras, y como las 3 personas que van en bloque se pueden ordenar de 3! maneras por el principio multiplicativo las 7 personas se ubican de

Cap´ıtulo 5

PROGRESIONES

5.1.

NOCI ´

ON DE SUCESI ´

ON

Definici´on 5.1. Dado un conjunto S 6=∅, se llama sucesi´on en S a una funci´on

a:_N−→S

Si S =_R, entonces a:_N−→_R se dice una sucesi´on real.

Si se tiene una sucesi´on a : _N −→ S llamamos t´ermino de la sucesi´on a las im´agenes

a(1), a(2), . . . , a(n), . . . y se denotan por a1, a2, . . . , an, . . .

En general una sucesi´on a : _N −→ S se denotar´a por {an}n∞=1 = {an}n∈_N o bien por {an}

simplemente.

Observemos que {an} = {a1, a2, . . . , an, . . .} es solo una notaci´on y no un conjunto ya que

puede haber t´erminos repetidos. Por ejemplo:

La sucesi´ona :_N−→S tal que

an =

1 si n es par

−1 si n es impar

tiene por t´erminos

−1,1,−1,1, . . . .

Esta sucesi´on se denota: {an}={1,−1,1,−1, . . .}

Definici´on 5.2. Dada una sucesi´on{an}, t´erminos ak, k∈N, se dice t´ermino de lugar k de ella,

o bien el k-´esimo t´ermino.

As´ı

a1 : 10 t´ermino

5.2.

PROGRESIONES ARITM´

ETICAS

Definici´on 5.3. Sea {an} una sucesi´on real. Se dice que {an} es una progresi´on aritm´etica si

existe un n´umero real d, llamado diferencia, tal que

ak+1−ak =d,∀k∈N Observaci´on 5.1.

a) Un n´umero finito de t´erminos reales se dicen en progresi´on aritm´etica si ellas forman parte de una progresi´on aritm´etica.

b) Dados dos n´umeros reales a, b distintos, se dice que x1, x2, . . . , xr son medios aritm´eticos

entre a y b sia, x1, x2, . . . , xr, b estan en la progresi´on aritm´etica.

c) Si a, b∈_R, se llama el medio aritm´etico entre a y b al n´umero x ∈_R tal que a, x, b est´an en la progresi´on aritm´etica.

5.2.1.

T´

ermino general de orden

k

y suma de

k

t´

erminos

Sea {an} una progresi´on aritm´etica con diferencia d. Teorema 5.1. El t´ermino general de orden k es

ak =a1+ (k−1)d,∀k ∈N.

Teorema 5.2. La suma de los primeros k t´erminos de una P.A. est´a dada por:

Sk=

k

X

i=1

ai,

entonces

Sk = k

2[a1+ak],∀k ∈N.

Corolario 5.1.

Sk = k

2[2a1+ (k−1)d],∀k ∈N

5.3.

PROGRESIONES GEOM´

ETRICAS

Definici´on 5.4. Sea {an} una sucesi´on real con sus t´erminos no nulos. Se dice que {an} es una

progresi´on geom´etrica si existe un n´umero real r, llamado raz´on, tal que:

ak+1

ak

=r,∀k ∈_N.

Observaci´on 5.3. Al igual que en las progresiones aritm´eticas, un n´umero finito de t´ ermi-nos est´an en progresi´on geom´etrica si ellos forman parte de una progresi´on geom´etrica. Adem´as

x1, . . . , xp son medios geom´etricos entre dos n´umeros reales no nulosa yb sia, x1, . . . , xp, b est´an

en progresi´on geom´etrica.

5.3.1.

T´

ermino general de orden

k

y suma de

k

t´

erminos

Sea {an} una progresi´on geom´etrica de raz´onr6= 1 Teorema 5.3. El t´ermino general de orden k es:

ak=a1·rk−1,∀k ∈N.

Teorema 5.4. La suma de los primeros k t´erminos de una P.G. est´a dada por:

Sk=a1

1−rk

1−r ,∀k ∈N.

5.4.

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 5.1. En una progresi´on aritm´etica cuyo primer t´ermino es a1, si la suma de los p

primeros t´erminos es cero, demuestre que la suma de los siguientes q t´erminos es igual a:

−a1(p+q)q

p−1

Soluci´on:

Sp = p₂(2a1+ (p−1)d) = 0 como p 6= 0, 2a1 + (p−1)d = 0 de donde d = −_p−2a₁1. Adem´as

S∗ =Sp+q−Sp, siendo S∗ la suma de los q t´erminos que siguen a los p primeros.

Como Sp = 0, S∗ =Sp+q, por lo tanto

S∗ = p+q 2 ·

2·a1+ (p+q−1)

−2·a1

p−1

= p+q 2 ·

−2·a1p−2·a1−2a1·p−2·a1·q+ 2·a1

p−1 = p+q

2 ·

−2·a1·q

p−1 = −a1(p+q)q

Ejemplo 5.2. 400 kg de papas almacenadas pierden peso hasta llegar a 380 kg en la primera semana. En cada una de las semanas siguientes la p´erdida del peso es la mitad del peso perdido en la semana anterior. Despu´es de 9 semanas el propietario determina vender el lote de papas ¿compensar´a la p´erdida de peso vendido a $240 el kg de papa, cuyo precio original era $200 en kg?

Soluci´on:

Sea a1 = 20kg (p´erdida de peso en la primera semana), luego r= 1₂. As´ı

Sq = 201−

1 2

9 1− 1

2

= 39,921875kg.

Es la p´erdida de peso en las 9 semanas, quedando 50.078125kg para la venta. Precio de costo de las papas: $80.000, Precio de venta: $86.418.

Cap´ıtulo 6

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Obtenga una f´ormula para las siguientes sumas:

a) S=

n+2

X

k=1

(j−1)4−

n

X

k=1

k4.

b) S=

n

X

k=1

a−k, si|a|>1.

Indicaci´on: 1−xn _{= (1−x) (1 +x+x}2_{+· · ·+x}n−1₎

c) S=

n

X

k=1

log

1 + 1

k(k+ 2)

.

d) S=

n

X

k=1

k!k.

e) S=

2n

X

k=1

(−1)k(2k+ 1), si se sabe que

n

X

k=1

(4k−1) = 2n2+n,

n

X

k=1

(4k+ 1) = 2n2+ 3n.

2. Use inducci´on matem´atica para demostrar las siguientes proposiciones:

a) La suma de los primeros n n´umeros naturales es n(n+ 1) 2 . b) La suma de los n primeros n´umeros naturales impares es n2

c) 1 + 3 + 6 + 10 +· · ·+n(n+ 1)

2 =

n(n+ 1) (n+ 2)

6 , ∀n∈N. d) 1·3 + 2·4 + 3·5 +· · ·+n(n+ 2) = n(n+ 1) (2n+ 7)

f) 2n−1 ≤n!, ∀n∈_N.

g) 10n+2_{+ 4·10}n_{+ 4 es divisible por 9, ∀n∈}

N.

h) 22n_{+ (−1)}n+1

es divisible por 5,∀n ∈_N.

i) 2n_{+ 1 es divisible por 3, sin es cualquier n´umero natural impar.}

j)

n

X

i=1

(2i−1)2 = 1

3n(2n+ 1) (2n−1),∀n∈N. k) Si a1 = 1 y ak+1 =

√

3ak, donde k∈N y k >1.

Entoncesan< an+1,∀n∈N

3. Considere la f´ormula siguiente:

n

X

i=1

(2i−1) = 25 +n2,donde n∈_N.

a) Demuestre que si esta f´ormula es v´alida para n = k, entonces lo es tambi´en para

n=k+ 1.

b) ¿Es posible concluir que la f´ormula es v´alida para todo n´umero naturaln? Justifique. 4. Decida si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

a)

100

X

n=0

n4 =

100

X

n=1

n4.

b)

100

X

i=0

2 = 200.

c)

100

X

k=0

(2 +k) = 2 +

100

X

k=0

k

d)

n

X

i=1

1

i(i+ 1) = 1

n(n+ 1), ∀n∈N 5. Eval´ue:

a)

5

Y

i=1

1 + 1

i

b)

3

Y

i=1

it

! ₆ Y

i=4

i

!

c) (1−x)

3

Y

k=1

6. Simplifique y calcule:

a)

6

Y

j=3

j

5!

b) (n−1)!

n+3

Y

i=n i

c) n! (2n−1)! (n−2)! (2n)! d) (2n+ 1)! (n+ 1)!

(n−2)! (2n+ 3)!

e)

43 41

f)

n+ 2

n−1

g)

2n n

[(n−1)!]2

7. Calcule n en cada caso: a) 6!·n = 9!

b)

n n−2

= 10

c)

2n

3

= 11

n

3

d)

28

n

24

n−4

=

2700 (n−3) (n−2) 8. Demuestre que:

a) en(n2+1)(e−1)n=

n

Y

i=1

ei+1−ei,∀n∈_N.

b)

n

Y

i=1

(2i−1) = (2n)!

2n_n!,∀n ∈N.

c)

n+1

Y

i=1

1 +q2i−1= 1−q

2n₊₁

1−q ,∀n∈N.

i) 12_{+ 2}2_{+· · ·+n}2 ₌ n(n+ 1) (2n+ 1)

6 .

ii) 13_{+ 2}3_{+· · ·+n}3 ₌

n(n+ 1) 2

2

iii) Utilice i), ii) para obtener f´ormulas para:

a)

n+1

X

i=1

(2i−1)2.

b)

n+1

X

i=1

(2i)3

10. Escriba el desarrollo de: a) (x+ 4)5 b) x

2 −2y 4

c)

1

x −2

√

x

6

11. Encuentre y simplifique:

a) El s´eptimo t´ermino del desarrollo de

x+ 3 2x3

10 .

b) El t´ermino independiente de x en el desarrollo de

2x2− 1

x

12 .

c) El t´ermino central en el desarrollo de

y2 ₋ x

2y

8 .

d) El coeficiente de x18 en el desarrollo de

x2− 30

x

15 .

e) El t´ermino que contiene a x2 _{en el desarrollo de}

3

√

x− 2

x2

27 .

f) El coeficiente de x4 _{en el desarrollo de (1−x) (1 +x)}15

. g) El coeficiente de x25 _{en el desarrollo de (1 +x)}50

1 + 1

x +x

2

.

h) El valor dek, si los coeficientesxk _{y dex}k+1 _{son iguales en el desarrollo de (3x+ 2)}19

. i) El t´ermino constante y los t´erminos centrales en el desarrollo de (x2n_{+ 2x}−n₎45

. 12. En 5 butacas de la primera fila de un teatro de debe ubicar a 5 personas, 3 hombres y 2

mujeres.

a) ¿De cu´antas maneras se les puede ubicar?

d) ¿De cu´antas maneras si deben ir alternados?

e) ¿De cu´antas maneras si hay una pareja que quiere quedar junta?

13. Con los d´ıgitos 2,3,5,6,7 y 9 se formar´an n´umeros de tres d´ıgitos distintos.

a) ¿Cu´antos son?

b) ¿Cu´antos de ellos son menores que 400? c) ¿Cu´antos de ellos son pares?

d) ¿Cu´antos de ellos son m´utiplos de 5?

14. Considere las letras de la palabra “CRISTAL”.

a) ¿Cu´antas “palabras” de 4 letras distintas se pueden formar? b) ¿Cu´antas de ellas contienen solo consonantes?

c) ¿Cu´antas de ellas comienzan por vocal y terminan en consonante? d) ¿Cu´antas contienen la letra “L”?

e) ¿Cu´antas comienzan por “T” y terminan en vocal? f) ¿Cu´antas comienzan por “T” y contienen la letra “S”? g) ¿Cu´antas contienen dos vocales?

15. Una delegaci´on de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los a˜nos para asistir a la Asociaci´on de Estudiantes. Si la delegaci´on se escoger´a de un total de 12 estudiantes:

a) ¿De cu´antas maneras se puede escoger la delegaci´on?

b) ¿De cu´antas maneras si 2 de los estudiantes no pueden ir juntos?

c) ¿De cu´antas maneras si hay 2 estudiantes que solo van si son ambos escogidos?

16. Un alumnos debe contesttar 8 a 10 preguntas de un examen. a) ¿De cu´antas maneras puede contestar el examen?

b) ¿De cu´antas maneras si las 3 primeras preguntas son obligatorias?

c) ¿De cu´antas maneras si se debe contestar por lo menos 4 de las 5 primeras preguntas? 17. a) ¿De cu´antas maneras puede elegirse un comit´e de 5 t´ecnicos de un total de 7 mec´anicos y 5 el´ectricos, si el comit´e debe contener al menos 1 mec´anico y al menos 1 el´ectrico? b) ¿Cu´antas se˜nales diferentes, cada una de 6 banderas colgando en l´ınea, pueden

c) En una reuni´on social cada una de las personas saluda, d´andole la mano, a cada una de las restantes. En total se hacen 45 saludos. ¿Cu´antas personas hab´ıa en la reuni´on? d) ¿De cu´antas maneras pueden repartirse 12 objetos distintos entre 4 personas?

e) ¿De cu´antas maneras se puede repartir 5 regalos distintos a dos ni˜nos si uno de ellos recibir´a 3 y el otro 2 regalos?

f) ¿Cu´antos n´umeros m´ultiplos de 5, con 4 d´ıgitos, son mayores que 2000 y menores que 8000?¿Cu´antos de ellos tienen los 4 d´ıgitos distintos?

18. Encuentre los valores que faltan:a1, d, an, Snen las Progresiones Aritm´eticas (P.A.)

siguien-tes

a) a1 = 10, d= 2, n = 17.

b) a1 = 13, an = 56, n= 24.

c) Sn =−792, a1 = 7, n = 72.

d) Sn = 891, a1 = 7, d= 2.

19. i) Determine el primer t´ermino y la diferencia de una P.A cuyo d´ecimo t´ermino es 25 y el t´ermino del lugar 45 es 91.

ii) La suma de los primeros 50 t´erminos de una P.A es 200, y la suma de los 50 t´erminos siguientes es 2700. Encuentre la P.A.

iii) Interpole 4 medios aritm´eticos entre -9 y 26.

iv) La suma de tres t´erminos consecutivos de una P.A. es 30 y la suma de sus cuadrados es 318 ¿Cu´ales son los n´umeros en P.A.?

v) La suma de los 15 primeros t´erminos de una P.A. es 270. Determine la P.A. si sabe que el t´ermino de lugar 15 es 39.

20. a) Una persona acepta un empleo con un sueldo de 3000 d´olares por el primer mes y con un aumento de 100 d´olares por cada mes que sigue ¿Cu´antos a˜nos deber´a trabajar para que su entrada mensual sea de 9000 d´olares? ¿Cu´anto habr´a ganado, en total, al cabo de un a˜no y medio?

b) Un reloj marca solamente las horas con n´umero de ta˜nidos correspondiente ¿Cu´antos ta˜nidos da, en total, entre las 2h.15min. y las 11h.20min. ?

c) Calcule las suma de n t´erminos de la P.A. 2a2−1

a ,4a−

3

a,

6a2−5

a .

d) Determine el valor de k, si 8k+ 4, 6k−2, 2k−7 est´an en progresi´on aritm´etica. 21. Determine los valores que faltan: a1, r, an, Sn, de las siguientes Progresiones Geom´etricas

a) a1 = 2, r= 2, n= 7.

b) a1 = 5, r= 3, an= 3645.

c) Sn = 765, a1 = 3, an = 384.

d) Sn = 7651, an= 5103, r= 3.

22. a) Interpole cuatro medios geom´etricos entre 160 y 5.

b) Halle tres n´umeros en P.G cuya suma sea 19 y cuyo producto sea 216. c) Halle la suma de los n primeros t´erminos de la P. G.

1 1 +x2,

1 (1 +x2₎2,

1

(1 +x2₎3, . . . , . . .

23. i) Encuentre la suma de todos los n´umeros entre 14 y 84, ambos inclusive, que no sean m´ultiplos de 3.

ii) Seaf :_R−→_R,f(x) = ex. Sia1, a2, a3est´an en P.A., demuestre quef(a1), f(a2), f(a3)

est´an en progresi´on geom´etrica

iii) Demuestre que: a, b, c est´an en P.A. es equivalente a _b−a1 ,₂1_b,_b−c1 esta en P.G.

24. a) Un cuerpo en ca´ıda libre recorre aproximandamente 4.9m en el primer segundo, 14.7m en el segundo siguiente; 24.5m en el tercer segundo; etc. ¿Cu´antos metros recorre el cuerpo al cabo de 5 bombeadas?

b) Una bomba de vac´ıo extrae la cuarta parte del aire contenido en un recipiente en cada bombeada. ¿Qu´e porcentaje de aire, del que orginalmente conten´ıa el recipiente, queda despu´es de 15 segundos?

c) Un qu´ımico tiene un precipitado compuesto de 1gr. de una sustancia y 1gr. de im-pureza. En cada lavado logra reducir la impureza a la mitad ¿Cu´antos lavados son necesarios para que la impureza sea menor que 0.0001gr?

d) Una pelota es lanzada desde 1m. de altura. Si cada vez que rebota alcanza la mitad de la altura que antes alcanz´o, calcule la distancia que recorre antes de detenerse. e) En un estanque cae agua a raz´on de dos galones por minuto en el primer minuto, 4

galones por minuto en el segundo minuto, 6 galones por minuto en el tercer minuto, etc. ¿Cu´anta agua habr´a en el estanque despu´es de transcurrida 1 hora? Suponga que el estanque estaba inicialmente vac´ıo.

Cap´ıtulo 7

SUCESIONES

Definici´on 7.1. Una sucesi´on (real) es una funci´on

a :_N−→_R

para el cual anotamos:

a(n) = an,∀n ∈N.

El gr´afico de una sucesi´ona ser´a entonces el conjunto de los pares ordenados (n, an), n ∈N.

En adelante: {an}n∈N o bien (an)n∈N o bien {an : n ∈ N} o bien {a1, a2, . . . , an. . .} denotar´a la

sucesi´ona :_N−→_R, n−→an

Dada la sucesi´on{an}n∈N, llamamos t´ermino de ordenko bienk-´esimo t´ermino o bien t´ermino

de lugar k, al elemento ak.

Ejemplo 7.1.

1.

1

n

n∈_N

denota la sucesi´on a:−→_R donde a1 = 1, a2 =

1 2, a3 =

1

3, . . . , an= 1

n, . . .

O sea

1

n

n∈N

=

1,1

2, 1 3, . . . ,

1

n, . . .

2. {3}n∈N es la sucesi´on constante 3, donde an= 3,∀n∈N. La sucesi´on constante 0 se llama

sucesi´on nula.

3.

n n+ 1

n∈N

es la sucesi´on cuyo n-´esimo t´ermino es an= _n+1n , o sea

n n+ 1

=1₂,2₃,3₄, . . . ,_nn₊₁, . . . .

4. an =

( _{1 sin es impar, n∈}

N

2

n+ 2 sin es par, n∈N

Entonces {an}n∈N es la sucesi´on:

1,1

2,1, 1 3,1,

1 4, . . .

Observaci´on 7.1. Las sucesiones de los ejemplos 1 y 4 tienen los mismos elementos como conjuntos pero son sucesiones diferentes. Esto se aprecia al confeccionar sus gr´aficos:

Figura: Gr´afico de

1

n

Figura: Gr´afico de {an}n∈N

´

Algebra de Sucesiones

Como las sucesiones reales son funciones reales, con ellas se pueden efectuar todas las opera-ciones que se hacen con funopera-ciones reales, y se tiene:

Dadas las sucesiones {an} y {bn}, entonces:

a) {an}+{bn}={an+bn}: suma de sucesiones

b) {an} · {bn}={an·bn}: producto de sucesiones

c) {an}

{bn} =

an bn

, sibn6= 0, ∀n ∈N: cuociente de sucesiones

Sucesiones Convergentes

Sea{an}una sucesi´on. Si{an}tiene l´ımite en infinito (como funci´on), diremos que la sucesi´on

{an}es convergente. O sea

{an} es convergente⇔ ∃ l= l´ım n→∞an.

En este caso diremos que {an} converge a l y que l es el l´ımite de la sucesi´on. Si el l´ımite no

existe, la sucesi´on es divergente.

Observaci´on 7.2. La sucesi´on {an} es la funci´on a : n → an. Para estudiar el l´ımite de la

funci´on a, esta se extiende a cualquier real x, pues

l´ım

n→∞an= l´ımn→∞a(n) = l´ımx→∞a(x).

Por ejemplo: para

1

n

n∈N

, se tiene que l´ım

n→∞

1

n = l´ımx→∞

1

x = 0. Luego{

1

n}n∈N es una sucesi´on

convergente.

7.1.

PROPIEDADES

1. El l´ımite de una sucesi´on es ´unica.

2. Son v´alidos para sucesiones, todos los teoremas de l´ımites de funciones. As´ı tenemos:

a) α∈_R y {an} converge a l, entonces α{an}converge a αl.

b) Si {an}converge a l y {bn} converge a l0 entonces:

{an} ± {bn}converge a l±l0

{an} · {bn}converge a l·l0

{an

bn} converge a

l

l0, siempre que bn 6= 0, ∀n∈N, y que l0 6= 0

Ejemplo 7.2.

1. Toda sucesi´on constante es convergente. {C}n∈N converge a C, si C es constante.

2.

n n+ 1

n∈_N

es convergente a 1, ya que l´ım

n→∞ n

n+ 1 = l´ımx→∞ x

x+ 1 = 1. 3. {n}n∈_N es divergente.

4.

n2

2n+ 1

n∈_N

es divergente, ya que l´ım

n→∞ n2

2n+ 1 = l´ımx→∞ x2

2x+ 1 = l´ımx→∞

2x

5. Veamos la convergencia de nnsinπ

n

o

n∈N

l´ım

n→∞nsin π

n = x→∞l´ım xsin π

x = l´ımx→∞

sinπ_x

1

x

= l´ım

x→∞

−π x2 cos

π x

−1

x2

=π l´ım

x→∞cos π x

= π·1 =π

6. Sea {an} tal que an= (−1)n· n+ 1

n

como an =

_n+1

n sin es par

−n+1

n sin es impar

resulta que los t´erminos pares tienen como l´ımite 1 y

los impares l´ımite -1. Luego _@ l´ım

n→∞an y as´ı{an} es divergente.

7. La sucesi´on

_n2_sinπ n

2n+ 1

n∈N

es convergente ya que:

Sean an = n

2n+ 1 y bn = nsin

π

n. Entonces claramente la sucesi´on dada es {an} · {bn}.

Como las sucesi´on{an}converge a 1₂

pues l´ım

n→∞ n

2n+ 1 = 1 2

y la sucesi´on {bn} converge

a π, la sucesi´on dada converge a 1

2π. O sea

n2sinπ_n 2n+ 1

n∈N

converge a π₂

Proposici´on 7.1. Se tiene los siguientes casos especiales:

i) Sip > 0,

1

np

n∈N

converge a 0.

ii) Si p > 0, {√n_p}

n∈_N converge a 1.

iii) {√n_n}

n∈N converge a 1.

Demostraci´on:

ii) l´ım

n→∞

n

√

p= l´ım

n→∞p

1

iii) Sea l= l´ım

n→∞

n

√

n, luego lnl = lnhl´ım

n→∞n

1

n

i

= l´ım

n→∞ln

nn1

= l´ım

n→∞

1

nlnn

= l´ım

n→∞

lnn n

= l´ım

n→∞

1

n

1, por L’Hopital = 0

O sea lnl= 0 y as´ıl = 1

Sucesiones Mon´

otonas

Definici´on 7.2. Sea {an} una sucesi´on. Considerando que las sucesiones son funciones reales, tenemos que:

a) {an} es creciente ⇔ an≤an+1 ∀ n∈N

{an} es decreciente ⇔ an ≥an+1 ∀ n∈N

{an} es mon´otona ⇔ {an} es creciente o {an} es decreciente.

b) x∈_R, x es cota inferior de {an} ⇔ x≤an, ∀ n ∈N y∈_R, x es cota superior de {an} ⇔ y≥an, ∀ n∈N

c) {an} es acotada superiormente ssi tiene al menos una cota superior.

{an} es acotada inferiormente si, y s´olo si tiene al menos una cota inferior.

{an} es acotada si, y s´olo si es acotada superior e inferiormente.

NOTA 1. {an} es acotada ssi∃ M ∈R+ tal que |an| ≤M,∀ n ∈N.

NOTA 2. {an} es creciente (o decreciente) ssi f(x) = ax, x real positivo, es funci´on real creciente, esto es f0(x)>0 (o decreciente f0(x)<0).

Teorema 7.1. (condiciones de convergencia)

1. Toda sucesi´on creciente y acotada superiormente es convergente.

2. Toda sucesi´on decreciente y acotada inferiormente es convergente.

3. Toda sucesi´on convergente es acotada.

4. Si {an} es mon´otona, entonces : {an} es convergente ⇔ {an} es acotada.

{an} mon´otona y acotada ⇒ {an} convergente

b) De (3) tenemos, por la contrapositiva de la implicaci´on, que:

{an} no esta acotada ⇒ {an} es divergente.

Sin embargo, si {an} es acotada, no necesariamente es convergente. Por ejemplo la

su-cesi´on

(−1)n n

n+ 1

n∈N

es una sucesi´on acotada, pues:

(−1)n n

n+ 1

≤ 1, pero no es convergente (los t´erminos pares tienen l´ımite 1 y los impares -1).

c) Una sucesi´on convergente no necesariamente es mon´otona. Por ejemplo

(−1)n 1

n

n∈N

converge a 0 y no es creciente ni decreciente, o sea no es mon´otona. Este ejemplo sirve tambi´en para comprobar que: una sucesi´on acotada no necesariamente es mon´otona.

Ejemplo 7.3. Estudiar la monoton´ıa, cotas y convergencia de las sucesiones

a) {21/n}n∈_N

b)

100000 n

1 +n2

n∈N

c)

n2_{+ 1}

n

n∈_N

Soluci´on:

a) • Monoton´ıa: Sea f(x) = 2x1, x∈_R+.

Como f0(x) = −2 1

x ln 2

x2 < 0, resulta que f(x) es decreciente, luego {2 1/n_}

n∈N es

mon´otona decreciente.

• Cotas: 2

1

n

=

n

√

2≤2, ∀n ∈N (2 es cota superior y -2 es cota inferior), la sucesi´on es acotada.

• Convergencia: como es mon´otona y acotada, es convergente.

b) • Monoton´ıa:

f(x) = 100000 x

1 +x2 , x ∈R

f0(x) = 100000 (1 +x

2_{)−100000x·2x}

(1 +x2₎2

f0(x) = 100000−100000x

2

(1 +x2₎2 <0

• Cotas:

100000n

1 +n2

<100000, ∀ n ∈_N

Luego 100000 es cota superior y -100000 cota inferior.

• Convergencia: como es mon´otona y acotada, es convergente.

c) • Monoton´ıa: f(x) = x

2_{+ 1}

x

f0(x) = 2x·x−(x

2_{+ 1)·1}

x2 =

x2₋₁

x2 ≥0, ∀ x∈R +

∴ la sucesi´on es mon´otona creciente.

• Cotas: la sucesi´on dada es

2,5

2, 10

3 , 17

4 , . . . ,

n2 + 1

n , . . .

. Luego 2 es cota inferior y

no hay cota superior.

∴ la sucesi´on solo es acotada inferiormente. No es entonces acotada.

• Convergencia: como no es acotada superiormente, es divergente. O bien: como

l´ım

n→∞

n2+ 1

n = l´ımx→∞

x2+ 1

x =∞

resulta que la sucesi´on es divergente.

Ejemplo 7.4. Toda sucesi´on constante es convergente, pues es mon´otona (es creciente y decre-ciente a la vez) y es acotada.

Ejemplo 7.5. La sucesi´on {an} donde an=

1 si n impar

2

n+2 si n par

Cap´ıtulo 8

SERIES

Definici´on 8.1. Si {an} es una sucesi´on y Sn = a1 +· · ·+an = n

X

i=1

ai, entonces la sucesi´on

{Sn}n∈N se llama serie infinita o simplemente una serie.

As´ı tenemos entonces que la serie {Sn}, donde Sn= n

X

i=1

ai es tal que:

S1 = a1

S2 = a1+a2 =S1+a2

· · · ·

Sn = a1+a2+· · ·+an=

n

X

i=1

ai =Sn−1+an

Sn+1 = a1+a2+· · ·+an+an+1 =

n+1

X

i=1

ai =Sn+an+1

· · · ·

O sea una serie es una sucesi´on de la forma:

{a1, a1+a2, . . . , a1+a2+· · ·+an, . . .}

Por esto, habitualmente se usa la notaci´on:

∞

X

n=1

an para la serie{a1, a1+a2, . . . , a1+a2+· · ·+an, . . .}

y llamamos

a) T´erminos de la serie a los t´erminos de la sucesi´on {an}.

b) Sumas parciales de la serie a los t´erminos de la sucesi´on{Sn}, donde Sn = n

X

i=1

Ejemplo 8.1.

1. Los t´erminos de la serie

∞

X

n=1

1 3n son

1 3,

1 32,

1 33, . . . ,

1

3n, . . . . Esta serie es la sucesi´on de

sumas parciales:

S1 =

1 3

S2 =

1 3 +

1 32

· · · ·

Sn =

1 3 +

1

32 +· · ·+

1 3n

· · · ·

Como Sn es la suma de losn primeros t´erminos de la progresi´on geom´etrica de raz´on 1₃ y con

primer t´ermino 1₃, se tiene que

Sn= 1 3·

1− 1 3

n 1− 1

3

= 1 2

1− 1

3n

∀ n ∈_N.

2. Dada la serie

∞

X

n=1

1

n(n+ 1) halle los 4 primeros t´erminos y las 4 primeras sumas parciales. Adem´as determine una f´ormula para Sn, la n-´esima suma parcial.

Soluci´on:

Si an = _n(n1₊₁₎, los 4 primeros t´erminos de la serie son:

a1 =

1 1·2 =

1 2

a2 =

1 2·3 =

1 6

a3 =

1 3·4 =

1 12

a4 =

1 4·5 =

1 20

S1 =

1 2

S2 =S1 +a2 =

1 2+

1 6 =

4 6 =

2 3 =

2 2 + 1

S3 =S2 +a3 =

2 3+

1 12 =

9 12 =

3 4 =

3 3 + 1

S4 =S3 +a4 =

3 4+

1 20 =

16 20 =

4 5 =

4 4 + 1

Ahora: Sn = n

X

i=1

1

i(i+ 1) =

n

n+ 1, lo cual se puede comprobar f´acilmente por inducci´on

NOTA: En estos ejemplos fue posible encontrar una f´ormula para Sn. En general no siempre

esto es posible.

8.1.

SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES

Definici´on 8.2. La serie

∞

X

n=1

an es una serie convergente si, y s´olo si la sucesi´on de sumas

parciales es convergente. Luego:

Si Sn= n

X

i=1

ai, entonces:

S =

∞

X

n=1

an es convergente ⇔ ∃ S = l´ım n→∞Sn.

Si una serie

∞

X

n=1

an es convergente, el l´ımite S de la sucesi´on de sumas parciales se llama la

suma de la serie y en este caso anotamos:

∞

X

n=1

an=S

Si una serie no es convergente, se dice serie divergente.

a)

∞

X

n=1

1

3n es una serie convergente pues

l´ım

n→∞Sn = l´ımn→∞

1 2

1− 1

3n

= 1

2

Luego 1₂ es la suma de la serie, o sea

∞

X

n=1

1 3n =

1 2

b)

∞

X

n=1

1

n(n+ 1) es una serie convergente pues:

l´ım

n→∞Sn= l´ımn→∞ n n+ 1 = 1 Luego 1 es la suma de la serie y se tiene

∞

X

n=1

1

n(n+ 1) = 1

2. La serie

∞

X

n=1

2 tiene por sumas parciales:

S1 = 2

S2 = 2 + 2 = 4

S3 = 4 + 2 = 6

· · · ·

Sn = 2 +· · ·+ 2 | {z }

nveces

= 2n

· · · ·

Luego l´ım

n→∞Sn = +∞ o sea @ n→∞l´ım Sn en R y as´ı la serie es divergente y no tiene suma.

3. La serie

∞

X

n=1

(−1)n es divergente, ya que:

S1 = −1

S2 = (−1) + (−1)2 = 0

S3 = 0 + (−1)3 =−1

S4 = −1 + (−1)4 = 0

· · · ·

S2t−1 = −1, ∀ t ∈N

S2t = 0, ∀ t ∈N

Luego _@ l´ım