Pontificia Universidad Católica de Chile Instituto de Economía
Apuntes de Microeconomía
Capítulo 4
Bernardita Vial
Felipe Zurita
4
4.1
Introducción
El capítulo 1 desarrolló una teoría general de la decisión, que luego el capítulo 2 aplicó al estudio de la demanda del consumidor y el 3 al de la oferta y la demanda de insumos de la empresa. Este capítulo extiende la teoría general al caso en que la decisión es tomada en condiciones de incertidumbre o ignorancia, esto es, se preocupa de decisiones cuyas consecuencias son desconocidas al momento de elegir.
Por cierto, virtualmente toda decisión real cabe en esta categoría. Por ejemplo, ningún alumno sabe al entrar si la carrera le gustará; el jefe no sabe al contratarlo si el empleado será adecuado para las necesidades de la empresa; el consejo del Banco Central no sabe qué efecto tendrá la baja en la tasa de interés en el IPC del mes siguiente, etc. Desde el punto de vista de la modelación, sin embargo, agregar realismo es costoso, por lo que la utilización de la metodología que desarrollamos en este capítulo
es recomendable solo en casos en que sea esencial para el análisis del
problema en cuestión.
128 Introducción
La diferencia, entonces, radica en que ahora nos preocupamos
explíci-tamente de las consecuencias que los actos acarreen. En ese sentido,
aspiramos a caracterizar una toma de decisiones racional en el sentido
de que los actos del individuo propendan a consecuencias consideradas mejores (más preferidas).
Puesto de otra forma: un problema de decisión se considera de certidum-bre si asociado a cada acto existe una única consecuencia posible. Pode-mos pensar que la relación de preferencias desarrollada en el capítulo
anterior está definida sobre las consecuencias, y por esa vía sobre los
actos. En un problema de decisión bajo incertidumbre, un acto tiene con-secuencias inciertas. Es factible distinguir, entonces, entre preferencias por actos de preferencias por consecuencias. En el momento de tomar la decisión (ex ante), la persona debe evaluar los actos a su alcance. Luego de escogida la acción, recibirá la consecuencia, momento en el cual
tam-bién puede juzgar (ex post) si lo conseguido era más o menos preferido
que otras alternativas que haya considerado posibles.
De acuerdo al axioma 3, de racionalidad o consistencia, en un problema bajo certidumbre el individuo escoge de manera de conseguir la mejor consecuencia dentro de las alcanzables. En un problema bajo incertidum-bre, en cambio, escoge sin saber si la consecuenciaa posteriori(óex post) resultará la mejor de acuerdo a su jerarquía.
Así, en este contexto se puede asociar la palabra racionalidad con un
concepto distinto al implicado por el axioma 3: que las acciones escogi-das propendan, en algún sentido, a conseguir consecuencias mejores de acuerdo a su jerarquía subjetiva. Siendo las consecuencias desconocidas, la evaluación sólo puede depender de lo que el individuo considere
posi-ble, y acaso del grado de confianza que tenga en la verosimilitud de uno
Una decisión racional en este segundo sentido, entonces, está basada en
las consecuencias posibles de cada acto, y en las creencias o grado de
confianza depositado en la ocurrencia de cada consecuencia.
Es posible pensar en un conjunto de escenarios oestados de la
naturale-za, digamosS. Cada escenario o estado involucra una descripción de
to-das las variables que le importan al individuo, de acuerdo a su preferencia sobre las consecuencias, pero que están fuera de su control (metafórica-mente, determinadas por la naturaleza). Las consecuencias de una misma acción son en general distintas entre estados de la naturaleza, y para un mismo estado de la naturaleza, dos acciones pueden tener consecuencias distintas. Por ejemplo, un estado de la naturaleza puede ser “llueve sobre Santiago”, y otro estado “no llueve sobre Santiago”. La decisión “llevar el paraguas al salir” tiene consecuencias distintas dependiendo de cuál de esos estados se materializa. Es posible que la persona se arrepienta alfi -nal del día de haberlo llevado si no llovió; de haber sabido que no llovería (esto es, de haber conocido el estado de la naturaleza), se habría podido evitar la desagradable consecuencia de acarrear todo el día el paraguas en
vano. No obstante, cada vez que crea que es suficientemente posible
(probable) que llueva lo llevará de nuevo.
Bajo esta formulación, un problema de decisión bajo incertidumbre se
representa por medio del conjunto de actosA, un conjunto de
consecuen-cias C, un conjunto de estados de la naturaleza S (denotamos porS su
número de elementos), y una función π : S →IR, explicitando el
gra-do de confianza que el individuo deposita en la ocurrencia del escenario
deentenderla conexión entre los actos y sus consecuencias, y de atribuir grados de
130 Introducción
s. Asociado a cada acto, entonces, existen consecuencias distintas en
ca-da escenarios :el actoa está asociado a las consecuencias{ca
1, ..., caS},
teniendo cada una de ellas, respectivamente, un grado de confianza de
{π1, ...,πS}(independiente dea).
Ejemplo 4.1
Un automovilista viajando por la carretera encuentra una bomba de benci-na. En ese momento puede optar entre dos acciones: parar a llenar el
es-tanque (llamémoslea1) o seguir (llamémoslea2). Digamos que le faltan
200 km. de viaje, que sabe que no existe otra bomba en el camino, pero que no sabe si la bencina que le queda es suficiente para los 200 km o no. Si para, llega atrasado a una reunión importante; si se le acaba la benci-na, no llega.
Es natural pensar en dos escenarios: la bencina que tiene “sí es suficiente” (estados1), y “no es suficiente” (s2). Ambos escenarios claramente son
mutuamente excluyentes. Las consecuencias de cada acto son: de a1,
llegar atrasado (llamémosle consecuenciac1), independientemente de si
era o no suficiente la bencina que ya tenía, vale decir, la consecuencia es la misma en los dos escenarios; dea2,llegar a la hora(consecuenciac2), lo que ocurriría en el escenarios1, y no llegar (consecuenciac3), lo que ocurriría en el escenarios2.
Supongamos que el automovilista tiene las siguientes preferencias sobre
las consecuencias: c2 Â c1 Â c3. Ingredientes de su problema de
de-cisión son, entonces, la evaluación o utilidad de las acciones, U(a1) y
U(a2), que está relacionada con las valoraciones de las consecuencias
u(c1), u(c2)yu(c3), y con sus creencias respecto de la verosimilitud de
cada escenario,π1 yπ2(que naturalmente son subjetivas, porque ¿cómo
podría tener una creencia objetiva sobre la duración de la bencina que tiene en el estanque?).
Dijimos que imaginaríamos preferencias tanto sobre actos como sobre consecuencias. Imaginemos que ambas son representables por funciones de utilidad, digamos:
U : A→IR
en el primer caso, y
u : C →IR
: c→u(c)
La racionalidad en el primer sentido, el del axioma 3 (esto es, transitividad de la preferencia) está garantizada por la transitividad deU. La
racional-idad en el segundo sentido (esto es, que los actos sean juzgados por su
consecuencias probables) sugiere una relación entreU y udel siguiente
estilo:
U(a) =f(u(ca1), ..., u(caS) ;π1, ...,πS)
Una de tales funciones es la llamada función deUtilidad Esperada, o de
von Neumann-Morgenstern, llamada así en honor a sus creadores4, el
matemático John von Neumann (también conocido por su rol protagónico en el desarrollo del computador) y el economista Oskar Mogenstern:
U(a) =
S X
s=1
πsu(cas) (42)
dondeπstiene la interpretación de una probabilidad que el individuo
aso-cia a la consecuenaso-cias.
La función que evalúa la consecuencia,u(ca
s), recibe el nombre de fun-ción de Bernoulliofunción de felicidad. En la mayoría de las aplica-ciones que veremos en este curso,ca
scorresponde al nivel de consumo que
alcanzaría el individuo si escogiera el actoay se materializara el estado
s. En la mayoría de las aplicaciones, también, analizaremos para
facili-tar la exposición el caso en que sólo hay dos estados de la naturaleza, esto es:
U(c1, c2) =π1u(c1) +π2u(c2) (43)
4 En rigor, no son sus creadores (esta función fue usada en el mismo contexto por
132 Introducción
Entonces, la función de utilidad esperada es el valor esperado de la “feli-cidad” o función de Bernoulli. Se debe enfatizar que el valor esperado de la función Bernoulli no es lo mismo que el valor esperado del consumo o consecuencia que se obtenga.
Ejemplo 4.2
En el ejemplo del automovilista, una evaluación de utilidad esperada sería la siguiente:
U(a1) = π1u(c1) +π2u(c1) =u(c1)
U(a2) = π1u(c2) +π2u(c3) luego,
a1 % a2 ⇔u(c1)≥π1u(c2) + (1−π1)u(c3)
⇔ uu((cc1)−u(c3) 2)−u(c3) ≥
π1
Así, seguir es la mejor decisión para esta persona si la probabilidad de
que no le alcance la bencina es suficientemente baja. Qué tan baja
debe ser depende de la comparación entre qué tan importante es llegar atrasado a la reunión[u(c1)−u(c3)], y de qué tan importante es no llegar
[u(c2)−u(c3)].
Algunas propiedades de la función de Utilidad Esperada son:
1. Es una generalización de la teoría del Capítulo 1: bajo certidumbre,
el actoatiene una única consecuencia posible, esto es, independiente
del escenario, ca
s = cas0 para todos, s0 ∈ S. Se sigue entonces que
U(a) = u(ca s)
PS
s=1πs =u(ca), vale decir, la utilidad de la acción y
la de la consecuencia son la misma, como habíamos dicho, por lo que la distinción entre acciones y consecuencias no era necesaria. Alterna-tivamente, si una persona está completamente segura de la ocurrencia
de un estado, digamos els, entonces le atribuye probabilidad 0 a todos
los otros, yU(a) = 0∗u(ca1) +...+ 1∗u(cas) +...0∗u(csa) =u(cas).
y las creencias, sino que “propende” a actos con mejores
consecuen-cias (según u(c)). En efecto, si dos actos entregan las mismas
con-secuencias en todo escenario salvo uno, entonces el acto con la mejor
consecuencia es también el de mayorU.
3. Finalmente, la aditividad de la función implica que la evaluación de una consecuencia no depende de lo habría ocurrido bajo ese acto en escenarios alternativos. Sobre este punto volveremos más adelante.
En lo que sigue nos concentraremos en el caso en que las consecuencias
se refieren a niveles de consumo de un único bien o canasta. En diversas
aplicaciones –notablemente enfinanzas– es interesante entender el efecto
de la incertidumbre en las decisiones. Por ejemplo, el efecto del riesgo en las decisiones de inversión. Para ello es útil caracterizar las preferencias
U(a), a lo que nos abocamos a continuación.
4.2
Aversión al riesgo
Considere la siguiente situación: en una conversación entre dos amigos surge la idea de hacer una apuesta simple. Cada uno de ellos escoge decir “cara” o “sello”. Se lanza una moneda al aire, y si sale cara, quien dijo “sello” le paga a quien dijo “cara” $ 1.000, mientras que si sale sello, quien dijo “cara” paga los $ 1.000.
En nuestra gramática, esta situación se “escribe” de la siguiente forma:
cada persona enfrenta una decisión en A ={no participar, participar y
decir cara, participar y decir sello}, con las consecuencias asociadas,
en términos de la cantidad de dinero con que terminen, de C ={m +
1000, m, m−1000}, dondemes la cantidad que tiene antes de la
134 Aversión al riesgo
el espacio del consumo contingente en la ocurrencia de cada estado (esto es, el nivel de consumo que el individuo alcanzaría de darse cada estado posible), las acciones son:
c
caraApostar a sello
Apostar a cara No participar
c
sellom-1000 m m+1000 m+1000
m
m-1000
c
caraApostar a sello
Apostar a cara No participar
c
sellom-1000 m m+1000 m+1000
m
m-1000
La línea creciente, de 45◦, se denomina Línea de Certeza, puesto que
muestra el conjunto de perfiles de consumo libres de riesgo, esto es, cuyo valor no depende del estado de la naturaleza que se materialice.
Tenemos dos preguntas en mente:
1. Si estuviesen obligados a jugar, ¿preferirían decir cara, sello o estarían indiferentes?
2. Pudiendo escoger libremente sobre qué apostar, ¿preferirían jugar o no participar?
La primera pregunta se refiere a la probabilidad que cada persona le asocie a que la moneda salga cara o sello. En efecto, la utilidad esperada de apostar a cada alternativa es:
U(apostar a cara) = πcarau(m+ 1000) +πsellou(m−1000)
Cara es mejor que sello si
U(apostar a cara)≥U(apostar a sello)⇐⇒
πcara ≥πsello
Si no hay razón para suponer que un resultado en más probable que otro (esto es, siπcara =πsello= 12), entonces, la persona debiera estar
indifer-ente sobre a qué apostar.
En general, decimos que para un individuo, una apuesta esjusta si está
indiferente entre tomar uno u otro lado en ella. Intuitivamente, si la
moneda tuviera los dos iguales (cara), una persona obligada a apostar a sello lo encontraría injusto porque perdería seguro. Si se le obligara apostar a cara, sería injusto para su contraparte. La apuesta es justa, entonces, cuando nadie envidia la posición de su contraparte.
Observe que una apuesta justa tiene un valor esperado de 0. En el
ejem-plo, con probabilidad 1
2, la persona gana $1000, y con probabilidad
1 2 los
pierde, de manera que siy es la ganancia o pérdida como consecuencia
de la apuesta,
E[y] = 1
2∗1000 + 1
2∗(−1000) = 0
Se le llama Juego Justo a cualquier lotería o perfil de pagos riesgosos
tales que su valor esperado es 0. Se le llamaLínea de Juegos Justos a
todos los perfiles de consumo contingente que se pueden generar a partir
de alterar un determinado perfil por la vía de agregarle juegos justos.
Imagine, por ejemplo, una persona con un perfil de consumo libre de
riesgoc1 = c2 = c. Si esta persona acepta una lotería que pagax1 en el estado 1 yx2 en el estado 2, entonces su nuevo perfil de consumo es:
136 Aversión al riesgo
Si la lotería es un juego justo, su valor esperado es cero:
π1x1+π2x2 = 0
⇒ x2 =−
π1
π2
x1
de modo que
c2 = c+x2
= c− π1
π2
x1
= c− π1
π2
(c1−c)
Entonces, el conjunto de todas las combinaciones posibles de consumo
en los estados 1 y 2 que es posible generar a partir decpor medio de la
aceptación de juegos justos es:
c2 =
c
π2 −
π1
π2
c1
⇔ π1c1+π2c2 =c
Este conjunto corresponde a la Línea de Juegos Justos. Observe que
todos estos perfiles de consumo entregan el mismo valor esperado del
consumo, aunque con distintos niveles de riesgo.
La segunda pregunta, entonces, la podemos reescribir como: ¿está
dis-puesta una persona con un consumo seguro de m a entrar en un juego
justo? Es decir, ¿está dispuesta a dejar la seguridad dem, y reemplazarla
por la posibilidad de ganar o perder, sin haber gananciaex anteen valor
esperado?
La respuesta es por cierto subjetiva, de manera que nos limitamos a
clasi-ficar y etiquetar las posibilidades:
En el ejemplo, como apostar a cara y a sello le son indiferentes, ambos
puntos pasan por la misma curva de indiferencia. La pregunta de la
aversión al riesgo, entonces, se traduce en una de convexidad de la curva de indiferencia, como lo muestran los siguientes gráficos:
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
AVERSO NEUTRAL AMANTE ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
ccara
Apostar a sello
Apostar a cara No participar
csello
AVERSO NEUTRAL AMANTE
Así, un mapa de curvas de indiferencia convexo representa a un averso al riesgo, uno cóncavo a un amante del riesgo, y uno lineal a una persona neutral al riesgo. Recordando nuestra discusión del capítulo 1, un indivi-duo averso al riesgo tiene una función de utilidadU(c1, c2)cuasicóncava
y unaT M S decreciente. Uno neutral al riesgo, por su parte, tiene una
T M S constante, que no depende del nivel de riesgo asumido ni tampoco
de su nivel de consumo. Observe queT M S constante equivale a decir
u0(c)es constante (¿por qué?), digamos:
u0(c) =a
Entonces,
u(c) =ac+b (44)
es la forma general de la función Bernoulli de una persona neutral al riesgo.
138 Aversión al riesgo
Justos en la línea de certeza. En efecto,
T M S = π1
π2
u0(c1)
u0(c2)
T M S|c1=c2 =
π1
π2
Esto significa que, partiendo de una posición sin riesgo, localmente toda persona (independientemente de sus preferencias) está indiferente entre aceptar o no un juego justo, esto es, localmente es neutral al riesgo.
En el caso de certidumbre, decíamos que la función de utilidadU(a)era
ordinal, esto es, que cualquier transformación monótona creciente de ella representaba las mismas preferencias. Lo mismo es cierto de la función de utilidad esperada, que también juzga acciones, pero no de la función Bernoulli, que juzga consecuencias, como veremos a continuación. En este caso, sólo una transformación lineal preserva el orden de preferen-cias.
En efecto, cualquier transformación lineal de la función Bernoulli repre-senta la misma preferencia:
X
s
πsu(c∗s)> X
s
πsu(cs)
⇔α
à X
s
πsu(c∗s) !
+β >α
à X
s
πsu(cs)
!
+β
⇔X
s
πs(αu(c∗s) +β)> X
s
πs(αu(cs) +β)
siαes positivo.
Por lo tanto,u(c) =cdefine a un neutral al riesgo, de manera que
u(cs) = cs
⇒ E[u(cs)] = X
s
πsu(cs) =X
s
πscs =E[cs]
T M S es decreciente:
dU = π1u0(c1)dc1+π2u0(c2)dc2 = 0
⇒ dc2 =−
π1u0(c1)
π2u0(c2)
dc1
T M S = π1
π2
u0(c
1)
u0(c2)
∂T M S
∂c1
= π1
π2
u00(c
1)u0(c2)−u00(c2)∂∂cc2
1u
0(c
1)
[u0(c2)]2 ≤0
⇔ ππ1
2
u00(c
1)u0(c2)−u00(c2)u0(c1)−π1u
0(c1)
π2u0(c2)
[u0(c2)]2 ≤0
⇔ u00(c1) +u00(c2)
π1[u0(c1)]2
π2[u0(c2)] 2 ≤0
lo que ocurre sólo siu00()<0.
Así, una función Bernoulli cóncava representa a un averso al riesgo, una lineal a un neutral y una convexa a un amante:
E[cs] cs
AVERSO NEUTRAL AMANTE u(cs)
u(E[cs])
E[u(cs)]
u(cs)
E[u(cs)]= u(E[cs])
u(cs)
E[u(cs)]
u(E[cs])
E[cs] cs E[cs] cs
E[cs] cs
AVERSO NEUTRAL AMANTE u(cs)
u(E[cs])
E[u(cs)]
u(cs)
E[u(cs)]= u(E[cs])
u(cs)
E[u(cs)]
u(E[cs])
E[cs] cs E[cs] cs
Una transformación cóncava de u(ca
s) produce una función más
cónca-va, y por lo tanto representa a una persona más aversa, esto es, a otra preferencia.
Es por esto que las medidas del grado de aversión al riesgo son en realidad medidas del grado de concavidad de la función Bernoulli. Hay dos
me-didas locales de aversión al riesgo que se ocupan comúnmente: elGrado
140 Aversión al riesgo
Riesgo, definidos respectivamente por las fórmulas:
A(c) = −u
00(c)
u0(c)
R(c) = −u
00(c)
u0(c)c
4.2.a
La paradoja de San Petersburgo
El riesgo es comúnmente considerado un mal: los individuos típicamente
prefieren la certidumbre. La siguiente es un argumento ofrecido por
el matemático Daniel Bernoulli para justificar la concavidad de las
fun-ciones Bernoulli (por supuesto él no las llamó de ese modo), y por tanto, de acuerdo a nuestra discusión anterior, la aversión al riesgo como actitud universal de la gente.
Bernoulli propuso en 1738 –dos siglos antes del desarrollo de la utilidad esperada– la siguiente paradoja: se le ofrece a una persona la posibilidad de participar (previo pago) en una lotería. La lotería consiste en que la persona debe lanzar una moneda al aire; si sale sello, recibe un premio de $2. Si sale cara, lanza la moneda de nuevo. Cada vez que lanza la moneda, el premio en caso de sello se duplica.
La pregunta es cuánto debiera estar dispuesta a pagar una persona por el derecho a participar en esta lotería.
Para un matemático (probabilista) como Bernoulli, la pregunta de si una persona debiera estar dispuesta a pagar o no el valor esperado de la lotería tenía sentido como punto de referencia, toda vez que el valor de $1 con probabilidad 1 ciertamente es $1, esto es, el valor esperado bajo certidum-bre es intuitivo.
primer lanzamiento, sello en el segundo, sello en el tercero, ...}. Seakla
variable aleatoria “número del lanzamiento en que sale sello por primera
vez”. Entonces, el premio enk es2k, y la probabilidad de que seak es
¡1
2
¢k
. El valor esperado de la lotería es entonces:
E[c] =
∞ X k=1 2k µ 1 2 ¶k = ∞ X k=1 1
esto es, infinito. Ésa es la paradoja: si no parece razonable que una
persona pague $ 500 millones por entrar a una lotería en que va a ganar menos que eso con una probabilidad tan alta, mucho menos pagar 500 veces esa suma. Pero de acuerdo al cálculo anterior, cualquier suma
finita es una subestimación del valor de la lotería.
La solución que Bernoulli propone consiste en representar el valor que la persona le atribuye al premio no directamente, sino evaluado por una
función u(2k). Si esa función es cóncava, entonces la suma converge
y, de hecho, el valor de la lotería puede ser pequeño e intuitivamente razonable. Por ejemplo, si u(c) = c12, la utilidad esperada de la lotería
es:
E[u] =
∞ X
k=1
2k2 µ 1 2 ¶k = ∞ X k=1
2−k2 = 2.414 2
Dos pesos y medio es sin duda una cifra más razonable que “infinito”
como valor de la lotería. La función u(c) es, naturalmente, la función
Bernoulli.
4.3
Aplicaciones
4.3.a
Seguros
142 Aplicaciones
Empecemos con el caso más simple: el individuo tiene un ingreso o riqueza “inicial”W0 (antes de que se revele el estado de la naturaleza), y
puede no perder nada con probabilidadπ1, o perderLcon probabilidad
π2.
Imaginemos que una compañía de seguros ofrece un seguro a este
indivi-duo, cuya prima (precio del seguro) denotamosp, y que en caso de que
ocurra el siniestro le devuelve todo lo perdido (por eso decimos que este
seguro es de “cobertura completa”). En el gráfico a continuación se
pre-senta la situación con y sin seguro.
2 c 1 c 0 W (Siniestro ocurre) Siniestro no ocurre 0
W −L 0 W
0 W −p
0 W −p 2 c 1 c 0 W (Siniestro ocurre) Siniestro no ocurre 0
W −L 0 W
0 W −p
0 W −p
Es claro que cualquier individuo está dispuesto a pagar algo por el seguro (mal que mal, es una promesa de un cheque en caso de accidente). Sin
embargo, para algunos valores de p el individuo no estaría dispuesto a
tomar el seguro aún cuando sea averso al riesgo y que éste le elimine todo el riesgo. La máxima prima que el individuo está dispuesto a pagar por
el seguro, que denotamos pmax, es aquella que lo deja indiferente entre
comprar no comprar el seguro; es decir, aquel valor depque satisface
π1u(W0) +π2u(W0−L) =u(W0 −p)
dife-rencia entre la riqueza inicial del individuo y aquel nivel de ingreso cierto que deja al individuo con exactamente el mismo nivel de utilidad espera-da que sin seguro. Dicho nivel de ingreso cierto es lo que se conoce como
el “equivalente cierto”, que denotaremos porEC.
2 c
1 c 0
W (Siniestro
ocurre)
Siniestro
no ocurre 0
W −L EC
0 max
W − p 2
c
1 c 0
W (Siniestro
ocurre)
Siniestro
no ocurre 0
W −L EC
0 max
W − p
Es importante notar que la máxima prima corresponde apmax=W0−EC
sólo en este caso particular, en que el seguro es de cobertura completa. Esto es así porque en el caso de cobertura completa, una vez contratado el seguro el nivel de ingreso que se obtiene es siempre el mismo, in-dependiente del estado de naturaleza, por lo que el ingreso después del seguro es cierto. Por ello en este caso tiene sentido comparar la utilidad sin seguro (con incertidumbre) con la utilidad que entrega un nivel de in-greso cierto (con seguro, sin incertidumbre). Sin embargo, en muchos casos de interés los seguros no ofrecen cobertura completa, sino sólo par-cial. Es claro que en estos casos debemos comparar la utilidad sin seguro (con incertidumbre), con la utilidad esperada con seguro, que sigue sien-do con incertidumbre. Por lo tanto, en este caso el equivalente cierto ya no cumple ningún rol en el cálculo de la máxima prima que el individuo está dispuesto a pagar. En el siguiente gráfico se presenta un seguro que
144 Aplicaciones asegurado. 2 c 1 c 0 W (Siniestro ocurre) Siniestro no ocurre 0
W −L EC
0 W − p 0
W − −p D 2 c 1 c 0 W (Siniestro ocurre) Siniestro no ocurre 0
W −L EC
0 W − p 0
W − −p D
En conclusión, la regla general es quepmaxes la prima que satisface:
π1u(W0) +π2u(W0−L) =π1u(W0−p) +π2u(W0−p−D)
Ahora consideremos otro caso un poco más general. Imaginemos que una compañía de seguros ofrece un seguro a este individuo, que en caso de
que ocurra el siniestro le devuelve un montoz (indemnización); cuando
z =Lse trata de un seguro de “cobertura completa”. La compañía cobra
q por cada peso de indemnización, de modo que la prima esp = qz. El
individuo puede escoger el montoz que desee comprar (aunque lo más
que puede pagar es z = W0−L
q ). Entonces, el problema de optimización
del individuo se puede escribir como:
max
{z} π1u(W0−qz) +π2u(W0−L+z−qz) (46)
La condición de primer orden es:
π1u0(c1) (−q) +π2u0(c2) (1−q) = 0
⇒π2u0(c2) (1−q) =π1qu0(c1)
⇒ π1u
0(c
1)
π2u0(c2)
= (1−q)
q (47)
de sustitución de mercado: a partir de la situación inicial sin seguro, el
precioqpor peso de indemnización define una restricción presupuestaria
entre consumo en estado 1 y consumo en estado 2, como se muestra en el gráfico.
2 c
1 c 0
W 0
W −L
1 q
q −
2 c
1 c 0
W 0
W −L
1 q
q −
Vemos que al pasar de la situación inicial a cualquier otro punto en la restricción tenemos:
dc2 = (w0−L)−(w0−L+z−qz) =−z(1−q)
dc1 = (w0)−(w0−qz) =qz
Luego, dc2 dc1 =−
(1−q)
q , de modo que laT M SM =
(1−q)
q .
Dado que estamos considerando un individuo averso al riesgo, las curvas de indiferencia son convexas, por lo que la CSO está asegurada.
Al analizar la condición que surge de la CPO, vemos que siq=π2,
obte-nemos como resultado que lo óptimo para este individuo es contratar un seguro tal quec1 =c2; es decir, un seguro de cobertura completa. Cuando la prima se obtiene deq =π2, es decir, cuando la prima es igual al gasto esperado para la compañía de seguros por concepto de pago de indem-nización, decimos que es una “prima actuarialmente justa”. Este concep-to se relaciona directamente con el concepconcep-to de juego jusconcep-to, ya que una
146 Aplicaciones
la propiedad de que todos tienen el mismo consumo esperado. Entonces, es una consecuencia natural de la definición de aversión al riesgo el que el individuo escoja el seguro de cobertura completa (lo que se puede
rein-terpretar como que rechaza todos los demás perfiles de consumo posibles,
que constituirían un juego justo).
En el caso en queq >π2(es decir, cuando la prima es mayor que el gasto
esperado), tenemos que en la línea de certezaT M SS > T M SM. Luego,
dada la convexidad de las curvas de indiferencia, es claro que el óptimo se da conz < L, es decir, con un seguro de cobertura incompleta.
Problemas de información y seguros.
Hay dos temas relacionados a los seguros que surgen de asimetrías en la información. El primero es el peligro de abuso (o riesgo moral, traduc-ciones de “moral hazard”), que tiene relación con el hecho que una vez contratado el seguro, los individuos pueden realizar o dejar de realizar ac-ciones que son difíciles de monitorear para la compañía de seguros (por esa razón, este tipo de asimetrías en la información se ha clasificado co-mo de “acción oculta”). El segundo es la selección adversa, que surge debido a que al momento de contratar el seguro el consumidor tiene (o puede tener) más información que la compañía de seguros, y no necesari-amente tiene los incentivos para revelerarla verazmente. Ambos
proble-mas dificultan la operación del mercado de seguros, como discutimos a
continuación.
Riesgo Moral Normalmente cuando se habla de riesgo moral en el
cuide la casa cuando está ausente, etc. El argumento en este caso es que ser más cuidadoso es costoso, y por lo tanto, si el seguro cubre la to-talidad de la pérdida en caso de ocurrencia del siniestro, disminuyen los incentivos a ser cuidadoso. En el caso de los seguros de salud, en gene-ral la acción oculta no tiene relación con el cuidado de la salud, sino con el monto de gasto que el seguro debe cubrir en caso de enfermedad o ac-cidente: si el individuo no paga nada de su bolsillo al momento de recibir las prestaciones de salud puesto que estos gastos están cubiertos por el
seguro, no va a comprar prestaciones hasta igualar el beneficio marginal
de la prestación con el precio de la prestación, sino hasta igualarlo a cero (porque el precio que él enfrenta al momento de la compra es nulo). En este caso se puede vizualizar fácilmente la (posible) pérdida social aso-ciada al riesgo moral: el individuo consume más prestaciones, pero no
porque el beneficio marginal de la prestación haya aumentado, ni porque
el costo marginal social haya caído, sino porque (artificialmente) el
in-dividuoenfrenta un menor costo marginal. Más aún, si la compañía de
seguros anticipa este mayor consumo, va a cobrar una prima más alta, por
lo que finalmente es el mismo consumidor el que pierde (pero no tiene
forma de comprometerse ex-ante a no aumentar su consumo).
Selección adversa Supongamos ahora que no existe riesgo moral. En
el caso de la selección adversa, el problema que se presenta es que los individuos tienen distinta probabilidad de ocurrencia del siniestro, y la compañía de seguros no puede distinguir entre ellos. Imaginemos el ca-so en que hay dos tipos de individuo: de alto riesgo (A) y de bajo riesgo
(B). SeaπA
2 ≡ pA la probabildad de ocurrencia del siniestro paraA, y
πB
2 ≡ pB la probabildad de ocurrencia del siniestro paraB. Vemos
en-tonces que si ponemos en un mismo gráfico las curvas de indiferencia de
148 Aplicaciones
del tipoB. Si la compañía pudiera distinguir entre los individuos de tipo
AyB, se podría alcanzar la situación con seguro de cobertura completa
sifijara primas actuarialmente justas para ambos tipos (las primas serían diferentes). Sin embargo, es claro que los individuos de alto riesgo
pre-fieren el contrato que se les ofrece a los de bajo riesgo, por lo que nunca tendrán incentivo a revelar verazmente su tipo. El contrato agrupador, en que se cobra la prima promedio, no es posible porque siempre hay incen-tivo para que surja una nueva compañía que ofrezca un plan distinto y que atraiga a los de bajo riesgo, por lo que la compañía antigua quiebra. El contrato separador es el único candidato a equilibrio (aunque también en algunos casos puede ser desplazado por otros contratos agrupadores, caso en que simplemente no hay equlibrio).
4.3.b
Carteras
Una segunda mirada al problema de la cartera entiende las decisiones de compra de activos no como la elección de un riesgo y una rentabilidad esperada, como se vio en el ejemplo del capítulo 1, sino como la elección indirecta de perfiles de consumo riesgoso.
Suponga que existen dos activos, A y B, con precios qA y qB, y dos
estados de la naturaleza (1 y 2, correspondientes a “lluvia” y no “lluvia”
si se quiere). Más aún, digamos que al activoA le va muy bien en el
primer estado, pagando $10, pero mal en el segundo, cuando paga $2; y que al activoB le va igual en ambos estados (esto es, es libre de riesgo),
pagando $5.
en-tonces el nivel de consumo que alcanza en cada estado es:
c1 = 10xA+ 5xB
c2 = 2xA+ 5xB
Por otro lado, si el inversionista dispone de $W para comprar en activos,
las carteras que puede comprar satisfacen:
qAxA+qBxB ≤W
Observe la similitud de este problema con el modelo de los atributos de Lancaster. Esencialmente, estamos diciendo que una cartera se juzga de acuerdo a sus atributos, esto es, de acuerdo al perfil de consumo contin-gente que genera. El problema del inversionista entonces está dado por:
max
{xA,xB}
π1u(c1) +π2u(c2)
s/a c1 = 10xA+ 5xB
c2 = 2xA+ 5xB
150 Capítulo 4: Ejercicios
E
JERCICIOS1. Juan trabaja en la empresa A, que le paga un sueldo fijo de $10.000
y un bono de $4.400 si logra cumplir sus metas de venta. Es decir, si logra las metas recibe un ingreso total de $14.400, y si no las logra, un ingreso de $10.000. La probabilidad de que cumpla las metas es p (probabilidad que él no puede modificar).
La función de utilidad de Juan, asociada al consumo en el estado de la
naturaleza i,es de la forma ui = √ci (donde ies un sub índice que
toma valor1si alcanza las metas y cero si no). El precio de la canasta
de consumocespc= 1.
a. La empresa le propone cambiar el contrato por uno en que sólo
paga un sueldofijo $12.100 (sin bono). Determine cómo debería
ser la probabilidad p para que el individuo acepte este cambio de contrato.
b. Suponga quep= 0.5. Ahora la empresa B ofrece a Juan un trabajo
que paga un sueldofijo de $16.900, pero es riesgoso en el sentido
de que puede tener un accidente que le obligaría a gastar (de su bolsillo) un monto $12.000 para recuperarse. La probabilidad de accidente es 0.4. ¿Acepta Juan esta oferta? (suponga que no puede comprar un seguro de accidente).
máxima prima que está dispuesto a pagar Juan por este seguro?
2. Suponga que las preferencias de Juan se pueden representar por: u=
(x1x2)
1
4, dondex
1 yx2 son bienes con preciosp1yp2.
a. Encuentre la función de utilidad indirecta de Juan.
b. Suponga que el ingreso inicial de Juan esI = 200, y quep2 = 1.
Juan puede escoger entre comprarx1 en dos lugares distintos:
i) si comprax1 en la calle 9 de Julio debe pagar un preciop1 = 34
pero existe una probabilidadπ = 0.4 de que lo asalten (antes de
poder comprar algo) y pierda una proporción 0 < α ≤ 1 de su
ingreso (es decir, su ingreso caiga a(1−α) 200);
ii) puede comprarx1 en una famosa tienda, donde debe pagar un
preciop1 = 1,pero la probabilidad de que lo asalten es cero.
¿Cuál es el máximoαque haría que Juan decidiera comprarx1 en
la calle? En su respuesta debe mostrar sus cálculos y explicar su razonamiento.
c. Discuta qué elementos deberían considerar los vendedores de la calle 9 de Julio para decidir si contratar guardias de seguridad que permitan disminuir la probabilidad de asalto a cero.
3. Robinson Crusoe vive solo en una isla. Su alimento son los cocos que producen las palmeras de la isla, sin costo para Robinson. La
función de utilidad es igual a√c1c2 donde c1 es el número de cocos
que consume en el primer año yc2es el número de cocos que consume
en el segundo año. Este año las palmeras produjeron 100 cocos. Él
estima que la probabilidad que el próximo año produzcan 100 cocos
es0,6y que la probabilidad que produzcan70cocos es0,4.
152
que se deterioren y que sirven para exactamente10cocos cada una (no
se pueden guardar menos de10cocos en una caja porque se echarían
todos a perder).
Se pide:
Determine si a Robinson le conviene guardar 0,10 ó 20cocos de la
cosecha de este año hasta el próximo año. Explique claramente su respuesta.
4. Don Juan, experto en Macroeconomía y Análisis de Coyuntura, cree que el año 2003 viene difícil. Él asigna las siguientes probabilidades a las distintas tasas de crecimiento del producto interno bruto.
T asa de Crecimiento(%) P robabilidad
0 0,5
2 0,4
3 0,1
Don Juan tiene una riqueza inicial de$100.000y su función de utilidad
es de la formaU =√WdondeW es su riquezafinal.
Suponga que una empresa ha decidido contratar a don Juan para que les dé una predicción de la tasa de crecimiento para el año 2003. El
in-forme dirá “la tasa de crecimiento para el año 2003 será dexpor
cien-to”, dondex puede tomar cualquier valor (incluso puede tener varios
decimales). El pago que recibirá por el informe será
P ago= 25.000−5.000(T C −x)2
dondeT C es la tasa de crecimiento efectiva.
A modo de ejemplo, si dicex= 1,5por ciento y la tasa de crecimiento
es de2por ciento, entonces recibiría
P ago = 25.000−5.000(2−1,5)2
Obviamente, el pago se haría una vez conocida la tasa de crecimiento efectiva del año 2003.
Se pide:
Plantee SIN RESOLVER un problema de optimización que
permi-ta obtener el valor de x que maximiza la utilidad de don Juan. El
planteamiento debe ser tal que el problema pueda ser resuelto con los métodos vistos en el curso.
5. Juan tiene un ingreso mensual de $500.000 y debe escoger una casa
para arrendar. Tiene dos alternativas posibles: una casa en el barrio A, u otra casa en el barrio B.
Ambas casas son idénticas, pero los barrios difieren en su seguridad:
en el barrio A la probabilidad que (un mes cualquiera) entren y le roben
$100.000 es p = 0.2; en el barrio B dicha probabilidad es cero (el
barrio B es totalmente seguro, nunca entran a robar).
La función de utilidad (bernoulli) de Juan esu=√w.
a. Si el arriendo de la casa en el barrio A cuesta $200.000
mensu-ales, ¿cuál es el máximo arriendo que Juan está dispuesto a pagar por la casa en el barrio B? Explique brevemente la intuición de su resultado.
b. Suponga ahora que si Juan arrienda la casa en el barrio A, puede contratar un servicio de vigilancia que reduce la probabilidad de robo a cero. Suponga que el arriendo de la casa en el barrio A
cuesta $200.000 mensuales, y el de la casa en el barrio B cuesta
más de$500.000mensuales.
154
completa (que le devolviera los$100.000 en caso de robo), si
no existiera el servicio de vigilancia?
ii Compare y relacione sus respuestas a la preguntaa)y a las dos
preguntas en(b)i.
c. Por último, suponga ahora que Juan puede contratar un seguro
eligiendo el monto de la indemnización z. El costo por peso de
indemnización esq = 0.3(es decir, la prima es 0.3z). Encuentre
cuál es el monto de indemnización óptimo para Juan. Explique por qué si el seguro fuera actuarialmente justo Juan querría contratar
z∗ = 100.000 (no es necesario demostrar, sino explicar la
intu-ición), y por qué en este caso (conq= 0.3) no es óptimo para Juan
contratar un seguro de cobertura completa. En su respuesta
supon-ga nuevamente que el arriendo de la casa B cuesta más de$500.000
mensuales.
6. Imagine dos pueblos A yB vecinos. Todos los años hay un huracán
en uno de estos dos pueblos, pero nunca en ambos al mismo tiempo.
En un año determinado, la probabilidad de que pase por el pueblo A
es0.5, y la probabilidad de que pase por el puebloB es0.5. Si no hay
huracán, la cosecha anual del pueblo (AoB) es de40.000unidades. Si
hay huracán, la cosecha se reduce a la cuarta parte (es sólo de10.000
unidades).
Las preferencias son iguales en ambos pueblos: la función de utilidad
bernoulli del consumidor del puebloAoBes de la formau=√c, con
c= consumo(son aversos al riesgo). La única fuente de consumo es
lo que se obtiene de la cosecha, que no es almacenable. Inicialmente ambos pueblos no están conectados (no saben de la existencia de sus vecinos).
firmar un contrato mediante el cual cada año después del paso del huracán, se junta la cosecha de ambos pueblos y divide el total
en partes iguales (25.000unidades para cada pueblo). ¿Aceptarán
firmar este contrato ambos pueblos?
b. Relacione su resultado ena)con la definición de un individuo
aver-so al riesgo de acuerdo a si acepta o no un juego justo (no basta con dar la definición; debe explicar cómo se aplica en este caso partic-ular, mostrando todos los cálculos que sean necesarios).
c. Explique en qué se parece este contrato a un seguro (explicando si se parece a un seguro de cobertura completa o incompleta). Imag-inando que el ingreso inicial es40.000y que la posible pérdida es
30.000 (de acuerdo a los datos del enunciado), indique cuál sería
