CAP4 3 2

Sistemas de referencia Cálculo del geoide / cuasigeoide

Drewes / Sánchez 4.3.2

Cálculo del geoide / cuasigeoide

Teorema de Bruns:

γ

= T

N

siendo: T : Potencial anómalo, γ : Gravedad teórica (elipsoide)

Potencial anómalo:

T = W - U = (V + Φ) - (u + Φ) = V - u

siendo: V : potencial gravitacional verdadero (Tierra)

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Potencial gravitacional verdadero (V)

Determinación a partir de mediciones de gravedad y perturbación de las órbitas satelitales

Representación mediante series de armónicos esféricos

(

)

θ

∑ ∑

= = θ

360 2 n n 0 m ) (cos nm nm nm n P m sen S m cos C r a 1 r GM ) , , r ( v siendo:

r, θ, λ: Coordenadas esféricas del punto de evaluación

GM : Constante gravitacional geocéntrica, G = 398 600,5 x109 m3/s2

a : Radio ecuatorial: a = 6 378 137 m

Cnm, Snm : Coeficientes del potencial: son determinados a partir de

las observaciones y dependen de la distribución interna de las masas terrestres, ellos están contenidos en los modelos geopotenciales globales, p. ej. EGM96

n : evaluación en latitutd m : evaluación en longitud

n, m > 0; n ≥ m

Pnm(cosθ) : Funciones de Legendre: definen el comportamiento de

la función armónica:

n 2 m n m n 2 m 2 n ) (cos

nm (cos 1)

) (cos d d ) cos 1 ( ! n 2 1

P θ−

θ θ

−

= + ₊

θ

m=0 ⇒ Polinomios de Legendre

n 2 n n n ) (cos

n (cos 1)

) (cos d d ! n 2 1

P θ−

θ =

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Expresiones armónicas

Combinación de senos y cosenos ⇒ Comportamiento repetitivo en intervalos iguales de tiempo

Forma general:

V = A0 + A1 cosθ + B1 sinθ + A2 cos2θ + B2 sin2θ +...

→ A0 : valor promedio de la función (constante, línea recta)

→ An cos (nθ) ; Bn sin (nθ) : Armónicos (desviaciones con respecto al

valor medio)

⇒ Factor trigonométrico (sin nθ; cos nθ): armónico, controla la frecuencia de oscilación (repetición)

⇒ Factor constante (A1, A2, ..., An): coeficiente, controla la amplitud

de la función

Ejemplo

V = 3 + 2 cos θ + 2 sin θ + 4 cos 2θ - sin 8θ

-4 -2 0 2 4 6 8 10

90° 180° 270° 360°

θ

V

V = 3 (valor promedio de la función)

-2 -1 0 1 2

90° 180° 270° 360°

θ V

V = 2 cos T

V = 2 sin T

-4 -2 0 2 4

90° 180° 270° 360°

θ

V V = 4 cos 2 T

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Representación gráfica de los armónicos esféricos

del potencial gravitacional terrestre

n = 0 n = 1

n = 2 n = 3

Sis

tem

as

de r

e

fe

renc

ia

Cálc

u

lo d

e

l

ge

oid

e

/ c

u

as

ige

o

id

e

Dr

ewes

/

Sánc

h

e

z

4.3.2

Modelo

del geo

ide p

o

r métodos satelitales

Sis

tem

as

de r

e

fe

renc

ia

Cálc

u

lo d

e

l

ge

oid

e

/ c

u

as

ige

o

id

e

Dr

ewes

/

Sánc

h

e

z

4.3.2

Modelo gra

v

itacional

de

la Tierra (EGM) por comb

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Potencial gravitacional teórico (u)

Generado por el elipsoide de referencia

⇒ Variación radial constante de densidad

⇒ Simetría rotacional

Representación mediante series de armónicos esféricos

              − =

∑

r, θ, λ: Coordenadas esféricas del punto de evaluación GM : Constante gravitacional geocéntrica,

G = 398 600,5 x109 m3/s2

a : Radio ecuatorial: a = 6 378 137 m

Jno: Coeficientes del potencial normal: son determinados a

partir de los parámetros del elipsoide de referencia

Valor de gravedad normal (

J

)

ϕ + ϕ ϕ γ + ϕ γ = γ 2 2 2 2 2 b 2 a o sin b cos a sin b cos a siendo:

ϕ : Latitud del punto de interés a : semieje mayor del elipsoide b : semieje menor del elipsoide

γa : Valor de gravedad normal en el ecuador

γb : Valor de gravedad normal en los polos

→ Geodetic Reference System, 1980 (GRS80)

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Determinación gravimétrica del potencial anómalo

Solución clásica

Problema de Stokes (1849)

Solución Moderna

Problema de Molodensky (1945)

Anomalías gravimétricas:

... R R

g g

g= _P − γ_Q = _P + _AL + _B +

∆

⇒ P: sobre el geoide

⇒ Q: sobre el elipsoide

Reducciones de la gravedad:

• Hipótesis sobre la distribución

interna de masas

• El gradiente vertical teórico no

verdadero

• Ninguna influencia de la

topografía

Potencial anómalo

( )

∫∫

π =

Tierra

d g S

R 4

1 T

Ondulaciones geoidales (Geoide)

N H h ; T

N = +

γ =

Anomalías gravimétricas:

Q P

g g = − γ

∆

⇒ P: sobre el terreno

⇒ Q: sobre el teluroide

Telluroide: Superficie cuyo potencial teórico en Q es igual al potencia real en P

Ninguna reducción, ninguna hipótesis

Potencial anómalo

( )

∫∫

∑

π =

= ∞

Tierra

1 0

k S ( g G )d

R 4

1 T

T

Alturas anómalas (Cuasigeoide)

ζ + = γ

=

Sis

tem

as

de r

e

fe

renc

ia

Cálc

u

lo d

e

l

ge

oid

e

/ c

u

as

ige

o

id

e

Dr

ewes

/

Sánc

h

e

z

4.3.2

Ejemplo de un

geoide y

un cu

asigeoide sobre la misma zona

Modelo Geoidal

Ge

oCol98

Modelo Cuas

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Diferencias entre el Geoide GeoCol98 y el

cuasigeoide GeoCol2001

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

→ Valor medio de la diferencia: - 0,39 m

→ Desviación estándar: ±0,42 m

→ Mínimo: -1,45 m

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Aspectos prácticos en la determinación

del geoide / cuasigeoide

1. Descomposición del potencial anómalo en componente global, componente local y componente topográfica (Técnica

Remove/Restore)

2. La componente global es calculada a partir de un modelo

geopotencial global, representa la influencia gravitacional de toda la Tierra en el área de estudio (p. ej. EGM96) (remove)

3. La componente topográfica es calculada a partir de un modelo digital de terreno y la ley de atracción gravitacional de Newton (remove)

4. La componente local es evaluada a partir de las anomalías

gravimétricas locales, no contenidas en el modelo global y depuradas por el efecto topográfico. Representa los rasgos característicos del área de estudio que fueron omitidos en el modelo global

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Ejemplo de la Técnica Remove / Restore

Componente Global

82° 81° 80° 79° 78° 77° 76° 75° 74° 73° 72° 71° 70° 69° 68° 67° 66° 5° 4° 3° 2° 1° 0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° Componente Local

82° 81° 80° 79° 78° 77° 76° 75° 74° 73° 72° 71° 70° 69° 68° 67° 66° 5° 4° 3° 2° 1° 0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15°

Influencia de la topografía

-8 2 -8 0 -7 8 -7 6 -7 4 -7 2 -7 0 -6 8 -6 6 LONGITUD -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 L A T I T U D

Modelo geoidal total

82° 81° 80° 79° 78° 77° 76° 75° 74° 73° 72° 71° 70° 69° 68° 67° 66°