MA 1111 Tercer Parcial 2005 Ene Mar pdf

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(1)Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo A1 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1.- (4 Puntos. c/u) Derive las siguientes funciones:. b) f ( x) = arc sen( xsen( x ) + 4 ). a) f ( x) = 3 tan 3 x 2 + 1. 2.- Sea la función a) b) c) d) e) f) g) h) i). f(x)=. x3 + 2 x. determine:. (2 Pts) Dominio (2 Pts) Intersecciones con los ejes (3 Pts) Asíntotas (2 Pts) Puntos críticos (3 Pts) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento (2 Pts) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos (2 Pts) Puntos de Inflexión (2 Pts) Concavidades (2 Pts) Elabore la grafica. 3.- (6 Puntos) Encontrar la recta tangente a la curva de ecuación x 2 + xy + 4 y 2 = 10 en el punto (2,1). 4.- (6 Puntos) Un hombre tiene 240 metros de cerco para circundar un área rectangular y dividirla en dos partes mediante una cerca paralela a uno de los lados. ¿Que dimensiones debe tener el rectángulo para que el área cercada sea máxima?.

(2) SOLUCIÓN. 1) a) f / ( x ) =. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). 2 x tan 2 x 2 sec 2 x 2 ( tag 3 x 2 + 1 ). b) f / ( x ) =. 2 3. Tipo A1. sen( x ) + x cos( x ) 1 − ( xsen( x ) + 4). 2. 2) a)Dominio: R-{0} b) No tiene intersecciones con el eje y Intersección con el eje x: 3 − 2 ,0 ≈ (− 1.3,0 ). (. ). c) Asíntotas: 1 3 lim + (x + 2) = ∞ x ⎯⎯→ 0 x. 1 (x 3 + 2) = −∞ x ⎯⎯→ 0 − x. lim. Por lo tanto x = 0 es una asíntota vertical No tiene asíntota horizontal, ni oblicua. d) Puntos Críticos: 2(x 3 − 1) , f ' (x ) = x2 crítico estacionario. f ' (x ) = 0. en x = 1 por lo tanto x = 1 es un punto. e) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento f ( x ) Crece en (1, ∞ ) y decrece en (− ∞ ,0 ) Υ ( 0,1). f) Extremos: puntos máximos y mínimos f (1) = 3 Es un valor mínimo (Criterio de la Primera Derivada). g) Puntos de inflexión 2(x 3 + 2) '' , f (x ) = x3 f " ( x ) = 0 si x 3 = −2. ⇒ x = 3 − 2 ≈ −1.3 Es un punto de inflexión. h) Concavidades f ( x ) es cóncava hacia arriba en (− ∞ ,−1.3)Υ (0, ∞ ) y cóncava hacia abajo (convexa) en (− 1.3,0 ).

(3) 3) 2 x + y +. dy dy x + 8y =0 dx dx. dy ( x + 8 y ) = −2 x − y dx dy 1 = − que es la pendiente de la dx 2 recta tangente a la curva x 2 + xy + 4 y 2 = 10 ,. Evaluando en el punto (2,1) se tiene que. así la ecuación de esta recta es. 4) 3a + 2b = 240 ⇒ a =. ( y − 1) = − 1 (x − 2) ⇒ 2 y + x − 4 = 0 2. 240 − 2b 3. f (b ) = b⎛⎜ 240 − 2 b ⎞⎟ 3 ⎠ ⎝ 3 f ' (b ) = 80 − 4 b 3 f ' (b ) = 0 ⇒ b = 60 ⇒ a = 40 f " (b ) = − 4 < 0 3 Por lo tanto, las dimensiones para que el área cercada sea máxima son 40*60.

(4) Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo A2 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1.- (4 Puntos. c/u) Derive las siguientes funciones:. a). f ( x) = 3 cos 3 x 3 + 1. 2.- Sea la función j) k) l) m) n) o) p) q) r). x3 + 1 f(x)= x. (. ). b) f ( x) = arc sen x 2 tan(7 x − 1) + 3 determine:. (2 Pts) Dominio (2 Pts) Intersecciones con los ejes (3 Pts) Asíntotas (3 Pts) Puntos críticos (2 Pts) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento (2 Pts) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos (2 Pts) Concavidades (2 Pts) Puntos de Inflexión (2 Pts) Elabore la grafica. 3.- (6 Puntos) Encontrar la recta tangente a la curva de ecuación x 2 + xy + 4 y 2 = 4 en el punto (2,0) 4.- (6 Puntos) Un hombre tiene 120 metros de cerco para circundar un área rectangular y dividirla en dos partes mediante una cerca paralela a uno de los lados. ¿Que dimensiones debe tener el rectángulo para que el área cercada sea máxima?.

(5) SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 Tipo A2 (40%). 2 2 3 3 1) a) f / ( x ) = − 3x cos x senx 2 (cos 3 x 3 + 1 ) 3. b) f / ( x ) =. 2 x tan( 7 x − 1 ) + 7 x 2 sec 2 ( 7 x − 1 ) 1 − ( x 2 tan( 7 x − 1 ) + 3 ) 2. 3) a)Dominio: R-{0} b) No tiene intersecciones con el eje y Punto intersección con el eje x: (− 1,0 ) c) Asíntotas: 1 3 lim + x + 1 = ∞ x ⎯⎯→ 0 x. (. ). lim. x ⎯⎯→ 0. −. (. ). 1 x 3 + 1 = −∞ x. ∴ x = 0 es una asíntota vertical No tiene asíntota horizontal, ni oblicua. d) Puntos Críticos: 3 f ' ( x ) = 2 x 2− 1 , x f ' ( x ) = 0 en x = 3 1 / 2 ≈ 0.793 estacionario. ⇒ x ≈ 0.793 es un punto crítico. e) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento f ( x ) Decrece en (− ∞ , 0 ) Υ ( 0 ; 0.79 ) y crece en (0.79 , ∞ ). f) Extremos: puntos máximos y mínimos f (0.793) = 1.88 es un valor mínimo ( Criterio de la Primera Derivada ). g ) Puntos de inflexión. (. ). 2 x3 + 1 , f " ( x ) = 0 si x 3 = −1 ⇒ x = 3 − 1 = −1 es un punto de 3 x inflexión f '' (x ) =. h) Concavidades f ( x ) es cóncava hacia arriba en (− ∞ ,−1)Υ (0, ∞ ) y cóncava hacia abajo (convexa) en (− 1,0 ).

(6) 3) 2x + y +. dy dy x + 8y =0 dx dx. dy (x + 8 y ) = −2 x − y dx. , dy = − 4 = −2 que es la pendiente de 2 dx 2 2 x + xy + 4 y = 4 ,. Evaluando en el punto (2,0) se tiene que la recta tangente a la curva. así la ecuación de esta recta es. 4) 3a + 2b = 120 ⇒ a =. y = −2( x − 2 ) ⇒ y + 2 x − 4 = 0. 120 − 2b 3. f (b ) = b⎛⎜ 120 − 2 b ⎞⎟ 3 ⎠ ⎝ 3 f ' (b ) = 40 − 4 b 3 ' f (b ) = 0 ⇒ b = 30 ⇒ a = 20 f " (b ) = − 4 < 0 3 Por lo tanto, las dimensiones para que el área cercada sea máxima son 20*30.

(7) Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo B1 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1.- (4 Puntos. c/u) Derive las siguientes funciones: a) f ( x) = arc sen tan 3 ( x 4 + 5) 2. 2.- Sea la función f ( x ) =. x 2 − 4x + 4 x −1. b) f ( x) = sen 3 (cos 7 x). determine:. s) (2 Pts) Dominio t) (2 Pts) Intersecciones con los ejes u) (3 Pts) Asíntotas v) (3 Pts) Puntos críticos w) (2 Pts) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento x) (2 Pts) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos y) (2 Pts) Concavidades z) (2 Pts) Puntos de Inflexión aa) (2 Pts) Elabore la gráfica. 3.-(6 Puntos) Encontrar la recta tangente a la curva de ecuación y 2 x 2 − 9 = − x 3 y 2 − 7 y en el punto (1,1). 4.- (6 Puntos) Hallar las dimensiones de un triangulo rectángulo de área máxima dada su hipotenusa h..

(8) SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 Tipo B1 (40%) 1. 1) a) f ( x ) = /. 12 x 3 ( x 4 + 5 )(tan( x 4 + 5 ) 2 ) 2 sec 2 ( x 4 + 5 ) 2. b) f / ( x ) = −. 1 − (tan( x 4 + 5 ) 2 ) 2 21 sen 7 x cos(cos 7 x ) sen 2 (cos 7 x ) 2 7x. 2) a) Dominio: R-{1} b)Intersecciones: (0, - 4); (2,0) c) Asíntotas: 1 ( x − 2 )2 = ∞ lim + x ⎯⎯→ 1 x − 1. lim. −. x ⎯⎯→ 1. 1 ( x − 2)2 = −∞ x −1. Por lo tanto x=1 es una asíntota vertical No tiene asuntota horizontal a = lim. x ⎯⎯→ ∞. +. f (x ) =1 ; x. b = lim ( f ( x ) − ax ) = −3 ; x →∞. Así y = x -3 es una asíntota oblicua d) Puntos críticos. x(x − 2) ⇒ f ' ( x ) = 0 en x = 0 y en x = 2 por lo tanto estos son los valores 2 (x − 1) críticos estacionarios de la función f ' (x ) =. e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. f ( x ) crece en (− ∞ ,0 ) y en ( 2 , ∞ ) . Decrece en (0,1) y en ( 1,2 ). f) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos f(0) = - 4 es un valor máximo y f(2) = 0 es un valor mínimo. g) Puntos de inflexión f " (x ) =. 2 si f " ( x ) ≠ 0 por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión (x − 1)2.

(9) h) Concavidades f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,1) y cóncava hacia arriba en (1, ∞). 3) y 2 x 2 − 9 = − x 3 y 2 − 7 y 2y. dy 2 dy dy x + y 2 2 x = −3x 2 y 2 − x 3 2 y − 7 dx dx dx. dy ( 2 yx 2 + 2 yx 3 + 7 ) = −3x 2 y 2 − 2 xy 2 dx dy − 3 x 2 y 2 − 2 xy 2 = dx ( 2 yx 2 + 2 yx 3 + 7 ). Evaluando en el punto (1,1) se tiene que la pendiente de la. recta tangente a la curva y 2 x 2 − 9 = − x 3 y 2 − 7 y en el punto (1,1) es m = − 5 11 Así la ecuación de la recta es ( y − 1) = − 5 ( x − 1) ⇒ 5 x + 11 y − 16 = 0 es la ecuación de 11 2 2 3 2 la recta tangente a y x − 9 = − x y − 7 y en (1,1).. 4) Área = (base * altura)/2 Sea a = altura, b=base y h = hipotenusa. Como es un triangulo rectángulo se cumple que h2 = b2 + a2 ⇒ b2 = h2 − a2 ⇒ b = h2 − a2. f (a) = f ' (a) =. h2 − a2 a = 2 a h 2 − 2a 2. (. 2 a (h − a. (. ). a2 h2 − a2 2. ) a (− 7 h + 6a ) f " (a) = 4(h − a ) 2. 2. 2. 2. 2. ). ⇒ f ' (a ) = 0 si a = 0 ó a =. h. 2. 2. 3 2 2. ⎛ h ⎞ −h f "⎜ < 0 por lo tanto el rectángulo de área máxima es aquel que tiene ⎟= 24 ⎝ 2⎠ h h y b= catetos iguales a a = 2 2.

(10) Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo B2 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1.- (4 Puntos c/u) Derive las siguientes funciones: a) f ( x) = cos(tag ( x 7 )) 2.- Sea la función. f(x)=. b) arcSen ( Sec( x 7 + 2)) x 2 + 4x + 4 x +1. determine:. bb) (2 Pts) Dominio cc) (2 Pts) Intersecciones con los ejes dd) (3 Pts) Asíntotas ee) (3 Pts) Puntos críticos ff) (2 Pts) Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento gg) (2 Pts) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos hh) (2 Pts) Concavidades ii) (2 Pts) Puntos de Inflexión jj) (2 Pts) Elabore la grafica. 3.- (6 Puntos) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y 2 + 1 = x 3 + 2 xy en el punto (1,2). 4.- (6 Puntos) Hallar un triangulo rectángulo de área máxima dada su hipotenusa, 2.

(11) SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 Tipo B2 (40%). 1) a). ( ( x ))sec ( x )7 x 7. sen tag. 2. 7. 6. 2 x7. b) f / ( x ) =. 7 x 6 Sec( x 7 + 2 )Tag ( x 7 + 2 ) 1 − Sec 2 ( x 7 + 2 ). 2) a) Dominio: R-{-1} b) Intersecciones: (0,4); (-2,0) c) Asíntotas:. lim. +. x⎯ ⎯→ −1. 1 ( x + 2)2 = ∞ x −1. lim. x ⎯⎯→ −1−. 1 ( x + 2)2 = −∞ x −1. Por lo tanto x= -1 es una asíntota vertical No tiene asuntota horizontal f (x ) = 1 ; b = lim ( f ( x ) − ax ) = 3 ; a = lim x x →∞ x ⎯⎯→ ∞ + Así y = x +3 es una asíntota oblicua d) Puntos críticos x( x + 2 ) ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ x = 0, x = −2 (x − 1)2 e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. f ( x ) crece en (− ∞ ,−2 )Υ (0 , ∞ ) y decrece en (-2,0) f ' (x ) =. f) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos f (-2) es un máximo y f (0) es un mínimo. g) Puntos de inflexión f " (x ) =. 2 si f " ( x ) ≠ 0 por lo tanto no hay puntos de inflexión (x + 1)3. h) Concavidades f (x) es cóncava hacia abajo en (−∞,−1) y decrece en (−1, ∞).

(12) 3) y 2 + 1 = x 3 + 2 xy 2y. ∂y ∂y = 3x 2 + 2 y + 2 x ∂x ∂x. ∂y ( 2 y − 2 x ) = 3x 2 + 2 y ∂x ∂y 3 x 2 + 2 y = ∂x 2 y − 2 x. y. se tiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en x = 1. y = 2 es m = 7 2. Así la ecuación de la recta tangente a la curva dada es ( y − 2) = 7 (x − 1) ⇒ 7 x − 2 y − 3 = 0 en el punto (1,2). 2. 4) Área = (base * altura)/2 Sea a = altura, b=base y h = hipotenusa. Como es un triangulo rectángulo se cumple que h2 = b2 + a2 ⇒ b2 = h2 − a2 ⇒ b = h2 − a2. a 2 (h 2 − a 2 ) h2 − a2 a = 2 2 2 2 h a(h − 2a ) f ' (a) = ⇒ f ' (a ) = 0 si a = 0 ó a = 2 2 2 2 2 a (h − a ). f (a) =. f " (a) =. (. a − 7 h 2 + 6a 2. (. 4 h2 − a. ). ). 3 2 2. ⎛ h ⎞ −h f "⎜ < 0 por lo tanto el rectángulo de área máxima es aquel que tiene ⎟= 24 ⎝ 2⎠ h h y b= donde h =2, por lo tanto a = 2 y b = 2 catetos iguales a a = 2 2.

(13) Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo C1 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1. (4 ptos. c/u) Derive las siguientes funciones: a) f ( x ) = arc sen ( 1 + 5 sen ( 1 + x 2 ) 2 2. Sea la función f ( x ) = x − 2 x + 1 x +1. b) f ( x) = sen ( sen ( sen x 2 )). Determine:. a) (2 pto.) Dominio b) (2 pto.) Intersecciones con los ejes c) (2 ptos.) Asíntotas d) (2 ptos.) Puntos Críticos e) (3 pto.) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento f) (2 ptos) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos g) (2 ptos.) Concavidades h) (2 ptos.) Puntos de Inflexión i) (3 ptos.) Elabore la gráfica. dy , si y = f ( x ) es derivable y está definida implícitamente por dx la ecuación − 7 x 2 y 3 = Cos( x + y ). 3. (6 Puntos). Hallar. 4. ( 6 puntos). Muestre que entre todos los rectángulos que tienen un perímetro dado, el cuadrado es el de área máxima..

(14) SOLUCIÓN. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Tipo C1. 1.-Derive las siguientes funciones: a) f ( x ) = arc sen (. 1 + 5 sen (1 + x 2 ). b) f ( x) = sen ( sen ( sen x 2 )) ( 4 ptos.c/u) 1. 1 ( 1 + 5 sen ( 1 + x 2 )− 2 .( 5 cos( 1 + x 2 ).2 x ′ ( 1 + 5 sen ( 1 + x ) = 2 f ′( x ) = 2 2 5 sen ( 1 + x 2 ) 1 − ( 1 + 5 sen ( 1 + x ) 2. a). =. 5 x cos(1 + x 2 ) 5 sen (1 + x 2 ) (. 1 + 5 sen (1 + x 2 ). b) f / ( x) = 2 x cos x 2 cos( sen x 2 ) cos( sen( sen x 2 )). 2 2.- Sea la función f ( x ) = x − 2 x + 1 x +1. Determine:. a) (1 punto) Dominio de la función {∀x ∈ ℜ / x ≠ −1}. b) (1 punto.) Intersecciones con los ejes Los puntos ( 1,0) y (0,1) c) (2 puntos.) Asíntotas Asíntota Vertical x = −1 Asíntotas Oblicuas 2 f(x) lim = lim x −2 2 x + 1 = 1 = m x →∞ x → +∞ x x +x 2 2 lim f ( x ) − x = lim x − 2 x + 1 − x − x = lim − 3 x + 1 = −3 x →∞ x → +∞ x →∞ x +1 x +1. Por lo tanto y = x − 3 es una Asíntota Oblicua..

(15) d) (2 puntos.) Puntos Críticos: f ′( x ) =. ( 2 x − 2 )( x + 1 ) − ( x 2 − 2 x + 1 ) x 2 + 2 x − 3 ( x − 1 )( x + 3 ) = = ( x + 1 )2 ( x + 1 )2 ( x + 1 )2. Puntos Críticos Estacionarios x = 1. y x = −3. e) (2 puntos.) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento f ′( x ) =. ( x − 1 )( x + 3 ) ( x + 1 )2. La función f Crece en ( −∞ ,−3 ) y en ( 1,+∞ ) . Decrece ( −3,−1 ) y en ( −1 ,1 ) g) . ( 2 puntos) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos Como f ′( −3 ) = 0 y f ′′( −3 ) < 0 ; f ′( 1 ) = 0 y f ′′( 1 ) > 0 por el Criterio de la Segunda Derivada la función adquiere un máximo en el punto (-3,-8) y un mínimo en el punto (1,0) h ) ( 2 puntos) Puntos de inflexión. ( 2 x + 2 )( x + 1 ) 2 − ( x 2 + 2 x − 3 )( 2( x + 1 ) 8 f ′′( x ) = = ( x + 1 )4 ( x + 1 )3 f ′′( x ) ≠ 0 No existen puntos de inflexión j) (2 puntos) Concavidades 8 f ′′( x ) = ( x + 1 )3. La función f ( x ) es cóncava hacia abajo en el intervalo ( −∞ ,−1 ) y es Cóncava hacia arriba en el intervalo ( −1,+∞ ). k) (2 puntos) Elabore la gráfica. 3. Se tiene que − 7 x 2 y 3 = Cos( x + y ).

(16) − 14 xy 3 − 7 x 2 3 y 2. 14 xy 3 + 21x 2 y 2. dy dy = −(1 + ) Sen( x + y ) dx dx. dy dy Sen( x + y ) = Sen( x + y ) + dx dx. dy ( Sen( x + y ) − 21x 2 y 2 ) = 14 xy 3 − Sen( x + y ) dx dy 14 xy 3 − Sen( x + y ) = dx Sen( x + y ) − 21x 2 y 2 (6 Puntos). 4.- Muestre que entre todos los rectángulos que tienen un perímetro dado, el cuadrado es el de área máxima. ( 6 puntos) Sean x e y las dimensiones del rectángulo, P el perímetro y A el área. El perímetro de un rectángulo viene dado por P = 2x + 2y. P = 2x + 2y. dA = P − 4x ; dx 2. y = P − 2x ; 2. ;. Si. A = xy ,. A=. y el área. A = xy. x( P − 2 x ) Px − 2 x 2 = 2 2. dA = 0 ⇒ x = P (Valor crítico) dx 4. Reemplazando en 2x + 2y = P se tiene. y = P Por lo tanto el rectángulo es un 4. cuadrado.. d 2 A = − 4 = − 2 < 0 Por lo que x = P 2 4 d 2x. es un máximo local..

(17) Universidad Simón Bolívar. Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. MA-1111.Tipo C2 Nombre:. Carnet. Sección:. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.. 1. (4 ptos. c/u). Derive las siguientes funciones:. a) f ( x ) = arc tan (. 1 + 5 sen ( 1 − x 2 ) ). 2 2. Sea la función f ( x ) = x − 2 x + 1 x +1. b ) f ( x) = cos (cos (cos x 2 )) Determine:. a) (2 pto.) Dominio b) (2 pto.) Intersecciones con los ejes c) (2 ptos.) Asíntotas d) (2 ptos.) Puntos Críticos e) (3 pto.) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento f) (2 ptos) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos g) (2 ptos.) Concavidades h) (2 ptos.) Puntos de Inflexión i) (3 ptos.) Elabore la gráfica.. dy , si y = f ( x ) es derivable y está definida implícitamente por dx la ecuación − 4 x 3 y 2 = sen( x + y ). 3. (6 Puntos). Hallar. 4. ( 6 puntos). Muestre que entre todos los rectángulos de área dada el cuadrado es el de perímetro mínimo..

(18) SOLUCIÓN. TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%). Tipo C2. 1.-Derive las siguientes funciones:. 1. − 1 2 2 + sen − x ( 1 5 ( 1 ) .(−5 cos(1 − x 2 ).2 x ′ ( 1 + 5 sen (1 − x ) 2 f ′( x) = = 2 + 5 sen (1 − x 2 ) 1 + ( 1 + 5 sen (1 − x 2 ) ) 2 2. a). ( −5 x cos( 1 − x 2 ) 1 + 5 sen ( 1 − x 2 ) ( 2 + 5 sen ( 1 − x 2 )). b) f / ( x) = −2 x sen x 2 sen (cos x 2 ) sen(cos(cos x 2 ). 2 2.- Sea la función f ( x ) = x − 2 x + 1 x +1. Determine:. f) (2 punto) Dominio de la función {∀x ∈ ℜ / x ≠ −1}. g) (2 punto.) Intersecciones con los ejes Los puntos ( 1,0) y (0,1) h) (2 puntos.) Asíntotas Asíntota Vertical x = −1 Asíntotas Oblicuas. f(x) = lim x −2 2 x + 1 = 1 = m x → +∞ x x +x 2. lim. x →∞. 2 2 lim f ( x ) − x = lim x − 2 x + 1 − x − x = lim − 3 x + 1 = −3 x →∞ x → +∞ x →∞ x +1 x +1. Por lo tanto y = x − 3 es una Asíntota Oblicua..

(19) i) (2 puntos.) Puntos Críticos:. f ′( x ) =. ( 2 x − 2 )( x + 1 ) − ( x 2 − 2 x + 1 ) x 2 + 2 x − 3 ( x − 1 )( x + 3 ) = = ( x + 1 )2 ( x + 1 )2 ( x + 1 )2. Puntos Críticos Estacionarios x = 1. y x = −3. j) (3 puntos.) Intervalos de Crecimiento o Decrecimiento. f ′( x ) =. ( x − 1 )( x + 3 ) ( x + 1 )2. La función f Crece en ( −∞ ,−3 ) y en ( 1,+∞ ) . Decrece ( −3,−1 ) y en ( −1 ,1 ) g) . ( 2 puntos) Extremos: Puntos Máximos y Mínimos Como f ′( −3 ) = 0 y f ′′( −3 ) < 0 ; f ′( 1 ) = 0 y f ′′( 1 ) > 0 por el Criterio de la Segunda Derivada la función adquiere un máximo en el punto (-3,-1) y un mínimo en el punto (1,0) h ) ( 2 puntos) Puntos de inflexión. ( 2 x + 2 )( x + 1 ) 2 − ( x 2 + 2 x − 3 )( 2( x + 1 ) 8 f ′′( x ) = = 4 ( x + 1) ( x + 1 )3. f ′′( x ) ≠ 0 No existen puntos de inflexión l) (2 puntos) Concavidades 8 f ′′( x ) = ( x + 1 )3. La función f ( x ) es cóncava hacia abajo en el intervalo ( −∞ ,−1 ) y es Cóncava hacia arriba en el intervalo ( −1,+∞ ). m) (3 puntos) Elabore la gráfica. 3. Se tiene que − 4 x 3 y 2 = Sen( x + y ).

(20) − 12 x 2 y 2 − 4 x 3 2 y. dy dy = (1 + )Cos ( x + y ) dx dx. − 12 x 2 y 2 − 4 x 3 2 y. dy dy = Cos ( x + y ) + Cos ( x + y ) dx dx. dy (Cos ( x + y ) + 8 x 3 y ) = −12 x 2 y 2 − Cos ( x + y ) dx dy − 12 x 2 y 2 − Cos ( x + y ) = dx Cos ( x + y ) + 8 x 3 y (6 puntos). 4.-Muestre que entre todos los rectángulos de área dada el cuadrado es el de perímetro mínimo. (6 puntos) Sean x e y las dimensiones del rectángulo, P el perímetro y A el área. El perímetro de un rectángulo viene dado por P = 2x + 2y ( con A fijo y P variable).. y el área. A = xy. ⇒ x= A. este es. y = A ⇒ P = 2 x + 2. A x x. dP = 2 − 2 A ; dx x2 un. Si dP = 0 dx. se obtiene que x 2 = A. valor crítico.. y= A= A = x A. A. Por lo tanto el rectángulo es un cuadrado.. d 2P = 4A > 0 d 2x x2. Por lo que. x=. A. es un valor mínimo..

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