Estrategia de control de altura para vehículo autónomo tipo Quadcopter

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA Estrategia de control de altura para vehículo autónomo tipo Quadcopter Autor: Luis Enrique Chinea Mujica.. Tutor: M.Sc. Delvis García García.. Santa Clara 2017 “Año 59 de la Revolución".

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA Estrategia de control de altura para vehículo autónomo tipo Quadcopter Autor: Luis Enrique Chinea Mujica e-mail: [email protected]. Tutor: M.Sc. Delvis García García e-mail: [email protected]. Santa Clara 2017 “Año 59 de la Revolución".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) PENSAMIENTO. “Es más fácil viajar en un avión, incluso pilotarlo, que entender por qué puede volar” John von Neumann.. i.

(5) DEDICATORIA. A mi mamá.. ii.

(6) AGRADECIMIENTOS. A todos los que tuvieron que ver de una forma u otra en la realización de esta tesis.. iii.

(7) RESUMEN Actualmente los vehículos aéreos no tripulados, en particular los multirotores se vienen empleando cada vez más en aplicaciones relacionadas con la agricultura de precisión. Esto se debe a la posibilidad que los mismos presentan para realizar un vuelo estable y poder realizar la supervisión de determinadas zonas de interés, llevando a cabo toma de imágenes a color de alta calidad, imágenes multiespectrales, térmicas, entre otras. Es necesario poder contar con una estrategia de control de altura eficiente para este tipo de aplicaciones, con el objetivo de reducir los errores en las imágenes. En este trabajo se propone un algoritmo de control de altura sencillo desde el punto de vista computacional, que ofrece buenos resultados en la respuesta transitoria hacia el valor deseado y ante perturbaciones. El algoritmo fue validado mediante simulaciones en la herramienta Simulink del Matlab. Adicionalmente se describe los aspectos a tener en cuenta para una adecuada sintonía del controlador. Dadas la ventajas que ofrece este tipo de control se propone el mismo para ser evaluado sobre un medio real.. iv.

(8) TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TABLA DE CONTENIDOS .................................................................................................. v INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1 CAPÍTULO 1.. ESTUDIO DE ESTRATEGIAS DE CONTROL DE ALTURA PARA. VEHÍCULOS TIPO QUADCOPTER. ................................................................................... 5 1.1. Introducción ............................................................................................................. 5. 1.2. Elementos de hardware en vehículos multirrotor..................................................... 5. 1.2.1. Marco rígido o cuerpo del vehículo .................................................................. 5. 1.2.2. Motores ............................................................................................................. 6. 1.2.3. Fuente de alimentación de energía.................................................................... 7. 1.2.4. Unidad de medida inercial ................................................................................ 8. 1.2.5. Hélices .............................................................................................................. 9. 1.2.6. Controlador de velocidad electrónico ............................................................... 9. 1.2.7. Transmisor y receptor ..................................................................................... 10. 1.3. Maniobrabilidad y sistemas de referencia .............................................................. 11. 1.3.1. Configuración “X” .......................................................................................... 11. 1.3.2. Configuración en “+” ...................................................................................... 12. 1.3.3. Sistemas de referencia empleados .................................................................. 14. 1.4. Estudio de proyectos de autopiloto de código abierto ........................................... 14. 1.5. Principales estrategias de control reportadas en la literatura. ................................ 19 v.

(9) 1.5.1. Control PID. .................................................................................................... 19. 1.5.2. Estrategias avanzadas de control. ................................................................... 20. 1.6. Consideraciones finales del capítulo. ..................................................................... 22. CAPÍTULO 2.. ESTRATEGIA PARA EL CONTROL DE ALTURA. .......................... 23. 2.1. Introducción. .......................................................................................................... 23. 2.2. Modelo no lineal del vehículo. ............................................................................... 23. 2.2.1. Ecuación de estado de la velocidad angular. .................................................. 26. 2.2.2. Ecuación de estado de la velocidad lineal. ..................................................... 27. 2.2.3. Ecuación de estado de la posición. ................................................................. 27. 2.3. Modelo lineal. ........................................................................................................ 28. 2.4. Modelo lineal reducido para el diseño del control de altura. ................................. 30. 2.5. Diseño del controlador LQR. .............................................................................. 31. 2.5.1. Condiciones necesarias para la implementación del control LQR. ................. 32. 2.5.2. Selección de las matrices Q y R. .................................................................... 32. 2.5.3. Obtención de la matriz de ganancia óptima K(t). ........................................... 33. 2.6. Controlador LQR con entrada de referencia. ......................................................... 33. 2.7. Conclusiones finales del capítulo. .......................................................................... 34. CAPÍTULO 3.. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ............................................................. 35. 3.1. Introducción ........................................................................................................... 35. 3.2. Condiciones a cumplir para el diseño de un controlador LQR............................... 35. 3.3. Evaluación del controlador LQR sin entrada de referencia .................................... 36. 3.3.1. Respuesta del sistema sin entradas perturbadoras .......................................... 36. 3.3.2. Respuesta ante entrada perturbadora .............................................................. 37. 3.4. Evaluación del controlador LQR con entrada de referencia................................... 38 vi.

(10) 3.4.1. Respuesta del sistema ante entrada de referencia ........................................... 39. 3.4.2. Respuesta del sistema ante entrada perturbadora ........................................... 40. 3.5. Efectos de Q y R en la respuesta del sistema ........................................................ 41. 3.5.1. Variación de Q con R constante ...................................................................... 42. 3.5.2. Variación de R con Q constante ...................................................................... 43. 3.5.3. Resultados ....................................................................................................... 45. 3.6. Valoración económica relacionada con el proyecto............................................... 46. 3.7. Análisis medioambiental. ....................................................................................... 47. 3.8. Conclusiones finales del capítulo. .......................................................................... 48. CONCLUSIONES. ............................................................................................................... 49 RECOMENDACIONES. ...................................................................................................... 50 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 51 ANEXOS .............................................................................................................................. 55 Anexo 1. Diagrama en Simulink del algoritmo de control óptimo LQR ........................ 55. Anexo 2. Diagrama en Simulink del algoritmo de control LQR con entrada de. referencia 55. vii.

(11) Introducción. INTRODUCCIÓN. En las últimas décadas el uso de vehículos aéreos no tripulados se ha incrementado debido al surgimiento de sensores más precisos y microcontroladores de mayor potencia de cómputo con menor consumo energético, permitiendo mejoras en los sistemas de control. Un UAV (por su siglas en inglés, unmanned aerial vehicle), o vehículo aéreo no tripulado, es aquel vehículo aéreo capaz de operar de manera autónoma durante el cumplimiento de misiones, sin que sea necesario ser piloteado constantemente por el operador (Argentim y col., 2013). El Quadcopter o Quadrotor, es un tipo de UAV que cuenta con cuatro rotores para su sostén y su propulsión. Son capaces de realizar el vuelo estacionario, despegue y aterrizaje vertical, navegación guiada mediante una emisora de radio-control y navegación de forma autónoma mediante sensores de distancia. Estos son utilizados en la robótica en numerosas aplicaciones, tales como: vigilancia de instalaciones, acceso a zonas de riesgo, búsqueda y rescate en desastres naturales, realización de mapas de terreno y captación de imágenes aéreas (Avendaño y col., 2015; Patel y Barve, 2014). En la esfera de la docencia también son utilizados pues integran una gran diversidad de áreas de conocimiento como mecánica (momentos de inercia, matrices de rotación, ángulos de Euler), matemática aplicada (cuaterniones), electrónica de potencia (controladores electrónicos de velocidad) y automatización (control del vehículo), (Beltrán y col., 2011; Sevilla, 2014). Existen varios métodos para el control de estos vehículos en la literatura debido a que su modelo matemático es multivariables y no lineal (Sevilla, 2014). Entre las estrategias de control que se destacan se encuentran: regulador Proporcional Integral Derivativo (PID), controladores por realimentación de estados y su versión sofisticada Regulador Lineal Cuadrático (LQR), controladores H∞, control predictivo, PID fusionado con lógica difusa, control adaptativo, control no lineal, entre otros. 1.

(12) Introducción. Las universidades, instituciones científicas y contribuyentes de todo el mundo han realizado investigaciones para aumentar las potencialidades de este tipo de vehículos debido a su bajo costo de producción y la amplia gama de aplicaciones. Un ejemplo de ello son los principales proyectos autopilotos de código abierto que se encuentran actualmente en desarrollo: Arducopter, basado en la plataforma Arduino; Openpilot y Multiwii llevados a cabo por RC hobbyists (Lim y col., 2012); Paparazzi es un sistema autopiloto de bajo costo desarrollado por el equipo Paparazzi en la Universidad ENAC (Escuela Nacional de la Aviación Civil francesa) (Brisset y col., 2006); Pixhawk, incorpora algoritmos de visión computarizada desarrollado por el grupo de visión computarizada de ETHZ (Instituto Federal de Tecnología de Zúrich) (Meier, 2011); Mikrokopter desarrollado por una filial de HiSystems GmbH (Lim y col., 2012). El Departamento de Automática y Sistemas Computacionales de la Facultad de Ingeniería Eléctrica en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas ha adquirido el hardware necesario que integra un Quadcopter, con el objetivo de desarrollar investigaciones acerca de estos vehículos y sus posibles aplicaciones en nuestro país. Actualmente se utiliza en la agricultura, para la toma de imágenes aéreas y su posterior análisis, con el propósito de detectar las zonas específicas en las plantaciones de caña de azúcar que presentan enfermedades. Situación del problema: El desarrollo de sistemas de control para este tipo de vehículos es una tarea difícil debido principalmente a la dinámica tan compleja inherente en los sistemas aerodinámicos, los cuales son multivariables y presentan diversas características no lineales. El presente trabajo se centra en la evaluación de una estrategia de control de altura que genere una respuesta transitoria adecuada. Una vez planteado el problema científico de la investigación, se establece el objetivo general siguiente.. 2.

(13) Introducción. Objetivo general: . Evaluar mediante simulación una estrategia de control de altura para vehículos aéreos tipo Quadcopter.. Para darle cumplimiento a este objetivo general se plantean los siguientes objetivos específicos. Objetivos específicos: . Realizar una revisión bibliográfica relacionada con el control de este tipo de vehículos en el plano vertical.. . Seleccionar una estrategia de control de altura, partiendo de las más utilizadas en la literatura consultada.. . Evaluar mediante simulación la estrategia de control seleccionada.. . Analizar el desempeño y las posibilidades de implementación real de la estrategia evaluada.. Tareas de investigación: . Revisión y análisis de la literatura vinculada con la problemática a resolver.. . Selección de un método de control de altura fiable y de su metodología de diseño.. . Implementación en Matlab/Simulink de la estrategia seleccionada.. . Simulación y validación de los resultados alcanzados con la estrategia de control evaluada.. . Elaboración del informe final de la investigación en donde se reflejen los resultados obtenidos, con la calidad y los parámetros establecidos por el departamento.. Con la realización de este trabajo de diploma se pretende proponer una estrategia para el control de altura de vehículos multirrotor, particularmente en configuraciones tipo Quadcopter. La propuesta tendrá como base un estudio de varias estrategias de control reportadas en la literatura y los resultados que arrojen las pruebas de simulación que se realicen. La finalidad será poder contar con un control alternativo al ya implementado, el cual brinde una respuesta transitoria adecuada en términos de seguimiento de señal de entrada y respuesta ante perturbaciones.. 3.

(14) Introducción. La estrategia de control seleccionada tendrá total aplicabilidad en los vehículos mencionados y cuyos resultados pueden ser extensibles a otras plataformas y aplicaciones. Para el GARP y los proyectos actuales de fotogrametría aérea relacionados con la agricultura, resulta de suma importancia disponer de una estrategia de control que pueda ser aplicable a los medios que utiliza, así como deben ser viables para las entidades al mismo tiempo. En relación con las empresas y organismos que requieren de estos servicios, resulta factible el hecho de poder llevar a cabo proyectos con entidades nacionales y con tecnología adquirible a precios relativamente bajos en comparación con empresas internacionales que brindan estos servicios a costos muy elevados. El presente informe de investigación se estructura de la forma siguiente: resumen; seguido por una introducción general, donde en lo esencial se caracteriza y se fundamenta la situación de la investigación y los objetivos. Luego los capítulos y finalmente las conclusiones y recomendaciones del trabajo. A continuación se muestra una síntesis de lo abordado en cada capítulo: Capítulo 1: Se realiza un análisis de la bibliografía consultada sobre las características fundamentales de los vehículos aéreos no tripulados, en especial de tipo Quadcopter. Se describen los principales proyectos de autopiloto de código abierto disponibles para fines investigativos. Finalmente se abordan las principales estrategias para el control de estos medios, con énfasis en las ventajas e inconvenientes de cada una. Capítulo 2: Primeramente se describen los sistemas de coordenadas y notación empleadas para representar el vehículo. Luego se realiza la descripción teórica para el desarrollo de la estrategia de control de altura seleccionada; el Regulador Lineal Cuadrático a partir de la revisión bibliográfica del capítulo anterior. Capítulo 3: Se muestra finalmente el diseño del controlador de altura basado en LQR con entrada de referencia, partiendo de los modelos definidos en el capítulo anterior. Posteriormente se analiza el desempeño de esta estrategia mediante simulación en Matlab y se discuten algunos aspectos prácticos relacionados con el rechazo a perturbaciones y ajuste del mismo.. 4.

(15) Capítulo 1. CAPÍTULO 1. ESTUDIO DE ESTRATEGIAS DE CONTROL DE ALTURA PARA VEHÍCULOS TIPO QUADCOPTER.. 1.1 Introducción En el presente capítulo se hace un análisis de la literatura científica consultada sobre los aspectos fundamentales de los vehículos aéreos no tripulados tipo Quadcopter. Primeramente se exponen los elementos de hardware que lo componen. Luego, se explica los sistemas de referencia que se utilizan para modelar la aeronave a través de las ecuaciones de la cinemática del sólido rígido, y cómo logran desplazarse en los tres ejes del espacio según las configuraciones de los motores. Se realiza un estudio de los principales proyectos autopilotos de código abierto que se encuentran en desarrollo. Por último, se realiza una revisión bibliográfica sobre las estrategias de control puestas en práctica en los últimos años para este tipo de vehículos. 1.2 Elementos de hardware en vehículos multirrotor Un aspecto muy importante en el desempeño de los Quadrotores para cada aplicación en específico es la correcta selección de los componentes de hardware que lo integran. La descripción de cada uno de ellos se muestra en los subepígrafes siguientes. 1.2.1. Marco rígido o cuerpo del vehículo. Una de las partes más importantes para el vuelo estable de un cuadricóptero es el marco rígido (figura 1.1). Este está compuesto por tres partes bien definidas (puede ser una única pieza): una placa central donde se colocan todos los elementos electrónicos (controlador de vuelo, sensores); cuatro brazos unidos a la placa central soportan los sistemas de propulsión o rotores, donde la longitud de los brazos normalmente está relacionada con el tamaño de las 5.

(16) Capítulo 1. hélices, de forma que se garantice el giro de las mismas sin obstrucciones de los componentes electrónicos; y cuatro soportes para los motores posicionados en los extremos de cada brazo (Beltrán y col., 2011). Existen muchas posibilidades a la hora de elegir el marco, respecto al material, tamaño, y forma del mismo. Para ello, es necesario tomar en cuenta criterios como el peso, la aerodinámica y el precio. En cuanto al peso, está claro que un material demasiado pesado sería negativo puesto que tendríamos que aumentar la fuerza para lograr la misma propulsión. Por otro lado, si elegimos un material demasiado ligero corremos el riesgo de que este sea demasiado frágil. También hay que tener en cuenta que una mayor flexibilidad del cuadricóptero evitará posibles daños en su estructura en caso de caída. El ejemplo perfecto de material ligero, duro y flexible es la fibra de carbono y derivados, o la fibra de vidrio (Legasa Martín-Gil, 2012).. Figura 1.1. Marcos rígidos para distintas configuraciones de multirotores. 1.2.2 Motores Para este tipo de aplicaciones básicamente hay dos tipos de motores: con escobillas o sin escobillas. Los primeros utilizan las escobillas o carbones como medio de contacto eléctrico con el eje de rotación del motor, como consecuencia estas escobillas se desgastan. En contraposición, los motores sin escobillas (en inglés, brushless) carecen de colector y 6.

(17) Capítulo 1. escobillas, es decir, no tienen conexión física entre las partes eléctricas en movimiento y en vez de funcionar en corriente directa funcionan en corriente alterna ( Chamorro, 2013; Sevilla, 2014). Existen dos posibles configuraciones de motores sin escobillas dependiendo de su estructura: de rotor externo o rotor interno. Los de rotor externo cuentan con una serie de bobinas situadas en la parte central del motor que están fijas a la carcasa, y un conjunto de imanes montados sobre un cilindro acoplado al eje de rotación. En el caso de los motores de rotor interno, las posiciones de los imanes permanentes y las bobinas están invertidas, es decir, los imanes estarán situados en la parte interna del motor y las bobinas en la parte externa (Legasa Martín-Gil, 2012). Las ventajas de los motores sin escobillas (figura 1.2) en su conjunto, con respecto a los motores con escobillas son las siguientes: mayor eficiencia y rendimiento (mayor duración de las baterías para la misma potencia); menor peso para la misma potencia; requieren menos mantenimiento al no tener escobillas; relación velocidad/par motor es casi una constante; rango de velocidad elevado al no tener limitación mecánica. Estas características justifican la tendencia de utilizar los motores sin escobillas en los vehículos tipo Quadrotor. Dentro de las desventajas están: un mayor costo de construcción; el control es caro, complejo y siempre hace falta un control electrónico para que funcione, el cual duplica el costo en ocasiones (Beltrán y col., 2011).. Figura 1.2. Motores sin escobillas (Brushless). 1.2.3 Fuente de alimentación de energía Uno de los principales problemas de los cuadricópteros lo constituye el sistema de alimentación de energía. Las baterías más recomendadas para este tipo de aplicaciones son 7.

(18) Capítulo 1. de polímero de litio, conocidas como tipo LIPo (figura 1.3). Este tipo de baterías proporcionan grandes descargas de corriente y tienen grandes capacidades de almacenamiento de energía. Suelen estar compuestas por un número de celdas secundarias idénticas conectadas en paralelo, de forma que aumente la capacidad de descarga de corriente (Beltrán y col., 2011). Es esencial evitar que la tensión de estas baterías sea inferior al umbral fijado por el fabricante, pues en caso contrario la batería quedaría inservible. En el proceso de recargar estos dispositivos se ha de proceder con cierta precaución, pues pueden llegar a explotar (Sevilla, 2014).. Figura 1.3. Baterías tipo LiPo. 1.2.4 Unidad de medida inercial Una unidad de medida inercial, en inglés “Inertial Measurement Unit” (IMU), es un componente electrónico que permite medir las fuerzas de inercia que actúan sobre el vehículo sobre el cual se encuentran empotrados. Una IMU (figura 1.4) dispone de una combinación de tres acelerómetros, tres giróscopos y en ocasiones tres magnetómetros. Este conjunto de dispositivos permite medir la fuerza de gravedad, la inercia aplicada por el movimiento nogravitatorio, el ángulo, la velocidad de giro y la posición por cada uno de los ejes de referencia (Cortés S., 2015).. Figura 1.4. Representación de los ejes de rotación de una IMU. 8.

(19) Capítulo 1. 1.2.5 Hélices Las hélices son las encargadas de propulsar el Quadcopter y para su elección se tiene en cuenta el peso, el material con el que han sido fabricadas, el ángulo de la curvatura desde el centro hasta el extremo, el tamaño y el número de aspas. En la figura 1.5 se muestran dos pares diferentes de hélices. El peso influye directamente con la carga a que se somete el motor; el material de fabricación determina la resistencia y flexibilidad; el ángulo de curvatura mientras mayor sea, mayor será la resistencia al aire, mayor propulsión generará, y será una mayor carga para el motor. El número de palas es inversamente proporcional al impulso que se genera y a la carga que tendrá que soportar cada una de las palas individualmente. La mejor relación entre propulsión y carga para los motores en los helicópteros se obtiene con dos aspas (Sevilla, 2014). Las palas adquieren un pequeño ángulo cuando los rotores se trasladan horizontalmente. Este ángulo hace que el plano de rotación no sea totalmente perpendicular al eje del rotor e introduce un notable efecto de desestabilización en el vehículo. Este es especialmente notorio a altas velocidades de rotación de las hélices, y para palas largas (Pounds y col., 2004). Por lo tanto, el efecto de esta perturbación estará determinado en gran medida por la longitud de las palas.. Figura 1.5. Pares de hélices de dos y tres aspas. 1.2.6 Controlador de velocidad electrónico Los motores brushless requieren de controladores de velocidad electrónicos (por sus siglas en inglés, ESC) para regular su velocidad de giro. Este tipo de motores suelen ser trifásicos, por lo que no funcionarían con corriente continua. El ESC se alimenta de una fuente de corriente continua (batería) y su salida es trifásica, la cual se conecta al motor.. 9.

(20) Capítulo 1. Cada ESC (figura 1.6) está regulado por una señal de modulación de ancho de pulso (por sus siglas en inglés, PWM). La tensión aplicada en los bornes del motor será el valor medio del tren de pulsos. Para su aplicación en cuadricópteros conviene usar frecuencias medio-altas, de forma que la velocidad del motor pueda ser ajustada lo suficientemente rápida como para garantizar la estabilidad del conjunto (Cortés, 2015; Sevilla, 2014).. Figura 1.6. Controladores de velocidad electrónicos. 1.2.7 Transmisor y receptor El cuadricóptero tiene que seguir instrucciones, ya sea de un algoritmo pre-programado o de un operario humano a través de control remoto (figura 1.7). Para esto es necesario un sistema que transmita las instrucciones y otro que las reciba y las envíe al controlador de vuelo situado en la nave. La forma más factible es la comunicación por radiofrecuencias, puesto que esta puede establecer comunicación a distancias considerables (alrededor de los cien metros) en dependencia del fabricante (Ehrlich y col., 2014). El emisor genera una señal portadora modulada, como consecuencia del movimiento de un joystick o botón en el dispositivo por parte del piloto. El receptor se calibra para escuchar en el rango de frecuencias en que el transmisor emite y, por tanto, el receptor decodificará la señal recibida y la enviará al controlador. En la selección de los transmisores se tiene en cuenta el número de canales de trasmisión que tengan, pues normalmente se ha asociado al número de elementos a controlar en el dispositivo, es decir, si se desea controlar los tres ángulos de giro del cuadricóptero y su altura necesitaremos 4 canales. El emisor está diseñado para emitir en un determinado rango de frecuencias, que posteriormente sería dividido por el número de canales más un ancho de banda entre canales. El número de canales con los que cuenta el transmisor es variable, oscilando entre 4 y 9 para aplicaciones en aeronaves autónomas (Sevilla, 2014).. 10.

(21) Capítulo 1. Figura 1.7 Pareja de receptor-transmisor de la firma AT9. 1.3 Maniobrabilidad y sistemas de referencia En un Quadcopter, con el objetivo de conservar la cantidad de movimiento angular, cada par de motores opuestos giran en el mismo sentido, y cada par gira en sentido contrario al otro par. La fuerza de empuje en cada uno de los rotores se controla con la variación de su velocidad de giro, lo que permite la traslación y rotación del vehículo (Sevilla, 2014). El diseño y configuración de los multirotores varía dependiendo el número de rotores que tengan. Para el caso de un Quadcopter cuyo número de rotores es cuatro, existen dos configuraciones posibles (“X” y “+”) a la hora de repartir la potencia entre sus motores y el control de los mismos. 1.3.1. Configuración “X”. La configuración en equis (“X”) consiste en colocar los motores de manera que en las cuatro caras del cuadricóptero siempre estén presentes dos motores, como muestra la figura 1.8.. Figura 1.8. Configuración en equis de un Quadcopter. El mayor beneficio que proporciona esta configuración es una cuestión física de repartición de potencia entre los motores, de forma que la carga individual que tenga que soportar cada. 11.

(22) Capítulo 1. uno es menor que la soportada en la configuración en “+”. Pero tiene el inconveniente que el algoritmo que controla la diferencia de potencia entre los motores es más complejo. El desplazamiento en el plano X-Y se realiza de manera que los cuatro motores (un par aumentando la potencia y el otro disminuyéndola) se reparten la carga para hacer avanzar el cuadricóptero (Cortés, 2015). En la figura 1.9 se representan los ejes de rotación para esta configuración.. Figura 1.9. Ejes de rotación de un Quadcopter con configuración en equis. 1.3.2 Configuración en “+” Esta configuración ubica un motor en cada extremo de los ejes X-Y, ver figura 1.10.. Figura 1.10. Configuración en cruz de un Quadcopter.. 12.

(23) Capítulo 1. Figura 1.11. Representación de los ejes de rotación en la configuración en cruz. Las características son opuestas a las mencionadas en la configuración en equis, pues el algoritmo de control de los motores es más simple y la carga de estos aumenta. Esto ocurre debido a que traslaciones en el plano horizontal se producen generando un empuje diferencial entre dos rotores alternos, pues los ejes X-Y coinciden con los brazos del vehículo (figura 1.11). Por ejemplo, para producir un desplazamiento en la dirección del eje x, se deberá reducir la velocidad del rotor 2 de la figura 1.12 y aumentar la del 4. Finalmente, el incremento de la velocidad de rotación de los motores 1 y 3 permitirá al dispositivo realizar una guiñada en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que el aumento de la velocidad de 2 y 4 resulta en una guiñada en el otro sentido (Lim y col., 2012; Sevilla F., 2014).. Figura 1.12. Esquemas de los pares generados por los rotores.. 13.

(24) Capítulo 1. 1.3.3 Sistemas de referencia empleados Para modelar la aeronave a través de las ecuaciones de la cinemática, es necesario definir varios sistemas de referencia. La configuración más extendida en este momento está representada en la figura 1.13, donde es posible observar dos sistemas de referencia. El primero de ellos (x, y, z) se denomina sistema inercial y es un sistema fijo en el espacio. Es el sistema donde se aplican las ecuaciones cinemáticas. El segundo (u, v, w) es solidario al cuerpo y a él se refieren los giros del Quadcopter (Lim y col., 2012).. Figura 1.13 Sistemas de referencia: inercial (x, y, z), y el propio del Quadcopter (u, v, w). Para describir los giros que realiza el quadrotor se utilizan los ángulos de Euler. De acuerdo a la figura 1.13, el rumbo (ѱ) es la rotación intrínseca alrededor del eje vertical w, perpendicular al vehículo; el cabeceo (θ) es la rotación en el eje v, y el balanceo es la rotación respecto al eje u (Jiinec, 2011). Para trasformar elementos del sistema inercial al sistema móvil y viceversa se utiliza una matriz de cambio de base o de rotación que depende de los ángulos de Euler, la cual se aborda en el capítulo siguiente. 1.4 Estudio de proyectos de autopiloto de código abierto Los proyectos de autopiloto a tratar han sido seleccionados teniendo en cuenta el volumen de usuarios que lo utilizan, soporte técnico brindado por la plataforma, mantenibilidad y desarrollo en la actualidad. 14.

(25) Capítulo 1. . Arducopter. Arducopter (figura 1.15) es un proyecto de autopiloto de código abierto (OSP, por sus siglas en inglés) para un Quadcopter basado en la plataforma Arduino y desarrollado por ingenieros de todo el mundo. Para sintonizar las ganancias del control y mostrar información del vuelo incorpora una interfaz de usuario gráfica (GUI, por sus siglas en inglés) que se muestra en la figura 1.14. Este proyecto comparte la misma plataforma aviónica con Ardupilot, el cual es un autopiloto OSP para un avión de ala fija. Existen más de 30 contribuidores en el sitio Web del proyecto (Lim y col., 2012).. Figura 1.14. GUI de Arducopter.. Figura 1.15. Circuito integrado Arducopter, versión Arduino Mega. . Pixhawk. Pixhawk es un proyecto autopiloto de código abierto (figura 1.16) que integra algoritmos de visión computarizada y un gran soporte para diversos sensores. Constituye una evolución del anterior y actualmente los proyectos Arducopter, Arduplane y Ardurover se desarrollan para esta arquitectura. Provee dos GUI fundamentalmente para su operación, llamados “Qgroundcontrol” y “MissionPlanner”, los cuales utilizan el protocolo de comunicación “MAVlink” (Meier, 2011). s adf. 15.

(26) Capítulo 1. Figura 1.16. Circuito integrado de Pixhawk. . Openpilot.. Openpilot es un OSP llevado a cabo por “RC hobbyists”. Tiene implementado un sistema operativo en tiempo real modificado desde FreeRTOS, el cual es un sistema operativo en tiempo real de código abierto. Soporta un avión de ala fija y un helicóptero con el mismo autopiloto. Incorpora un GUI (figura 1.17) para sintonizar las ganancias y recibir los datos de vuelo. En el sitio Web de este proyecto, están disponibles varios videos describiendo la sintonización de las ganancias, proceso de ensamblaje, y principios de vuelo, así como ayuda para los usuarios (Lim y col., 2012).. Figura 1.17. Circuito integrado y GUI de Openpilot. . Paparazzi.. Paparazzi es un sistema autopiloto orientado a aviones autónomos de todo tipo, su hardware es mostrado en la figura 1.19. Ha estado en desarrollo desde el 2003 y fue creado originalmente para un avión de ala fija, ahora soporta la configuración de un Quadcopter. Nueve sistemas de hardware autopiloto diferentes son desarrollados por el equipo Paparazzi en la Escuela Nacional de Aviación Civil en Francia. Está provisto de un GUI (figura 1.18) 16.

(27) Capítulo 1. con escritura de trayectoria de vuelo que permite la planificación de misiones en vuelos exteriores bien situados (Brisset y col, 2006).. Figura 1.18 GUI de Paparazzi.. Figura 1.19 Circuito integrado de Paparazzi. . Mikrokopter.. Mikrokopter es un sistema autopiloto (figura 1.21) para Quadcopter, desarrollado por una filial de “HiSystems GmbH” en 2006. Posee una GUI (figura 1.20) para la sintonización de las ganancias y monitoreo de los parámetros de la aeronave. En 2010, la Universidad de Tasmania y la División Antártica Australiana hicieron uso de Mikrokopter para monitorear la superficie de la Antártica. El código fuente está disponible solo para uso no comercial (Lim y col, 2012).. Figura 1.20. GUI de Mikrokopter.. 17.

(28) Capítulo 1. Figura 1.21. Circuito integrado de Mikrokopter. . KKmulticopter.. Es asistido por 20 personas alrededor del mundo. El hardware autopiloto de este proyecto (figura1.22) es bastante básico, solo está equipado con un giróscopo de tres ejes para las medidas inerciales y un micro-controlador de 8 bits. No incorpora una GUI, las ganancias son sintonizadas por resistores variables que se encuentran en la placa base (Lim y col., 2012).. Figura 1.22. Circuito integrado de KKmulticopter. . Multiwii.. Multiwii es un sistema autopiloto desarrollado por “RC hobbyists”. Usa una placa Arduino como procesador principal mientras el sistema sensor puede variar. Usa giróscopos y acelerómetros de la plataforma de controladores de movimiento de “Nintendo”, el cual necesita menos soldadura (Lim y col., 2012). Está provisto de una GUI (figura 1.23), y el circuito integrado se muestra en la figura 1.24.. 18.

(29) Capítulo 1. Figura 1.23. GUI de Multiwii.. Figura 1.24. Circuito integrado de Multiwii. 1.5 Principales estrategias de control reportadas en la literatura. En el mundo actual, son diversos los estudios y las estrategias de control implementadas para aplicarlas en los UAV, específicamente Quadrotores. A continuación se hace una revisión bibliográfica de trabajos realizados en los últimos años con respecto al tema. Donde se aplica tanto la teoría de control clásico PID (Proporcional Integral Derivativo), como estrategias avanzadas y control no lineal. 1.5.1 Control PID. Algunos autores han utilizado el controlador PID para control de posición y altura. Estos son simples, fiables, y pueden producir respuestas con tiempos de subida pequeños pero tiene como inconveniente que puede generar un valor alto de sobrecresta. Con estos controladores no se logran maniobras agresivas y no tienen un buen desempeño ante fuertes disturbios (Analia y Song, 2016; He y Zhao, 2014; Hoffmann y col., 2007; Vidal, 2016).. 19.

(30) Capítulo 1. En algunas investigaciones aplican índices de desempeño obtenido por el método de sintonización ITAE (Integral del error absoluto ponderado en el tiempo) en un controlador PID. La respuesta que se obtiene es rápida, pero la teoría del PID clásico no desarrolla un controlador lo suficientemente robusto para este tipo de aplicaciones (Argentim y col., 2013). Como alternativa se implementa una estructura de control en cascada (posición-velocidad) para el control de altura. El lazo externo (velocidad) posee un controlador PID donde su salida es una velocidad deseada basada en la referencia de altura. Esta velocidad deseada es usada por el lazo interno donde un controlador PI (Proporcional Integral) calcula el cambio necesario en la aceleración de los motores (Fogelberg, 2013). En el “Swiss Federal Institute of Technology” fue utilizado un PID para estabilizar la posición de un cuadricóptero. Para su diseño se linealiza el modelo en un único punto de equilibrio, que corresponde al vuelo estacionario. En presencia de perturbaciones lo suficientemente significativas como para alejarlo de su punto de equilibrio el vehículo no era capaz de recuperar su posición anterior. Este tipo de controlador podría ser más práctico si se utilizan múltiples puntos de linealización en vez de uno solo (Sevilla, 2014). Otros autores plantean que los controladores PID pueden desempeñar un modo de vuelo seguro y fiable, no siendo necesario empotrar una teoría de control compleja (Silva y col., 2016). 1.5.2 Estrategias avanzadas de control. Existen autores que plantean cada variable medida (ángulo, velocidad y posición) como un estado del sistema, por lo tanto un control por realimentación de estados resulta conveniente(“Control de un Cuadricóptero para seguimiento de un móvil,” 2013). La versión sofisticada de estos controladores es el Regulador Lineal Cuadrático (LQR), el cual ha sido utilizado en varios proyectos. Estos son robustos y producen un pequeño error en estado estable. Debido a que esta técnica de control es lineal y el sistema a controlar presenta varias características no lineales, al introducir fuertes perturbaciones no es capaz de estabilizarlo (Argentim y col., 2013; Hoffmann y col., 2007; Sevilla, 2014). En otros trabajos se plantea un controlador LQR con estados dependientes, donde se linealiza el espacio de estados para cada condición de vuelo, calculando las ganancias del controlador. 20.

(31) Capítulo 1. LQR para cada estado. Esto le da mucha más autonomía al vehículo al no estar restringido a un vuelo prácticamente estacionario (Bouabdallah, 2004). Algunos autores plantean una versión del controlador LQR conocida como “LQ servo” o LQR con entrada de referencia. Este controlador presenta buena robustez y logra el seguimiento de valores de referencias. Asegura un control óptimo pues al igual que el LQR clásico, las ganancias que se realimentan junto con las variables de estados se obtienen mediante la minimización de una función de costo cuadrático (Ogata, 2010). Sevilla Fernández propone un control por linealización en la realimentación. La principal ventaja de este es que la linealización y sus controladores son más sencillos de implementar que el sistema no lineal completo. Esto da lugar a una mayor velocidad de cálculo aunque requiere obtener una estimación con la suficiente precisión de todas las variables de estado (Sevilla, 2014). Otra estrategia para el control de altura, es el control adaptativo. Una ventaja importante es que no necesita diferentes análisis matemáticos para definir los coeficientes apropiados, adaptándose con nuevas condiciones y variaciones en la dinámica del sistema. Por otro lado no garantiza el alcance de los coeficientes adecuados. El otro problema es que el valor de la razón de aprendizaje es un reto importante porque un valor bajo retarda el movimiento para los coeficientes adecuados y el controlador no puede adaptarse rápidamente, y un valor alto puede conducir a un control infiel (Fatan y col., 2013). Los Controladores de Lógica Fuzzy (por su siglas en inglés FLC) son muy útiles en presencia de sistemas que tienen un grado alto de no linealidad. Estos son estables y presentan respuestas con bajo valor de sobrecresta, aunque esto trae consigo tiempos de subida más lentos. La desventaja de los controladores FLC es que necesitan mucha información para compensar la no linealidad cuando los parámetros cambian. El propósito es diseñar un sistema de control para un Quadcopter con la combinación de los enfoques del PID y FLC (Analia y Song, 2016; Cheong, 2007; Khadija y col., 2015). Entre los diferentes métodos que están siendo estudiados se puede recalcar algunos trabajos importantes: Back-Stepping (Madani, 2006.), control no lineal H∞ (Raffo, 2009;Voos, 2009), filtro de Kalman (Jun, 1999), control no lineal basado en la teoría de Lyapunov (Bouabdallah, 2005), control Fuzzy adaptativo y controlador inteligente (Coza, 2006). 21.

(32) Capítulo 1. 1.6 Consideraciones finales del capítulo. Luego de la revisión de la bibliografía científica accedida se puede llegar a la conclusión de que las estrategias de control no lineal y los métodos inteligentes presentan los mejores resultados, pero la complejidad de su implementación aumenta. Por lo que en ocasiones pueden no ser una elección adecuada, principalmente ante la limitante desde el punto de vista del hardware y la necesidad de personal con amplios conocimientos de programación en tiempo real. Entre las técnicas de control lineal que se destacan se encuentran: PID y LQR. Ambas presentan problemas para estabilizar el sistema ante fuertes perturbaciones, debido a que los sistemas aerodinámicos poseen diversas características no lineales, sin embargo difieren en la respuesta transitoria. En cuanto al PID, a pesar de su rápida respuesta y su fácil implementación tiene como inconveniente que puede generar un valor alto de sobrecresta y una respuesta muy oscilatoria. Por otro lado el LQR genera una respuesta sin grandes valores de sobrecresta, pocas oscilaciones y pequeño error en estado estable. Además asegura un desempeño óptimo, pues las ganancias de realimentación no son introducidas manualmente sino que son resultado de la minimización de una función de costo cuadrático. Para su evaluación en el próximo capítulo se selecciona debido a la robustez, versatilidad y a su fácil implementación, la técnica de control LQR modificada para el seguimiento de valores de consigna o de referencia. En el presente trabajo se pretende evaluar mediante simulación el desempeño de este método de control.. 22.

(33) Capítulo 2. CAPÍTULO 2. ESTRATEGIA PARA EL CONTROL DE ALTURA.. 2.1. Introducción.. En este capítulo se realiza un estudio del desarrollo matemático de las leyes físicas que rigen la dinámica de un cuerpo rígido que opera en el aire. Esto da como resultado el modelo matemático no lineal característico de los UAVs tipo quadrotor. Luego se plantea un modelo lineal reducido que va a ser utilizado para el diseño y sintonización del controlador a implementar. Se aborda la teoría referente al diseño de controladores LQR, y a su versión modificada: LQR con entrada de referencia. 2.2. Modelo no lineal del vehículo.. En este epígrafe se muestran las ecuaciones de estado de velocidad angular, velocidad lineal y posición, que describen el comportamiento del Quadcopter. En la tabla 2.1 se muestra un resumen de las principales variables utilizadas en el desarrollo del presente capítulo y los sistemas de referencia adoptados se muestran en la figura 1.14.. 23.

(34) Capítulo 2. Tabla 2.1. Variables utilizadas para representar el movimiento de estos vehículos. Movimiento. Velocidades. Posiciones. Avance. u. x. Desplazamiento lateral. v. y. Desplazamiento vertical. w. z. Balanceo. p. 𝜙. Cabeceo. q. θ. Rumbo. r. ѱ. Matriz de inercia: Un elemento importante del sistema es la matriz de inercia cuya ecuación general se muestra en 2.1; pues describe el momento de inercia de la masa del vehículo a través de los ejes coordenados. 𝐽𝑥𝑥 𝐽 = [0 0 𝑏. 0 𝐽𝑦𝑦 0. 0 0] 𝐽𝑧𝑧. (2.1). Donde 𝑱𝒃 es la inercia del Quadcopter relativa al sistema móvil, aquí 𝐽𝑥𝑥 , 𝐽𝑦𝑦 , 𝐽𝑧𝑧 , representan la inercia del vehículo a través cada eje. Debido a la simetría del sistema la matriz es diagonal y es idéntica para las configuraciones en “X” y “+”. Coeficiente de empuje: El empuje (T) provisto por sistema rotor-hélice se puede calcular por la ecuación 2.2. 𝑇 = 𝐶𝑇 𝜌𝐴𝑟 𝑅 2 𝜔2. (2.2). Donde CT es el coeficiente de empuje para cada rotor en específico y se calcula de forma experimental, 𝜌 es la densidad del aire, 𝐴𝑟 es la sección de aire debajo del área de rotación de la hélice, R es el radio del rotor, y 𝜔 es la velocidad angular del rotor. El empuje que proporciona el sistema rotor-hélice provee una fuerza perpendicular al plano X-Y del sistema móvil en la dirección positiva del eje Z. Para un modelado simple como el 2.3 se puede simplificar la caracterización del proceso. 24.

(35) Capítulo 2. 𝑇 = 𝐶𝑇 𝜔2. (2.3). Coeficiente de torque: La fuerza de torque del sistema rotor-hélice actúa directamente sobre el eje Z durante la acción de rumbo. Esta puede ser hallada de la misma forma que el coeficiente de empuje y su forma reducida es 2.4. 𝑄 = 𝐶𝑄 𝜔2. (2.4). Donde Q es el torque creado por el motor, 𝐶𝑄 es el coeficiente de torque del sistema rotorhélice y se calcula experimentalmente, 𝜔 𝑒𝑠 la velocidad angular del motor Fuerzas giroscópicas: El efecto giroscópico es un fenómeno que ocurre cuando el eje de rotación de un cuerpo que se encuentra rotando, cambia de posición. Las fuerzas giroscópicas resultantes en el cuerpo son gobernadas por: las componentes rotativas de cada motor (𝐽𝑚 ), la razón de cambio de los ángulos de balanceo y cabeceo (p, q), y la velocidad angular de cada sistema rotor-hélice (𝑤𝑖 ). Los torques giroscópicos que se crean por los motores ante la acción de balanceo y cabeceo se muestran en (2.5) y (2.6). 𝜋. 𝜏𝜙 = 𝐽𝑚 𝑞 (30 ) (𝑤1 − 𝑤2 + 𝑤3 − 𝑤4 ) 𝜋. 𝜏𝜃 = 𝐽𝑚 𝑝 (30 ) (−𝑤1 + 𝑤2 − 𝑤3 + 𝑤4 ). (2.5) (2.6). 𝜋. El término 30 corresponde a la conversión de revoluciones por minuto (RPM) a radianes por segundos. Matriz de fuerza: A continuación se organiza en la matriz 2.7 las ecuaciones expuestas hasta el momento. Esta tiene en cuenta los momentos aerodinámicos, giroscópicos, y el empuje que produce el sistema rotor-hélice en el vehículo para una configuración en “X”.. 𝑴𝑨,𝑻. −𝑑𝑇1 + 𝑑𝑇2 − 𝑑𝑇3 + 𝑑𝑇4 + 𝜏𝜙 = [−𝑑𝑇1 − 𝑑𝑇2 + 𝑑𝑇3 + 𝑑𝑇4 + 𝜏𝜃 ] −𝑄1 + 𝑄2 − 𝑄3 + 𝑄4. 25. (2.7).

(36) Capítulo 2. Donde el término 𝑑, se refiere a la multiplicación de la longitud del brazo (entre el centro del Quadcopter hasta el sistema motor-hélice) por sen45˚, pues existe un desplazamiento de 45˚ propio de la configuración en “X” entre los ejes de rotación del sistema móvil y los brazos del vehículo. Las variables 𝑇𝑖 y 𝑄𝑖 representan el empuje y el torque respectivamente. El cuerpo del Quadrotor también experimenta otras fuerzas como la gravedad y el alza de los motores. La fuerza de alza se muestra en 2.8. 𝑭𝑨,𝑻. 0 0 =[ ] 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4. (2.8). La matriz 𝑭𝑨,𝑻 se refiere a las fuerzas que actúan en el sistema móvil sobre el quadrotor, en función de la aerodinámica y el empuje. 2.2.1 Ecuación de estado de la velocidad angular. La ecuación (2.9) describe el cambio de velocidad en balanceo (p), cabeceo (q) y rumbo (r). Se tiene en cuenta la inercia, la velocidad angular, y los momentos aplicados por el sistema rotor-hélice. 𝝎̇𝒃/𝒊. 𝑝̇ = (𝑱 ) [𝑴𝑨,𝑻 − 𝜴𝒃/𝒊 𝑱 𝝎𝒃/𝒊 ] = [𝑞̇ ] 𝑟̇ 𝒃 −1. 𝒃. (2.9). Donde los superíndices y subíndices b e i se refieren al plano móvil y al plano inercial respectivamente. Por ejemplo, 𝝎̇𝒃/𝒊 es la aceleración angular referido al plano móvil con respecto al plano inercial en cada eje de rotación. Por otro lado 𝜴𝒃/𝒊 , es una matriz producto cruz para la velocidad rotacional y su forma se muestra en 2.10. 𝜴𝒃/𝒊. 0 = [ 𝑟 −𝑞. −𝑟 0 𝑝. 𝑞 −𝑝] 0. (2.10). El término 𝝎𝒃/𝒊 es la velocidad rotacional del cuerpo del vehículo en el sistema móvil. Como se puede observar en 2.11, se encuentra en función de p, q, r. 𝑝 𝝎𝒃/𝒊 = [𝑞 ] 𝑟. (2.11). 26.

(37) Capítulo 2. 2.2.2 Ecuación de estado de la velocidad lineal. La ecuación 2.12 describe la aceleración del centro de masa del cuerpo rígido del modelo del Quadcopter, en las direcciones x, y, z. En esta se tiene en cuenta las fuerzas de aceleración que actúan sobre el vehículo. 𝑢̇ ̇𝑽𝑪𝑴/𝒊 = ( 1 ) 𝐅𝑨,𝑻 + 𝒈𝒃 − 𝛀𝒃𝒃|𝒊 V𝐶𝑀/𝑖 = [ 𝑣̇ ] 𝑚 𝑤̇. (2.12). Donde, 𝑽̇𝑪𝑴/𝒊 es la aceleración del centro de masa en el sistema móvil con respecto al sistema inercial; m es la masa total del quadrotor; 𝒈𝒃 es la aceleración de la gravedad que se refiere al sistema móvil mediante su multiplicación por la matriz de rotación (2.14), este procedimiento se muestra en (2.13). 𝒈𝒃 = 𝑪𝒃|𝒊 𝒈𝒊. (2.13). Donde 𝒈𝒊 es el valor escalar de la gravedad en el plano inercial. c(𝜃) c(ѱ) c(𝜃) s(ѱ) −s(𝜃) 𝑪𝒃|𝒊 = [(− c(𝜙) s(ѱ) + s(𝜙) s(𝜃) c(ѱ)) (𝑐(𝜙)𝑐(ѱ) + 𝑠(𝜙)𝑠(𝜃)𝑠(ѱ)) s(𝜙) c(𝜃)] (𝑠(𝜙)𝑠(ѱ) + 𝑐(𝜙)𝑠(𝜃)𝑐(ѱ)) (−𝑠(𝜙)𝑐(ѱ) + 𝑐(𝜙)𝑠(𝜃)𝑠(ѱ)) c(𝜙) c(𝜃). (2.14). Donde S y C son las funciones seno y coseno respectivamente.. 2.2.3 Ecuación de estado de la posición. Para describir la velocidad lineal del centro de masa del Quadcopter en el sistema inercial se utiliza la ecuación 2.15. 𝑥̇ 𝑖 𝑏 ̇P𝐶𝑀/𝑖 = 𝐶𝑖|𝑏 v𝐶𝑀|𝑖 = [𝑦̇ ] 𝑧̇. (2.15). 𝒃 Donde, 𝐯𝑪𝑴|𝒊 es simplemente la velocidad del Quadcopter en el sistema móvil respecto al. sistema inercial; 𝑪𝒊|𝒃 no es más que la traspuesta de 𝑪𝒃|𝒊 . Esta ecuación de estado permite determinar la velocidad del vehículo en las direcciones x, y, z del plano inercial.. 27.

(38) Capítulo 2. 2.3. Modelo lineal.. La dinámica de los UAVs, en específico los tipo Quadcopter, presenta un alto nivel de no linealidad, por lo que la obtención de un modelo matemático se convierte en una tarea difícil. Puesto que en esta investigación se pretende evaluar una estrategia de control lineal, se necesita definir un modelo lineal para representar el comportamiento del vehículo en el plano analizado. La forma general en espacio estado para el modelo lineal se muestra a continuación: 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖. (2.16). 𝑦 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖. (2.17). Donde: x = vector de estado. y = señal de salida. u = señal de control. A = matriz de estados. B = matriz de entrada. C = matriz de salida. D = matriz de transmisión. Por simplicidad se toma como matriz cero. El modelo extendido que describe el comportamiento de estos vehículos posee doce estados por ser un sistema de seis grados de libertad (Balas, 2007). 𝒙 = [𝑥. 𝑦. 𝑧 𝑢. 𝑣. 𝑤. 28. 𝜙. 𝜃. ѱ. 𝑝. 𝑞. 𝑟 ]𝑇. (2.18).

(39) Capítulo 2. 0 0 0 0 0 𝑨= 0 0 0 0 0 0 [0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 −1/𝑚 𝑩= 0 0 0 0 0 [ 0 𝑼 = [𝑈1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/𝐼𝑥𝑥 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/𝐼𝑦𝑦 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑔 0 0 0 𝑔 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]. (2.19). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/𝐼𝑧𝑧 ]. (2.20). 𝑈2 𝑈3 𝑈4 ]𝑇. 𝑪 = [0 0. 1 0 0. 0 0. (2.21) 0 0 0. 0 0]. (2.22). En donde el vector de estado 2.18 está compuesto por las posiciones (x, y, z), las velocidades lineales (𝑢, 𝑣, 𝑤), los ángulos de rotación balanceo, cabeceo y rumbo (ϕ, θ, ѱ), y las velocidades angulares (𝜙̇, 𝜃̇, ѱ̇). El vector de control 2.21 lo componen: Empuje vertical (sumatoria de los empujes): 𝑈1 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + 𝑇4. (2.23). Momento de balanceo (diferencia de empuje): 𝑈2 = 𝑙(𝑇4 − 𝑇2 ). (2.24). Momento de cabeceo (diferencia de empuje): 𝑈3 = 𝑙(𝑇1 − 𝑇3 ). (2.25). Momento de rumbo (suma algebraica de los torques): 𝑈4 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 + 𝑄4. (2.26). Donde l es longitud del brazo.. 29.

(40) Capítulo 2. 2.4. Modelo lineal reducido para el diseño del control de altura.. Este es un sistema sub-actuado porque el número de entradas (cuatro) es menor que los grados de libertad (seis en total: tres ángulos y tres coordenadas). También se puede observar que las posiciones dependen de los ángulos, pero no entre sí; y los ángulos dependen entre sí, pero no de las posiciones. Apoyados en las investigaciones de varios autores, se plantea la posibilidad de descomponer los lazos de control de posición y altura. El subsistema resultante está compuesto por las ecuaciones 2.27 y 2.28, el cual tiene en cuenta la posición y la velocidad en el plano z. En la bibliografía consultada se propone el procedimiento de linealización que se muestra posteriormente (Sevilla, 2014; Sonnevend, 2010). 𝑥̇ 3 = 𝑥6. (2.27) 1. 𝑥̇ 6 = (cos(𝑥3 )𝑐𝑜𝑠(𝑥6 )) 𝑚 𝑈1 − 𝑔. (2.28). Donde 𝑥3 𝑦 𝑥6 , son 𝑧 𝑦 𝑧̇ respectivamente en el modelo extendido de doce estados tratado anteriormente (2.22). Los pasos para la linealización de la entrada son los siguientes: ̅1 = (cos(𝑥3 )𝑐𝑜𝑠(𝑥6 )) 1 𝑈1 𝑈 𝑚. (2.29). Donde 𝑈1 es el empuje vertical o la sumatoria de los empujes (2.23). Luego se tienen las siguientes ecuaciones: ̅̅̅3̇ = 𝑥6 𝑥. (2.30). ̅1 − 𝑔 ̅̅̅6̇ = 𝑈 𝑥. (2.31). ̿1 = 𝑈 ̅1 − 𝑔, y 𝑥̿3 = ℎ𝑟𝑒𝑓 − 𝑥̅3 , puesto que existe también un problema de Se hace 𝑈 seguimiento de referencia en la estabilización de la altura. Las ecuaciones resultantes son: 𝑥̿̇3 = 𝑥̿6. (2.32). ̿1 𝑥̿̇6 = 𝑈. (2.33). Estas ecuaciones forman el sistema lineal compuesto por (2.34), (2.35) y (2.36). Ahora es posible definirlas como un modelo espacio de estado linealizado que va a depender de la posición (𝑃𝑧 ) y la velocidad (𝑉𝑧 ) en el plano vertical como muestran las ecuaciones 2.37 y 2.38. 𝑨=[. 30. 0 1 ] 0 0. (2.34).

(41) Capítulo 2. 0 𝑩=[ ] 1 𝑪 = [1 0] 𝑃̇ 0 [ 𝑧] = [ ̇ 0 𝑉𝑧. 1 𝑃𝑧 0 ][ ] + [ ]𝑢 0 𝑉𝑧 1. 𝑃 𝑦 = [1 0] [ 𝑧 ] 𝑉𝑧. 2.5. (2.35) (2.36) (2.37) (2.38). Diseño del controlador LQR.. La técnica de control LQR es una versión mejorada de los controles por realimentación de estados, pues la ubicación de los polos transformados no viene dada por el ingeniero en control sino que se basa en conocer un vector u, que al realizar un control por realimentación de estados como se muestra en la figura 2.1 y mediante la ecuación 2.39, minimice la función de costo cuadrático 2.39 (Ogata, 2010). 𝒖 = −𝑲𝒙(𝒕) ∞. 𝑱 = ∫0 𝒙𝑻 . 𝑸𝒙 + 𝒖𝑻 . 𝑹𝒖. (2.39) (2.40). Donde Q y R son las matrices de covarianzas del ruido en cada parte del modelo y determinan la importancia relativa del error y de la señal de control respectivamente. Mediante la matriz. Q se define la incertidumbre en las ecuaciones matemáticas del modelo y mediante la matriz R la incertidumbre en la medición. En el capítulo siguiente se pretende mostrar los efectos en la señal de control, que se obtienen al variar los valores numéricos de estas dos matrices.. Figura 2.1. Diagrama en bloques general de la configuración del controlador LQR.. 31.

(42) Capítulo 2. 2.5.1 Condiciones necesarias para la implementación del control LQR. Para la realización del control LQR el sistema tiene que ser controlable, y si tiene algún estado indeterminado debe ser observable. Como el sistema a controlar tiene todos sus estados conocidos solo debe cumplir la condición de controlabilidad. Un sistema es controlable si existe una función de entrada o un control capaz de llevar los estados del sistema de un valor a otro en un tiempo finito (Ogata, 2010). Puede entenderse que la controlabilidad del sistema indica el acoplamiento entre entradas y estados, es decir, los estados están afectados por las entradas. En un sistema no controlable, uno o más estados no resultan afectados por las entradas y, por tanto, no se pueden controlar actuando sobre las entradas de la planta. El criterio más conocido para verificar la controlabilidad de un sistema en el espacio de estado, consiste en conformar la matriz de controlabilidad 2.41 y comprobar que: 1. El determinante de la matriz de controlabilidad sea distinto de cero (2.42). 2. El rango de la matriz de controlabilidad coincida con el orden (n) del sistema (2.43). 𝑀 = [𝐵|𝐴𝐵|𝐴2 𝐵| ⋯ |𝐴𝑛−1 𝐵|] det(𝑀) ≠ 0. (2.41) (2.42). 𝑛 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑀). (2.43). Donde el rango es el número de filas independientes linealmente, o el número de valores singulares de una matriz (en este caso de M). 2.5.2 Selección de las matrices Q y R. No existen reglas o guías que puedan emplearse de forma general para la selección de Q y. R, las cuales tienen que ser matrices simétricas reales y definidas positivas. Es conveniente calcular diferentes controladores en base a distintos valores de estas matrices y verificar su efectividad mediante simulación. Una ventaja que tiene el control LQR es que, sea cual sea la elección de las matrices Q y R, se preserva la estabilidad asintótica y la robustez del controlador (Ogata, 2010; Sevilla, 2014).. 32.

(43) Capítulo 2. 2.5.3 Obtención de la matriz de ganancia óptima K(t). La ecuación 2.39 mencionada antes, es la ley de control óptima. Por lo tanto, si los elementos desconocidos de la matriz K(t) son determinados tal que se minimice el índice de desempeño, luego esta ley de control va a ser óptima para cualquier estado inicial x(0). La matriz de control K(t) responde a la expresión 2.44. 𝑲(𝒕) = 𝑹−𝟏 𝑩𝒕 𝑷(𝒕). (2.44). Donde P(t) es la solución a la ecuación de Ricati (2.45). 𝑸 + 𝑷𝑨 + 𝑨𝑻 𝑷 = 𝑷𝑩𝑹−𝟏 𝑩𝑻 𝑷. (2.45). Si la solución es una matriz P definida positiva, el sistema es estable (Ogata, 2010). 2.6. Controlador LQR con entrada de referencia.. La estrategia de control a implementar para el seguimiento de valores de referencia en el plano vertical es un controlador LQR con entrada de referencia, conocido por “Sistema Servo tipo 1 cuando la planta tiene un integrador”, pues la función transferencial del modelo lineal 1. reducido (2.37) es 2 . Este método asume que la señal de control u y la salida y, son escalares; 𝑠. además sugiere que para una elección apropiada del conjunto de variables de estado es posible elegir la salida igual a la variable a controlar (Ogata, 2010). En la figura 2.2 se muestra el diagrama en bloques de este método en su forma general, donde se asume que 𝑦 = 𝑥1 .. Figura 2.2. Diagrama en bloques de un controlador LQR con entrada de referencia cuando la planta tiene un integrador. 33.

(44) Capítulo 2. En este método, el esquema de control de realimentación de estados se muestra en 2.46. 𝒖 = −[0 𝐾2. 𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝐾𝑛 ] [ ] + 𝐾1 (𝑟 − 𝑥1 ) ⋮ 𝑥𝑛. (2.46). En 2.47 se muestra la forma general del esquema de control. 𝒖 = −𝑲𝒙 + 𝐾1 𝑟. (2.47). Donde: 𝑲 = [𝐾1. 𝐾2. ⋯ 𝐾𝑛 ]. (2.48). Para poder implementar este método solo falta hallar la matriz de ganancia óptima K (2.48), la cual es posible calcular por el método de control clásico LQR, expuesto en el epígrafe 2.5. 2.7. Conclusiones finales del capítulo.. Las ecuaciones que definen el comportamiento de los UAVs tipo quadrotor incluyen términos que presentan no linealidades y algunos necesitan ser hallados mediante pruebas experimentales, por lo que se necesita un modelo lineal que responda a estas ecuaciones. En la bibliografía se obtuvo un modelo matemático reducido que facilita el diseño e implementación del controlador LQR y es utilizado en el siguiente capítulo para el desarrollo de las simulaciones. La estructura del controlador LQR seleccionada ofrece la potencialidad de utilizar señales de referencia como entrada, lo cual es un aspecto significativo en el control de estos vehículos. 34.

(45) Capítulo 3. CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN. 3.1. Introducción. En el presente capítulo se muestran las pruebas de simulación llevadas a cabo para el controlador LQR sin entrada de referencia y con la misma, lo que sería el controlador LQR clásico y el modificado. Todo el diseño se ha basado en el modelo lineal reducido mostrado en el capítulo anterior, ecuaciones 2.34-2.37. Se muestra el desempeño del controlador ante entrada de referencia y perturbadora, y se describe el efecto de la variación de sus parámetros de ajuste en la respuesta transitoria del sistema. 3.2. Condiciones a cumplir para el diseño de un controlador LQR. Como se explica en el epígrafe 2.5.1, para poder diseñar un controlador LQR el sistema tiene que ser controlable. Para ello se debe cumplir que el determinante de la matriz de controlabilidad sea distinto de cero, y su rango (número de filas o columnas linealmente independientes de una matriz) sea igual al orden del sistema. Considerando el modelo de espacio de estados que se muestra en el epígrafe 2.4, y de acuerdo con la ecuación 2.41, la matriz de controlabilidad resultante se muestra en 3.1. 0 𝑀=[ 1. 1 ] 0. (3.1). det(𝑀) = −1. (3.2). 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑀) = 𝑛 = 2. (3.3). Con los resultados obtenidos en 3.2 y 3.3 donde n es el orden del sistema., queda demostrado que el sistema es controlable.. 35.

(46) Capítulo 3. 3.3. Evaluación del controlador LQR sin entrada de referencia. El objetivo del controlador LQR sin entrada de referencia es regular la salida del sistema a cero o a un valor constante, mientras que ella satisface las especificaciones de la respuesta transitoria (Burns, 2001; Fossen, 2011; Ogata, 2010). De acuerdo con el epígrafe 2.5.2, las matrices Q y R se muestran en las ecuaciones 3.4 y 3.5 respectivamente. Aplicando el procedimiento planteado en el epígrafe 2.5.3 se obtiene la matriz de ganancia óptima (K), la cual se muestra en 3.6. 1 0 𝑸=[ ] 0 1. (3.4). 𝑹=1. (3.5). 𝑲 = [1 1.7321]. (3.6). Estos valores de Q, R y K se utilizan en las simulaciones que se muestran en los siguientes subepígrafes y en el epígrafe 3.4. La implementación en Simulink del control LQR clásico se muestra en el anexos 1. 3.3.1 Respuesta del sistema sin entradas perturbadoras La función transferencial del modelo linealizado que se utiliza para el diseño del controlador y la realización de simulaciones (epígrafe 2.4) es un integrador de la forma garantiza cero error en estado estable.. 36. 1 𝑠2. , lo que.

(47) Capítulo 3. Figura 3.1. Respuesta transitoria del sistema con un controlador LQR clásico sin entradas perturbadoras. En la figura 3.1 se observa el desempeño del sistema sin entradas perturbadoras y con un valor unitario en la variable de posición (𝑃𝑧 ) como condición inicial. El controlador cumple perfectamente su objetivo de mantener el valor de la salida en cero cumpliendo con lo planteado al inicio de este epígrafe. El tiempo de establecimiento se alcanza cercano a los cinco segundos y no se observan oscilaciones en la respuesta del sistema. 3.3.2 Respuesta ante entrada perturbadora En la figura 3.2 se muestra la respuesta del sistema ante una perturbación tipo paso unitario que comienza a actuar a los cinco segundos. El sistema logra estabilizarse aproximadamente a los 10 segundos y asegura cero error en estado estable.. 37.

(48) Capítulo 3. Figura 3.2. Respuesta transitoria del sistema con un controlador LQR clásico ante una entrada perturbadora tipo paso unitario. 3.4. Evaluación del controlador LQR con entrada de referencia. El LQR clásico difiere de su versión con entrada de referencia en cuanto al esquema de control de realimentación de estados (figuras 2.1 y 2.2). Este último realimenta todos los estados del sistema multiplicados por las ganancias correspondientes de la matriz K, excepto el estado que se desea controlar y su ganancia (Ki), los cuales se ubican en la trayectoria directa. El estado deseado pasa directamente a la salida, luego se realimenta a la entrada del sistema donde se resta con el valor de referencia y se multiplica por la ganancia (Ki) que le corresponde. La principal ventaja de este controlador es que permite el seguimiento de una entrada de referencia, aspecto importante en el control de altura de este tipo de UAV. Como el diseño está basado en la minimización de un índice de desempeño cuadrático, conduce a un sistema de control estable que por definición es óptimo (Burns, 2001; Ogata, 2010; Sonnevend, 2010).. 38.

(49) Capítulo 3. La implementación en Simulink del control LQR con entrada de referencia se muestra en el anexo 2. 3.4.1 Respuesta del sistema ante entrada de referencia En figura 3.3 se puede observar como el sistema logra seguir la entrada de referencia tipo paso unitario con cero error en estado estable y estabilizarse aproximadamente en cinco segundos. Se comporta de forma sobreamortiguada por lo que el tiempo de subida coincide con el de establecimiento.. Figura 3.3. Respuesta del sistema ante una entrada de referencia tipo paso unitario. La siguiente simulación muestra el desempeño del sistema ante una entrada de referencia compuesta por tres pasos unitarios que actúan en diferentes momentos: . En el instante donde comienza la simulación (𝑡 = 0).. . 10 segundos de comenzada la simulación.. . 15 segundos de comenzada la simulación, pero con magnitud negativa.. 39.

(50) Capítulo 3. Figura 3.4. Respuesta del sistema ante una entrada de referencia compuesta por tres pasos. En la figura 3.4 se observa la fiabilidad del sistema al seguir una entrada de referencia compuesta por tres pasos unitarios. El sistema se comporta sobre amortiguado y se estabiliza a los cinco segundos aproximadamente cada vez que cambia el valor de referencia. 3.4.2 Respuesta del sistema ante entrada perturbadora La figura 3.5 corresponde al comportamiento de la salida del sistema ante una entrada de referencia tipo paso de magnitud 2. Además el sistema es sometido a una perturbación compuesta por dos pasos unitarios que actúan: . 10 segundos de comenzada la simulación.. . 20 segundos de comenzada la simulación, pero con magnitud negativa.. 40.

(51) Capítulo 3. Figura 3.5. Respuesta del sistema ante una entrada de referencia de magnitud 2 combinada con una perturbadora tipo paso. Se puede observar en la figura 3.5 como el sistema primeramente se ubica en el valor de referencia, luego es sometido a una perturbación compuesta por dos pasos unitarios (uno positivo y otro negativo) que lo sacan de su punto de equilibrio y demora en volver a su valor de referencia alrededor de cinco segundos después de cada cambio en la entrada perturbadora. El sistema ante entrada perturbadora asegura cero error en estado estable y una respuesta sobreamortiguada. 3.5. Efectos de Q y R en la respuesta del sistema. Como se plantea en el epígrafe 2.5.2, es conveniente calcular diferentes controladores en base a distintos valores de las matrices de peso (Q y R) y verificar su efectividad. Las simulaciones que aparecen a continuación corresponden a la respuesta del sistema ante una entrada de referencia tipo paso unitario. La comparación de los resultados se realiza respecto a la figura 3.3.. 41.